2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用单元质量评估(含解析)新人教A版选修1-1

阶段质量检测(三)导数及其应用[考试时间：90分钟试卷总分：120分]三题号一二总分15 16 17 18得分第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是()1 1 1A.(x＋x )′＝1＋B．(log2x)′＝x2 x ln 2C．(5x)′＝5x log5e D．(x2cos x)′＝2x sin x2．已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)等于()A．－2 B．2 C．1 D．－413．一质点的运动方程为s＝20＋gt2(g＝9.8 m/s2)，则t＝3 s时的瞬时速度为()2A．20 m/s B．29.4 m/s C．49.4 m/s D．64.1 m/s4．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3 C．9 D．155．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()1 A．(0,1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D.(0，2 )6．函数y＝f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为()A．－e B．1－e C．－1 D．07．对于R上的可导函数f(x)，若(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)＜2f(1)B．f(0)＋f(2)＞2f(2)C．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)8．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值9．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为()A．1∶πB．2∶πC．1∶2D．2∶11a 10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为()b2 2A．－B．－2 C．－2或－D．不存在3 3答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间为____________________．12．求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程是______________________．13．当x∈[－1,2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是__________________．14．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)315．(本小题满分12分)设函数y＝4x3＋ax2＋bx＋5在x＝与x＝－1时有极值．2(1)求函数的解析式；(2)指出函数的单调区间．1 1－a16.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.3 2(1)求函数f(x)的单调区间；2(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围．17．(本小题满分12分)(福建高考)已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．18．(本小题满分14分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应5(－x，则当x为何值时，本年度的年利润增加，年销售量y关于x的函数为y＝3 240)2＋2x＋3最大？最大利润为多少(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)?3答案1 11．选B∵(x＋x )′＝1－；(5x)′＝5x ln5；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′x2＝2x cos x－x2sin x，∴B选项正确．2．选D∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴令x＝1得，f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.3．选B v＝s′(t)＝gt.∴当t＝3时，v＝3g＝29.4.4．选C y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.5．选D∵f′(x)＝3x2－6b，∴由f(x)在(0,1)内有极小值知，f(x)在(0,1)内先减再增，1∴Error!∴Error!∴0<b< .216．选C y′＝－1，令y′＝0，∴x＝1，列表如下xx (0,1) 1 (1，e) ey′＋0 －y －1 1－e由于f(e)＝1－e，而－1>1－e，从而y最大值＝f(1)＝－1.7．选D①若f′(x)不恒为0，当x＞1时，f′(x)≥0，当x＜1时，f′(x)≤0，∴f(x)在(1，＋∞)上为增函数，(－∞，1)上为减函数，4∴f(2)＞f(1)，f(1)＜f(0)，即f(2)＋f(0)＞2f(1)．②当f′(x)＝0恒成立时，f(2)＝f(0)＝f(1)，∴f(2)＋f(0)≥2f(1)．8．选C当x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)上是增函数，故A错；当x<0时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，故x＝0是f(x)的极大值点，即B错，同理D错；当x>4 时f′(x)<0，f(x)在(4，＋∞)上是减函数，C正确．6－x6－x 1 9．选D设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝2π，圆柱体积V＝π(2π)2x＝(x3－4π12x2＋36x)(0<x<6)，3V′＝(x－2)(x－6)．4π当0<x<2时，V′>0，当2<x<6时，V′<0.当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4，(6－x)∶x＝4∶2＝2∶1.10．选A∵f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴由题意知f′(1)＝3＋2a＋b＝0，∴b＝－3－2a①又f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10②将①代入②整理得a2＋8a＋12＝0，解得a＝－2或a＝－6.当a＝－2时，b＝1；当a＝－6时，b＝9.经检验得，a＝－2，b＝1不符合题意，舍去．a 2∴＝－.b 311．解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，1 4x2－1 1令f′(x)＝4x－＝＞0，得x＞.x x 21即函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)21 答案：(，＋∞)212．解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20－2.∴切线方程为y－y0＝(3x20－2)·(x－x0)．