江苏大学高等数学(第一学期)上

大一上高等数学知识点归纳大一上学期的高等数学是大学数学的基础课程之一，它包含了许多重要的数学知识点，建立了学生的数学思维和分析能力。

本文将从微积分、线性代数和解析几何三个方面对大一上学期的高等数学知识点进行归纳和总结。

一、微积分微积分是数学中的一门基础且重要的学科，它研究的是函数的变化率和积分。

大一上学期的微积分主要包括导数和积分两个部分。

1. 导数导数是函数变化率的度量，它描述了函数在某一点上的变化趋势。

在大一上学期，我们学习了一元函数的导数计算、求导法则和高阶导数。

通过导数，我们可以研究函数的极值、凹凸性和曲线的形状，并解决实际问题，比如最优化问题、速度与加速度等。

2. 积分积分是导数的逆运算，它求解了函数的原函数或定积分。

大一上学期，我们学习了定积分的计算、求积分法则和不定积分。

通过积分，我们可以求解区域的面积、曲线的弧长和物体的体积，还可以解决实际问题，比如求解变化率、质量和平均值等。

二、线性代数线性代数是数学中研究向量空间和线性映射的学科，它在数学和工程领域有广泛的应用。

大一上学期的线性代数主要包括向量、矩阵和线性方程组三个部分。

1. 向量向量是用来表示大小和方向的量，大一上学期我们学习了向量的运算、内积和外积。

通过向量，我们可以描述空间中的直线、平面和体积，还可以解决实际问题，比如力的合成与分解、平面的方程和几何问题等。

2. 矩阵矩阵是一个按照矩形排列的数表，大一上学期我们学习了矩阵的基本运算、矩阵的逆和行列式。

通过矩阵，我们可以解决线性方程组的求解、解析几何的计算、图像处理和网络优化等问题。

3. 线性方程组线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，大一上学期我们学习了线性方程组的求解方法、矩阵的行阶梯形和向量空间的概念。

通过线性方程组，我们可以求解多元线性方程的解集、编码和解码问题等。

三、解析几何解析几何是数学中研究几何图形和代数方程的关系的学科，它将几何问题转化为代数问题进行研究。

第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分)求极限　lim x x x x x x →-+-+-23321216291242、(本小题5分).d )1(22x x x⎰+求3、(本小题5分)求极限lim arctan arcsinx x x →∞⋅14、(本小题5分)⎰-.d 1x x x 求5、(本小题5分)．求dt t dx d x ⎰+2021 6、(本小题5分)⎰⋅.d csc cot 46x x x 求7、(本小题5分)．求⎰ππ2121cos 1dx x x8、(本小题5分)设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t==⎧⎨⎪⎩⎪=cos sin (),229、(本小题5分)．求dx x x ⎰+3110、(本小题5分)求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分)．求⎰π+202sin 8sin dx x x12、(本小题5分)．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,22614、(本小题5分)求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分)求极限lim()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--12131101101111222216、(本小题5分).d cos sin 12cos x x x x⎰+求二、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分),,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿2、(本小题7分).8232体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y ==三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→limx xx 261218 =2 2、(本小题3分)⎰+xx xd )1(22⎰++=222)1()1d(21x x =-++12112x c .3、(本小题3分)因为arctan x <π2而lim arcsin x x →∞=1故lim arctan arcsin x x x →∞⋅=14、(本小题3分)⎰-x x xd 1xx x d 111⎰----=⎰⎰-+-=x xx 1d d=---+x x c ln .1 5、(本小题3分)原式=+214x x6、(本小题4分)⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x=--+171979cot cot .x x c7、(本小题4分)原式=-⎰cos ()1112x d x ππ=-sin112xππ=-1 8、(本小题4分)解： dy dx e t t e t t t t t =+-22222(sin cos )(cos sin ) =+-e t t t t t t (sin cos )(cos sin )22229、(本小题4分)令　1+=x u原式=-⎰24122()u u du=-2535312()u u =11615 10、(本小题5分)),(+∞-∞函数定义域 01)1(222='=-=-='y x x x y ，当(][)+∞<'>∞->'<,1011,01函数的单调减区间为，当函数单调增区间为，　当y x y x 11、(本小题5分)原式=--⎰d x x cos cos 9202π=-+-163302lncos cos x x π=162ln 12、(本小题6分)dx x t dt ='()[]dt t k t k e kt ωωωωsin )34(cos )34(+--=-　13、(本小题6分)2265yy y y x '+'='=+y yx y 315214、(本小题6分)定义域，且连续(),-∞+∞'=--y e e x x 2122()驻点：x =1212ln由于''=+>-y e e x x 2022)21ln 21(,,=y 故函数有极小值15、(本小题8分)原式=++++++++--→∞lim()()()()()()x x x x x x x 112131*********2222=⨯⨯⨯⨯=1011216101172 16、(本小题10分)dxxxdx x x x ⎰⎰+=+2sin 2112cos cos sin 12cos :解⎰++=xx d 2sin 211)12sin 21( =++ln sin 1122x c二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 x xL x x x ,,()51225120=+> '=-=L x x 2512162 唯一驻点 ''=>=L x x 10240163 即为极小值点故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省165121632,,=(完整word 版)大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案2、(本小题8分)解 :,,.x x x x x x 232311288204====V x x dx x x dxx =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰ππ()()()223204460428464=⋅-⋅π()1415164175704x x π=-π=35512)7151(44三、解答下列各题 ( 本 大 题10分 )证明在连续可导从而在连续可导:()(,),,[,];,.f x -∞+∞03 又f f f f ()()()()01230====则分别在上对应用罗尔定理得至少存在[,],[,],[,](),011223f x ξξξξξξ1231230112230∈∈∈'='='=(,),(,),(,)()()()使f f f 即至少有三个实根'=f x (),0,,,0)(它至多有三个实根是三次方程又='x f由上述有且仅有三个实根'f x ()高等数学（上）试题及答案一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 2=+→xx x 。

