初中数学自招专题12 拆项、添项、配方、待定系数法(详解版)

专题12拆项、添项、配方、待定系数法考点点拨添项拆项法：有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解．通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法．一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解．如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的．待定系数法：有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式．然后再把积乘出来．用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式．换元法：所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫．换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用．（1）使用换元法时，一定要有整体意识，即把某些相同或相似的部分看成一个整体．（2）换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元．（3）利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”．典例精选1．（西湖区校级月考）已知a﹣b＝4，ab+c2+4＝0，则a+b＝（）A．4B．0C．2D．﹣2【点拨】先将字母b表示字母a，代入ab+c2+4＝0，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到a+b的值．【解析】解：∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，代入ab+c2+4＝0，可得（b+4）b+c2+4＝0，（b +2）2+c 2＝0，∴b ＝﹣2，c ＝0，∴a ＝b +4＝2．∴a +b ＝0．故选：B ．【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．解题关键是将代数式转化为非负数和的形式．2．计算√99⋯9︸n 个×99⋯9︸n 个+199⋯9︸n 个n （n ≥2的整数）的值等于 100 ． 【点拨】分别将n ＝2、n ＝3、n ＝4分别代入被开方数总结出规律，根据总结的该规律，列出完全平方式，然后开n 次方即可．【解析】解：当n ＝2时，99×99+199＝992+2×99+1＝（99+1）2＝（102）2；当n ＝3时，999×999+1999＝9992+2×999+1＝（999+1）2＝（103）2＝（102）3；当n ＝4时，9999×9999+19999＝99992+2×9999+1＝（9999+1）2＝（104）2＝（102）4．…当n ＝n （n ≥2的整数）时，99…9×99…9+199…9＝99…92+2×99…9+1＝（99…9+1）2＝（10n ）2＝（102）n ．所以，√99⋯9︸n 个×99⋯9︸n 个+199⋯9︸n 个n =102＝100；故答案是：100．【点睛】本题考查了拆项、添项、配方、待定系数法．此题是一道规律探索题，以完全平方公式为依托，展现了探索发现的过程：由特殊问题找到一般规律，再利用规律解题．3．已知a +2b +3c ＝6，则a 2+2b 2+3c 2的取值范围是 大于等于6 ．【点拨】根据代入法将a ＝6﹣2b ﹣3c 代入a 2+2b 2+3c 2，即可求出b ，c 的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案．【解析】解：∵a +2b +3c ＝6，∴a ＝6﹣2b ﹣3c ，∴（6﹣2b ﹣3c ）2+2b 2+3c 2＝36+4b 2+9c 2﹣24b ﹣36c +12bc +2b 2+3c 2＝6（b 2+2c 2﹣4b ﹣6c +2bc +6）＝6[（b 2+2bc +c 2﹣4b ﹣4c +4）+（c 2﹣2c +1）+1]＝6[（b +c ﹣2）2+（c ﹣1）2+1]＝6（b +c ﹣2）2+6（c ﹣1）2+6≥6，∴a 2+2b 2+3c 2的取值范围是：大于等于6．故答案为：大于等于6．【点睛】此题主要考查了拆项、添项、配方法的综合应用，根据已知得出关于b ，c 的完全平方公式是解题关键．4．设实数a ，b ，c 满足2a +b +c +14＝2(√2a +2√b +1+3√c −1)，那么a −b c 的值为 45 ．【点拨】将右边去括号、移项，然后将2a 看作（√2a ）2，将（b +1）看作（√b +1）2，将（c ﹣1）看作（√c −1）2进行配方，从而利用完全平方的非负性可得出a 、b 、c 的值，进而代入可求出答案．【解析】解：整理2a +b +c +14＝2(√2a +2√b +1+3√c −1)可得：2a ﹣2√2a +b ﹣4√b +1+c ﹣6√c −1+14＝0，配方可得：[(√2a)2−2√2a +1]+[(√b +1)2−4√b +1+4]+[(√c −1)2−6√c −1+9＝0，即(√2a −1)2+(√b +1−2)2+(√c −1−3)2=0，从而有：√2a =1，√b +1=2，√c −1=3，解得：a =12，b ＝3，c ＝10，∴a −b c =810=45． 故答案为：45．【点睛】此题考查了拆项、添项、配方的知识，难度较大，关键是移项后将2a 看作（√2a ）2，将（b +1）看作（√b +1）2，将（c ﹣1）看作（√c −1）2进行配方，要求我们能熟练运用完全平方的非负性解题．5．（1）分解因式：x 7+x 5+1（2）对任何正数t ，证明：t 4﹣t +12＞0．【点拨】（1）首先把因式添项x 6再减去x 6，然后因式分解，再提取公因式即可，（2）根据题干t 4﹣t +12=（t 4﹣t 2+14）+（t 2﹣t +14）可知，两个完全平方式不可能小于0，结论可证．