河南省新乡市新乡县第一中学2020届高三数学5月联考试题理

理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x ｜0≤x ≤4}，N ＝{x ｜y ＝3－x ，y ∈M}，则M ∩N ＝A ．[0，3]B ．[0，4]C ．[－1，4]D ．[－1，3]2．若复数z 满足，则z ＝()211i i z ＋＝－ A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i3．人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）．其判定标准如下表：某小学生的身高为1．5 m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是 A ．47 kg B ．51 kg C ．66 kg D ．70 kg4．若x ，y 满足约束条件则z ＝4x ＋3y 的最小值为1133x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥，－≥－，＋≤，A ．9 B ．6．5 C ．4 D ．35．已知数列{}是等差数列，且＝3，则＋＋＝n a 9a 4a 8a 122a A ．12 B ．9 C ．6 D ．36．某种微生物的繁殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 相关，在一定条件下可用回归模型y ＝2lg x 进行拟合．在这个条件下，要使y 增加2个单位，则应该A ．使x 增加1个单位B ．使x 增加2个单位C ．使x 增加到原来的2倍D ．使x 增加到原来的10倍7．已知O 是△ABC 的重心，且，则实数λ＝ 20OAOB BC λ ＋＋＝A ．3 B ．2 C ．1 D ． 128．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK ＋CK 的最小值为A B C ．D 9．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋1）是偶函数，f （x －1）是奇函数，则下列说法正确的个数为①f （7）＝0；②f （x ）的一个周期为8；③f （x ）图像的一个对称中心为（3，0）；④f （x ）图像的一条对称轴为x ＝2019．A ．1B ．2C ．3D ．410．将函数图像上所有的点按照向量m ＝（a ，0）（a ≠0）平移得到函()sin 3f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋数g （x ）的图像，若，则｜a ｜的最小值为 3355f g ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ A ． B ． C ． D ． 415π1330π1315π1715π11．如图所示，直线l 与双曲线E ：（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于A ，22221x y a b－＝B 两点，若·＝－4，且△AOB 的面积为，则E 的离心率为OA OBA B C ．2 D12．已知函数若f （a ）＝f （b ）（a ＜b ），则ab 的最小值为 ()1212log 18212x x x f x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋，≤＜，＝，≤≤，A ．B ． CD ．1 1412二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中x 2y 4项的系数为__________． 6122x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋14．曲线y ＝（x 2＋2）e x 在点（0，2）处的切线方程为__________．15．已知圆C ：（x －a ）2＋（y －2）2＝4，直线l ：x ＋ay －1＝0与圆C 交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a ＝__________．16．已知数列{}是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且＝1，＝7．若n a n n S 1a 3S 关于的不等式＜的解集中有6个正整数，则实数k 的取值范围是n n S 22log n k a ＋________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知． tan tan a A b B （Ⅰ）证明：△ABC 是等腰三角形；（Ⅱ）若a ：b ：c ＝1 ：x ：y ，且△ABC ，求y 的值．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利 润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的 频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80％以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子? （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥S －ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，SA ＝SD ．（Ⅰ）若∠BAD ＝120°，证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）若3BD ＝6AC ＝8SA ，求平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）设椭圆C ：（a ＞1）的左顶点为A ，右焦点为F ，已知｜AF ｜＝ 2221x y a＋＝2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）抛物线y 2＝2px （p ＞0）与直线x ＝2交于P ，Q 两点，直线AP 与椭圆C 交于点B （异于点A ），若直线BQ 与AP 垂直，求p 的值．21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2lnx （a ≠0）．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若存在a ∈（0，＋∞），对任意的x ∈（0，＋∞），不等式恒成 ()422x f x bx ≤＋立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C的参82x ty ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－，＝数方程为（s 为参数）．23x s y ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值及此时P 点的坐标．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且abc ＝1，证明：（Ⅰ）（2a ＋1）（2b ＋1）（2c ＋1）≥27； （Ⅱ）．()()()22211134a b c b a c c a b ＋≤＋＋＋理科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.［答案］A［命题意图］本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想．［解析］依题意得O罢王3-x罢王4，解得一l,;.;;x罢王3，即N=!xi -1,;.;;x，；二剖，所以M门N=i x l O，；三Z罢王3f.2. ［答案］D【命题意图］本题考查复数的基本运算．【解析】z＝电子＝呜±il＝一1+ i.3.［答案］C［命题意图］本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想．［解析］由题意得，体重＝BMI×身高2，因为此人属于超标，所以BMI e [24 ,29. 9］，所以此学生的体重范围为[24 X 1. 52 ,29. 9×1. 52 J，即［54,67.275］，故正确答案为C.4.［答案］D［命题意图］本题考查线性规划，考查化归与转化能力以及数形结合思想．［解析］不等式组所表示的可行域为下图中的LABC，当目标函数对应的直线经过点B(O,l）时，z取得最小值3.y5.［答案］A［命题意图］本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想．［解析］因为I a. i是等差数列，所以a4+ a8 + 2a12 = 2a6 + 2a12 = 4a9 = 12.6.［答案］D［命题意图］本题考查回归模型的概念．［解析］y =2lg z，则y+ 2 = 21g X + 2 = 2 (lg X + 1 ) = 21g lOx，所以应该使z增加到原来的10倍．7. ［答案］C［命题意图］本题考查向量的线性运算，考查运算求解能力以及函数与方程思想．［解析］芮＋20主＋λ亘古二日＋2而＋λ（而－OB）二日＋(2 －λ）而＋λ苟＝0，因为0是LABC的重心，『2λ＝1.所以J’解得λ＝1.lλ＝ 1,8.［答案］B［命题意图］本题考查空间图形和平面图形的转化与计算，考查运算求解能力及空间想象能力．［解析］将展开图折成立体图形，如图①，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如。