高数期末知识点大一上学期高等数学是大一上学期的一门重要课程，主要涵盖了微积分的基础知识。

在期末考试前，理解和掌握好以下几个重要的知识点对于取得好成绩至关重要。

1. 函数与极限函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了数值之间的依赖关系。

函数的概念和性质是微积分的基础，包括函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。

在函数的研究中，极限是一个关键的概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

学习中需要关注极限的定义、性质和计算方法，包括数列的极限和函数的极限。

2. 导数与微分导数是函数变化率的一种度量，可以理解为函数在某一点的瞬时变化速率。

导数的计算方法主要有基本的导数公式、求导法则和高阶导数的计算方法。

微分是导数的一种应用，通常可以用来求函数的增减性、极值点和函数的曲线图。

3. 不定积分与定积分不定积分是求原函数的反向运算，也称为不定积分或者积分常数。

学习不定积分时，需要掌握基本的积分公式和求积分的方法，如分部积分法和换元积分法。

定积分是求函数曲线下的面积，具有几何和物理上的应用，需要学习积分的定义、性质和计算方法。

4. 微分方程微分方程是描述变化过程的数学方程，它是应用数学中的重要工具之一。

学习微分方程时，需要了解一阶和二阶微分方程的基本形式、求解方法和初值问题的求解步骤。

掌握微分方程的解法，可以应用于许多实际问题的求解，如生物学、物理学和工程学等领域。

5.级数与数项级数级数是无穷个数的和，数项级数是级数的一种常见形式。

学习数项级数时，需要了解级数的定义、性质和收敛判别法。

特别是数项级数的常用收敛判别法，如比值判别法、根值判别法和积分判别法等。

以上是高等数学高数期末考试中的重要知识点，希望同学们能够认真复习，理解掌握这些知识点，并通过大量的习题练习加深对知识的理解和记忆。

只有牢固掌握了基础知识，才能更好地应对考试，取得优异的成绩。

祝同学们顺利通过高数期末考试！。

大一上册高等数学知识点在大一上学期的数学课程中，我们将接触到一些高等数学的基础知识。

这些知识点涵盖了微积分、数学分析等方面，将为我们今后学习更高级的数学知识奠定坚实的基础。

下面我们一起来了解一些重要的高等数学知识点。

一、极限与连续在微积分学中，极限与连续是最基础也是最重要的概念之一。

极限的概念使我们能够精确地描述数列或函数在无穷接近一个值时的行为。

连续的概念则描述了函数图像上没有突变的特性。

学好极限与连续的理论，对我们后续的微积分学习非常关键。

二、导数与微分导数是微积分的核心概念，也是微积分的基础。

导数可以理解为一个函数在某一点上的变化率，它描述了函数图像的切线斜率。

微分则描述了函数图像在某一点上的局部线性逼近。

导数和微分的应用范围极广，不仅在数学中有重要的应用，还在物理、经济等领域中发挥着重要的作用。

三、积分学积分学是微积分的另一个重要分支，它与导数有着密切的联系。

积分可以看作是导数的逆运算，它代表了函数图像下面所围成的面积。

定积分可以求解区间上函数的面积、曲线的弧长、体积等问题，因此具有广泛的应用价值。

对于学习物理学、工程学等学科的同学来说，积分学更是必不可少的知识点。

四、多元函数与偏导数在高等数学的学习中，我们将接触到多元函数与偏导数的概念。

多元函数是以多个自变量为输入的函数，它们在数学、物理学等领域中具有重要的应用。

对多元函数求导时，我们需要使用偏导数的概念，它将某个自变量当作常数，将其余自变量视为变量进行求导。

