河南省新乡市第一中学2021届高三一轮复习模拟考试(一)数学(理)试卷 Word版含答案

新乡市2021届高三第一次模拟考试数 学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上。

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．复数()()13z i i ＝＋－，则｜z ｜＝A ．4B ．22C ．3D ．23 2．已知集合A ＝{a ，a 2－2，0}，B ＝{2a ，a ＋b}，若A ∩B ＝{－1}，则b ＝ A ．－1 B ．－2 C ．0 D ．13．椭圆C ：22213x y a ＋＝（a ＞0）的焦点在x 轴上，其离心率为12，则A ．椭圆C 的短轴长为3B ．椭圆C 的长轴长为4C ．椭圆C 的焦距为4D ．a ＝44．下方程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，9，0，则输出a 和i 的值分别为A ．0，3B ．3，3C ．0，4D ．3，45．已知a ，b 是两条不重合的直线，β是一个平面，b ⊂β，则“a ⊥β”是“a ⊥b ”的C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，3a ＋5S ＝－18，6a ＝－3a ，则下列数值中最大的是 A ．416S B ．525S C ．636SD ．749S7．已知函数f （x ）＝2x 2－lnx ，若f （x ）在区间（2m ，m ＋1）上单调递增，则m 的取值范围是A ．[14，1） B ．[14，＋∞） C ．[12，1） D ．[0，1）8．已知单位圆上第一象限内的一点P 沿圆周逆时针旋转4π到点Q ，若点Q 的横坐标为－35，则点P 的横坐标为 ABCD9．已知各项均为正数且单调递减的等比数列{n a }满足3a ，432a ，52a 成等差数列，其前n 项和为n S ，且5S ＝31，则A ．412n n a ⎛⎫⎪⎝⎭－＝ B ．32n n a ＋＝C ．51322n n S －＝－D ．4216n n S ＋＝－10．已知函数f （x ）＝sinx ，函数g （x ）的图象可以由函数f （x ）的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω（ω＞0）得到．若函数g （x ）在（0，π）上恰有5个零点，则ω的取值范围是 A ．[316，376） B ．（316，376] C ．[256，316） D ．（256，316]11．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点H 在棱AA 1上，且HA 1＝1，P 是侧面BCC 1B 1内一动点，HPCP 的最小值为A ．132－B ．133－C ．152－D ．153－12．已知F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A ．若｜F 1A ｜＝5b ，则该双曲线离心率的取值范围为 A ．（1，2） B ．（2，32） C ．（2，3） D ．（32，3）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．已知函数f （x ）是定义域在R 上的奇函数，当x ∈（－∞，0]时，f （x ）＝x －2x ＋m ，则f （1）＝__________．14．已知实数x ，y 满足条件20220230x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥，－－≤，＋－≤，则z ＝2x ＋2y 的最大值为__________．15．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点P （2，6）的跳法共有__________种． 16．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此，挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，AB ＝30 m ，BC ＝402m ，CD ＝50 m ，∠ABC ＝∠BCD ＝45°，要建设一条点A 到点D 的空中长廊，则AD ＝__________m ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，bsinA ＝3sinB ，b 2＋c 2－a 2＝bc ．（1）求△ABC 外接圆的面积；（2）若BC边上的中线长为332，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且AB＝2AD＝4，∠DAB＝60°，AD⊥D1D．（1）证明：AD⊥BD1．（2）若D1D＝D1B＝2，求二面角A—BC—B1的正弦值．19．（12分）已知曲线C上每一点到直线l：x＝－32的距离比它到点F（12，0）的距离大1．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C上存在不同的两点P和Q关于直线l：x－y－2＝0对称，求线段PQ中点的坐标．20．（12分）甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图．已知甲测试成绩的中位数为75．（1）求x，y的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）．（2）某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题．例如，若甲首先答题，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙开始答题，……，直到乙答错再换成甲答题，依次类推两人共计答完21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出．已知甲、乙两人答对其中每道题的概率都是35，假设由以往20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为P n （1≤n ≤21），其中P 1＝1． ①求P 2，P 3；②求证{12n P －}为等比数列，并求n P （1≤n ≤21）的表达式．21．（12分）已知函数f （x ）＝xln （ax ）－e －a （a ∈R ，且a ≠0，e 为自然对数的底）． （1）求函数f （x ）的单调区间． （2）若函数()()ln ag x f x e＝＋在（0，＋∞）有零点，证明：121a ea ＋＋＞1e ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C ：sin3ρθ＝（ρ∈R ，θ∈[0，2π）），被称为“三叶玫瑰线” （如图所示）．（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标； （2）射线l 1，l 2的极坐标方程分别为0θθ＝，02πθθ＝＋（0θ∈[0，2π），ρ＞0），l 1，l 2分别交曲线C 于点M ，N 两点，求2211OMON＋的最小值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）＝｜x ＋a ｜－5． （1）证明f （x ）≤｜x ＋a －5｜；（2）已知a ＞0，若不等式f （x ）＋2｜x －1｜＜0的解集为（m ，n ），且n －m ＝43，求a 的值．。

新乡市2021届高三第一次模拟考试理科综合考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分。

考试时间150分钟。

2．请将各题答案填写在答题卡上。

3．可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 Na 23 K 39第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于蛋白质和核酸的叙述，错误的是A．细胞或病毒的蛋白质均由核糖体合成B．某些蛋白质和RNA可以通过核孔C．蛋白质的多样性根本上取决于核酸中遗传信息的多样性D．煮沸会破坏蛋白质中的肽键以及核酸中的氢键2．某生物兴趣小组在最适温度条件下，探究唾液淀粉酶浓度对酶促反应速率的影响，实验结果如右图所示。

下列相关分析正确的是A．若实验温度提高10℃，则XY段会整体上移B．XY段酶促反应速率不再加快最可能是受淀粉浓度的限制C．唾液淀粉酶可以为该酶促反应提供能量D．该实验应在溶液pH为1．8的条件下进行，pH属于无关变量3．下列关于DNA的叙述，正确的是A．肺炎双球菌的体外转化实验和T2噬菌体侵染大肠杆菌的实验都能证明DNA是主要的遗传物质B．一个被35S标记的T2噬菌体在侵染大肠杆菌后繁殖3代，子代T2噬菌体中含35S的约占1／4C．遗传信息指的是DNA中的脱氧核苷酸序列，其中DNA中的一个片段就是一个基因D．真核细胞中DNA分布和复制的部位有细胞核、线粒体和叶绿体4．图甲中a处表示神经纤维与肌细胞接头（突触的一种），图乙是a处的放大图，乙酰胆碱（Ach）与肌肉细胞膜上的相应受体结合，会引起肌肉收缩。

将两个微电极置于图甲中b、c两处神经细胞膜外，并与灵敏电流计正负两极相连。

下列相关叙述错误的是A．若在图甲中的e处给予刺激，则电流计的指针会发生两次方向相反的偏转B．图乙中的Ach与Ach受体结合后，会引起肌细胞快速吸收Na＋C．图乙中的Ach与Ach受体结合后，正常情况下会持续发挥作用5．下图1为一家庭某单基因遗传病的遗传系谱图，图2表示两条性染色体的三个区段。