理科数学考生注意：1．答题前，考生务势必自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定地点．2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知会合 M ＝ {x ｜ 0≤ x ≤ 4} ，N ＝{x ｜ y ＝ 3－ x ， y ∈ M} ，则 M ∩N ＝A ．[0，3]B ． [0，4]C ．[－1， 4]D ． [－ 1， 3]＋ 22．若复数 z 知足i ＝－，则 z ＝1izA ． 1－ iB ． 1＋ iC ．－ 1－ iD ．－ 1＋ i 3．人体的体质指数（ BMI ）的计算公式： BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）．其判断标准以下表：某小学生的身高为 1．5 m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是A ． 47 kgB ． 51 kgC ． 66 kgD ．70 kg＋ ≥ ，x y14．若 x ， y 知足拘束条件－ ≥－ ，则 z ＝ 4x ＋ 3y 的最小值为x y1＋ ≤ ，3x y 3A ． 9B ．6．5C ． 4D ． 35．已知数列 { a n } 是等差数列，且a 9 ＝ 3，则 a 4 ＋ a 8 ＋ 2a 12 ＝A ．12B ． 9C ． 6D ． 36．某种微生物的生殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 有关，在必定条件下可用回归模型 y ＝ 2lg x 进行拟合．在这个条件下，要使y 增添 2 个单位，则应当 A ．使 x 增添 1 个单位B ．使 x 增添 2 个单位C ．使 x 增添到本来的2 倍D ．使 x 增添到本来的10 倍uuur uuur uuur7．已知 O 是△ ABC 的重心，且 OA ＋2OB ＋ BC ＝0 ，则实数λ＝A ． 3B ． 2C ． 11 D ．28．某三棱柱的平面睁开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段 DI 上的点，则在原三棱柱中， AK ＋ CK 的最小值为A ．65B ．73 C ．4 5D ．899．已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，且 f （ x ＋ 1）是偶函数， f （x － 1）是奇函数，则以下说法正确的个数为①f （ 7）＝ 0；②f （ x ）的一个周期为 8；③ f （ x ）图像的一个对称中心为（ 3， 0）；④f （ x ）图像的一条对称轴为 x ＝ 2019．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410．将函数 f x ＝ sinx ＋ 图像上全部的点依据向量m ＝（ a ， 0）（ a ≠0）平移获得函数3g （x ）的图像，若f3 ＝ g 3，则｜ a ｜的最小值为5 541313 17A ．B ．C ．D ．1530151511．以下图，直线l 与双曲线 E ：x 2－ y 2＝1（ a ＞0，b ＞ 0）的两条渐近线分别交于A ，Ba 2b 2uuur uuur2 ，则 E 的离心率为两点，若 OA · OB ＝－ 4，且△ AOB 的面积为 4A ．2B．3C． 2D．5＋log11，≤ ＜，12．已知函数2x x 1f x ＝28若 f （ a）＝ f（b）（ a＜ b），则 ab 的最小值为2x，1≤x≤2，11C．2A ．B．D． 1422二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20分．1x＋ 2y 613．的睁开式中 x2y4项的系数为 __________ ．214．曲线 y＝（ x2＋ 2） e x在点（ 0， 2）处的切线方程为__________ ．15．已知圆 C：（ x－ a）2＋（ y－2）2＝ 4，直线 l ：x＋ay－ 1＝ 0 与圆 C 交于 A，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a＝ __________ ．16．已知数列 { a n } 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为 S n，且 a1＝1， S3＝7．若关于 n 的不等式S n＜ k log 2 a n＋2的解集中有6个正整数，则实数k的取值范围是________．三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，每个试题考生都一定作答．第22， 23 题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共 60 分．17．（ 12 分）△ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，已知a＝tan A．b tan B（Ⅰ）证明：△ ABC 是等腰三角形；（Ⅱ）若 a ： b5ab ，求y的值．： c＝ 1 ： x ： y，且△ ABC 的面积为618．（ 12 分）某包子店每日清晨会提早做好若干笼包子，以保证当日实时供给，每卖出一笼包子的利润为 40 元，当日未卖出的包子作废料办理，每笼损失20 元．该包子店记录了60 天包子的日需求量n（单位：笼，n∈N ），整理获得以下图的条形图，以这60 天各需求量的频次取代相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学希望．（Ⅱ）若该包子店想保证80％以上的天数可以足量供给，则每日起码要做多少笼包子?（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18 笼包子，设Y 为当日的收益（单位：元），求Y的散布列和数学希望．19．（ 12 分）如图，已知四棱锥 S －ABCD ，平面 SAD ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是菱形， SA ＝ SD ．（Ⅰ）若∠ BAD ＝ 120°，证明： SC ⊥ BC ；（Ⅱ）若 3BD ＝6AC ＝ 8SA ，求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．20．（ 12 分）2设椭圆 C ： x＋ y 2＝1 （ a ＞ 1）的左极点为A ，右焦点为 F ，已知｜ AF ｜＝ 2＋ 3 ．2a（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）抛物线 y 2 ＝2px （ p ＞ 0）与直线 x ＝ 2 交于 P ， Q 两点，直线 AP 与椭圆 C 交于点 B （异于点 A ），若直线 BQ 与 AP 垂直，求 p 的值．21．（ 12 分）已知函数 f （ x ）＝ ax 2lnx （ a ≠ 0）．（Ⅰ）议论函数f （ x ）的单一性；（Ⅱ）若存在 a ∈（ 0，＋∞），对随意的 x ∈（ 0，＋∞），不等式 fx ≤ x 4 ＋ bx 2 恒成2立，务实数 b 的取值范围．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22， 23 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．22． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程]（ 10 分）x ＝－8＋ 3 t ，在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为2（t 为参数），曲线 C 的参数y ＝t2x ＝3s 2，方程为（ s 为参数）．y ＝2 3s（Ⅰ）求直线 l 和曲线 C 的一般方程；（Ⅱ）设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最小值及此时P 点的坐标．23． [选修 4－ 5：不等式选讲 ] （ 10 分）已知 a ， b ， c 为正数，且 abc ＝ 1，证明：（Ⅰ）（ 2a ＋ 1）（ 2b ＋ 1）（ 2c ＋ 1）≥ 27；（Ⅱ）1 2 ＋ 1 2 ＋ 1 2 ≤ 3．a b ＋ c b a ＋ c c a ＋ b 4。

理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x｜0≤x≤4}，N＝{x｜y＝3－x，y∈M}，则M∩N＝A．[0，3] B．[0，4] C．[－1，4] D．[－1，3]2．若复数z满足()211iiz＋＝－，则z＝A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i3．人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI＝体重÷身高2（体重单位为kg，身高单位为m）．其判定标准如下表：某小学生的身高为1．5 m，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是A．47 kg B．51 kg C．66 kg D．70 kg4．若x，y满足约束条件1133x yx yx y⎧⎪⎨⎪⎩＋≥，－≥－，＋≤，则z＝4x＋3y的最小值为A．9 B．6．5 C．4 D．35．已知数列{na}是等差数列，且9a＝3，则4a＋8a＋122a＝A．12 B．9 C．6 D．36．某种微生物的繁殖速度y与生长环境中的营养物质浓度x相关，在一定条件下可用回归模型y＝2lg x进行拟合．在这个条件下，要使y增加2个单位，则应该A．使x增加1个单位 B．使x增加2个单位C．使x增加到原来的2倍 D．使x增加到原来的10倍7．已知O是△ABC的重心，且20OA OB BCλu u u r u u u r u u u r＋＋＝，则实数λ＝A．3 B．2 C．1 D．128．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K是线段DI上的点，则在原三棱柱中，AK＋CK的最小值为A ．65B ．73C ．45D ．899．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋1）是偶函数，f （x －1）是奇函数，则下列说法正确的个数为 ①f （7）＝0；②f （x ）的一个周期为8；③f （x ）图像的一个对称中心为（3，0）； ④f （x ）图像的一条对称轴为x ＝2019．A ．1B ．2C ．3D ．4 10．将函数()sin 3f x x π⎛⎫⎪⎝⎭＝＋图像上所有的点按照向量m ＝（a ，0）（a ≠0）平移得到函数g （x ）的图像，若3355f g ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，则｜a ｜的最小值为 A ．415π B ．1330π C ．1315π D ．1715π 11．如图所示，直线l 与双曲线E ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若OA u u u r ·OB uuu r＝－4，且△AOB 的面积为42，则E 的离心率为A 2B 3．2 D 512．已知函数()1212log 18212x x x f x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋，≤＜，＝，≤≤，若f （a ）＝f （b ）（a ＜b ），则ab 的最小值为 A ．14 B ．12C．2 D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6122x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋的展开式中x 2y 4项的系数为__________．14．曲线y ＝（x 2＋2）e x在点（0，2）处的切线方程为__________．15．已知圆C ：（x －a ）2＋（y －2）2＝4，直线l ：x ＋ay －1＝0与圆C 交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a ＝__________． 16．已知数列{n a }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，且1a ＝1，3S ＝7．若关于n 的不等式n S ＜22log n k a ＋的解集中有6个正整数，则实数k 的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan aAb B＝． （Ⅰ）证明：△ABC 是等腰三角形；（Ⅱ）若a ：b ：c ＝1 ：x ：y ，且△ABC的面积为6，求y 的值． 18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利 润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的 频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80％以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子? （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥S－ABCD，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，SA＝SD．（Ⅰ）若∠BAD＝120°，证明：SC⊥BC；（Ⅱ）若3BD＝6AC＝8SA，求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）设椭圆C：2221xya＋＝（a＞1）的左顶点为A，右焦点为F，已知｜AF｜＝23＋（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）抛物线y2＝2px（p＞0）与直线x＝2交于P，Q两点，直线AP与椭圆C交于点B （异于点A），若直线BQ与AP垂直，求p的值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2lnx（a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在a∈（0，＋∞），对任意的x∈（0，＋∞），不等式()42 2xf x bx≤＋恒成立，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为82x t y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－，＝（t 为参数），曲线C 的参数方程为23x s y ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝（s 为参数）．（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值及此时P 点的坐标．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且abc ＝1，证明： （Ⅰ）（2a ＋1）（2b ＋1）（2c ＋1）≥27； （Ⅱ）()()()22211134a b c b a c c a b ＋＋≤＋＋＋．。

