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第二章分解因式一．分解因式1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
2．因式分解与整式乘法是互逆关系：（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。
二．提公因式法1．如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化为两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
如，ab+ac=a(b+c).2．概念内涵：（1）因式分解的最后结果应当是“积”；（2）公因式可能是单项式，也可能是多项式；（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配率。
3．易错点：（1）注意项的符号与幂指数是否搞错，如，-ab+ac=-a(b-c), a3b+ab3=ab(a2+b2);（2）公因式是否提“干净”；（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉，如，ab+a=a(b+1)。
三．运用公式法1．如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．主要公式：（1）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)21.易错点：因式分解要分解到底：如，x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)，就没有分解到底1．因式分解的解题步骤：（1）先看各项有没有公因式，若有，先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。
四．分组分解法：1．分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
如，am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)2．概念内涵：分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过分组后是否有公因式可提，并且可以继续分解，分组后是否可以利用公式法继续分解因式。
八年级数学（下册）第二章分解因式回顾与思考复习建议•分解因式这一概念有如下几个特点：(l)结果一定是积的形式； (2)每个因式必须是整式； (3)各因式要分解到不能再分解为止．分解因式与多项式乘法是互逆的关系．这一点是本章教学的关键． • 其次，可以利用分解因式与整式乘法这种互逆关系来检验分解因式的结果是否正确．• 首先，分解因式与整式乘法这种互逆关系是分解因式各种方法的理论基础，教材中几种分解因式基本方法的引入都紧扣这一关键．多项式的乘法公式与分解因式公式实际上是同一个公式，只是用法不同，如果乘法公式掌握得好，分解因式也就容易了．教材中讲的因式分解的两种基本方法是本章的重点．要做到掌握并会运用．•教学中是按不同方法以及多项式的不同形式来分节学习多项式因式分解的，但是，这些方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就固定只能用一种方法来分解因式．例如：a2－2ab＋b2，它是一个完全平方式，但是它又可以看成a(或b)的二次三项式，可按十字相乘法来分解因式，此外还可改写成为a2－ab－ab+b2，用分组分解法来分解因式．因此，不要把学过的方法孤立地死记，而应该学会具体问题具体分析．学过的方法掌握得越熟练，就越有可能在研究具体问题的基础上，加以灵活运用．关于分解因式的结果•教材中结合例题指出：“分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止”，这是指在指定的数系范围内不能再分解为止．一般是指在有理数范围分解因式．如果要求在实数范围内分解因式，还可以把多项式x2－3进行分解.多项式分解因式题目类型较多，方法灵活，技巧性高．一要按照课标的学习要求进行学习，有些同学如果学有余力，可利用教材的“弹性”内容（B、C组和读一读以及练习册），激发对学习这部分内容的兴趣，以此来提高自己的解决问题的能力．关于分解因式的方法和步骤•把一个多项式分解因式，首先观察这个多项式的特点，选用适当的方法分解因式.•1、当所给的多项式的各项有公因式时，应先提公因式；•2、当一个多项式是两项（或可以化成两项）的平方差形式时，就选用平方差公式；•3、当一个多项式是完全平方式（或可以转化为完全平方式）时，就选用完全平方公式；•4、当一个多项式两个平方项都含有负号时，先提出负号，使括号内的多项式的平方项变为正号；•4、当多项式是二次三项式（或可以看作是二次三项式）时，通过变换，把这个多项式转化为完全平方式，再进行分解因式.结束寄语•同学们：•通过对分解因式的探索和研究，你能与同学们交流一下对的认识、理解和感受吗？•祝同学们学习愉快！。
第一章 三角形的证明第1节 等腰三角形一、全等三角形的性质与判定1、全等三角形的性质定理1 全等三角形的对应边相等。
定理2 全等三角形的对应角相等。
推论1 全等三角形的面积相等。
推论2 全等三角形的周长相等。
2、全等三角形的判定公理1 两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）公理2 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）公理3 三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）定理1 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）定理2 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
（HL ）二、等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）推论1 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
（三线合一） 推论 2 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等。
【说明】①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，周长为C ，则2b＜a ＜2C④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠C ，底角为∠A 、∠B ，则∠C ＝180°—2∠A ＝180°—2∠B ，∠A ＝∠B ＝2180A∠-︒2、等腰三角形的判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）三、等边三角形的性质与判定1、等边三角形的性质定理1 等边三角形的三条边都相等。
定理2 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边一半。
2、等边三角形的判定定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