河南省新乡一中学高三（上）数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的实部与虚部之差为（）A．﹣1 B．1 C．D．2．若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|∉N}，则M∩N等于（）A．{3，6}B．{4，5}C．{2，4，5}D．{2，4，5，7}3．已知=，且向量=（tanα，1），=（tanα，2），则等于（）A．（﹣2，3）B．（1，2） C．（4，3） D．（2，3）4．下列四个命题中，正确的是（）A．若x＞1，则∀y∈（﹣∞，1），xy≠1B．若x=sinθcosθ，则∀θ∈（0，π），x≠C．若x＞1，则∃y∈（﹣∞，1），xy=1D．若x=sinθcosθ，则∃θ∈（0，π），x=15．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，且S5=S4﹣2a4，则等于（）A．﹣B．C．﹣D．6．如图，在矩形ABCD中，AD=，AB=3，E、F分别为AB边、CD边上一点，且AE=DF=l，现将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ADFE⊥平面BCFE，连接AB、CD，则所得三棱柱ABE﹣DCF的侧面积比原矩形ABCD的面积大约多（取≈2.236）（）A．68% B．70% C．72% D．75%7．若定义在R上的函数f（x）当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f（﹣x）=f（x），则称f（x）为类偶函数．那么下列函数中，为类偶函数的是（）A．f（x）=4cosx B．f（x）=x2﹣2x+3 C．f（x）=2x+1 D．f（x）=x3﹣3x8．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．24 B．C．20 D．9．若函数y=ksin（kπ+φ）（k＞0，|φ|＜）与函数y=kx﹣k2+6的部分图象如图所示，则函数f（x）=sin （kx﹣φ）+cos（kx﹣φ）图象的一条对称轴的方程可以为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=﹣10．已知平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m．若点P（x，y）∈Ω，则z=mx﹣y的最小值为（）A．B．3 C．D．611．已知函数f（x）的导数为f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（）A．f（1）＜2ef（2）B．ef（1）＜f（2）C．f（1）＜0 D．ef（e）＜2f（2）12．在正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的中心，=λ（2≤λ≤4），且平面ABE与直线PD交于F，=f（λ），则（）A．f（λ）=B．f（λ）=C．f（λ）=D．f（λ）=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知向量=（x，2），=（2，1），=（3，x），若∥，则向量在向量方向上的投影为．14．已知一个三棱锥的体积和表面积分别为V，S，若V=2，S=3，则该三棱锥内切球的表面积是．15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的接法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为．16．函数f（x）=的定义域为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．（1）若，求的最小值，并确定此时x的值；（2）若，求f（a）的值．18．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a5=2，且a3是a1与﹣的等比中项，（1）求数列{a n}的通项公式（2）若a1为整数，求证：＞．19．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA=c，D为AC边上一点．=，求DC的长．（1）若c=2b=4，S△BCD（2）若D是AC的中点，且，求△ABC的最短边的边长．20．如图，在五棱锥F﹣ABCDE中，平面AEF⊥平面ABCDE，AF=EF=1，AB=DE=2，BC=CD=3，且∠AFE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°．（1）已知点G在线段FD上，确定G的位置，使得AG∥平面BCF；（2）点M，N分别在线段DE，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，D与F恰好重合，求直线BM与平面BEF所成角的正弦值．21．已知a∈R，函f（x）=x3﹣ax2+ax+a，g（x）=f（x）+（a﹣3）x．（1）求证：曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过定点；（2）若g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，但不是最大值，求实数a的取值范围；（3）求证：对任意给定的正数b，总存在a∈（3，+∞），使得g（x）在上为单调函数．22．已知函数f（x）=ax﹣lnx，F（x）=e x+ax，其中x＞0，a＜0．（1）若f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有时间的单调性，求实数a的取值范围；（2）若，且函数g（x）=xe ax﹣1﹣2ax+f（x）的最小值为φ（a），求φ（a）的最小值．河南省新乡一中学高三（上）数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的实部与虚部之差为（）A．﹣1 B．1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数求模公式和复数的乘法运算化简复数，求出复数的实部和虚部，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数的实部为：，虚部为：，差为：1．故选：B．2．若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|∉N}，则M∩N等于（）A．{3，6}B．{4，5}C．{2，4，5}D．{2，4，5，7}【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简M，再由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}={x∈N|1＜x＜7}={2，3，4，5，6}，N={x|∉N}，∴M∩N={2，3，4，5，6}∩{x|∉N}={2，4，5}，故选：C．3．已知=，且向量=（tanα，1），=（tanα，2），则等于（）A．（﹣2，3）B．（1，2） C．（4，3） D．（2，3）【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据已知条件得到tanα=1，由向量加法的三角形法则求得即可．【解答】解：=，2sinα=sinα+cosα，即sinα=cosα，所以tanα=1，因为向量=（tanα，1），=（tanα，2），则=+=（2tanα，3）=（2，3），故选：D．4．下列四个命题中，正确的是（）A．若x＞1，则∀y∈（﹣∞，1），xy≠1B．若x=sinθcosθ，则∀θ∈（0，π），x≠C．若x＞1，则∃y∈（﹣∞，1），xy=1D．若x=sinθcosθ，则∃θ∈（0，π），x=1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当x＞1时，y=∈（﹣∞，1），xy=1，；x=sinθcosθ=．【解答】解：当x＞1时，y=∈（﹣∞，1），xy=1，故A错，C正确；因为x=sinθcosθ=，故B，D均错误．故选：C．5．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，且S5=S4﹣2a4，则等于（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式及其求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵S5=S4﹣2a4，∴a5=﹣2a4，解得公比q=﹣2．∴===﹣．故选：A．6．如图，在矩形ABCD中，AD=，AB=3，E、F分别为AB边、CD边上一点，且AE=DF=l，现将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ADFE⊥平面BCFE，连接AB、CD，则所得三棱柱ABE﹣DCF的侧面积比原矩形ABCD的面积大约多（取≈2.236）（）A．68% B．70% C．72% D．75%【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意求出三棱柱ABE﹣DCF的侧面积增加的部分与原来矩形ABCD的面积之比可得答案．【解答】解：将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ADFE⊥平面BCFE，可得三棱柱ABE﹣DCF，（如图）侧面积增加的部分为ABCD，∵EB⊥BC，△ABE是直角三角形，∴AB⊥BC．同理可证ABCD是矩形．∵AE=DF=1．AB=3，AD=，∴BE=2∴AB=故得侧面积增加的部分为．侧面积比原矩形ABCD的面积大约多出%故选D．7．若定义在R上的函数f（x）当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f（﹣x）=f（x），则称f（x）为类偶函数．那么下列函数中，为类偶函数的是（）A．f（x）=4cosx B．f（x）=x2﹣2x+3 C．f（x）=2x+1 D．f（x）=x3﹣3x【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据新定义在R上的函数f（x）当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f（﹣x）=f（x），则称f（x）为类偶函数．对各选项进行判断即可．【解答】解：对于A：f（x）=4cosx，根据新定义，当自变量x≠0时，存在多个非零自变量x使得f（﹣x）=f（x），∴不对．对于B：f（x）=x2﹣2x+3，由f（﹣x）=x2+2x+3≠f（x），∴不对．对于C：f（x）=2x+1，由f（﹣x）=2﹣x+1≠f（x），∴不对．对于D：f（x）=x3﹣3x，由f（﹣x）=﹣x3+3x，即f（﹣x）﹣f（x）=2x3﹣6x=0，可得2x（x2﹣3）=0，当自变量x≠0时，存在两个非零自变量和使得f（﹣x）=f（x），∴对．故选D．8．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．24 B．C．20 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由一个直四棱柱（底面为直角梯形）截去一个三棱锥而得，它的直观图如图所示，即可求其体积．【解答】解：该几何体由一个直四棱柱（底面为直角梯形）截去一个三棱锥而得，它的直观图如图所示，故其体积为=．故选D．9．若函数y=ksin（kπ+φ）（k＞0，|φ|＜）与函数y=kx﹣k2+6的部分图象如图所示，则函数f（x）=sin （kx﹣φ）+cos（kx﹣φ）图象的一条对称轴的方程可以为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=﹣【考点】正弦函数的对称性．【分析】由函数的最大值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数y=ksin（kπ+φ）（k＞0，|φ|＜）的最大值为k，∴﹣k2+6=k，∴k=2．把点（，0）代入y=2sin（2x+φ）可得sin（+φ）=0，∴φ=﹣，∴入y=2sin（2x﹣）．则函数f（x）=sin（kx﹣φ）+cos（kx﹣φ）=2sin（2x+）+2cos（2x+）=sin（2x++）=sin （2x+）．令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故f（x）的图象的对称轴的方程为得x=+，k∈Z，当k=3时，x=，故选：B．10．已知平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m．若点P（x，y）∈Ω，则z=mx﹣y的最小值为（）A．B．3 C．D．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合题意求出m，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵平面区域Ω夹在两条斜率为﹣的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m，则m==．令z=mx﹣y=x﹣y，则y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过B（2，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：=．故选：A．11．已知函数f（x）的导数为f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（）A．f（1）＜2ef（2）B．ef（1）＜f（2）C．f（1）＜0 D．ef（e）＜2f（2）【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算．【分析】构造函数F（x）=xe x f （x），则F′（x）=e x[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立，得出函数F （x ）=xe x f （x ）在[0，+∞）上单调递增，即可得出结论、【解答】解：构造函数F （x ）=xe x f （x ），则F′（x ）=e x [（x +1）f （x ）+xf′（x ）]≥0对x ∈[0，+∞）恒成立，∴函数F （x ）=xe x f （x ）在[0，+∞）上单调递增， ∴F （1）＜F （2）， ∴f （1）＜2ef （2）， 故选A ．12．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，O 为正方形ABCD 的中心， =λ（2≤λ≤4），且平面ABE 与直线PD交于F ，=f （λ），则（ ）A ．f （λ）=B ．f （λ）=C ．f （λ）=D ．f （λ）=【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】在平面ABE 延长BE 与直线PD 交于F ，过F 作FG 垂直于PO 交于G ，根据相识三角形成比例关系可求解．【解答】解：由题意：P ﹣ABCD 是正四棱锥，O 为正方形ABCD 的中心，则OP ⊥平面ABCD ， =λ（2≤λ≤4），即E 是PO 上的点，在平面ABE 延长BE 与直线PD 交于F ，过F 作FG 垂直于PO 交于G ，可得：．故选A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知向量=（x ，2），=（2，1），=（3，x ），若∥，则向量在向量方向上的投影为 4 ． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先根据xlde平行求出x的值，再根据投影的定义即可求出．【解答】解：∵=（x，2），=（2，1），∥，∴x=2×2=4，∴=（3，4），∴||=5，=（4，2）•（3，4）=12+8=20，∴向量在向量方向上的投影为==4，故答案为：4．14．已知一个三棱锥的体积和表面积分别为V，S，若V=2，S=3，则该三棱锥内切球的表面积是16π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】利用等体积求出内切球半径，即可求出该三棱锥内切球的表面积．【解答】解：设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴V=S1×r+S2×r+S3×r+S4×r=S×r∴内切球半径r==2，∴该三棱锥内切球的表面积是4π•22=16π．故答案为16π．15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的接法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为135．【考点】数列的应用．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2016得n≤135，故此数列的项数为135．故答案为：135．16．函数f（x）=的定义域为[e2，+∞）∪{1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】设g（x）=x﹣lnx﹣1，求出导数，求得单调区间和最值，可得f（1）=0，再由lnx﹣2≥0，即可得到所求定义域．【解答】解：设g（x）=x﹣lnx﹣1，导数g′（x）=．令g′（x）＞0，得x＞1，g（x）递增；令g′（x）＜0，得0＜x＜1，g（x）递减．则g（x）的最小值为g（1）=0，即x﹣lnx﹣1≥0．当x=1时，f（1）=0；当x＞0，且x≠1时，lnx﹣2≥0，解得x≥e2．则f（x）的定义域为：[e2，+∞）∪{1}．故答案为：[e2，+∞）∪{1}．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．（1）若，求的最小值，并确定此时x的值；（2）若，求f（a）的值．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据，求出的范围，利用基本不等式求解．（2）利用，求先求解出sinα和cosα，在求解sin2α和cos2α，可得f（a）的值【解答】解：（1）函数．∵，∴，∴∴，当且仅当，即，即时，等号成立．故当时，则的最小值为4．（2），即sin（a+）=，∴sinα=．则cosα=±∵，∴cosα=．sin2α=2sinαcosα=，cos2a=1﹣2sin2a=．∴．18．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a5=2，且a3是a1与﹣的等比中项，（1）求数列{a n}的通项公式（2）若a1为整数，求证：＞．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列的通项公式来求数列{a n}的首项和公差；（2）根据等差数列的前n项和公式求得S n=﹣，则2S n+23n=3n2．即证++ +…+＞即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意得：，解得.或，故a n=﹣10+3（n﹣1）=3n﹣13或a n=﹣+（n﹣1）=n﹣1，即数列{a n}的通项公式为：a n=3n﹣13或a n=n﹣1；证明：（2）∵a1为整数，∴a1=﹣10，d=3，∴a n=3n﹣10，∴S n==﹣，则2S n+23n=3n2．即证+++…+＞．∵＞，即＞﹣，∴＞（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，即＞．19．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA=c，D为AC边上一点．=，求DC的长．（1）若c=2b=4，S△BCD（2）若D是AC的中点，且，求△ABC的最短边的边长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB=sinC，结合已知可求sinA，利用三角形面积公式可求ABC的面积，进而可求CD的值．（2）由同角三角函数基本关系式可求sinB，结合已知可求A，利用正弦定理，余弦定理可求三边长，即可得解．【解答】解：∵，∴，…即，…（1）∵c=2b，∴sinC=2sinB，则，…∴，…∵，∴．…（2）由，得，…∵C=π﹣（A+B），∴，则sinA=cosA，得tanA=1，…∴，则，…∵，且，…∴，∴，…解得：，∴，∴△ABC的最短边的边长．…20．如图，在五棱锥F﹣ABCDE中，平面AEF⊥平面ABCDE，AF=EF=1，AB=DE=2，BC=CD=3，且∠AFE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°．（1）已知点G在线段FD上，确定G的位置，使得AG∥平面BCF；（2）点M，N分别在线段DE，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，D与F恰好重合，求直线BM与平面BEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）点G为靠近D的三等分点，证明平面AGH∥平面BCF，而AG⊂平面AGH，可得AG∥平面BCF；（2）建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量方法求直线BM与平面BEF所成角的正弦值．【解答】解：（1）点G为靠近D的三等分点，…在线段CD取一点H，使得CH=2，连结AH，GH…∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD．又AB=CH，∴四边形ABCH为平行四边形，∴AH∥BC，∵点G为靠近D的三等分点，∴FG：GD=CH：HD=2：1，∴GH∥CF，∵AH∩GH=H，∴平面AGH∥平面BCF，而AG⊂平面AGH，∴AG∥平面BCF…（2）取AE的中点K，连接FK，∵AF=EF，∴FK⊥AE，又平面AEF⊥平面ABCDE，∴FK⊥平面ABCDE…如图，建立空间直角坐标系B﹣xyz，则．设EM=m（0＜m＜2），则M（1+m，3，0）…∵翻折后，D与F重合，∴DM=FM，又FM2=KM2+FK2，故，从而，=（，3，0）…=（1，3，0），=（，），设n=（x，y，z）为平面BEF的一个法向量，则，取x=3，则…设直线BM与平面BEF所成角为α，则sinα==，故直线BM与平面BEF所成角的正弦值为…21．已知a∈R，函f（x）=x3﹣ax2+ax+a，g（x）=f（x）+（a﹣3）x．（1）求证：曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过定点；（2）若g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，但不是最大值，求实数a的取值范围；（3）求证：对任意给定的正数b，总存在a∈（3，+∞），使得g（x）在上为单调函数．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，从而求出切线过定点；（2）求出g（x）的导数，根据g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值以及g（1）不是g（x）在区间（0，3]上的最大值，得到关于a的不等式，解出即可；（3）求出g（x）的导数，若g（x）在（，）为单调函数，则≤，即a≥b+3，从而证出结论．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2﹣2ax+a，∴f′（1）=3﹣a，∴f（1）=a+1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（a+1）=（3﹣a）（x﹣1），即a（x﹣2）=3x﹣y﹣2，令x=2，则y=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过定点（2，4）．（2）解：g′（x）=（x﹣1）[3x﹣（2a﹣3）]，令g′（x）=0，得x=0或x=，∵g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，∴＞1，解得：a＞3，令g′（x）＞0，得x＜1或x＞，g（x）递增；令g′（x）＜0，得1＜x＜，g（x）递减．∵g（1）不是g（x）在区间（0，3]上的最大值，∴g（x）在区间（0，3]上的最大值为g（3）=18﹣2a．∴g（3）=18﹣2a＞g（1）=2a﹣2，∴a＜5，又a＞3，∴3＜a＜5．（3）证明：g′（x）=f′（x）+a﹣3=（x﹣1）[3x﹣（2a﹣3）]．∵a∈（3，+∞），∴＞1，令g′（x）＞0，得x＜1或x＞，g（x）递增；令g′（x）＜0，得1＜x＜，g（x）递减；∵a∈（3，+∞），∴1＜＜，若g（x）在（，）为单调函数，则≤，即a≥b+3，故对任意给定的正数，n，总存在a∈[b+3，+∞）（其中b+3＞3），使得g（x）在（，）上为单调函数．22．已知函数f（x）=ax﹣lnx，F（x）=e x+ax，其中x＞0，a＜0．（1）若f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有时间的单调性，求实数a的取值范围；（2）若，且函数g（x）=xe ax﹣1﹣2ax+f（x）的最小值为φ（a），求φ（a）的最小值．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数g（x）的导数，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出φ（a）的最小值．【解答】解：（1），…∵a＜0，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，…当﹣1≤a＜0时，F'（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意…当a＜﹣1时，由F'（x）＞0，得x＞ln（﹣a），由F'（x）＜0，得0＜x＜ln（﹣a），∴F（x）的单调减区间为（0，ln（﹣a）），单调增区间为（ln（﹣a），+∞）…∵f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，∴ln（﹣a）≥ln3，解得a≤﹣3，综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣3]…（2），…由得到，设，…当x＞e2时，p'（x）＞0；当0＜x＜e2时，p'（x）＜0，从而p（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+∞）上递增，∴…当时，，即，在上，ax+1＞0，g'（x）≤0，g（x）递减；在上，ax+1＜0，g'（x）≥0，g（x）递增，∴，…设，在（0，e2]上递减，∴h（t）≥h（e2）=0，∴φ（a）的最小值为0…2017年3月12日春到四月，如火如荼，若诗似画，美到了极致，美到了令人心醉。