①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)． 1解得 x 0＝1或 x 0＝－ .2 故所求的切线方程为5y ＋1＝x －1或 y ＋1＝－ (x －1)，4 即 x －y －2＝0或 5x ＋4y －1＝0. 答案：x －y －2＝0或 5x ＋4y －1＝0 13．解析：记 f (x )＝x 3－x 2－x ， ∴f ′(x )＝3x 2－2x －1， 1令 f ′(x )＝0得 x ＝－ 或 x ＝1.315又 f (－3 )＝，f (2)＝2，f (－1)＝－1， 27f (1)＝－1，∴当 x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝2，∴m ＞2. 答案：(2，＋∞)14．解析：设该公司一年内总共购买 n 次货物， 400 则 n ＝ ， x∴总运费与总存储费之和 1600 f (x )＝4n ＋4x ＝ ＋4x ，x 1600令 f ′(x )＝4－＝0，解之得 x ＝20. x 2当 0<x <20时 f ′(x )<0， 当 20<x <400时，f ′(x )>0， 故当 x ＝20时，f (x )最小． 答案：2015．解：(1)f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5， 则 f ′(x )＝12x 2＋2ax ＋b . 据题意有 Error!即Error! 解之得 a ＝－3，b ＝－18. 因此 f (x )＝4x 3－3x 2－18x ＋5.3(2)令12x2－6x－18>0，得x<－1或x> ，即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，23(，＋∞)，23令12x2－6x－18<0，得－1<x< ，23(－1，2).因此，函数f(x)的单调递减区间为16．解：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(－∞，(－1，(a，x －1 a－1) a) ＋∞)f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) 极大植极小值故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，必须满足1Error!解得0＜a＜.31 所以，a的取值范围是(0，)．317．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，af′(x)＝1－.x(1)当a＝2时，f(x)＝x－21n x，2f′(x)＝1－(x＞0)，x所以f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.a x－a(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0可知：x x①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，因为x∈(0，a)时，f′(x)＜0，7x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值．当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．18．解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为：f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y5＝(3－0.9x)×3240×(－x3)2＋2x＋＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，5由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，95当x∈(0，9 )时，f′(x)>0，f(x)是增函数；5当x∈(，1 )时，f′(x)<0，f(x)是减函数．95 5所以当x＝时，f(x)取最大值，f( )＝20 000.9 95所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．98。

第三章函数的应用单元质量评估(90分钟120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)Jx2 + 2x - 3.x < 01. (2017 •哈尔滨高一检测)函数f(xj Y +山兀* > °的零点个数为* 1( ) A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.当x < 0时，令x2+2x-3=0,得x=-3;当x>0时，令-2+1 nx=0,得x=e2.所以函数有两个零点.2. 已知函数f(x)=a x-2(a>0，a 丰 1)，f(x o)=0 且x o€ (0,1)，贝U ( )A.a=2B.1<a<2A .C.a>2D.a > 2【解析】选C.因为x o€ (0,1)，所以f(0) • f(1)<0，即(1-2)(a-2)<0, 所以a>2.3. 下列是关于函数y=f(x),x € ［a,b］的几种说法：①若x o €［a,b］且满足f(x 0)=0,则(x 0,0)是f(x)的一个零点;②若X。

是f(x)在［a,b］上的零点，则可用二分法求X。

的近似值；宀③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值.以/那么以上叙述中，正确的个数为()A.0B.1C.3D.4【解析】选A.因为①中x°€ ［a,b］且f(x 0)=0,所以x°是f(x)的一个零点，而不是(x 0,0),所以①错误；②中因为函数f(x)不一定连续，所以②错误；③中方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点，所以③错误；④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④也错误.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内的零点的个数为()2+45.606(0 < x < 15 且 x € N).所以当x=10时丄取得最大值，即获得最大利润， 2L max =-0.15 X 10 +3.06 X 10+30=45.6(万兀).【误区警示】本题易错在直接把 L i 和L 2相加作为总利润，另外求最大值时要根据实际意义取 整数值.7.(2017 •合肥高一检测)若方程x 2-mx+3=0的两根满足一根大于 1, 一根小于1,则m 的取值范围是2厂*=-0.15x +3.06x+30=-0.15(x-10.2)A.OB.1C.2D.3【解析】 选C.由题意可知f(x)的定义域为(0,+ o ).在同一直角坐标系中画出函数y i =|x-2|(x>0),y 2=lnx(x>0)的图象，如图所示： 2.由图可知,函数f(x)在定义域内的零点个数为 5.下列给出的四个函数 f(x)的图象中能使函数 没有零点的是1个单位后，只有选项C 中的图象与x 轴无交点. W _ 2 ,利润(单位：万元)分别为L 1=5.06x-0.15x 丄2=2X , y=f(x)-1 【解析】 选C.把y=f(x)的图象向下平移6.某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车 其中x 为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售 15辆车,则能获得的最大利润为() A.45.606 万元 B.45.6 万元 C.46.8万元 D.46.806 万元【解析】 选B.