【解析】解：（1）x 7+x 5+1＝x 7+x 6+x 5﹣x 6+1＝x 5（x 2+x +1）﹣（x 3+1）（x 3﹣1）＝（x 2+x +1）[x 5﹣（x ﹣1）（x 3+1）]＝（x 2+x +1）（x 5﹣x 4+x 3﹣x +1），（2）t 4﹣t +12=（t 4﹣t 2+14）+（t 2﹣t +14）＝（t 2−12）2+（t −12）2≥0因为（t 2−12）2与（t −12）2不可能同时为0，故等于不成立，因此有：t 4﹣t +12＞0．【点睛】本题主要考查拆项、添项、配方、待定系数法和完全平方式的知识点，解答本题的关键是熟练运用拆项和添项解决问题的方法，此题难度较大．6．将5x 3﹣6x 2+10表示成a （x ﹣1）3+b （x ﹣1）2+c （x ﹣1）+d ．【点拨】根据立方差公式以及完全平方公式即可得出关于a ，b ，c ，d 的关系式求出即可．【解析】解：原式＝a （x 3﹣3x 2+3x ﹣1）+b （x 2﹣2x +1）+c （x ﹣1）+d ，＝ax 3﹣（3a ﹣b ）x 2+（3a ﹣2b +c ）x ﹣（a ﹣b +c ﹣d ），则{a =53a −b =63a −2b +c =0a −b +c −d =−10， 解得{a =5b =9c =3d =9， ∴5x 3﹣6x 2+10＝5（x ﹣1）3+9（x ﹣1）2﹣3（x ﹣1）+9．【点睛】此题主要考查了立方差公式以及完全平方公式的应用，根据已知得出a ，b ，c ，d 的值是解决问题的关键．精准预测1．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b a +c b +a c =3，则以下说法正确的是（ ）A ．a ，b ，c 可能相等，也可能不等B ．a ，b ，c 相等C ．a ，b ，c 不相等D ．以上说法都不对【点拨】设b a =x 3，c b =y 3，a c =z 3，则x 3y 3z 3=b a •c b •a c=1，即xyz ＝1，再根据a ＞0，b ＞0，c ＞0得出x ＞0，y ＞0，z ＞0，故可得出x 、y 、z 的关系，进而得出b a=c b =a c ，由此可得出结论． 【解析】解：设b =x 3，c =y 3，a =z 3，则x 3y 3z 3=b a •c •a =1，即xyz ＝1，由已知可得：x3+y3+z3﹣3xyz＝0，即（x+y+z）（x2+y2+z2﹣xy﹣xz﹣yz）＝0∵a＞0，b＞0，c＞0，∴x＞0，y＞0，z＞0，∴x+y+z＞0∴x2+y2+z2﹣xy﹣xz﹣yz＝0，即：x＝y＝z∴ba =cb=ac，即a2＝bc，b2＝ac，c2＝ab，由a2＝bc，b2＝ac，得a＝b由b2＝ac，c2＝ab得b＝c∴a＝b＝c故选：B．【点睛】本题考查的是拆项、添项、配方及待定系数法，此题中先根据题意得出x、y、z的关系是解答此题的关键．2．若点P的坐标（a，b）满足a2b2+a2+b2+10ab+16＝0，则点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．【点拨】首先把10ab变为8ab+2ab，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．【解析】解：∵a2b2+a2+b2+10ab+16＝0，∴a2b2+8ab+16+a2+b2+2ab＝0，∴（ab+4）2+（a+b）2＝0，∴ab＝﹣4，a+b＝0，∴a＝2，b＝﹣2或a﹣2，b＝2，∴点P的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．故答案为：（2，﹣2）或（﹣2，2）．【点睛】此题主要考查了完全平方公式和非负数的性质，解题时首先通过分解因式变为两个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．3．If polynomial（多项式）5x3﹣34x2+94x﹣81can beexpressedas（表示成）a（x﹣2）3+b（x﹣2）2+c（x﹣2）+d，thennumericalvalue（数值）of ad+bc is﹣17．【点拨】根据5x3﹣34x2+94x﹣81能拆成a（x﹣2）3+b（x﹣2）2+c（x﹣2）+d，即可得出关于a，b，c，d的方程组求出即可．【解析】解：原式＝a（x3﹣6x2+12x﹣8）+b（x2﹣4x+4）+c（x﹣2）+d，＝ax3+（b﹣6a）x2+（12a﹣4b+c）x+（﹣8a+4b﹣2c+d），∴{a=5b−6a=−3412a−4b+c=94−8a+4b−2c+d=−81，解得：a＝5，b＝﹣4，c＝18，d＝11，∴ad+bc＝5×11﹣4×18＝﹣17．故答案为：﹣17．【点睛】此题主要考查了多项式的拆项以及完全平方公式以及立方差公式的应用，根据已知得出关于a，b，c，d的方程组是解决问题的关键．4．如果√x−3+√y+1=12（x+y），那么x+y＝4．【点拨】设√x−3=a，√=b，然后再两边平方后将原式变形成为两个完全平方式，根据非负数和为0的定理求出a、b的值，从而求出x、y的值而得出结论．【解析】解：设√x−3=a，√y+1=b∴a2＝x﹣3，b2＝y+1∴x＝a2+3，y＝b2﹣1∴x +y ＝a 2+b 2+2∴12（x +y ）=12(a 2+b 2+2) ∴原式变形为：a +b =12(a 2+b 2+2)2a +2b ＝a 2+b 2+2∴a 2+b 2+2﹣2a ﹣2b ＝0∴（a ﹣1）2+（b ﹣1）2＝0∴a ＝1，b ＝1∴√x −3=1，√y +1=1∴x ＝4，y ＝0∴x +y ＝4．故答案为：4．【点睛】本题是一道实数的运用题，考查了数学的换元思想、拆项、添项、配方、待定系数法以及非负数和为0的定理的运用．5．计算：2002×20032003﹣2003×20022002．【点拨】首先把20032003拆成2003×10001，再将20022002分解为2002×10001，然后计算可得到答案．【解析】解：原式＝2002×2003×10001﹣2003×2002×10001＝0．【点睛】此题主要考查了拆项和提公因式法进行计算，解题的关键是把20032003、20022002拆项．。