2021年高三数学第一次模拟考试试卷 理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释） 1．设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 试题分析：先利用集合的补集的定义求出集合的补集，即；再利用集合的交集的定义求出.故应选B.考点：交、补、并集的混合运算.2．已知是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A.【解析】试题分析：因为函数，所以，化简得，所以i i i i i i i i i 53515311062)3)(3()3(232+=+=+=-+-=+=.根据复数的几何意义知，所对应的点的坐标为，所以其对应的点在第一象限.故应选A.考点：复数的代数表示法及其几何意义.3．设随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. B. C. D.【答案】D.【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以正态分布曲线关于直线对称，所以，，所以.故应选D.考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.4．设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】试题分析：若“”，则由知，，所以，而，此时不能推出，即“”不是“”的充分条件；反过来，若“”，则，又，所以，所以，即“”是“”的充分条件，即“”是“”的必要条件.综上可知，“”是“”的必要不充分条件.故应选B.考点：充分条件与必要条件.5．已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若；②若；③若；④若.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D.【解析】试题分析：对于①，因为，所以直线与平面所成的角为，又因为∥，所以直线与平面所成的角也为，即命题成立，故正确；对于②，若，，则经过作平面，设，，又因为，，所以在平面内，，，所以直线、是平行直线.因为，，∥，所以∥.经过作平面，设，，用同样的方法可以证出∥.因为、是平面内的相交直线，所以∥，故正确；对于③，因为，∥，所以.又因为，所以，故正确；对于④，因为∥，，当直线在平面内时，∥成立，但题设中没有在平面内这一条件，故不正确.综上所述，其中正确命题的个数是3个，应选D.考点：平面的基本性质及推论.6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】C.【解析】试题分析：因为函数，所以将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图像.故应选C.考点：函数的图像变换.7．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A.【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程是，过右焦点分别作两条渐近线的平行线和，由下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是.故应选A.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质.8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为A.360B.520C.600D.720【答案】C.【解析】试题分析：根据题意，可分2种情况讨论：①只有甲乙其中一人参加，有种情况；②甲乙两人都参加，有种情况，其中甲乙相邻的有种情况；则不同的发言顺序种数为种，故应选C ． 考点：排列、组合的实际应用.9．设函数若，则关于的方程的解的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】B.【解析】试题分析：先由可得，，解之可得，再由可得，解之可得，故，令可得或，解之可得或或，故应选B. 考点：根的存在性及根的个数判断. 10．已知向量与的夹角为，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,2时取得最小值，当时，夹角的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】C.【解析】试题分析：由题意知，，，所以 θcos )1(44)1()1(2)1(2222222t t t t OB OA t t OA t OB t PQ -=+-=⋅--+-=→→→→→，由二次函数的图像及其性质知，当上式取最小值时，.由题意可得，，求得，所以，故应选C.考点：向量数量积表示两个向量的夹角.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）11．若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________.【答案】.【解析】试题分析：要使得不等式对任意的恒成立，需的最小值大于，问题转化为求的最小值.首先设，则有.当时，有最小值为4；当时，有最小值为4；当时，有最小值为4.综上所述，有最小值为4.所以，.故答案为.考点：含绝对值不等式；函数恒成立问题.12．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 .【答案】.【解析】试题分析：根据程序框图可得计算出的为：，为了计算，当时，代替，并用代替，进入下一次运算；而当时，代替，恰好，用代替得，，在这次运算中结束循环体并输出的值，因此，判断框内应填.考点：程序框图.13．已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .【答案】.【解析】试题分析：设圆C的圆心C的坐标为，则圆C的标准方程为.圆心C到直线的距离为：，又因为该圆过点，所以其半径为.由直线被该圆所截得的弦长为以及弦心距三角形知，，即，解之得：或（舍）.所以，所以圆C的标准方程为.考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系.14．定义：，在区域内任取一点(){}22，则、满足的概率为．++++=++p x y x y x x y x y x x y,min2,42【答案】.【解析】试题分析：由题意知，如下图所示，实验包含的所有事件对应的集合，其面积为；满足条件的事件}42,60,20),{(2++≤++≤≤≤≤=y x y x x y x y x A ，即，由几何概型的计算公式知，.故应填.考点：几何概型.15．已知，若恒成立，则实数的取值范围是 ．【答案】.【解析】试题分析：因为，所以由基本不等式知，，当且仅当即等号成立.问题恒成立转化为，即，由一元二次不等式解法知，.考点：一元二次不等式及其解法；均值不等式的应用.评卷人得分 三、解答题（题型注释）16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，且..（1）求的值；（2）若面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）在△ABC 中，首先运用余弦定理公式，并结合已知条件即可求出；然后根据三角形的内角和等于和倍角公式，将所求式子化简为只关于的式子，最后将的值代入即可；（2）将已知b=2代入，即可得到式子；试题解析：（1）在△ABC 中，由余弦定理可知，，由题意知，∴；又在△ABC 中，∴1cos 22cos 12cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222-++=+=+-=++B B B B B B B C A π ，又，∴.（2）∵b=2 ，∴由可知，，即，∴.∵，∴ ∴.∴△ABC 面积的最大值为．考点：余弦定理；均值不等式.17．如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且（1）在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明；（2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）当时，有//平面AMD.证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，所以，又，所以，所以在中，OP//AM.又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.（2）锐二面角的余弦值为.【解析】试题分析：（1）设Q为AB上的一点，满足.由线面平行的性质证出MD//NB，结合题中数据利用平行线的性质，得到，从而在中得到OP//AM.最后利用线面平行判定定理，证出// 面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点；（2）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量、和的坐标.利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出平面CMN的法向量.根据线面垂直的判定定理证出DC平面BNC，从而得到即是BNC的法向量，最后利用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面CMN与平面BNC 所成锐二面角的余弦值.试题解析：（1）当时，有//平面AMD.证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB，所以，又，所以，所以在中，OP//AM.又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD.（2）以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2）N（2，2，1），所以=（0，-2，2），=（2，0，1），=（0，2，0），设平面CMN的法向量为=（x，y，z）则，所以，所以=（1，-2，-2）.又NB平面ABCD，∴NBDC，BCDC，∴DC平面BNC，∴平面BNC的法向量为==（0，2，0），设所求锐二面角为，则.考点：利用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定.18．某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}21110,24,2x M x x N xx Z +⎧⎫=-≤=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．{}1,0B ．{}1C ．{}1,0,1-D ．φ 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}{}{}21011,1,0,1,0M x x x x N M N =-≤=-≤≤=-∴⋂=-,故选A.考点：集合的运算.2.复数()()()2lg 3441x xz x i x R -=+-+-∈，z 是z 的共轭复数，复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A考点：复数的几何意义.【易错点睛】本题主要考查了复数的代数运算,复数的几何意义.复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．3.若点()4,2P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）A ．2100x y +-=B ．20x y -=C ．280x y +-=D ．260x y --= 【答案】C 【解析】试题分析：2260x y x +-=的圆心坐标为(3,0),∴所求直线的斜率11,20243k =-=-∴--直线方程为12(4),2802y x x y -=--∴+-=,故选C.考点：直线与圆的位置关系. 4.下列结论错误．．的个数是（ ） ①命题“若p ，则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题；②命题[]:0,1,1xp x e ∀∈≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真；③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题； ④若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题.A ．0B ．1 C. 2 D ．3 【答案】B考点：命题.5.同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）A ．20B ．25 C. 30 D ．40 【答案】B【解析】试题分析：5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为2235115()()2216C =,由题意可知ξ服从5(80,)16的二项分布,所以数学期望为5802516⨯=,故本题选B. 考点：二项分布与数学期望.6.某几何体的三视图如图所示。