设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x)辆, 则总利润 L=L 1+L 2=5.06x -0.15x g A.(2,+ oo)B.(0,2)C.(4,+ oo) D.(0,4)2【解析】 选C.令f(x)=x -mx+3,根据题意可知f(1)<0,即1-m+3<0,所以m>4. 8.某桶装水运营部每天的房租、 人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单设销售单价在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，且y=ax 2+bx+c(a 0).则该运营部要想获得最大利润，每桶水的销售单价在进价的基础上应增 加() A.3 元B.4 元C.5 元D.6.5 元【解析】选D.由题意可知每桶水的销售单价在进价的基础上增加 480-40(x+5-6)=(520-40x) 桶. 故 y=x(520-40x)-200 2=-40x +520X-200 2 =-40(x -13x)-200=-40 ' +1490.13易知当 x='时,y maF 1490.故该运营部要想获得最大利润，每桶水的销售单价在进价的基础上应增加 9. 下列函数中，随着x 的增大，其增大速度最快的是 ( )xA.y=0.001eB.y=1000InxC.y=x 1000D.y=1000 • 2x【解析】选A.增大速度最快的应为指数型函数 ，又因为e 〜2.718>2,故y=0.001e x 增大速度最快.10. 有浓度为90%勺溶液100g,从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%, 这种操作至少应进行的次数为 (参考数据:lg2=0.3010, lg3=0.4771)( )x 元时，日均销6.5 元.A.19B.20C.21D.22幷+1 冷+1【解析】选C.操作次数为n 时的浓度为"①,由"① <10%,得-19 -1 lg -----------------n+1> - k" "〜21.8,所以 n 》21. A.y=2x B.y=x -1C.y=2x-2D.y=log 2x【解析】 选D.将x=0.50,y=-0.99 代入计算，可以排除A;将x=2.01,y=0.98,代入计算，可以排除B,C. 12.(2017 •成都高一检测)记[X]表示不超过 x 的最大整数，如[1.3]=1,[-1.3]=-2. 记函数 ,(W ...f(x)=x-[x], 若方程1-f(x)=logax 有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为 ()A.(3,4]B.[3,4)C.[2,3)D.(2,3]【解析】选B.由题意得：方程1-f(x)=1+ [x]-x, 所以方程1-f(x)=logax 有且仅有3个实数根，■ ............... _ ......................................即1+[x]-x=logax 有且仅有3个实数根，即函数y=1+ [x]-x 和函数y=log a x 的图象有二个不同的交点，分别作出两函数的图象，如图所示，要使得函数y=1+[x]-x 和函数y=log a x 的图象有 Z 牛】三个不同的交点，则log a 3 W 1,且log a 4>1,解得3< a<4,故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13. ___________________________________________ (2017 •兰州高一检测)用二分法求方程 x 3+4=6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间 (0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为 .x 0.50 0.99 2.01 3.98 y-0.990.010.982.0011.在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如表:则对x,y 最适合的拟合函数是 ( )2#丄 、■!【解析】设f(x)=x 3-6X2+4, 显然f(0)>0,f(1)<0,答案：1 15.（2017 •成都高一检测）某产品的总成本 y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是 y=0.1x 3 4-11x+3000,若每台产品的售价为25万元，则当产品的利润取最大值时，产量x 等于【解析】产量为x 台，设利润为S 万元， 则 S=25x-y=25x-（0.1x 2-11x+3000） 2=-0.1x +36x-3000 4=-0.1（x-180） +240,则当x=180时,产品的利润取得最大值. 答案:18016. （2015 •四川高考）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系所以下一步可断定方程的根所在的区间为_ _ 314. （2017 •衡水高一检测）已知增函数 f （x ）=x +bx+c,x € [-1,1], f （x ）的零点的个数为 ________ .【解析】因为函数f （x ）=x 3+bx+c 是增函数，所以函数f （x ）=x 3+bx+c 至多有一个零点-6 x故f （x ）的零点的个数为1.y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数）.若该食品在0C的保鲜时间是192小时,在22 C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C 的保鲜时间是小时•【解题指南】把题中两组时间与温度的值代入函数解析式12、“ z 33k+b , 11k 、3 b J当 x=33 时,y=e =(e ) e = 答案：24三、解答题(本大题共4个小题，共40分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10分)(2017 •金华高一检测)证明：方程Inx+2x-6=0在［2,e ］内有根• 【证 明】 令f(x)=l nx+2x-6, 由于f(x)在［2,e ］内是一条连 续曲线，且有 f(2)=l n2+4-6=I n2-2<0, f(e)=ln e+2e-6=2e-5>0,/所以f(x)=Inx+2x-6 在［2,e ］内有零点， 即方程Inx+2x-6=0 在［2,e ］内有根.A18. (10分)若二次函数f(x)=-x 2+2ax+4a+1有一个零点小于-1, 一个零点大于 3,求实数a 的 Ji 取值范围.2【解析】因为二次函数f(x)=-x+2ax+4a+1的图象开口向下，且在区间ff( - 1) > 0,(-a ,-1),(3,+ a )内各有一个零点，所以(-l)2-2a + 4日+ 1 At), 3 + 2a x 3 + 4a + 1 > 0,•解得 a>5.19. (10分)(2017 •孝感高一检测)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调【解析】由题意得r192 =』 ；48 = e 22k+ b解得,利用方程思想x 192=24.I f(3) > 615000元.旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算 ：若旅游团的人数为30人或30人 查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x(单位：分钟)之间的关系 满足如图所示的图象,当x € (0,12］时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点 A(10,80),过点B(12,78);当x € ［12,40］时,图象是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳(1) 试求y=f(x)的函数关系式. (2) 教师在什么时段内安排核心内容127【解析】(1)当 x € (0,12］时,设 f(x)=a(x-10)+80,过点(12,78),代入得，a=-',1则 f(x)=-(x-10) 2+80,则函数关系式为「|(X -10)2+ 80I X G(O I 12L1 -x + 90y xG (12,401 ・f(x)=r 0 <x < 12,12--(x-10) + 80 > 62⑵由题意得，r12 <x<40, 或・ + 90>62.得 4<x W 12 或 12<x<28,即 4<x<28,则老师在x € (4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 【补偿训练】(2017 •荷泽高一检测)旅行社为某旅游团包飞机旅游 ，其中旅行社的包机费为 以下,每张飞机票的价格为 900元;若旅游团的人数多于 30人，则给予优惠，每多1人，每张机 票的价格减少10元,但旅游团的人数最多有 75人.,能使得学生学习效果最佳 ？请说明理由当 x € ［12,40］时,设 y=kx+b,由过点 B(12,78),C(40,50)卞=-1,得'‘即 y=-x+90,(1) 写出飞机票的价格关于旅游团的人数的函数关系式(2) 旅游团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润•【解析】(1)设旅游团人数为x,飞机票价格为y元.当30<x< 75时,y=900-10(x-30)=-10x+1200. 故所求函数为: 900(1 <x< 30,x E心、10x+ 1 200(30 <x< 75,x e N).y=⑵设利润函数为f(x),则f(x)=y • x-15000=: 900x - 15 000(1 <x< 30;x G N), $'[- 10x^ + 1 200x - 15 000(30 <x< 75,x G N)J当 1 w x w 30 时,f(x) max=f(30)=12000;当30<x w 75 时,f(x) max=f(60)=21000>12000.丄故旅游团的人数为60时,旅行社可获得最大利润•20. (10分)今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓为此,某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染•已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间込J丿的关系为P(t)=P*e (P o,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标] 一、选择题1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x【解析】∵y＝sin x＋cos x，∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x．故选D. 【答案】 D2．函数y＝(x＋1)(x－1)的导数等于()A．1B．－1 2xC.12x D．－14x【解析】因为y＝(x＋1)(x－1)＝x－1，所以y′＝x′－1′＝1. 【答案】 A3．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为() A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2【解析】∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.故选A.【答案】 A4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) 【导学号：25650118】A ．3B ．2C ．1D.12【解析】 因为y ′＝x 2－3x ，所以由导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．【答案】 A5．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．故选B.【答案】 B 二、填空题6．已知f (x )＝52x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________. 【解析】 因为f ′(x )＝5x ，g ′(x )＝3x 2，所以5x －3x 2＝－2，解得x 1＝－13，x 2＝2.【答案】 －13或2 7．若曲线处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.【解析】【答案】 648．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．【解析】 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1.【答案】 1 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝e x ＋1e x －1.【解】 (1)法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1， y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程.【导学号：25650119】【解】 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ， 所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为：y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. [能力提升]1．函数y ＝x 2cos x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos x －x 2sin x B ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x C ．y ′＝x 2cos x －2x sin xD ．y ′＝x cos x －x 2sin x【解析】 y ′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【答案】 A2．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，∴f ′(1)∈[2，2]． 【答案】 D3．已知f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，则f ′(0)＝________. 【解析】 因为f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，所以f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋3)(x ＋4)·(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5＝120. 