人教版数学必修二2.2.1 圆的标准方程

此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )

圆的标准方程式圆是平面几何中的重要图形之一，其标准方程式是描述圆的一种数学表达方式。

通过圆的标准方程式，我们可以清晰地了解圆的性质和特点，进而在数学问题中灵活运用。

本文将详细介绍圆的标准方程式及其相关知识点。

首先，我们来看圆的定义，圆是平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。

在平面直角坐标系中，圆可以由一个定点为圆心、一个正数为半径来描述。

根据这一定义，我们可以得出圆的标准方程式。

圆的标准方程式为，(x a)² + (y b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

这个方程式的推导可以通过圆的定义和距离公式得出，具体推导过程略。

通过圆的标准方程式，我们可以得出一些重要结论：1. 圆的半径为正数，表示圆的大小；2. 圆心坐标(a, b)表示圆的位置；3. 圆心到圆上任意一点的距离都等于半径r。

在实际问题中，我们可以利用圆的标准方程式来解决一些几何和代数问题。

例如，给定圆心和半径，我们可以方便地求出圆上任意一点的坐标；或者给定圆上的某点，可以判断该点是否在圆内或者在圆上。

除了标准方程式外，圆还有其他几种常见的方程式，如一般方程式和参数方程式。

这些方程式在不同的问题中有着各自的优势和适用范围，需要根据具体情况进行选择和运用。

总之，圆的标准方程式是描述圆的重要数学工具，通过它我们可以清晰地了解圆的性质和特点，解决各种数学问题。

在学习和应用过程中，我们需要深入理解圆的定义和相关知识，灵活运用圆的标准方程式，不断提高数学素养和解决问题的能力。

希望本文对圆的标准方程式有所帮助，让我们共同努力，探索数学的奥秘，提高数学应用能力。

于是, (1)当D E 4F 0时,
2 2
方程 x
2
y
2
Dx Ey F 0表示圆心在
D 2 E 2 4 F的圆
D E 1 ( , )半径为 2 2 2
2 2
2 2
(2)当D E 4F 0时,
方程x y
2
D E Dx Ey F 0表示点 ( , ) 2 2
令 2a D,2b E , a b r F得
2 2 2
2 2 y Dx Ey F 0 x
[讨论]：此方程是否表示圆呢？
2 2 x y Dx Ey F 0
证明:
由x
2

y
2
Dx Ey F 0
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x ) ( y ) 4 2 2
一、复习回顾:
圆的标准方程的形式是怎样的？
2 2 ( x a ) ( y b) r 2
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a, b
r
二、数学建构:
[想一想] ：若把圆的标准方程
( x a ) 2 ( 出怎样的形式？
2 2ax 2by 2 2 2 0 2 y x a b r
2 2
(3)当D E 4F 0时,
方程x y
2
Dx Ey F 0不表示任何图形 .
[探究]：圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(1).若已知三点求圆的方程,我们常采用 圆的一 般方程用待定系数法求解 .
. 例2：求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程
[探究]：

《圆的标准方程》教学设计
一、内容及其解析
本节课的教学内容是圆的标准方程，圆是平面解析几何中重要的几何模型，是研究圆锥曲线与方程的重要基础.
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过建立平面直角坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来.因此在教学过程中，要始终贯穿坐标法中一重要思想,在学习圆与方程这一章节后,使学生初步形成坐标法的基本思想和步骤.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后将代数运算结果“翻译”成相应的几何结论。
解此方程组,得
所以 的外接圆的方程是
练习2：已知圆心为 的圆经过点 ，且圆心 在直线 上，求圆心为 的圆的标准方程.
设计意图：进一步强化圆的标准方程的运用，使学生在不同的背景中熟悉常见的几何模型，能根据题设条件选择适当的方法来解决问题.
师生活动：激活学生思维，借助图形，让学生分析题设的几何特征，描述本题的算法，教师同步展示解答过程.启发引导学生思考教科书第120页的问题，归纳求圆的标准方程的两种方法.最后可以让学生尝试运用另一种方法解答问题7和问题8.
半径 的大小等于圆上任意一点 到圆心 的距离,
圆心为 的圆就是集合
由两点间距离公式,点 的坐标适合的条件可以表示为
式两边平方,得
(1)
若点 在圆上,则由上述讨论知,点 的坐标适合方程(1);反之,若点 的坐标适合方程(1),这说明点 与圆心 的距离为 ,即点 在圆心为 的圆上.我们把方程(1)称为圆心为 ,半径为 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
3.能力素养：重点提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象能力。通过具体事例，让学生在自己的操作与思考中，抽象并概括圆的标准方程的概念、建立圆的标准方程的代数模型，学会利用几何图形理解和解决数学问题.关注现代信息技术工具的运用.