河南省新乡市第一中学2021届高三文科数学一轮复习模拟考试试题一【含答案】注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0A =-，{}220B x x x =∈--<Z ，则AB =（ ）A ．{1}-B ．{0}C ．{1,0}-D ．{1,0,1}-【答案】D【解析】易知{}{}120,1B x x =∈-<<=Z ， 又{}1,0A =-，所以{}1,0,1AB =-，故选D ．2．若复数z 满足()12i 34i z ⋅+=+，则z =（ ） A ．12i + B ．12i -C ．510i +D ．510i -【答案】B 【解析】由()()()()34i 512i 512i 12i 12i 12i 12i 5z +--====-++-，故选B ． 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ） A ．8岁 B ．11岁C ．20岁D ．35岁【答案】B【解析】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为1a ，则9198932072S a ⨯=+⨯=，解得111a =，故选B ． 4．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是（ ）A ．城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长B ．农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升C ．到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额D ．城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降 【答案】C【解析】A ．由城乡居民储蓄存款年底余额条形图可知，正确；B ．由城乡储蓄构成百分比可知，农村居民的存款年底余额所占比重20,7.3%,26.5%,36.1%逐年上升，正确；C ．由城乡储蓄构成百分比可知，农村居民存款年底总余额36.1%1523549.80⨯=，城镇居民存款年底总余额63.9%1523973.20⨯=，没有超过，错误；D ．由城乡储蓄构成百分比可知，城镇居民存款年底余额所占的比重从79.3%，73.5%，63.9%逐年下降，正确， 故选C ．5．已知平面向量,a b 的夹角为60°，(3=a ，1=b ，则+=a b （ ） A ．2 B ．23C 7D ．4【答案】C【解析】因为(3=a ，所以132=+=a ，所以cos 601a b a b ⋅=⋅︒=．()22224217+=+=+⋅+=++=a b a b a b b a C ．6．已知点(2,1)P 为圆22:80C x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（ ） A ．250x y +-= B ．240x y +-= C ．230x y --= D ．20x y -=【答案】C【解析】圆22:80C x y x +-=的标准方程为()22416x y -+=，则圆心为()4,0C ，直线PC 的斜率101242PC k -==--， 又PC MN ⊥，所以1PC MN k k ⋅=，所以2MN k =，故弦MN 所在直线的方程为()122y x -=-，即230x y --=，故选C ． 7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++的值为（ ）A ．914B ．1115C ．1316 D ．1517【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，因为139,,a a a 成等比数列，所以有3129a a a =⋅，即2111(2)(8)a d a a d ⋅+=+，解得1d a =，所以该等差数列的通项为n a nd =，则1392410(139)13(2410)16a a a d a a a d ++++==++++，故选C ．8．观察下面数阵，1 35 791113 1517192123252729…则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545 B ．547C ．549D ．551【答案】C【解析】由题意，可得该数阵中第m 行有12m -个数，所以前m 行共有1(12)2112m m ⨯-=--个数，当8m =时，可得前8行共255个数，因为该数阵中的数依次相连成公差为2的等差数列，所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是()127512549+-⨯=，故选C ．9．已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若0BF AC ⋅=，且14AF AC =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．52B ．23C 103D 102【答案】D【解析】如图，因为对角线互相平分且BF AC ⊥，所以四边形1AFBF 为矩形， 设||AF m =，则1||2AF a m =+， 又由14AF AC =，可得3||||AF CF =，所以||3FC m =，12||3CF m a =+， 在1ACF Rt △中，()()()2222432a m m m a ++=+， 得m a =，所以1||||3BF AF a ==，又因为在1AFF Rt △中，22211||||||AF AF FF +=，即()()22232a a c +=，所以得离心率102e =，故选D ．10．函数()()sin 22cos 0πf x x x x =+≤≤，则()f x （ ） A ．在0,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增B ．在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C ．在π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减D ．在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增【答案】C【解析】()()()()22cos 22sin 22sin sin 102sin 1sin 10f x x x x x x x '=-=-+->⇒-+<，故1π5π1sin 0,,π266x x ⎛⎫⎛⎫-<<⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()f x 在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5π,π6⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，即在π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，故选C ． 11．已知函数()f x 在R 上是增函数，设1ea e =，12ln 33b =-，1ππc =，则下列不等式成立的是（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f c f a f b >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f a f c f b >>【答案】D【解析】令()ln x g x x =，则()21ln xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 在()0,e 上为增函数， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上为减函数，故πln ln πe e >，即11ππee >，故0a c ， 又1ln 2ln 3ln 4ln 32ln 3=032343-=-<，a c b ∴>>， 综上，()()()f a f c f b >>，故选D ． 12．定义：若整数m 满足：1122m x m -<≤+，称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =．给出函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()f x 的定义域为R ，值域为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭； ②函数()f x 是周期函数，最小正周期为1； ③函数()f x 在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ④函数()f x 的图象关于直线()2kx k =∈Z 对称． 其中所有的正确命题的序号为（ ） A ．①③ B ．②③C ．①②④D ．①②③【答案】B【解析】∵①中，显然(){}f x x x =-的定义域为R ， 由题意知，11{}{}22x x x -<≤+，则得到11(){}(,]22f x x x =-∈-，故①错误；②中，由题意知：(1)(1){1}1{}1{}()f x x x x x x x f x +=+-+=+--=-=， 所以(){}f x x x =-的最小正周期为1，故②正确； ③中，由于11{}{}22x x x -<≤+，则得(){}f x x x =-为分段函数，且在11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦，13,22⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，故命题③正确；④中，由题意得()(){}()(}()){f f k x k x k x x x x f x -=---=--≠-=-， 所以函数()y f x =的图象关于直线()2x kk =∈Z 不对称，故命题④错误，由此可选择②③，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数()sin 2π2cos(π)2f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最大值为________． 【答案】32【解析】22133()2cos 2cos 12cos 222f x x x x ⎛⎫=--+=-++≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当1cos 2x =-时等号成立． 故答案为32． 14．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】22π【解析】由三视图得三棱锥直观图如下所示：其中,,SA AB AC 两两互相垂直，将三棱锥补成以,,SA AB AC 为边长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 22233222++=所以外接球的表面积为2224π()22π2⨯=， 故答案为22π．15．已知a ，b ，c 分别为ABC △的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin sin 33sin A C B +=，33b =，当角B 最大时ABC △的面积为________． 【答案】92【解析】已知等式利用正弦定理化简得33a c b +=， 由余弦定理2222cos b a c ac B=+-，可知2222222222(3)2341399cos 2229339a c a c ac a c a c a cb ac B ac ac ac c a +++-+-+-====⋅+⋅-+当角B 最大时，则cos B 最小， 由基本不等式可得4134333cos 939993a c B c a =⋅+⋅-≥-=， 当且仅当4193a c c a ⋅=⋅，即32a c =时，取等号．代入33a c b +=，可得::3:3:2a b c =， 因为33b =，所以33a =，6c =，在等腰ABC △中，求得底边上的高为32h =，1326922ABC =⨯⨯=△S ， 故答案为92． 16．已知2ln ,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，若()f x a =有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是__________． 【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】作出2ln ,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩的图象，如图，不妨设1234x x x x <<<，根据二次函数的对称性可得122x x +=-，由对数函数的性质可得34ln ln x x =-，341x x =， 若()f x a =有4个根，由图可知10a -<<，从而易知311x e<<， 于是3433112,x x x e x e ⎛⎫+=+∈+ ⎪⎝⎭， 因为1234342x x x x x x +++=-++，所以123410,2e x e x x x +⎛⎫+- ⎪⎝+∈⎭+． 故答案为10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，且数列{}1n a +是以为2公比的等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n b 的通项公式为1(1)nb n n ，设n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）21nn a =-；（2）11211n n n +---+． 【解析】（1）11a =，112a ∴+=，∴数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 11222n n n a -∴+=⨯=，21n n a ∴=-．（2）设数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ， 则()12312(12)22222212n nn n S n n n +-=++++-=-=---，111(1)1nb n n nn ，111111111+12233411n n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭∴⎭， 所以数列{}n c 的前n 项和为11112212111n n n n S T n n n n +++=--+-=---++． 18．（12分）2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年．（总书记二〇二〇年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10．2%下降至2018年的1．7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤．某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码x ） 1 2 3 4 5 6 人均月纯收入（元）275365415450470485y x 归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的13，从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的45，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由； ①可能用到的数据：619310i ii x y==∑；②参考公式：线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，61622166ˆi iii i x xyx yb x===-=∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（1）频率分布直方图见解析，中位数5．133千元，平均数5．16千元；（2）ˆ40270yx =+，该家庭2020年能达到小康标准．【解析】（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在[6，7)的频率为0．18， 所以频率分布直方图如下：中位数为0.50.040.100.32255 5.1330.3015---+=+=（千元），（或：设中位数为x ，则0.0450.266x x-=-，解得 5.133x =） 平均数 2.50.04 3.50.10 4.50.32 5.50.30 6.50.187.50.06 5.16x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）． （2）解：由题意得123456 3.56x +++++==，275365415450470485246041066y +++++===，62114916253691ii x==+++++=∑，2266 3.573.5x ⨯=⨯=，所以616221693106 3.541093108610700ˆ409173.59173.517.56i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯-=====---∑∑，ˆˆ41040 3.5270ay bx =-=-⨯=， 所以回归直线方程为ˆ40270yx =+， 设y 为2020年该家庭人均月纯收入，则13,14,15x =时，1(40270)3y x =+， 即2020年前三月总收入为1(790830870)8303++=元； 当16,17,,24x =时，4(40270)322165y x x =+=+， 即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760，…，984， 构成以32为公差的等差数列， 所以4月份至12月份的总收入为()972898477042+=，所以2020年该家庭总收入为：830770485348000+=>， 所以该家庭2020年能达到小康标准．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，2AD BC =，90DAB ABP ∠=∠=︒．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若点E 是棱PD 的中点，且1AB BC BP ===，求三棱锥E PBC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）112． 【解析】（1）证明：因为//AD BC ，AD AB ⊥，所以BC AB ⊥． 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB平面ABCD AB =， 所以BC ⊥平面PAB ．又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAB ⊥平面PBC ．（2）由（1）知AB BC ⊥．又AB PB ⊥，PB BC B =，,PB BC ⊂平面PBC ，∴AB ⊥平面PBC ， 设PA 的中点为F ，连接EF ，则//EF AD 且12EF AD =， 又//BC AD 且12BC AD =，所以//EF BC ． 所以点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离， 而点F 到平面PBC 的距离等于点A 到平面PBC 的距离的12， 所以点E 到平面PBC 的距离1122h AB ==， 故1111111332212E PBC PBC V S h -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△． 20．（12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长等于焦距，且经过点()0,1P ． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，D 是y 轴上一点，且CD AB ⊥，求证：线段CD 的中点在x 轴上．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由椭圆E 经过点()0,1P ，得1b =，由短轴长等于焦距，得22b c =，则1c =， 所以2222112a b c =+=+=，故椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．由22122x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()222210t y ty ++-=， 由题意，得Δ>0，且12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 则120222y y t y t +==-+，002212x ty t =+=+，即222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 设()0,D u ，由CD AB ⊥，得2212122tu t t t ++⋅=--+，解得22t u t =+． 所以00y u +=，所以002y u +=， 故线段CD 的中点在x 轴上．21．（12分）已知函数()()2122x f x x e x x =-+-． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++ ⎪⎝⎭对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞；（2）31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）依题意()()()()()1111x x f x e x x x e '=-+-=-+，当(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞．（2）当2x >时，()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭恒成立， 即()()22214422x a a a x e x ax x a x ⎛⎫-+-≥+-++ ⎪⎝⎭， 即()()222442x a x e x x x --+=-≥， 即2x x a e -≥恒成立，即max2x x a e -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 令()()22x x h x x e -=>，则()()123x x x x h x e e---'==， 易知()h x 在区间()2,3内单调递增，在区间()3,+∞内单调递减，所以()()3max 13h x h e ==，所以31a e ≥． 所以实数a 的取值范围是31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,π)ϕ∈），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为π4cos()3ρθ=-．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设()1,1P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA PB -的最大值．【答案】（1）222230x y x +--=；（2）4．【解析】（1）圆C 的极坐标方程为π4cos()3ρθ=-，则22cos 23sin ρρθρθ=+， 由极坐标与直角坐标的转化公式得22223x y x +=+， 所以222230x y x +--=． （2）将线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， 代入222230x y x +--=． 所以22(31)sin 230t t ϕ--⋅-=，设点A ，B 所对应的参数为1t 和2t ， 则122(31)sin t t ϕ+=，1223t t ⋅=- 则222121212||||()44(31)sin 83PA PB t t t t t t ϕ-=-=+-=-+，当sin 1ϕ=时，||PA PB -的最大值为4．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知,,a b c 为正数，且2a b c ++=，证明：（1）43ab bc ac ++≤； （2）2228a b c b c a---⋅⋅≥． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）将2a b c ++=平方得：2222224a b c ab ab ac +++++=， 由基本不等式知：222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 三式相加得：222a b c ab bc ac ++≥++， 则2224222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++，所以43ab bc ac ++≤，当且仅当23a b c ===时等号成立 （2）由22a b c bc b b b -+=≥2222b a c ac c b a ba c c c a a a -+-+=≥=≥， 则2222228a b c bc ac ba b c a b c a---⋅⋅≥=， 即2228a b c b c a ---⋅⋅≥，当且仅当23a b c ===时等号成立．。