2020年河南省新乡市城关中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对于正整数n，定义“n!!”如下：当n为偶数时，n!!=n?（n﹣2）?（n﹣4）…6?4?2；当n为奇数时，n!!=n?（n﹣2）?（n﹣4）…5?3?1；则：①?=2005!；②2004!!=21002?1002!；③2004!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5；上述命题中，正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：D【考点】排列及排列数公式．【分析】利用定义“n!!”及其“n!”的定义即可得出．【解答】解：①?=2005!，正确；②2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2=21002?1002!，正确；③2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2的个位数是0，正确；④2005!!=2005×2003×…×9×7×5×3×1的个位数是5；上述命题中，正确的命题有4个．故选：D．2. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（）(A) (B) (C)(D)参考答案：C略3.在的展开式中的系数是（）A．240 B．15 C．－15 D．－240参考答案：答案：D4. 已知锐角的内角的对边分别为，，，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D略5. 已知平面向量，，，，，，若，则实数（）A．4 B．－4 C．8 D．－8参考答案：D试题分析：∵，，∴，故选D考点：平面向量共线的坐标表示.6. 抛物线的焦点坐标是(A）（,0）(B) （0,）(C） (D)参考答案：D考点：抛物线的焦点问题7. 函数的图象可能是()参考答案：B8. 已知数列满足,前项的和为,关于叙述正确的是( )A. 都有最小值B. 都没有最小值C. 都有最大值D. 都没有最大值参考答案：A9. 在四边形ABCD中，，且||=||，那么四边形ABCD为( ) A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形参考答案：B【考点】向量在几何中的应用．【专题】常规题型．【分析】根据，以及共线向量定理可得AB∥CD，且AB=CD，从而可知在四边形ABCD是平行四边形，又由||=||得四边形ABCD的一组邻边相等，因此得到四边形ABCD为菱形．【解答】解：由=可得四边形ABCD是平行四边形，由||=||得四边形ABCD的一组邻边相等，∴一组邻边相等的平行四边形是菱形．故选B．【点评】此题是个基础题．考查共线向量定理以及向量在几何中的应用，考查学生利用知识分析解决问题的能力．10. 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm)，则该几何体的体积为(A) 120 cm2 (B)80 cm2 (C)100 cm2(D)60 cm2参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线的焦点到准线的距离为 .参考答案：12. 已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为.参考答案：(－4,11]∵等差数列是递增数列，且，∴，又∵，∴，，，，即的取值范围为，故答案为.13. 3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是．（用数字作答）参考答案：48根据题意，每对双胞胎都相邻，故不同的站法为14. 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）且x≠时，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为 .参考答案：4略15. 已知实数满足约束条件，则的最小值是．参考答案：约束条件表示的平面区域为封闭的三角形，求出三角形的三个顶点坐标分别为、、，带入所得值分别为、、，故的最小值是.另，作出可行域如下：由得，当直线经过点时，截距取得最大值，此时取得最小值，为.16. 已知集合，则.参考答案：17. 已知向量不超过5，则k的取值范围是参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

新乡市2020届高三第一次模拟测试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24}xA x =>，{|015}B x x =<-≤，则()=RC A B I （ ） A ．{|25}x x <≤ B ．{|5}x x ≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|1}x x > 2.若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则z 的实部为（ ） A ．-5 B ． 5 C ．-8 D ．83.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑（ ）A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ． 39500m 4.若二项式71()nx x -的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ． 7 B ．8 C. 14 D ．16 5.设函数()5xx f x ee x -=--，则不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为（ ）A ．(3,2)-B ．(,3)(2,)-∞-+∞U C. (2,3)- D ．(,2)(3,)-∞-+∞U6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ． 28B ．30 C. 36 D ．427.设不等式组40310x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点(,)P x y N ∈，则2z x y =+的最小值为（ ）A ． -9B ．9 C. -7 D ．78.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．1191077 B ．160359 C. 9581077 D ．2893599.已知点(,)M x y 是抛物线24y x =（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．6 10.将函数44()sin cos f x x x =+的图像向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图像，则()g x =（ ）A ．31sin 444x - B ．13sin 444x - C. 31cos 444x - D ．13cos 244x - 11.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >> C. c a b >> D ．c b a >>12.已知函数1,0()3,0x e x f x x ax x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量,a b r r 满足||3a =r ，且()()4a b a b +-=r r r r g，则||b =r．14.设P 为曲线224x y =+上一点，(5,0)A -，(5,0)B ，若||2PB =，则||PA = ． 15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S = ．16.已知,A B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体积为86π，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-.（1）试问：,,a b c 是否可能依次成等差数列？为什么？（2）若3b c =，且ABC ∆的周长为45+，求ABC ∆的面积.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3AB AC ==，2CE EA =u u u r u u u r ，BD DC =u u u r u u u r.（1）证明：平面PBC ⊥平面PAD ； （2）若三棱锥P ABD -的体积为94，且AB AC ⊥，求平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值.19. 某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量x （单位：个）线性相关，求y 关于x 的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X （单位：元）.（ⅰ）若日需求量为15个，求X ；（ⅱ）求X 的分布列及其数学期望.相关公式：∑∑==---=n ii ni iix x y yx x b 121^)())((∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx 1221 ， x by a ^^-= 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得PM PB u u u u r u u u rg 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()ln (0)af x x a x a a =--≠. （1）讨论()f x 的单调性；（2）对0a >时，对任意121,[,]x x e e∈，12|()()|2f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，(1,2)P -，求||||PA PB g . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()13f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且211(0)k mn m n+=>，证明：16m n +≥. 试卷答案一、选择题1-5: CBABD 6-10: DCCAA 11、12：BC1.C ∵{|2}A x x =>，∴{|2}R C A x x =≤，又{|16}B x x =<≤，∴(){|12}R C A B x x =<≤I .2.B 因为1811582iz i i+==+-，所以z 的实部为5. 3.A 依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑7650007200392002m ⨯⨯+⨯=. 4.B 71()n x x -的展开式的通项为8171()(1)r n r r r r n rr n n T C x C x x--+=-=-(0,1,,)r n =L ，令80n r -=，得8n r =，则整正数n 的最小值为8.5.D ∵()f x 是奇函数，∴2()(6)0f x f x +--<2()(6)(6)f x f x f x ⇔<---=+.又()f x 是减函数，∴22()(6)6f x f x x x <+⇔>+，故不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为(,2)(3,)-∞-+∞U .6.D 该几何体是由12个棱长为1的正方体组合而成的，所以121224S =+=前后，336S =+=左右，6612S =+=上下，从而2461242S =++=表面.7.C 作出区域N （阴影部分），由图可知，当直线2z x y =+经过点(4,1)-时，z 取得最小值-7.8.C 设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=.9.A 22(1)x y -+(,)M x y 到点(1,0)F 的距离，即点(,)M x y 到抛物线24y x =的准线1x =-22(2)(1)x y -+-(,)M x y 到点(2,1)A 的距离，所以2222(2)(1)(1)x y x y -+--+(2,1)A 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离3，即2222min ((2)(1)(1)3x y x y -+--+=.10.A ∵22222()(sin cos )2sin cos f x x x x x =+-1cos 21cos 21222x x -+=-⨯⨯31cos 444x =+， ∴3131()()cos(4)sin 4844244g x f x x x ππ=+=++=-.11.B ∵327lg 64log 4log 64lg 27==，525lg 64log 8log 64lg 25==，∴35log 4log 8<， ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=. 又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 12.C 当0x >时，1()x e f x x -=，12(1)'()x e x f x x--=， 当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故min ()(1)1f x f ==.当0x ≤时，()3f x ax =+的图像恒过点(0,3)，当0,0a x ≤≤时，()(0)3f x f ≥=；当0,0a x >≤时，()(0)3f x f ≤=.()(())2g x f f x =-有5个零点，即方程(())2f f x =有5个解，设()t f x =，则()2f t =. 结合图像可知，当0a >时，方程()2f t =有三个根1(,0)t ∈-∞，2(0,1)t ∈，3(1,3)t ∈（∵2(3)23e f =>，∴313t <<），于是1()f x t =有1个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有3个解，共有5个解.由32ax +=，得1x a =-，再由13ax a +=-，得2314x a a =--<-，∵0a >，∴01a <<.而当0a ≤时，结合图像可知，方程(())2f f x =不可能有5个解.二、填空题 13.5∵ 222()()9||4a b a b a b b +-=-=-=r r r r r r r g ，∴||5b =r14. 4由224x y =+得2244(0)x y x =+>，即221(0)4y x x -=>，故P 为双曲线221(0)4y x x -=>右 支上一点，且,A B 分别为该双曲线的左、右焦点，则||||22PA PB a -==，||224PA =+=.15. 12n n-∵1(1)(1)n n n a n S ++=-，∴11n n n na S nS +++=，∴11()n n n n n S S S nS ++-+=，∴1(1)2n nn S nS ++=，∴{}n nS 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n nS -=，∴12n n S n-=.16.3∵AB BC ⊥，∴ABC ∆的外心'O 为AC 的中点，∴'OO ⊥平面ABC ，易证//'PA OO ，∴PA ⊥平面ABC ，从而球O 的半径R OA =，又34863R ππ=，∴6R =，∵222425AC =+=，∴'5AO =，'1OO =，∴2PA AB ==.设PB 与AC 所成角为θ，则10cos cos cos 10225PBA BAC θ=∠∠=⨯=g . 故tan 3θ=.三、解答题17.解：（1）∵4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-， ∴2224sin sin sin C B A =-， ∴2224c b a =-.假设,,a b c 依次成等差数列，则2a cb +=， 则2224()2a c c a ++=，即221532c a ac +=， 又22153652c a ac ac +≥>， ∴221532c a ac +≠，从而假设不成立，故,,a b c 不可能依次成等差数列. （2）∵2224c b a =-，3b c =，∴225a c =，则5a c =， 则(45)45a b c c ++=+=+，即1c =.从而223155 cos2136 A+-==⨯⨯，则11sin6A=.故ABC∆的面积111sin24S bc A==.18.（1）证明：因为AB AC=，BD DC=u u u r u u u r，所以AD BC⊥，又PA⊥平面ABC，则PA BC⊥，因为AD PA A=I，所以BC⊥平面PAD.又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAD.（2）因为1119333224P ABDV PA-=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以3PA=.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0)A，(3,0,0)B，(0,3,0)C，(0,1,0)E，33(,,0)22D，(0,0,3)P，L 则31(,,0)22ED=u u u r，(0,1,3)PE=-u u u r.设平面PDE的法向量为(,,)n x y z=r，则n EDn PE⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u rgr u u u rg，即312230x yy z⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，令1z=，得(1,3,1)n=-r，平面PAB的一个法向量为(0,1,0)m=u r，则311cos ,1111m n <>==u r r ， 故平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值为31111. 19.（1）21x =，6y =，^2222(1521)(106)(1821)(86)(2421)(36)(2721)(26)630.7(1521)(1821)(2421)(2721)90b --+--+--+--==-=--+-+-+-， ^^6210.720.7a y b x =-=+⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为^0.720.7y x =-+.（2）（ⅰ）若日需求量为15个，则15(104)(2415)(24)72X =⨯-+-⨯-=元 （ⅱ）若日需求量为18个，则18(104)(2418)(24)96X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为21个，则21(104)(2421)(24)120X =⨯-+-⨯-=元 若日需求量为24个或27个，则24(104)144X =⨯-=元 故分布列为1087530487296120144101.63030303030EX =⨯+⨯+⨯+⨯== 20.（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==， 2223b a c =-=.故C 的方程为22143x y +=. （2）假设存在点P ，使得PM PB u u u u r u u u rg 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，3(1,)2B ，3(1,)2M -，则209(1)4PM PB x =--u u u u r u u u r g .若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为(1)y k x =-，设点11(,)B x y ，22(,)M x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由于202(,)PM x x y =-u u u u r ，101(,)PB x x y =-u u u r，则212120012()PM PB x x x x x x y y •=-+++u u u u r u u u r 2222120120(1)()()k x x x k x x k x =+-++++2220002(485)31243x x k x k --+-=+因为PM PB u u u u r u u u r g 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =.21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)()a a a a x f x ax x x --=-=，当0a <时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增. 当0a >时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.（2）因为12max min |()()|()()f x f x f x f x -≤-，所以max min ()()2f x f x e -≤-， 由（1）知，()f x 在1[,1)e 上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以min ()(1)1f x f a ==-. 因为1()a f e e -=与()2a f e e a =-，所以max 1()max{(),()}f x f f e e =. 设1()()()2(0)a a g a f e f e e a a e -=-=-->，则'()220a a g a e e -=-->=，所以()g a 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g a g >=，所以1()()f e f e >，从而max ()()2a f x f e e a ==-，所以2(1)2a e a a e ---≤-，即10a e a e --+≤. 设()1(0)a a e a e a ϕ=--+>，则'()1a a e ϕ=-， 当0a >时，'()0a ϕ>，所以()a ϕ在(0,)+∞上单调递增， 又(1)0ϕ=，所以10a e a e --+≤等价于()(1)a ϕϕ≤，则1a ≤. 因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1].22.解：（1）直线l 的普通方程为：10x y +-=. 由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=， 则2y x =，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）将1222x ty t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x =，得220t -=，则122t t =-，故12||||||2PA PB t t ==g .23.（1）由()13f x <，得|1||2|13x x -++<， 则12113x x >⎧⎨+<⎩或21313x-≤≤⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩，解得：76x -<<，故不等式()13f x <的解集为(7,6)-.（2）证明：因为()|1||2|f x x x =-++|1(2)|3x x ≥--+=， 所以3k =， 因为21191(0)k mn m n m n +=+=>，所以0,0m n >>，199()()(10)1016nmm n m n m n m n +=++=++≥+= 当且仅当9nmm n =，即4,12m n ==时取等号，故16m n +≥.。