【答案】 1204．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 【导学号：25650120】【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为：y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x－x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为 12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是( )A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”答案： C2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是( )A．如果x＜a2＋b2，那么x＜2ab B．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2＋b2 D．如果x≥a2＋b2，那么x＜2ab答案： C3．若k可以取任意实数，则方程x2＋ky2＝1所表示的曲线不可能是( )A．直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线解析：本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax2＋By2＝c所表示的圆锥曲线问题，对于k＝0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x2＋ky2＝1不可能表示抛物线．答案： D4．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为( ) A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)解析：f′(x0)＝3x02＋1＝4∴x0＝±1答案： C5．在下列结论中，正确的结论为( )①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件④“¬p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A．①②B．①③C．②④D．③④解析：p且q为真⇒p真且q真⇒p或q为真，故①正确．由¬p为假⇒p为真⇒p或q为真，故③正确．答案： B6．下列结论正确的个数是( )(1)命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题； (2)命题“任意x ∈R ，x 2＋1＜0”是全称命题；(3)若p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则q ：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是全称命题． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析： (1)是全称命题，故(1)不正确；(2)是全称命题，正确；(3)既不是全称命题也不是特称命题，不正确．故选B.答案： B7．设a ∈R ，则a ＞1是1a ＜1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由a ＞1可以推出1a ＜1，反过来由1a ＜1可以得出a ＜0或a ＞1.答案： A8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32D.54解析： 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 12＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52.故选B. 答案： B9．函数f(x)＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A ．a ＞0 B ．a ≥0 C ．a ＜0D ．a ≤0解析： 函数有极值，即其导数值可等于0，f ′(x)＝3ax 2＋1＝0，∴x 2＝－13a ，∴a ＜0.又∵a ＝0时，f(x)＝x ＋1无极值，∴a ＜0.答案： C10．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与椭圆的两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的标准方程为( )A.x 212＋y29＝1 B.x 29＋y212＝1 C.x 212＋y 29＝1或y 212＋x29＝1 D.x 216＋y212＝1 解析： 因为短轴的一个端点与椭圆的两个焦点组成一个正三角形，所以2c ＝a ，又因为a －c ＝3，可知c ＝3，a ＝23，所以b ＝a 2－c 2＝3.所以这个椭圆的标准方程为x212＋y 29＝1或y 212＋x29＝1. 答案： C11．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，如果p 且q 、非q 同时为假，则满足条件的x 为( )A ．{x|x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}解析： ∵p 且q 假，非q 为假，∴p 假q 真，排除A ，B ，p 为假，即|x －1|＜2， ∴－1＜x ＜3且x ∈Z.∴x ＝0,1,2. 答案： D12．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π解析： 设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π.圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2·x ＝14π(x 3－12x 2＋36x)，0＜x ＜6，V ′＝34π(x －2)(x －6)，当x ＝2时，V 最大．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．命题“若ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是______．解析： 将原命题的结论和条件的否定分别作为命题的条件和结论，即为其逆否命题． 答案： 若a ，b 至少有一个为零，则ab 为零14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________． 解析： 由题意知c ＝4，e ＝c a ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12，双曲线的方程为x 24－y212＝1.答案： x 24－y212＝115．函数f(x)＝a ＋ln xx (a ∈R)的导数等于________．答案： f ′(x)＝1－(a ＋ln x )x 216．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则A B ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)． 解析： ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题． 如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)有|a|＝|b|＝2，但a ≠b.