新乡市高三第一次模拟测试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24}xA x =>，{|015}B x x =<-≤，则()=R C A B （ ）A ．{|25}x x <≤B ．{|5}x x ≤C ．{|12}x x <≤D ．{|1}x x > 2.若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则z 的实部为（ ） A ．-5 B ． 5 C ．-8 D ．83.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑（ ）A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ． 39500m 4.若二项式71()nx x -的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ． 7 B ．8 C. 14 D ．16 5.设函数()5xx f x ee x -=--，则不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为（ ）A ．(3,2)-B ．(,3)(2,)-∞-+∞ C. (2,3)- D ．(,2)(3,)-∞-+∞6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ． 28B ．30 C. 36 D ．427.设不等式组40310x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点(,)P x y N ∈，则2z x y =+的最小值为（ ）A ． -9B ．9 C. -7 D ．78.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．1191077 B ．160359 C. 9581077 D ．2893599.已知点(,)M x y 是抛物线24y x =（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．6 10.将函数44()sin cos f x x x =+的图像向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图像，则()g x =（ ）A ．31sin 444x - B ．13sin 444x - C. 31cos 444x - D ．13cos 244x - 11.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C. c a b >> D ．c b a >>12.已知函数1,0()3,0x e x f x x ax x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量,a b 满足||3a =，且()()4a b a b +-=，则||b = ．14.设P 为曲线2x =上一点，(A ，B ，若||2PB =，则||PA = ．15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S = ．16.已知,A B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体积为，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-.（1）试问：,,a b c 是否可能依次成等差数列？为什么？（2）若3b c =，且ABC ∆的周长为4+ABC ∆的面积.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3AB AC ==，2CE EA =，BD DC =.（1）证明：平面PBC ⊥平面PAD ； （2）若三棱锥P ABD -的体积为94，且AB AC ⊥，求平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值.19. 某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量x （单位：个）线性相关，求y 关于x 的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X （单位：元）.（ⅰ）若日需求量为15个，求X ；（ⅱ）求X 的分布列及其数学期望.相关公式：∑∑==---=n i i ni iix x y yx x b 121^)())((∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx 1221 ， x by a ^^-= 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数()ln (0)af x x a x a a =--≠. （1）讨论()f x 的单调性；（2）对0a >时，对任意121,[,]x x e e∈，12|()()|2f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，(1,2)P -，求||||PA PB . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()13f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且211(0)k mn m n+=>，证明：16m n +≥. 试卷答案一、选择题1-5: CBABD 6-10: DCCAA 11、12：BC1.C ∵{|2}A x x =>，∴{|2}R C A x x =≤，又{|16}B x x =<≤，∴(){|12}R C A B x x =<≤.2.B 因为1811582iz i i+==+-，所以z 的实部为5. 3.A 依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑7650007200392002m ⨯⨯+⨯=. 4.B 71()n x x -的展开式的通项为8171()(1)r n r r r r n r r n n T C x C x x--+=-=-(0,1,,)r n =，令80n r -=，得8n r =，则整正数n 的最小值为8.5.D ∵()f x 是奇函数，∴2()(6)0f x f x +--<2()(6)(6)f x f x f x ⇔<---=+.又()f x 是减函数，∴22()(6)6f x f x x x <+⇔>+，故不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为(,2)(3,)-∞-+∞.6.D 该几何体是由12个棱长为1的正方体组合而成的，所以121224S =+=前后，336S =+=左右，6612S =+=上下，从而2461242S =++=表面.7.C 作出区域N （阴影部分），由图可知，当直线2z x y =+经过点(4,1)-时，z 取得最小值-7.8.C 设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=.9.A(,)M x y 到点(1,0)F 的距离，即点(,)M x y 到抛物线24y x =的准线1x =-(,)M x y 到点(2,1)A的距离，所以(2,1)A 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离3，即min 3=.10.A ∵22222()(sin cos )2sin cos f x x x x x =+-1cos 21cos 21222x x -+=-⨯⨯31cos 444x =+， ∴3131()()cos(4)sin 4844244g x f x x x ππ=+=++=-.11.B ∵327lg 64log 4log 64lg 27==，525lg 64log 8log 64lg 25==，∴35log 4log 8<， ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=. 又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 12.C 当0x >时，1()x e f x x -=，12(1)'()x e x f x x--=， 当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故min ()(1)1f x f ==.当0x ≤时，()3f x ax =+的图像恒过点(0,3)，当0,0a x ≤≤时，()(0)3f x f ≥=；当0,0a x >≤时，()(0)3f x f ≤=.()(())2g x f f x =-有5个零点，即方程(())2f f x =有5个解，设()t f x =，则()2f t =. 结合图像可知，当0a >时，方程()2f t =有三个根1(,0)t ∈-∞，2(0,1)t ∈，3(1,3)t ∈（∵2(3)23e f =>，∴313t <<），于是1()f x t =有1个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有3个解，共有5个解.由32ax +=，得1x a =-，再由13ax a +=-，得2314x a a=--<-，∵0a >，∴01a <<.而当0a ≤时，结合图像可知，方程(())2f f x =不可能有5个解.二、填空题 13.∵ 222()()9||4a b a b a b b +-=-=-=，∴||5b =. 14. 4由2x =得2244(0)x y x =+>，即221(0)4y x x -=>，故P 为双曲线221(0)4y x x -=>右 支上一点，且,A B 分别为该双曲线的左、右焦点，则||||22PA PB a -==，||224PA =+=.15. 12n n-∵1(1)(1)n n n a n S ++=-，∴11n n n na S nS +++=，∴11()n n n n n S S S nS ++-+=，∴1(1)2n nn S nS ++=，∴{}n nS 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n nS -=，∴12n n S n-=.16.3∵AB BC ⊥，∴ABC ∆的外心'O 为AC 的中点，∴'OO ⊥平面ABC ，易证//'PA OO ，∴PA ⊥平面ABC ，从而球O 的半径R OA =，又343R π=，∴R =，∵AC =∴'AO ='1OO =，∴2PA AB ==.设PB 与AC 所成角为θ，则cos cos cosPBA BAC θ=∠∠==故tan 3θ=.三、解答题17.解：（1）∵4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-， ∴2224sin sin sin C B A =-， ∴2224c b a =-.假设,,a b c 依次成等差数列，则2a cb +=， 则2224()2a c c a ++=，即221532c a ac +=，又221532c a ac +≥>， ∴221532c a ac +≠，从而假设不成立，故,,a b c 不可能依次成等差数列.（2）∵2224c b a =-，3b c =，∴225a c =，则a =，则(44a b c c ++==1c =.从而223155cos 2136A +-==⨯⨯，则sin 6A =故ABC ∆的面积1sin 24S bc A ==.18.（1）证明：因为AB AC =，BD DC =，所以AD BC ⊥， 又PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥， 因为ADPA A =，所以BC ⊥平面PAD .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAD .（2）因为1119333224P ABD V PA -=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以3PA =.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,3,0)C ，(0,1,0)E ，33(,,0)22D ，(0,0,3)P ，则31(,,0)22ED =，(0,1,3)PE =-.设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则00n ED n PE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3102230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩， 令1z =，得(1,3,1)n =-，平面PAB 的一个法向量为(0,1,0)m =，则cos ,m n <>==故平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值为11. 19.（1）21x =，6y =，^2222(1521)(106)(1821)(86)(2421)(36)(2721)(26)630.7(1521)(1821)(2421)(2721)90b --+--+--+--==-=--+-+-+-， ^^6210.720.7a y b x =-=+⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为^0.720.7y x =-+.（2）（ⅰ）若日需求量为15个，则15(104)(2415)(24)72X =⨯-+-⨯-=元 （ⅱ）若日需求量为18个，则18(104)(2418)(24)96X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为21个，则21(104)(2421)(24)120X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为24个或27个，则24(104)144X =⨯-=元 故分布列为1087530487296120144101.63030303030EX =⨯+⨯+⨯+⨯== 20.（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==， 2223b a c =-=.故C 的方程为22143x y +=. （2）假设存在点P ，使得PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，3(1,)2B ，3(1,)2M -，则209(1)4PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为(1)y k x =-，设点11(,)B x y ，22(,)M x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于202(,)PM x x y =-，101(,)PB x x y =-，则212120012()PM PB x x x x x x y y ∙=-+++2222120120(1)()()k x x x k x x k x =+-++++ 2220002(485)31243x x k x k --+-=+ 因为PM PB 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)()a a a a x f x ax x x--=-=， 当0a <时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.当0a >时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.（2）因为12max min |()()|()()f x f x f x f x -≤-，所以max min ()()2f x f x e -≤-，由（1）知，()f x 在1[,1)e上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以min ()(1)1f x f a ==-. 因为1()a f e e -=与()2a f e e a =-，所以max 1()max{(),()}f x f f e e=. 设1()()()2(0)a a g a f e f e e a a e-=-=-->，则'()220a a g a e e -=-->=，所以()g a 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g a g >=，所以1()()f e f e>，从而max ()()2a f x f e e a ==-，所以2(1)2a e a a e ---≤-，即10a e a e --+≤. 设()1(0)a a e a e a ϕ=--+>，则'()1a a e ϕ=-， 当0a >时，'()0a ϕ>，所以()a ϕ在(0,)+∞上单调递增， 又(1)0ϕ=，所以10a e a e --+≤等价于()(1)a ϕϕ≤，则1a ≤. 因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1].22.解：（1）直线l 的普通方程为：10x y +-=. 由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=， 则2y x =，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）将122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x =，得220t -=， 则122t t =-，故12||||||2PA PB t t ==.23.（1）由()13f x <，得|1||2|13x x -++<， 则12113x x >⎧⎨+<⎩或21313x -≤≤⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩， 解得：76x -<<，故不等式()13f x <的解集为(7,6)-.（2）证明：因为()|1||2|f x x x =-++|1(2)|3x x ≥--+=， 所以3k =， 因为21191(0)k mn m n m n+=+=>，所以0,0m n >>，199()()(10)1016n m m n m n m n m n+=++=++≥+= 当当当当9n m m n =，即4,12m n ==时取等号，故16m n +≥.。