2020年河南省新乡市镇第一中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某公园有一个人工湖，湖中有4个人造岛屿甲、乙、丙、丁，要求驾船游遍4个岛屿，且每个岛屿只游览一次，则首先游岛屿甲，最后游岛屿丁的概率是（）A. B. C. D.参考答案：D2. 执行如右图所示的程序框图，若输出m的值是25，则输入k的值可以是A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：C3. 已知y＝f(2x)的定义域为－1，1，则y＝f(log2x)的定义域为( )A．－1，1 B．，2 C．1，2 D．，4参考答案：D4. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数参考答案：C5. 已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于( )A．3 B．﹣3 C．D．参考答案：B考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切函数．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cosα，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果．解答：解：∵，∴cosα+2sinα=0，∴tanα=，∴tan（）==﹣3，故选B点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以2015届高考中应引起足够的重视．本题是把向量同三角函数结合的问题．6. 已知向量，，，若∥，则=（）A． B． C．D． 5参考答案：D7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选C．8. 设随机变量X～N（2，82），且P{2＜x＜4＝0.3，则P{x＜0＝A．0.8 B．0.2 C．0.5 D．0.4参考答案：B略9. 将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为参考答案：A略10. 如果执行如图的框图，运行的结果为A．B．3 C．D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设向量，，若，则．参考答案：12. 已知函数对任意的恒成立，则.参考答案：13. 20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪测量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100km的测震仪记录的最大振幅是20，此时标准地震的振幅为0．001，则此次地震的震级为 (精确到0．1，已知）．参考答案：14. 已知(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝▲．参考答案：15. 在中，，，为垂足，则，该结论称为射影定理。

河南省新乡市2020届高三上学期调研考试数学（理）试题一、选择题 本大题共12道小题。

1.设集合2{}}|2|{13A x x B x x ＝＜，＝＜，则A ∩B =（ ） A. {x ｜x <B. { x x <<12} C. { x ｜3x -<<12} D. { x ｜3x <}答案及解析：1.B 【分析】分别求出解出集合A ，B ，利用交集的运算即可求出。

【详解】{1,2A x x B x x ⎧⎫=<=<⎨⎬⎩⎭Q ，12A B x x ⎧⎫∴⋂=-<<⎨⎬⎩⎭，故选B 。

【点睛】本题主要考查交集的运算。

2.设0m >，双曲线:M 24x -2y 1=与圆()22:5N x y m +-=相切，A （-0），B 0），若圆N 上存在一点P 满足4PA PB -=，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.10B.C.5D.答案及解析：答案第2页，总18页2.D 【分析】根据圆与双曲线的位置关系，联立双曲线方程和圆的方程，消去x ，可得y 的一元二次方程，由判别式为0，求出m 的值，再根据双曲线的定义以及韦达定理，即可求出。

【详解】联立2214x y -=与()221x y m +-=，消去x 得225210y my m -+-=()2242010m m ∆=--=Q ，又0,2m m >∴=易知点,A B 分别为双曲线M 的左、右焦点，又4PA PB -=，故由双曲线的定义可知P 在双曲线M上，且P 为右切点，由韦达定理得22,5510p p m y y ==∴=点P 到x 轴的距离为10，故选D 。

【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及双曲线与圆的位置关系应用，意在考查学生的数学运算能力。

3.设i 为虚数单位，则复数22iz i-=+的共轭复数z =（ ） A. 3455i + B. 3455-iC. 3455i -+D. 3455i --答案及解析：3.A 【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以(2i)-，得出34i 55z =-，再利用共轭复数的定义即可得出。