多元函数和偏导数的学习将有助于我们理解和解决复杂的实际问题。

五、级数级数是高等数学中又一个重要的概念，它是无穷项数列的和。

级数的收敛性和敛散性是级数理论的重要内容，也是数学分析的核心之一。

学习级数的理论，将帮助我们更好地理解无穷和无穷项数列的性质。

通过以上的简要介绍，我们对大一上册高等数学的知识点有了初步的了解。

当然，仅仅靠文字的描述远远不够，我们还需要通过课堂上的学习、习题的练习以及实际问题的应用来深入理解和掌握这些知识。

大一高数上册知识点一、函数与映射1. 函数的定义与性质函数是一种特殊的映射关系，具有以下性质：- 定义域与值域：函数的定义域是指所有输入自变量的取值范围，而值域是函数所有可能的输出值的范围。

- 单射性与满射性：若对于不同的自变量，函数的值也不相同，则函数为单射函数；若函数的值域等于其定义域，则函数为满射函数。

- 反函数：若函数f的定义域与值域分别改为值域与定义域，且对于原函数中的每对自变量和因变量，它们的位置互换，则得到函数f的反函数。

2. 基本初等函数- 线性函数：y = kx + b，其中k和b为常数。

- 幂函数：y = x^a，其中a为实数常数。

- 指数函数：y = a^x，其中a为大于0且不等于1的实数常数。

- 对数函数：y = log_a(x)，其中a为大于0且不等于1的实数常数。

- 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

3. 复合函数复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，用来描述多个函数相互作用的关系。

二、数列与极限1. 数列的定义与性质数列是由一系列有序的数所构成的序列，具有以下性质：- 递推公式：数列中的每一项通过一个递推公式与前一项产生关系。

- 通项公式：数列中的第n项可通过一个通项公式直接计算得出。

2. 数列的极限数列的极限是指数列在无穷项之后的某个位置，数列的值逐渐趋近于某个常数或无穷大。

三、导数与微分1. 导数的概念与基本性质导数表示函数在某一点处的变化率，具有以下性质：- 导数的定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h- 导数的几何意义：导数为函数在某一点处切线的斜率。

- 导数的运算法则：包括常数因子法则、和差法则、乘积法则、商法则和链式法则。

2. 微分的概念与应用微分是导数的一个重要应用，用来描述函数在某点附近的变化情况：- 微分的定义：dy = f'(x)dx，表示函数f(x)在点(x, f(x))附近的一个线性近似。

大一高数上册必考知识点一、函数与极限在大一高数上册中，函数与极限是学习的重点和基础。

学生需要了解以下几个必考知识点：1. 函数的定义与性质：函数的定义、定义域、值域、自变量、因变量等基本概念。

此外，还要了解一些特殊函数的性质，如一次函数、二次函数、常函数、反函数等。

2. 极限的定义与性质：了解极限的定义和符号表示，掌握极限存在与不存在的判定方法。

此外，还要熟悉一些常用的极限性质，如四则运算的极限、极限的唯一性等。

3. 无穷大与无穷小：理解无穷大和无穷小的概念及其性质。

掌握无穷小的比较、运算和性质。

4. 函数的连续性：了解连续函数的定义和性质，掌握函数连续性的判定方法，如极限存在的性质、闭区间上连续函数的性质等。

二、导数与微分导数与微分是大一高数上册的另一个重要内容，学生需要掌握以下必考知识点：1. 导数的概念和性质：了解导数的定义和符号表示，理解导数的几何意义和物理意义。