一、单选题二、多选题1. 已知等比数列的各项均为正数，公比，且，则（ ）A．B．C．D．2. 已知是R上的奇函数，且，当时，，则（ ）A ．3B．C ．255D．3. 《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V的近似公式．用该术可求得圆周率的近似值．现用该术求得的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为（ ）A．B ．3C．D ．94. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点组成图形的面积为（ ）A．B ．C ．1D ．25.已知平面向量，若与垂直，则λ＝（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．16. 在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（ ）A ．36种B ．48种C ．24种D ．26种7. 已知复数z满足，则（ ）A ．1B．C．D ．28. 已知，，，则（ ）A ．b >c >aB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c9. 已知函数，下列结论正确的是（ ）A ．对任意，，函数有且只有两个极值点B ．存在，，曲线有经过原点的切线C ．对于任意，且，均满足D ．当时，恒成立10.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若两两相交，则交线互相平行11. 已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ）A．B．双曲线的渐近线方程为:C ．双曲线的离心率为D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为12. 直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，为的中点，动点满足河南省新乡市2022-2023学年高三第一次模拟考试理科数学试题(高频考点版)河南省新乡市2022-2023学年高三第一次模拟考试理科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题，且，，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，B．若，则的轨迹长度为C ．若平面，则D ．当时，若点满足，则的取值范围是13. 已知集合，若，则实数的取值范围为__________.14.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则的图象的对称中心为______.15. 为普及空间站相关知识，某航天部门组织了空间站建造过程模拟编程竞赛活动．该活动由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等8个程序题目组成，则该活动的题目顺序安排中，全尺寸太阳能排在前两位，且太空发射与自定义漫游相邻，但两者均不与空间运输相邻的概率为 __．16. 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.17.如图，四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，其中，，面面ABCD ，且，点M 在棱AE上．(1)若，求证：平面BDM ．(2)当平面MBC 时，求点E 到平面BDM 的距离．18. 已知函数．(1)当时，讨论函数的极值；(2)已知，函数存在两个极值点，，证明：．19. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，分别为的中点，.(1)证明：平面平面；(2)若与所成角为，求三棱锥的体积.20. 如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.(1)求证：平面ABCD；(2)设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.21. 已知函数，.(1)讨论极值点的个数；(2)若恰有三个零点和两个极值点.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若，且，证明：.。