2020-2021学年河南新乡高三上数学月考试卷一、选择题1. 设集合A ={−1,0,1,2}，B ={x|−2x 2+5x +3>0}，则A ∩B =( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{−1,0,1} D.{0,1}2. 欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ （e 是自然对数的底数，i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，当θ=π时，就有e i π=cos π+isin π=−1 ，根据上述知识试判断e −iπ3表示的复数在复平面对应的点位于( )A.第三象限B.第一象限C.第四象限D.第二象限3. 为了测算某火纹纹样的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是( )A.10B.16C.12D.184. 设a =log 123，b =(13)0.2，c =213，则( )A.a <c <bB.a <b <cC.b <a <cD.c <b <a5. 已知向量a →=(1, 2x)，b →=(4, −x)，则“x =√2”是“a →⊥b →”的（ ） A.充要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件6. 已知等比数列{a n }满足a 1=14，a 3a 5=4(a 4−1)，则q =( ) A.12B.2C.18D.17. 若两个非零向量a →，b →满足(a →+b →)⋅(a →−b →)=0，且|a →+b →|=3|a →−b →|，则a →与b →夹角的余弦值为（ ） A.13 B.±13C.45D.±458. 在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和．若S20202020−S 2020=2000，则d 等于（ ）A.3B.1C.2D.−19. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知√3b sin A −a cos B =2b −c ，则A =( ) A.π3 B.π6C.2π3D.π410. 函数 f(x)=ln |x|⋅cos x x+sin x在[−π,0)∪(0,π]的图像大致为( )A.B.C.D.11. 过椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A ′，若|FO||AA ′|=34，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12 B.√32C.√22 D.√3312. 已知函数y =f (x −2)的图象关于点(2,0)对称，函数y =f (x )对于任意的x ∈(0,π)满足f (x )cos x >f ′(x )sin x （其中f ′(x )是函数f (x )的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A.√2f (−π4)>√3f (π6) B.f (−π3)>√3f (π6)C.√2f (−π4)>f (−π3)D.f (−π3)>−√3f (π6)二、填空题已知函数y =2sin ωx (ω>0)的图像与直线y =−2的相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值________.实数x ，y 满足 {x −y +2≥0，x −4≤0，x +y −4≥0.则z =x −2y 的最小值是________.过点(2, 3)的直线l 与圆 C:x 2+y 2+4x +3=0交于A ，B 两点，当弦|AB|取最大值时，直线l 的方程为________.在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AB =AC =2，∠BAC =120∘，D 是AB 上一点，且AD =2DB ，E 是AA 1的中点，F 是CC 1上一点．当CF =1时，BF//平面CDE ，则三棱柱ABC −A 1B 1C 1外接球的表面积为________. 三、解答题已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3=5，S 7=49． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n <3．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE // AB ．(1)求证：CE ⊥平面PAD ；(2)若PA =AB =1，AD =3，CD =√2，∠CDA =45∘，求四棱锥P −ABCD 的体积．从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中x 的值并估计这50户的平均用电量；(2)若将用电量在区间[50, 150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250, 350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图：若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”？附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，过右焦点F作与x轴垂直的直线，与椭圆的交点到x轴的距离为32.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），求三角形OAB面积S的最大值．已知函数f(x)=ln x+ax2−(2a+1)x，a∈R.(1)函数在x=1处的切线方程为y=kx−2，求a,k的值；(2)讨论f(x)的单调性．已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1：{x=4cos2θ，y=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1t，y=t−1t(t为参数).(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.已知函数f(x)=|2−2x|−|4−x|.(1)解不等式f(x)>4；(2)若不等式f(x)−|2−2x|>−2的解集为(m,n)，正实数a，b满足a+3b=n−m，求1a +13b的最小值．参考答案与试题解析2020-2021学年河南新乡高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】三角函表的综简求值复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】指数表、对烧式守综合员较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】数量来表示冷个向让又夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】正因归理三三函弧汽点差化积公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率椭圆较标准划程平于侧醋坐类表示的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】导射的放算利用验我研究务能的单调性利用都数资究不长式化成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】正弦函因的周激性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】求线性目于函数虫最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积直线与平三平行定判定棱柱三实构特征点于虫、练板的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与平正垂直的判然柱体三锥州、台到的体建计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】众数、中正数、平均测频率都着直方图独根性冬验【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程直线常椭圆至合业侧值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆的极常标按素与直延坐标方程的互化直线验立曲线如多的最值问题参数较严与普码方脂的互化点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】绝对常不等至的保法与目明基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2019-2020学年河南省新乡市县高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 要得到函数的图象，可以将函数的图象(A)沿x轴向左平移个单位（B)沿x向右平移个单位(C)沿x轴向左平移个单位（D)沿x向右平移个单位参考答案：B,根据函数图象平移的“左加右减”原则，应该将函数的图象向右平移个单位.2. 在中，的对边分别为，且，，则的面积为（）A． B． C． D ．参考答案：C试题分析：由已知和正弦定理得，移项得，所以，即，所以.由得,所以，而,所以.考点：1.正弦定理；2.向量；3.三角变换；3. 在的展开式中，的系数是A．20 B．15 C．D．参考答案：答案：C4. 若实数a,b满足a2+b2≤1，则关于的方程x2-2x+a+b=0无实数根的概率为( )A. B. C. D.参考答案：D5. 设a∈R ，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件参考答案：A当，解得或.所以，当a＝1是，两直线平行成立，因此是充分条件；当两直线平行时，或，不是必要条件，故选A.6. 已知条件：（）则它的充要条件的是( )（A）（B）（C）（D） >参考答案：D略7. 阅读右面的程序框图，则输出的S=（）A.14B.30C.20D.55参考答案：B略8. 已知棱长均为1的四棱锥顶点都在球O1的表面上，棱长均为2的四面体顶点都在球O2的表面上，若O1、O2的表面积分别是S1、S2，则S1：S2=（）A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：参考答案：B【考点】球内接多面体．【分析】求出O1、O2的半径比，即可求出S1：S2．【解答】解：四棱锥顶点到底面的距离为，利用射影定理可得，∴r1=，棱长均为2的四面体，扩充为正方体，棱长为，对角线长为，外接球的半径为，∴O1、O2的半径比为，∴S1：S2=1：3，故选B．【点评】本题考查球的面积的比，考查球的半径的计算，属于中档题．9. 利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是( )A.0B.1C.2D.3参考答案：B略10. 设U=R，集合，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点，A，B，D分别为椭圆C的左、右顶点和上顶点，P为C上一点，且轴，过A，D点的直线l与直线PF 交于M，若直BM线与线段OD交于点N，且，则椭圆C的离心率为_____．参考答案：【分析】由题意作出图像，先由是椭圆的左焦点，得到的坐标，求出的长度，根据，表示出的长度，再由，表示出的长度，列出等式，求解即可得出结果.【详解】由题意，作出图像如下：因为是椭圆的左焦点，所以，又轴，所以，因为分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，直线与线段交于点，且，所以，，由题意易得，，所以，，因此，整理得,所以离心率为.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆离心率，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型.12. 设数列共有项,且，对于每个均有.（1）当时，满足条件的所有数列的个数为__________；（2）当时，满足条件的所有数列的个数为_________.参考答案：（1）3 （2）3139【知识点】数列的性质；排列组合D1 J2解析：（1）当时，因为，，所以，，所以或或所以满足条件的所有数列的个数为3个；(2)令，则对每个符合条件的数列满足条件，且反之符合上述条件的9项数列，可唯一确定一个符合条件的10项数列记符合条件的数列的个数为，显然中有个3，个，个1当给定时，的取法有种，易得的可能值为故所以满足条件的所有数列的个数为个.【思路点拨】（1）当时，因为，，求出再做出判断；（2）令，则对每个符合条件的数列满足条件，且，结合排列组合的知识即可。