③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m ＜0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m ＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题． 答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的充分不必要条件． ∴{x|1≤x ≤2}{x|a ≤x ≤a ＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥2，∴0≤a ≤1.18．(12分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时，f(x)的极大值为7；当x ＝3时，f(x)有极小值．求：(1)a ，b ，c 的值； (2)函数f(x)的极小值．解析： (1)∵f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， ∴f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ， 而x ＝－1和x ＝3是极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0f ′(3)＝27＋6a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－9.又f(－1)＝－1＋a －b ＋c ＝－1－3＋9＋c ＝7， 故得c ＝2.(2)由(1)可知f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋2，而x ＝3是它的极小值点， 所以函数f(x)的极小值为－25.19．(12分)已知动圆过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，与直线x ＝－p 2相切，其中p ＞0，求动圆圆心的轨迹方程．解析： 如图，设M 为动圆圆心，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0记为点F.过点M 作直线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，由题意知|MF|＝|MN|，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－p2的距离相等，由拋物线的定义，知点M 的轨迹为拋物线，其中F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为其焦点，x ＝－p 2为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝2px(p ＞0)．20．(12分)某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解析： (1)由题意，每年产销Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元． 销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%. ∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费 ＝12(32Q ＋3－x)＝12(32×3x ＋1x ＋1＋3－x) ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．∴所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．当x ＝100时，y<0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)由y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)可得101(101－x )2＝34⇒x ≈89.4，但产品个数必须是自然数，因此产品个数应是89或90件．又由于T(89)≈79.11A ，T(90)≈79.09A ，所以每日生产89件将获得最大利润． 21．(12分)设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a.(1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解析： (1)f ′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x)＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x)＜0； 当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以当x ＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a ，故当f(2)＞0或f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根． 解得a ＜2或a ＞52.22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F(c,0)(c ＞0)，x轴上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0且满足|OF|＝2|FA|，其中a 为长半轴长，过点A 的直线与该椭圆相交于P ，Q 两点．求：(1)该椭圆的方程及离心率； (2)若OP →·OQ →＝0，求直线PQ 的方程．解析： (1)依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y22＝1(a ＞2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ，解得⎩⎨⎧a ＝6，c ＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，离心率e ＝63.(2)由(1)可得点A(3,0)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设为k ， 则直线PQ 的方程为y ＝k(x －3)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －3)，得(3k 2＋1)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，依题意知，Δ＝12(2－3k 2)＞0，得－63＜k ＜63. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18k 23k 2＋1，x 1x 2＝27k 2－63k 2＋1，从而得y 1＝k(x 1－3)，y 2＝k(x 2－3)，于是y 1y 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)． 因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 解得5k 2＝1，从而k ＝±55∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63， 所以直线PQ 的方程为x －5y －3＝0或x ＋5y －3＝0.。