河南省新乡市新乡一中2021届高三数学上学期第一次质量预测试题文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x ｜－1＜x ＜3}，则A ∩BA ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4} 2．复数z ＝1ii＋在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设a ＝132，b ＝231()4，c ＝21log 2，则A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a4．设α、β是两个不同的平面，l 、m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，则 A ．若α∥β，则l ∥m B ．若m ∥α，则α∥β C ．若m ⊥α，则α⊥β D ．若α⊥β，则l ⊥m 5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的 正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2 000个点，己知恰 有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ．185 C ．10 D ．3256．若变量x ，y 满足约束条件00340.x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥，－≥，＋－≤则y －2x 的最小值是A ．－1B ．－6C ．－10D ．－157．已知函数y ＝f （x ）的图像由函数g （x ）＝cosx 的图像经如下变换得到：先将g （x ）的图像向右平移6π个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变， 则函数y ＝f （x ）的对称轴方程为A ．x ＝2k π＋12π，k ∈Z B ．x ＝2k π＋6π，k ∈Z C ．x ＝kπ＋12π，k∈Z D ．x ＝kπ＋6π，k∈Z8．直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0相切，则m ＝A ．－5或15B ．5或－15C ．－21或1D ．－1或219．已知椭圆：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）的离心率为35，直线2x ＋y ＋10＝0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为A ．22154x y ＋＝B ．221259x y ＋＝C ．221169x y ＋＝D ．2212516x y ＋＝ 10．已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在球面上，PB ⊥平面ABC ．PB ＝，△ABC为直角三角形，AB ⊥BC ，且AB ＝1，BC ＝2．则球的表面积为 A ．5π B ．10π C ．17π D．6π 11．关于函数f （x ）＝sin ｜x ｜－｜cosx ｜有下述四个结论：①f（x ）是偶函数 ②f（x ）在区间（2π，π）单调递减 ③f（x④当x∈（－4π，4π）时，f （x ）＜0恒成立其中正确结论的编号是A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④12．已知关于x 的方程为22(3)xx e －＝32x e －＋2e（x 2－3），则其实根的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝4，则3ab的最小值为_________． 14．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，且633S S ＝38，则6542a a a ＋＝________． 15．已知双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若OMF S ∆＝6，则双曲线C 的离心率为_______.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cosA ＝a－cosC ）， c ＝2，D 为AC 上一点，AD ：DC ＝1 ：3，则△ABC 面积最大时，BD ＝__________．三、解答题：共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分）已知等差数列{n a }为递增数列，且满足a 1＝2，23a ＋24a ＝25a ． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）令n b ＝11(1)(1)n n a a －＋＋（n ∈N *），n S 为数列{n b }的前n 项和，求n S ．18．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°、AB ＝4，点D 为AB 中点，将△ADC沿DC 折叠得到三棱锥A 1—BCD ，如图（2），其中∠A 1DB ＝60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥G —A 1DC 的体积．19．（12分）2021年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》）．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类．为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少?20．（12分）设曲线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点M （m ，2）到焦点的距离为3． （Ⅰ）求曲线C 方程；（Ⅱ）设P ，Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点?若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．21．（12分） 已知函数f （x ）＝ax 2－x －ln1x． （Ⅰ）若f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线y ＝2x ＋1平行，求f （x ）在点（1，f （1））的切线方程；（Ⅱ）若函数f （x ）在定义域内有两个极值点x 1，x 2，求证：f （x 1）＋f （x 2）＜2ln2－3．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做．则按所做的第一题记分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P （1，32），其参数方程为cos x a y αα⎧⎪⎨⎪⎩＝，，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线E 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：21OA＋21OB为定值，并求出这个定值．23．[选修4—5不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）＝｜x －1｜－｜2x ＋1｜＋m ． （Ⅰ）求不等式f （x ）≥m 的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n ，使得f （n ）≥0，求m 的取值范围．（文科） 参考答案一、选择题：1---12 BDACB BAADC DB 二、填空题：313.2114.3515.42 三、解答题：17.解：222(22)(23)(24)d d d +++=+(1)由题意知...2分23440d d ∴--=223d d ∴==-或{}n a 为递增数列2d ∴=...4分{}2.n n a a n =故数列的通项公式为...6分1111(2)()(21)(21)22121n b n n n n ==-+--+...8分11111111[(1)()()...()]2335572121n S n n ∴=-+-+-++--+...10分11(1)221n =-+ 21n n =+...12分18.解：（1）2AC BC AD BD CD =====由题知图（1）中 ...1分∴111,A BCD A D BD AC BC -==在三棱锥中， 1G A B 点是的中点11,DG A B CG A B ∴⊥⊥ =DG CG G ⋂又1A B DGC∴⊥平面 ...4分1M N AC BC 又点、分别是、的中点1//MN A B ∴...5分MN DGC ∴⊥平面 ...6分11,=,CD A D CD BD A D BD D ⊥⊥⋂（2）由图（1）知，且1CD A DG ∴⊥平面...8分 01160A DB A DB ∠=∴∆又为等边三角形11111,2,1,2DG A B A B AG A B DG ∴⊥====1111122A DG S A G DG ∆∴=⨯=⨯=分11111233G A DC C A DG A DG V V S CD --∆==⨯==...12分19. 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为(0.020.040.02)100.8++⨯=，所以样本中分数高于60的概率为0.8．故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．3分（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，...5分分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=．...6分 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为550025100⨯=．...7分 （Ⅲ）123,,a a a 设3名男生分别为，12,b b 2名女生分别为，则从这5名同学中选取2人的结果为：12131112212231322312{,},{,},{,},{,},{,},{,}{,},{,},{,},{,}a a a a a b a b a b a b a b a b a a b b ，共10种情况. ...9分 其中2人中男女同学各1人包含结果为：111221223132{,},{,},{,},{,}{,},{,}a b a b a b a b a b a b ，，共6种. ...10分{21}A =设事件抽取的人中男女同学各人，则63()105P A == 所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是35. ...12分 20.解：（1）由抛物线定义得2+2p=3， ...2分 解得2p =，所以曲线C 方程为24x y = ....4分 （2）O PQ 以为直径的圆过原点，OP OQ ∴⊥....5分设直线OP 的方程为(0)y kx k =≠,与曲线C 方程24x y =联立，得24x kx = 解得0(4x x k ==舍去）或 于是2(4,4)P k k . ...7分 又直线OQ 的方程为1y x k=-，同理：244(,)Q k k - .....9分又直线PQ 斜率存在，22244,44....1404y k x kPQ k k k k--∴=---的直线方程为分 即1() 4.y k x k=-+04.PQ ∴直线恒过定点（，） ...12分20.解：（1）2()ln ,f x ax x x =-+'1()21.f x ax x ∴=-+'(1)2...1.k f a ∴==分因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行，...222, 1.a a ∴==即分(1)0,..1,.30f ∴=故切点坐标为（）.分 2-2.y x ∴=切线方程为...4分2'121(2)()21,ax x f x ax x x-+=-+=2122100,.ax x x x ∴-+=+∞由题知方程在（，）上有两个不等实根1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪∴+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩10.8a ∴<<...6分221212121222121212212121212()()()ln ln ()()ln()=[()2]()ln()11=ln1,24f x f x ax ax x x x x a x x x x x x a x x x x x x x x a a+=+-+++=+-+++--++--又1,2t a=令()ln 1,(4,),2t g t t t =--∈+∞'112..9(.)0,22t g t t t -=-=<则分()(4,)g t ∴+∞在上单调递减.()(4)ln 432ln 2 3.g t g ∴<=-=-12()()2ln 2 3.f x f x +<-即...12分22.解析：（I ）将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分 （Ⅱ）不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()()00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23. 解析：（I ）由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分 即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分 （Ⅱ）设g （x ）＝|x －1|－|2x ＋1|，……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=-又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥， 所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2). ……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。