2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=a1+2i+i(a∈R)在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣1 3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．14．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．3635．已知a=log234，b=log445，c=log889，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组7．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ）A ．[136，83) B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83] 8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．√24C ．√34D ．√229．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2) B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√210．已知实数a ，b ，满足a 28+b 22=1，当√acosθ+√2bsinθ取最大值时，tan θ＝（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．211．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，以下结论正确的个数是（ ）①双曲线C 的离心率为√3；②双曲线C 的渐近线方程y =±√2x ；③直线l 的斜率为1． A ．0B ．1C ．2D ．312．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ae ﹣x +2sin x 满足{f(y −3)≤f(x)≤f(0)f(1−6y)≤f(x)≤f(0)，则z ＝x ﹣lny 的最小值是（ ） A ．﹣ln 6B ．﹣2C ．ln 6D ．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为 ．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，则f （2x ﹣2）≥f （0）的解集为 ．15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，则∠B ＝ ，若b ＝2，则△ABC 的面积为 ．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为 cm 2． 三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈N*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，T n= 2b n−n(n∈N∗)．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知直线l：y=mx−m22(m≠0)与椭圆C：ax2+by2＝1交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为−14，若直线x＝t与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线y=−14上一点．（1）求P点的轨迹方程；（2）若F(0，12)为概圆C 的上顶点，直线l 与y 轴交点G ，记S 表示面积，求S △PFGS △PDM的最大．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＞0}，B ＝{x |2x ≤2}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ≤1}D ．{x |x ≤﹣1}【分析】先解出关于集合A ，B 的不等式，求出A 的补集，从而求出其补集与B 的交集． 解：因为∁U A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）≤0}＝{x |﹣1≤x ≤2}， B ＝{x |2x ≤2}＝{x |x ≤1}， ∴（∁U A ）∩B ＝{x |﹣1≤x ≤1}； 故选：C ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A ，B 是解决本题的关键． 2．已知i 为虚数单位，复数z =a1+2i +i(a ∈R)在复平面内所对应点（x ，y ），则（ ） A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝3x ﹣1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的实部与虚部，消参数得答案．解：∵z =a 1+2i +i =a(1−2i)5+i =a 5+(1−2a5)i ， ∴{x =a5y =1−2a 5，得y ＝﹣2x +1．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2a→+b→，再根据数量积的坐标运算法则表示出a→•（2a→+b→），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵a→=（﹣2，m），b→=（1，2），∴2a→+b→=(−3，2m+2)，∴a→•（2a→+b→）＝6+m（2m+2）=112，即m2+m+14=0，解得m=−12，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．363【分析】根据题意求出RO的值，再计算得病总人数．解：由题意知，RO＝1+40%×5＝3，所以得病总人数为：3+32+33+34+35=3×(1−35)1−3=363（人）．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的前n 项和的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知a =log 234，b =log 445，c =log 889，则（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】先结合对数的换底公式对已知对数式进行化简，然后结合对数函数的单调性即可比较大小．解：b =log 445=12log 245=log 25，c =log 889=13log 289=log 2√93， 因为916＜45＜√813，所以34√5√93，所以a ＜b ＜c 故选：B ．【点评】本题主要考查了对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础试题． 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（ ）A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组【分析】求出数据的极差，分成7组，可求组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，即可求得中位数为12.5应位于第5组内．解：数据的极差为15.1﹣8.8＝6.3，分成7组，组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，中位数为12.5应位于第5组内． 故选：C ．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ）A ．[136，83) B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83] 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ+π6∈[9π2，11π2），由此可得结果．解：∵函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数为 y ＝sin （ωx +π6）在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值； ωx +π6∈[π6，2ωπ+π6]，∴2ωπ+π6∈[9π2，11π2），则正实数ω∈[136，83），故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．√24C ．√34D ．√22【分析】设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ，则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角，由此能求出异面直线OC 与PD 所成角的余弦值．解：设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ， 则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∴∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角， 在△PDE 中，PE ＝PO =√2r ，DE ＝r ， ∴cos ∠PDE =r 22r=√24． 故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√2【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF 2|的值．解：由题意，F 1（﹣2，0），则抛物线方程为y 2＝8x ． 计算可得|PF 1|=√2，|PF 2|＝2a −√2=4√2−√2=3√2． 过Q 作QM ⊥直线l 与M ，由抛物线的定义知，|QF 2|＝|QM |．∵|F 1F 2||PF 2|=|MQ||PQ|，∴3√2=3√2−|MQ|，解得：|MQ |＝12（3﹣2√2）． ∴|QF 2|＝|MQ |＝12（3﹣2√2）． 故选：A ．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知实数a ，b ，满足a 28+b 22=1，当√acosθ+√2bsinθ取最大值时，tan θ＝（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2【分析】根据辅助角公式可得√acosθ+√2bsinθ=√a +2b sin （θ+φ）≤√a +2b ≤√2√a 2+4b 22=2，进而可求得答案解：由a 28+b 22=1得a 2+4b 2＝8，利用辅助角公式可得：√acosθ+√2bsinθ=√a +2b sin （θ+φ）≤√a +2b ≤√2√a 2+4b 22=2，其中tan φ=√a2b， 所以最大值为2，当且仅当a ＝2b ＝2时成立，所以√acosθ+√2bsinθ=2sin （θ+π4）， 则θ=π4+2k π，k ∈Z ，则tan θ＝1， 故选：B ．【点评】本题考查三角函数的恒等变形，关键是用三角函数表示a 、b ．11．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，以下结论正确的个数是（ ）①双曲线C 的离心率为√3；②双曲线C 的渐近线方程y =±√2x ；③直线l 的斜率为1． A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】由题意可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合双曲线的离心率公式和渐近线方程，直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论． 解：由MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，由|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|﹣|NF 1|＝2a ，两式相减可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ，即有m ＝2√2a ，设H 为MN 的中点，在直角三角形HF 1F 2中，可得4c 2＝4a 2+（2a +2√2a ﹣2a ）2，化为c 2＝3a 2，e =ca =√3，故①正确；又√1+b 2a 2=c a=√3，可得ba =√2，故②正确；因为|HF 2|=12|MN |＝2a ，所以|HF 1|=√|F 1F 2|2−|HF 2|2=2√c 2−a 2，所以直线l 的斜率为|HF 2||HF 1|=22=√22，故③错误． 故选：C ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ae ﹣x +2sin x 满足{f(y −3)≤f(x)≤f(0)f(1−6y)≤f(x)≤f(0)，则z ＝x ﹣lny 的最小值是（ ） A ．﹣ln 6B ．﹣2C ．ln 6D ．2【分析】由已知可求a ，然后对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而可得关于x ，y 的不等式组，结合线性规划知识即可求解． 解：由题意f （0）＝1﹣a ＝0可得a ＝1，所以f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +2sin x ，f′(x)=e x +1e x+2cosx ≥2+2cos x ≥0， 故f （x ）在R 上单调递增，则{y −3≤x ≤01−6y ≤x ≤0，作出可行域如图所示，其中A （0，16），B （0，3），C （−177，47）， 设y ＝e x ﹣z ，则由图象可知，设y ＝x +3与y ＝e x ﹣z 相切于点D （x 0，y 0）， 由y ′＝e x ﹣z ，令e x 0−z =1可得x 0＝z ，y 0=1∈(47，3)，故y＝x+3与y＝e x﹣z相切于点D（﹣2，1）时，z取得最小值z min＝﹣2．故选：B．【点评】本题综合考查了导数与单调性的关系的应用及利用线性规划知识求解目标函数的最值，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为15．【分析】由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，由此能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项， 则这两项来自影响稍弱区的概率是： P =C 32C 62=315=15．故答案为：15．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，则f （2x ﹣2）≥f （0）的解集为 [1，2] ．【分析】先求出a 的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f （2x ﹣2）≥f （0），求出x 的范围．解：∵函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，∴a ＝1，f （x ）=(12)|x−1|∈（0，1]，则由f （2x ﹣2）≥f （0）=12，结合图象可得 0≤2x ﹣2≤2，求得 1≤x ≤2， 故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题． 15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，则∠B ＝π3，若b ＝2，则△ABC 的面积为√312．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A ≠0，可得cos B =12，结合范围B ∈（0，π），可求B =π3，进而根据余弦定理可求ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ＝（2sin A ﹣sin C ）cos B ，可得sin B cos C +cos B sin C ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∵sin （B +C ）＝sin （π﹣A ）＝sin A ，且sin A ≠0，∴可得cos B =12，∵B ∈（0，π）， ∴B =π3，又∵b ＝2，a +c ＝3， ∴a 2+c 2﹣2ac cos B ＝b 2， ∴（a +c ）2﹣3ac ＝4，∴ac =53，∴S △ABC =12ac sin B =5√312．故答案为：π3，5√312．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为1849π16cm2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h构成直角三角形求出容器内水面的高度h，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积．解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm，高为18cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h构成直角三角形，所以2√85=√122+h2，解得h＝14，所以容器内水面的高度为14cm，设球的半径为R，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r=√62−32=3√3，球心到截面圆的距离为R﹣4，所以R2＝（R﹣4）2+(3√3)2，解得R=438；所以球的表面积为4π×(438)2=1849π16（cm2）．故答案为：1849π16．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题． 三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt △PCD 、PD ⊥CD ，A ，B 分別为PD ，PC 的中点PD ＝2DC ＝2，将△PAB 沿AB 折起，得到四棱锥P '﹣ABCD ，E 为P 'D 的中点． （1）证明：P 'D ⊥平面ABE ；（2）当正视图方向与向量BA →的方向相同时，P '﹣ABCD 的正视图为直角三角形，求此时二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．【分析】（1）由平面图可知，AB ⊥P ′A ，AB ⊥AD ，得到AB ⊥平面P ′AD ，得AB ⊥P ′D ，再由已知可得AE ⊥P ′D ．由直线与平面垂直的判定可得P ′D ⊥平面ABE ； （2）由P '﹣ABCD 的正视图与△P ′AD 全等，为直角三角形，得P ′A ⊥AD ，以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP ′所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC 的一个法向量与平面ABE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：由平面图可知，AB ⊥P ′A ，AB ⊥AD ， 又P ′A ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面P ′AD ，得AB ⊥P ′D ． ∵E 为P ′D 的中点，P ′A ＝AD ，∴AE ⊥P ′D ． ∵AE ∩AB ＝A ，∴P ′D ⊥平面ABE ；（2）解：∵P '﹣ABCD 的正视图与△P ′AD 全等，为直角三角形， 故P ′A ⊥AD ，以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP ′所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 则A （0，0，0），D （0，1，0），P ′（0，0，1），B （12，0，0），C （1，1，0），E （0，12，12），P′D →=(0，1，−1)，BE →=(−12，12，12)，BC →=(12，1，0)． 设平面BEC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅BE →=−12x +12y +12z =0n →⋅BC →=12x +y =0，取x ＝2，得n →=(2，−1，3)．∴P′D →为平面ABE 的一个法向量，设二面角A ﹣BE ﹣C 为θ，∴cos ＜P′D →，n →＞=P′D →⋅n→|P′D →|⋅|n →|=−2√77．∵二面角A ﹣BE ﹣C 为钝角，∴cos θ=−2√77，故二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值为−2√77．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈一、选择题*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，T n=2b n−n(n∈N∗)．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．【分析】（1）T n=2b n−n(n∈N∗)．n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1，化为：b n＝2b n﹣1+1，变形为：b n+1＝2（b n﹣1+1），进而证明结论．利用通项公式考点b n．（2）设等差数列{a n}的公差为d，由a5＝6，S6＝27，利用通项公式可得：a1+4d＝6，6a1+15d ＝27，联立解得：a1，d，可得a n．可得a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．利用错位相减法与等差数列得求和公式即可得出．解：（1）T n=2b n−n(n∈N∗)．∴n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝2b n﹣n﹣（2b n﹣1﹣n+1），化为：b n＝2b n﹣1+1，∴b n+1＝2（b n﹣1+1），n＝1时，b1＝2b1﹣1，解得b1＝1．∴b1+1＝2．∴{b n+1}是等比数列，首项与公比都为2，∴b n＝2n﹣1．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5＝6，S6＝27，∴a1+4d＝6，6a1+15d＝27，联立解得：a1＝2，d＝1，∴a n＝2+n﹣1＝n+1．∴a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．∴数列{（n+1）•2n}的前n项和A n＝2×2+3×22+4×23+……+（n+1）•2n．∴2A n＝2×22+3×23+……+n•2n+（n+1）•2n+1．相减可得：﹣A n＝4+22+23+……+2n﹣（n+1）•2n+1＝2+2(2n−1)2−1−（n+1）•2n+1．化为：A n＝n•2n+1．∴数列{a n•b n}的前n项和＝n•2n+1−n(3+n)2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【分析】（1）先补充完整2×2列联表，然后根据K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）X 的可能取值为0，1，2，先求出两种车型使用寿命不低于7年和低于7年的占比数，然后依据相互独立事件的概率逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）先求出两款出租车型的每辆车的利润，然后结合频数分布列求两种车型的平均利润，比较大小后，取较大者即可．解：（1）补充完整的2×2列联表如下所示，使用寿命不高于6年 使用寿命不低于7年总计 A 型 30 70 100 B 型 50 50 100 总计80120200∴K 2=200×(50×30−70×50)2100×100×80×120≈8.33＞6.635，∴有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关．（2）由题可知，A 型车使用寿命不低于7年的车数占710，低于7年的车数占310；B 型车使用寿命不低于7年的车数占12，低于7年的车数占12．∴X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）=310×12=320，P（X＝1）=710×12+310×12=12，P（X＝2）=710×12=720．∴X的分布列为X012P32012720∴数学期望E（X）=0×320+1×12+2×720=65．（3）∵平均每辆出租车年上交公司6万元，且A，B两款车型的采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆，∴两款出租车型的每辆车的利润如下表：使用寿命年数5年6年7年8年A型6×5﹣11＝196×6﹣11＝256×7﹣11＝316×8﹣11＝37B型6×5﹣8＝226×6﹣8＝286×7﹣8＝346×8﹣8＝40用频率估计概率，这100辆A型出租车的平均利润为1100×(19×10+25×20+31×45+37×25)=30.1（万元），这100辆B型出租车的平均利润为1100×(22×15+28×35+34×40+40×10)=30.7（万元），∵30.7＞30.1，故会选择采购B款车型．【点评】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望、平均数的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣ln （x +m ），且x ＝0是f （x ）的极值点． （1）求f （x ）的最小值；（2）是否存在实数b ，使得关于x 的不等式e x ＜bx +f （x ）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b 的取值范 围；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知结合极值存在条件可求m ，然后结合导数单调性及最值的关系即可求解；（2）由已知不等式代入整理可得ln （1+x ）＜bx ，可考虑构造函数h （x ）＝ln （x +1）﹣bx ，结合导数与单调性的关系对b 进行分类讨论可求． 解：（1）f′(x)=e x −1x+m， 由x ＝0是f （x ）的极值点可得1−1m=0，即m ＝1，经检验m ＝1符合题意， f′(x)=e x−11+x =e x (x+1)−1x+1， 设g （x ）＝e x （x +1）﹣1，则g ′（x ）＝e x （x +2）＞0在x ＞﹣1时恒成立， 故g （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增且g （0）＝0，所以，当x ＞0时，g （x ）＞0即f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增， 当﹣1＜x ＜0时，g （x ）＜0即f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 故当x ＝0时，f （x ）取得最小值f （0）＝1，（2）由e x ＜bx +f （x ）在（0，+∞）上恒成立可得ln （1+x ）＜bx ， 设h （x ）＝ln （x +1）﹣bx ，则h′(x)=11+x−b ，（i ）若b ≥1，则x ＞0时，h′(x)=11+x−b ≤0，h （x ）单调递减， 所以h （x ）＜h （0）＝0，符合题意，（ii ）若b ≤0，则x ＞0时，h′(x)=11+x−b ＞0，h （x ）单调递增，h （x ）＞h （0）＝0，不符合题意，（iii ）若0＜b ＜1，则h′(x)=11+x −b =0时，x =1b−1， 当x ∈(0，1b −1)时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，此时h （x ）＞h （0）＝0，不满足题意，综上，b 的范围[1，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值和最值，还考查了由不等式的恒成立求参数的范围问题，体现了分类讨论思想的应用．21．已知直线l ：y =mx −m 22(m ≠0)与椭圆C ：ax 2+by 2＝1交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−14，若直线x ＝t 与直线l 交于点P ，与直线OD 交于点M ，且M 为直线y =−14上一点． （1）求P 点的轨迹方程；（2）若F(0，12)为概圆C 的上顶点，直线l 与y 轴交点G ，记S 表示面积，求S △PFGS △PDM的最大．【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），联立两方程，结合韦达定理可得x 1+x 2=m 3b bm 2+a ，则x 0=x 1+x 22=m 3b 2bm 2+2a ，再带回直线方程进而得到b ＝4a ，从而t ＝m ，消去m 后可得x 2＝2y ；（2）结合（1）表示出P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2+1，−m 22(4m 2+1)），M （m ，−14），再分别表示出两三角形的面积，利用换元思想得最值．解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），联立{y =mx −m 22ax 2+by 2=1得（bm 2+a ）x 2﹣m 2bx +bm 44−1＝0，则x 1+x 2=m 3b bm 2+a ，则x 0=x 1+x 22=m 3b2bm 2+2a， 将其代入y ＝mx −m 22得y 0=−m 2a2bm 2+2a，因为y 0x 0•m =−ab ，所以−a b=−14，即b ＝4a ，故OD 方程为y =−14mx ， 则−14=−14mt ，故t ＝m ，代入y ＝mx −m 22，得P （m ，m22），消去m ，可得P 点的轨迹方程为x 2＝2y （x ≠0）；（2）由题得b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 2+4y 2＝1， 由（1）知x 0=x 1+x 22=2m 34m 2+1，y 0=−m 22(4m 2+1)， 对于直线l ，令x ＝0，y =−m 22，则G （0，−m 22），所以P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m +1，−m 22(4m 2+1)），M （m ，−14）， 所以S △PFG =12|GF ||m |=14|m |（m 2+1）S △PDM =12|PM |•|m ﹣x 0|=|m|(2m 2+1)22，则S △PFG S △PDM =2(4m 2+1)(m 2+1)(2m +1)，令n ＝2m 2+1，则S △PFG S △PDM=(2n−1)(n+1)n 2=−1n 2+1n+2，当1n=12，即n ＝2时，S △PFGS △PDM取得最大值94，此时m ＝±√22，满足△＞0． 【点评】本题考查点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合，转化思想、换元思想、函数思想等，综合性强，属于难题请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），整理得y 2+1=21+k 2，又x +1=4k 1+k2，两式相除得：k =x+1y+2，代入x +1=4k 1+k2，得到（x +1）2+y 2＝4（y ≠﹣2）．（2）曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0．设圆心C1（﹣1，0）到直线l的距离为d，则|AB|=2√4−d2=2√3，解得d＝1．所以：|PD|=√|PC1|2−1，当|PC1|最小时，|PD|最小，由于|PC1|的最小值为圆心C1到直线C2的距离．根据|PC1|=|−1+0−4|2=5√22，所以|PD|min=√252−1=√462．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=13（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．【分析】（1）由f（x）≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M；（2）由条件可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）=13（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，。