最新北师大版八年级下册数学各章知识要点总结___版八年级数学下册各章知识点总结第一章三角形的证明全等三角形判定定理：1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
等腰三角形的性质：等腰三角形有两边相等(定义)；两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。
等腰三角形的判定：1.有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”)。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法。
直角三角形：1.直角三角形的性质：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2.直角三角形判定：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.互逆命题、互逆定理：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
第一章三角形的证明一、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线角平分线1、线段的垂直平分线。
八年级数学（下册）第二章分解因式回顾与思考复习建议•分解因式这一概念有如下几个特点：(l)结果一定是积的形式； (2)每个因式必须是整式； (3)各因式要分解到不能再分解为止．分解因式与多项式乘法是互逆的关系．这一点是本章教学的关键．• 其次，可以利用分解因式与整式乘法这种互逆关系来检验分解因式的结果是否正确．• 首先，分解因式与整式乘法这种互逆关系是分解因式各种方法的理论基础，教材中几种分解因式基本方法的引入都紧扣这一关键．多项式的乘法公式与分解因式公式实际上是同一个公式，只是用法不同，如果乘法公式掌握得好，分解因式也就容易了．教材中讲的因式分解的两种基本方法是本章的重点．要做到掌握并会运用．•教学中是按不同方法以及多项式的不同形式来分节学习多项式因式分解的，但是，这些方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就固定只能用一种方法来分解因式．例如：a2－2ab＋b2，它是一个完全平方式，但是它又可以看成a(或b)的二次三项式，可按十字相乘法来分解因式，此外还可改写成为a2－ab－ab+b2，用分组分解法来分解因式．因此，不要把学过的方法孤立地死记，而应该学会具体问题具体分析．学过的方法掌握得越熟练，就越有可能在研究具体问题的基础上，加以灵活运用．关于分解因式的结果•教材中结合例题指出：“分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止”，这是指在指定的数系范围内不能再分解为止．一般是指在有理数范围分解因式．如果要求在实数范围内分解因式，还可以把多项式x2－3进行分解.多项式分解因式题目类型较多，方法灵活，技巧性高．一要按照课标的学习要求进行学习，有些同学如果学有余力，可利用教材的“弹性”内容（B、C组和读一读以及练习册），激发对学习这部分内容的兴趣，以此来提高自己的解决问题的能力．关于分解因式的方法和步骤•把一个多项式分解因式，首先观察这个多项式的特点，选用适当的方法分解因式.•1、当所给的多项式的各项有公因式时，应先提公因式；•2、当一个多项式是两项（或可以化成两项）的平方差形式时，就选用平方差公式；•3、当一个多项式是完全平方式（或可以转化为完全平方式）时，就选用完全平方公式；•4、当一个多项式两个平方项都含有负号时，先提出负号，使括号内的多项式的平方项变为正号；•4、当多项式是二次三项式（或可以看作是二次三项式）时，通过变换，把这个多项式转化为完全平方式，再进行分解因式.结束寄语•同学们：•通过对分解因式的探索和研究，你能与同学们交流一下对的认识、理解和感受吗？•祝同学们学习愉快！。
第一章小结与复习【学习目标】1．巩固本章知识，对等腰三角形、等边三角形和直角三角形有关性质与判定有整体性认识．2．熟悉角平分线、线段垂直平分线的性质与判定，并会进行相关证明．【学习重点】等腰三角形、等边三角形和直角三角形性质与判定的应用．【学习难点】有关性质定理的熟练应用．教与学环节知道行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．情景导入生成问题知识结构框图自学互研生成能力知识模块一等腰三角形与等边三角形【自主探究】范例1：已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为10．仿例1：如图1，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( A)A．35°B．40°C．45°D．50°(图1)(图2)仿例2：如图2，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN ＝2，则OM＝5．仿例3：如图，等边△ABC中，AE＝CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.求证：BP＝2PQ.证明：∵AB＝AC，∠BAE＝∠ACD＝60°，AE＝CD，∴△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD，∵∠BAC＝∠BAP＋∠CAD＝60°，∴∠BAP＋∠ABE＝60°，∴∠BPQ＝60°，∵BQ⊥AD，∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ.学习笔记：行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成．知识模块二直角三角形范例2：Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( A)A．8 B．4 C．6 D．无法计算仿例1：如图，已知∠C＝∠FBD＝90°，FD⊥AB，垂足为点O，若使△ACB≌△DBF，还需添加的条件是答案不唯一，如AB＝DF或AC＝DB或CB＝BF．仿例2：使两个直角三角形全等的条件是( D)A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等知识模块三线段垂直平分线与角平分线范例3：在△ABC中，AB的垂直平分线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为( C)A．50°B．40°C．40°或140°D．40°或50°仿例1：如图，D是线段AB、BC垂直平分线的交点，若∠ABC＝150°，则∠ADC的大小是( A)A．60°B．70°C．75°D．80°,(仿例1题图)) ,(仿例2题图)),(仿例3题图))仿例2：如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为6．仿例3：如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( B)A．∠BAC＝70°B．∠DOC＝90°C．∠BDC＝35°D．∠DAC＝55°交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一等腰三角形与等边三角形知识模块二直角三角形知识模块三线段垂直平分线和角平分线检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