掌握导数与函数图像的关系，掌握导数的运算法则。

2. 可导性与连续性的关系：了解可导函数与函数的连续性的关系，掌握可导函数的判定方法。

3. 微分的概念与运算：了解微分的定义和性质，掌握微分的运算法则，如函数和的微分、函数积的微分、复合函数的微分等。

4. 高阶导数与高阶微分：理解高阶导数和高阶微分的概念，掌握高阶导数和高阶微分的定义和计算方法。

三、曲线图形与极值曲线图形与极值是大一高数上册的另一个考查重点，以下是必考知识点：1. 曲线的绘制和性质：学生需要掌握曲线的绘制方法，了解曲线的对称性、奇偶性等性质。

2. 函数的单调性与增减性：理解函数的单调性和增减性的概念，掌握单调性与增减性的判定方法。

3. 驻点与极值：了解驻点和极值的概念，掌握极值与导数的关系，掌握极值的判定方法。

四、不定积分与定积分不定积分和定积分也是大一高数上册必考的内容，以下是必考知识点：1. 不定积分的概念和性质：了解不定积分的定义和性质，掌握常用函数的不定积分表达式，如多项式函数、三角函数、指数函数等。

大一高数上半册知识点
高等数学是大一学生所学的一门重要课程，主要包括高等数学上半册和下半册。

本文将着重介绍大一高数上半册的一些重要知识点，帮助学生更好地理解和掌握这门课程。

1. 函数与极限
1.1 函数的概念与性质
1.2 函数的图像与性质
1.3 函数的极限与连续性
1.4 极限的概念与性质
1.5 极限计算的方法和技巧
2. 导数与微分
2.1 导数的定义与几何意义
2.2 常见函数的导数
2.3 导数的四则运算法则
2.4 高阶导数与隐函数求导
2.5 微分的定义与运用
3. 微分中值定理与导数应用
3.1 极值与最值
3.2 四种常见函数的最值
3.3 平均值定理与洛必达法则 3.4 Taylor公式与泰勒展开 3.5 函数图像的绘制与分析
4. 积分与不定积分
4.1 积分的定义与性质
4.2 基本初等函数的积分
4.3 微元法与分部积分
4.4 定积分的概念与性质
4.5 反常积分与面积计算
5. 定积分的应用
5.1 曲线长度与曲率
5.2 弧长与曲线的参数方程
5.3 旋转体的体积与曲面积
5.4 质心与重心
5.5 路程与功
6. 微分方程
6.1 方程、解与初值问题
6.2 可分离变量方程
6.3 齐次方程与常数变易法
6.4 一阶线性常系数齐次方程
6.5 高阶线性常系数非齐次方程
以上是大一高数上半册的一些重要知识点，通过深入学习和掌握这些知识点，学生们将能够更好地理解高等数学的基础概念和方法，为后续学习打下坚实的基础。

希望本文能对大一学生们的学习有所帮助。

大学大一上册高数知识点归纳在大一上学期，学习高等数学是我们大学生活的一部分。

高等数学是一门基础且重要的学科，对于我们今后的专业学习以及数学思维的培养都有着至关重要的作用。

下面，我将对大学大一上学期高等数学的知识点进行归纳总结。

一、函数与极限1. 函数与映射：函数的定义与性质，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的图像与性质。