2020-2021学年河南新乡高三上数学月考试卷一、选择题1. 复数z =(1+i )(√3−i)，则|z|=( ) A.2√3 B.√3 C.4 D.2√22. 已知集合A ={a,a 2−2,0}，B ={2a ,a +b}，若A ∩B ={−1}，则b =( ) A.1 B.0 C.−1 D.−23. 椭圆C:x 2a2+y 23=1(a >0)的焦点在x 轴上，其离心率为12，则( )A.a =4B.椭圆C 的焦距为4C.椭圆C 的短轴长为√3D.椭圆C 的长轴长为44. 下方程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，9，0，则输出a 和i 的值分别为( )A.3，4B.0，4C.0，3D.3，35. 已知a ，b 是两条不重合的直线，β是一个平面，且b ⊂β，则“a ⊥β”是“a ⊥b ”的( ) A.既不充分也不必要条件 B.充要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件6. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3+S 5=−18，a 6=−a 3，则下列数值中最大的是( ) A.S 749B.S 636C.S 416D.S 5257. 已知函数f (x )=2x 2−ln x ，若f (x )在区间(2m,m +1)上单调递增，则m 的取值范围是( ) A.[0,1)B.[12,1)C.[14,1)D.[14, +∞)8. 已知单位圆上第一象限内一点P 沿圆周逆时针旋转π4到点Q ，若点Q 的横坐标为−35，则点P 的横坐标为( )A.7√310 B.√210 C.√25D.2√259. 已知各项均为正数且单调递减的等比数列{a n }满足a 3，32a 4，2a 5成等差数列，其前n 项和为S n ，且S 5=31，则( ) A.S n =2n+4−16 B.S n =32−12n−5C.a n =(12)n−4D.a n =2n+310. 已知函数f (x )=sin x ，函数g (x )的图象可以由函数f (x )的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω(ω>0)得到．若函数g (x )在(0,π)上恰有5个零点，则ω的取值范围是( ) A.(256,316]B.[256,316)C.[316,376)D.(316,376]11.如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点H 在棱AA 1上，且HA 1=1，P 是侧面BCC 1B 1 内一动点，HP =√13，则CP 的最小值为( )A.√15−3B.√15−2C.√13−2D.√13−312. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A ．若|F 1A|=√5b ，则该双曲线离心率的取值范围为( ) A.(32,√3) B.(√2,√3) C.(1,√2)D.(√2,32)二、填空题已知函数f (x )是定义域在R 上的奇函数，当x ∈(−∞,0]时，f (x )=x −2x +m ，则f (1)=________.已知实数x ，y 满足条件{x +y −2≤0,2x −y −2≤0,x +2y −3≤0,则z =2x +2y 的最大值为________.一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点P (2,6)的跳法共有________种．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此，挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，AB=30m ，BC =40√2m ，CD =50m ，∠ABC =∠BCD =45∘，要建设一条从点A 到点D 的空中长廊，则AD =________m .三、解答题在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b sin A =3sin B ，b 2+c 2−a 2=bc. (1)求△ABC 外接圆的面积；(2)若BC 边上的中线长为3√32，求△ABC 的周长．如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且AB =2AD =4，∠DAB =60∘，AD ⊥D 1D .(1)证明：AD ⊥BD 1；(2)若D 1D =D 1B =2，求二面角A −BC −B 1的正弦值．已知曲线C 上每一点到直线l:x =−32的距离比它到点F (12,0)的距离大1. (1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 上存在不同的两点P 和Q 关于直线l:x −y −2=0对称，求线段PQ 中点的坐标．甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图．已知甲测试成绩的中位数为75.(1)求x ，y 的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；(2)某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题．例如，若甲首先答题，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙开始题，……，直到乙答错再换成甲答题，依次类推两人共计答完21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出．已知甲、乙两人答对其中每道题的概率都是35，假设由以往20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为P n (1≤n ≤21)，其中P 1=1. ①求P 2，P 3；②求证{P n −12}为等比数列，并求P n (1≤n ≤21)的表达式．已知函数f(x)=x ln (ax)−e −a (a ∈R ，且a ≠0，e 为自然对数的底）.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)+ln ae 在(0,+∞)有零点，证明：1a+1+2ea>1e.数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C：ρ=sin3θ(ρ∈R,0∈[0.2π))被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．(1)求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；(2)射线l1，l2的极坐标方程分别为θ=θ0，θ=θ0+π2(θ0∈(0,2π),ρ>0)，l1，l2分别交曲线C于点M，N两点，求1|OM|2+1|ON|2的最小值．已知函数f(x)=|x+a|−5.(1)证明f(x)≤|x+a−5|；(2)已知a>0，若不等式f(x)+2|x−1|<0的解集为(m,n)，且n−m=43，求a的值．参考答案与试题解析2020-2021学年河南新乡高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】复根的务复于技数触序的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】集合体系拉的参污取油问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】直线与平正垂直的判然必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】等差因列的校质等差数常的占n项和等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性已知都数环单梯遗求参数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】任意角使三角函如两角和与验流余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和等三中弧等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换函验立零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】点于虫、练板的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率双曲三定定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】求线性目于函数虫最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】计数正知的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】向量在于何中侧应用平面向量三量积州运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】余于视理正因归理平面常量数草积的超同及其运算律【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】余于视理两条直三垂直的硬定用空射向空求直式与夏面的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】抛物常的铝义抛物线正算准方程与抛较绕有肠军中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】众数、中正数、平均测频率都着直方图古典因顿二其比率计算公式等比数表的弹项公式数于术推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利用都数资究不长式化成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程参数方体的目越性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】绝对值射角不等开绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