一、单选题二、多选题三、填空题1. 定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．2. 已知函数是定义在R 上的奇函数，且当时，，则（ ）A．B ．0C ．1D．3. 若，，则的最小值为（ ）A ．4B．C ．8D．4. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A．B．C．D．5. 方程的实根个数为（ ）A ．4040B ．2022C ．2020D ．10106. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1;再染两个偶数2，4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9;再染9后面的最邻近的4个连续偶数10，12，14，16;再染此后最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25．按此规则一直染下去，得到一红色数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，…，则在这个红色数列中，由1开始的第2018个数是（ ）A ．3971B ．3972C ．3973D ．39747. 若定义在上的函数满足，且关于点对称，在区间上，恒有，则下列说法正确的是（ ）A．B．函数的图象关于直线成轴对称C．函数的图象关于点成中心对称D ．函数在区间上为减函数8. 下列选项中关于以下4幅散点图的说法正确的有（）A．图①中的和相关程度很强B．图②中的和成正相关关系C．图③中的和成负相关关系D．图④中的和成非线性相关关系9.若，则是正数的充要条件是____________．10. 已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点，若点，分别位于第一、第四象限，为坐标原点，当时，的面积为，则______．11.若，，且，则实数的取值范围是______．河南省新乡市2022-2023学年高三第一次模拟考试理科数学试题(高频考点版)河南省新乡市2022-2023学年高三第一次模拟考试理科数学试题(高频考点版)四、解答题12.设向量，，，且，则__________．13.已知数列的前n项和为，数列是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列{}的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前n 项和为.14.将函数的图象向左平移后得到函数的图象，求的解析式.15. 计算：(1)；(2)求的值：.16. 如图，过抛物线x 2＝y 上任意一点P （不是顶点）作切线l ，l 交y 轴于点Q．(1)求证：线段PQ 的中垂线过定点；(2)过直线yx ﹣1上任意一点R 作抛物线x 2＝y 的两条切线，切点分别为S 、T ，M 为抛物线上S 、T 之间到直线ST 的距离最大的点，求△MST 面积的最小值．。