2. 极限的概念与性质：数列极限、函数极限的定义与运算法则，极限存在准则，无穷小量与无穷大量的概念与性质。

二、导数与微分1. 导数的概念与计算：导数的定义、导数运算法则，高阶导数，隐函数求导，参数方程求导。

2. 微分学的应用：局部线性化与微分，函数的单调性、凹凸性与极值，最值问题，中值定理与罗尔定理。

三、积分与定积分1. 不定积分的概念与计算：原函数与不定积分的关系，不定积分的运算法则，分部积分法，换元积分法。

2. 定积分的概念与性质：定积分的定义与运算法则，区间上的平均值与中值定理，面积与曲线长度的计算。

四、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：常微分方程的定义，解的概念与解的存在唯一性定理。

2. 一阶常微分方程：可分离变量方程、线性方程、齐次方程及其应用。

3. 二阶常微分方程：常系数齐次线性方程、常系数非齐次线性方程及其特解的求法。

五、级数与幂级数1. 数项级数与收敛性：级数的概念与性质，正项级数、交错级数、绝对收敛、条件收敛的判别法。

2. 幂级数：幂级数的收敛半径与收敛域，和函数的概念，常见幂级数的展开与求和。

这些是大学大一上学期高等数学的主要知识点归纳，通过对这些知识的学习和理解，我们可以奠定扎实的数学基础，并为今后的学习打下坚实的基础。

希望同学们能够重视这门学科，认真学习，掌握好每一个知识点，提升自己的数学素养。

大一高数知识点总结上册一、导数与微分在大一高数的学习中，导数与微分是其中的重要知识点。

导数和微分是解决实际问题中变化率和极值问题的有力工具。

1. 导数的定义与计算方法导数是函数变化率的极限值，用于描述函数在某一点上的切线斜率。

导数的计算可以使用以下方法：- 利用导数的定义进行计算；- 使用求导法则，包括常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则、商法则等。

2. 导数的几何意义和物理意义导数的几何意义是函数曲线上某一点的切线斜率，可以用来研究曲线的变化趋势和几何性质。

导数的物理意义是描述物理量的变化率，例如速度的导数是加速度。

3. 微分的定义和应用微分是导数的一个近似值，描述函数在某一点上的局部变化情况。

微分的定义可以使用导数进行计算，在实际应用中可以帮助解决极值问题。

4. 高阶导数与高阶微分高阶导数是导数的导数，表示函数变化率的变化率。

高阶微分是微分的微分，表示函数局部变化情况的变化情况。

二、一元函数与极限一元函数是大一高数中另一个重要的知识点，它是导数和微分的基础。

1. 一元函数的定义和性质一元函数是自变量和因变量之间的关系，在数学中常用符号表示。

一元函数具有以下性质：- 定义域和值域；- 奇偶性和周期性；- 单调性和最值；- 对称性和反对称性。

2. 极限的定义与性质极限是函数趋近于某一点的稳定值，是一元函数的重要概念。

极限具有以下性质：- 极限的存在与唯一性；- 极限的四则运算性质；- 极限的保号性质；- 极限的夹逼性质。

三、无穷级数无穷级数是在大一高数中需要掌握的重要概念，它在数学和物理等领域具有广泛的应用。

1. 数列与无穷级数的定义数列是按一定规律排列的一系列数，无穷级数是数列的部分和构成的。

2. 等比级数与等比数列等比数列是相邻两项之比为常数的数列，等比级数是以等比数列的项作为部分和构成的级数。

3. 幂级数与函数展开幂级数是以幂函数的项作为部分和构成的级数。

幂级数可以通过展开函数的泰勒级数来表示函数。

大一上期期末高数知识点高等数学作为理工科学生的必修课程，是培养学生数学思维和分析解决问题的能力的重要基础。

在大一上学期的高等数学学习中，我们接触到了许多重要的知识点。

下面将对这些知识点进行总结与回顾。

1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念，函数的奇偶性、周期性等性质。

1.2 极限的概念与性质数列极限、函数极限的定义，极限的性质（唯一性、局部有界性、保号性等）、夹逼定理等。

2. 微分学2.1 导数与微分导数的定义与计算，导数的几何意义、物理意义以及导数与函数的关系。

2.2 微分中值定理极值与最值、费马定理、罗尔定理等微分中值定理的应用。

3. 积分学3.1 不定积分与定积分不定积分的定义、基本性质，定积分的定义与计算。

3.2 牛顿-莱布尼茨公式积分与微分的关系，牛顿-莱布尼茨公式的应用。

4. 微分方程4.1 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、阶数、通解与特解。

4.2 一阶常微分方程可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程等的求解方法。

4.3 高阶常微分方程二阶常系数齐次线性方程、非齐次线性方程等的求解方法。

5. 空间解析几何5.1 空间直线与平面直线的方程、相交与平行等性质，平面的方程、位置关系等性质。

5.2 空间曲线与曲面参数方程与一般方程的转化，球、圆锥曲线及其方程。

6. 多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质多元函数的定义、极限、连续性等性质。

6.2 偏导数与全微分偏导数的定义与计算，全微分的概念与计算。

6.3 隐函数与偏导数隐函数的存在定理，偏导数的求导法则。

7. 多元函数积分学7.1 二重积分二重积分的定义与计算，极坐标下的二重积分。

7.2 三重积分三重积分的定义与计算，柱面坐标、球面坐标下的三重积分。

8. 无穷级数与函数项级数8.1 收敛级数与发散级数收敛级数与发散级数的概念与判别法。

8.2 幂级数幂级数的收敛半径、收敛域的判定。

以上是大一上期期末高数的知识点总结。