新乡市2020届新高三调研考试数 学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题。

每小题5分。

共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1.设集合2{}}|2|{13A x x B x x ＝＜，＝＜，则A B ⋂＝（ ） A. {x ｜x <3 B. {x 3x <<12} C. {x ｜3x -<<12} D. {x ｜3x <}【答案】B 【解析】 【分析】分别求出解出集合A ，B ，利用交集的运算即可求出。

【详解】{}1,332A x x B x x ⎧⎫=<=<<⎨⎬⎩⎭Q ，132A B x x ⎧⎫∴⋂=<⎨⎬⎩⎭，故选B 。

【点睛】本题主要考查交集的运算。

2.设i 为虚数单位，则复数22iz i-=+的共轭复数z =（ ） A.3455i + B. 3455-iC. 3455i -+ D. 3455i -- 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以(2i)-，得出34i 55z =-，再利用共轭复数的定义即可得出。

【详解】解：22i (2i)34i 2i (2i)(2i)55z --===-++-Q ，3455z i ∴=+ 故选：A ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。

若1a z bi =+，2z c di =+，12a +c d a b d z z bi i c +=+++（）（）=（）+(+)i ， 12ac-+ad )z z bd bc i =+g （）（，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。

3.已知m ＞0，则“m =3”是“椭圆2225x y m +=1的焦距为4”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过讨论焦点的位置，得到关于m 的方程，求出对应的m 的值，根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】解：∵2c=4，∴c=2，若焦点在x 轴上，则c 2=m 2-5=4，又m ＞0，∴m=3， 若焦点在y 轴上，则c 2=5-m 2=4，m ＞0，∴m=1，故“m=3”是“椭圆22215x y m +=的焦距为4”的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．4.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53a =，1391S =，则11S =（ ） A. 36 B. 72C. 55D. 110【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和性质得7a ，再根据等差数列性质求11S . 【详解】因为()1131371313912a a S a+⨯===，所以77a =，因为53a =，所以5710a a +=， 因为1115710a a a a +=+=， 所以()1111111552a a S +⨯==.选C.【点睛】本题考查等差数列前n 项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.5.执行如图所示的程序框图，若输入的4n =，则输出的j=（ ）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】C 【解析】 【分析】根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j 值．【详解】由程序框图知：n=4，第一次运行， i ＝1，j ＝1,j=2i-j=1,满足i<4， 第二次运行i ＝2，j=2i-j ＝3；满足i<4， 第三次运行i ＝3，j=2i-j ＝3；满足i<4，第四次运行i ＝4，j=2i-j ＝5；不满足i<4， 程序运行终止，输出j ＝5． 故选：C ．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法．6.设a =2log 3，b =4log 6，c =lg 210，则（ ） A. c a b ＞＞ B. a b c ＝＞C. c b a ＞＞D. a b c ＞＞【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质将,,a b c 化成以2为底的对数，再利用对数的单调性即可得出,,a b c 的大小。