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一、图形的变换
图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
1、轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图
形， 这条直线叫做对称轴。
等腰三角形
有
1条对称轴，
等边三角形有3条对称轴，
学过的轴对称平面图形：长方形有2条对称轴，
正方形有4条对称轴，
等腰梯形有1条对称轴，
任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
※圆有无数条对称轴。
①对称点到对称轴的距离相等；
②对对称点的连线与对称轴垂直；
③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。
对称图形包括轴对称图形
中心对称图形。平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。
2、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋
转，定点O 叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为
的另一点成为对应点。
（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车
（2）旋转要明确绕点，角度和方向。
（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；
（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；
（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；
（5）旋转中心是唯一不动的点。
3、旋转要注意：顺时针、逆时针、度数
因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
3、
大数是小数的倍数， 小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中1，
一个数的因数的求法：（用除法）成对地按顺序找。
例如：求36的因数：从自然数一开始逐一往下除，不能整除的跳过一直除到商和除数有
重复，其中除数和商都是被除数的因数，重复数保留一个按箭头方
向把因数有序排列。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征 ） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
）个位上是0或5的数，是5的倍数。
）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5 的最大的两位数是90，
最小的三位数是120。 同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。 ）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
2、
3、
5
的
倍
数
特
征
※拓展提高※
2的倍数：若一个整数的个位数字是0、2、4、6或8，则这个数就能被2整除。3的倍数：若一个整数的各位数字的和能被3整除，则这个整数就能被3整除。4的倍数：若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数就能被4整除。
5的倍数：若一个整数的末位是0或5，则这个数就能被5整除。
6的倍数：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
7的倍数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出
是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过
程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133
是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2
＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
8的倍数：若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
9的倍数：若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
11的倍数：两种方法：①若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11
整除，则这个数能被11整除。
②若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去
个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
如果差太大或心算不易看出是否11的倍数，就需要
继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直
到能清楚判断为止。例如，判断165是否11的倍数
的过程如下：16－5=11，所以165是11的倍数；又
例如判断2112是否11的倍数的过程如下：211－2
＝209 ， 20－9＝11，所以2112是11的倍数，余类
推。
13的倍数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看
出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的
过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断247是否13的倍数的过程如下：24+7×4=52，所以247
是13的倍数；又例如判断2496是否13的倍数的过程如下：
249+6×4＝273 ，27+3×4＝39，所以2496是13的倍数，余类推。17的倍数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看
出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的
过程，直到能清楚判断为止。例如，判断221是否17的倍数的过程
如下：22－1×5=17，所以221是17的倍数；又例如判断4318是否
17的倍数的过程如下：431－8×5＝391 ，39－1×5＝34，所以4318
是17的倍数，余类推。
19的倍数：①若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算
不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、
验差」的过程，直到能清楚判断为止。
