多元函数的极限

多元函数求极值摘要：本文总结了多元函数求极限的各类方法，以及证明多元函数极限不存在的取各种花式路劲的例题。

一、多元函数极限的定义存在的问题：有两种定义方式分别以聚点/去心领域去定义重极限，不同的定义方式可能导致结果不同例1.1：求极限: \lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} .解：法I(聚点定义).\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{xy}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\l im_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}或者利用等价无穷小.\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\frac{1}{2}xy}{xy}=\frac{ 1}{2}法II(去心领域定义).由于函数 f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} 在原点的领域内的坐标轴上处处无定义, 因此\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\text{不存在}用 \varepsilon-\delta 定义证明的例题选解例1.2：用 \varepsilon-\delta 定义证明: \lim_{x\to0\atopy\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0解：因为当 (x,y)\neq(0,0) 时\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right，=，y，\cdot\frac{，xy，}{x^2+y^2}\leqslant，y，\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\\从而，对 \forall \varepsilon>0 , 取 \delta=\varepsilon , 则当 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时,\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0\right，<\varepsilon \\所以 \lim_{x\to0\atop y\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 .例1.3：求证:\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0证明： \forall \,\varepsilon>0 , 要使得\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant\varepsilon\\即 \left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right， =\biggl，x^2+y^2\biggl，\cdot\biggl，\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\biggl，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\ 只要\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\varepsilon} , 取\delta=\sqrt{\varepsilon} , 则当0<\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时, 有\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\原结论成立．二、多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。

多元函数求极限多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。

有界函数放缩为固定值/常用不等式？去分母？例2.1：求极限: limx→0y→0sin⁡(x2y+y4)x2+y2 .解：因为|sin⁡x|⩽|x| ,因而有0≤|sin⁡(x2y+y4)x2+y2|≤|x2y+y4x2+y2|≤x2x2+y2×|y|+y2x2+y2×y2≤|y|+y2→0例2.2：求极限limx→+∞y→+∞(xyx2+y2)x2解：注意到：0≤xyx2+y2≤12(x2+y2)x2+y2=12所以：0≤(xyx2+y2)x2≤(12)x2→0由夹逼准则知极限为0例2.3：（中科院，2016）求极限limx→∞y→∞x+yx2−xy+y2解：法I. 由于|x+yx2−xy+y2|≤|1y+1x||xy−1+yx|≤|1y+1x||xy+yx|−1≤|1y+1x|→0故由夹逼准则知极限为0法II. 由于|x+yx2−xy+y2|≤2|x+y|x2+y2≤2|x|+|y|x2+y2≤2(1|x|+1|y|)→0故由夹逼准则知极限为0法III. 注意到x2+y2−xy≥2xy−xy=xy由于|x+yx2−xy+y2|≤|x+yxy|≤(1|y|+1|x|)→0极坐标：，，x2+y2，x3+y3，x4+y4...都可以考虑极坐标例2.4：求极限lim(x,y)→(0,0)x3+y3x2+y2解：令x=ρcos⁡θ , y=ρsin⁡θ , 则极坐标有界无穷小量lim(x,y)→(0,0)x3+y3x2+y2=极坐标limρ→0ρ3(cos3⁡θ+sin3⁡θ)ρ2=limρ→0ρ(cos3⁡θ+sin3⁡θ)⏟有界×无穷小量=0=0整体替换化为一元函数：可以分拆，可以整体代换的重极限可以尝试。

当变成一元函数那方法就多了，如：等价，洛必达，泰勒...... 例2.5：求极限: limx→+∞y→+∞(x2+y2)e−(x+y) .解：由于0<(x2+y2)ex+y=x2ex+y+y2ex+y≤x2ex+y2ey而洛必达洛必达limx→+∞x2ex=洛必达limx→+∞2xex=洛必达limx→+∞2ex=0洛必达洛必达limy→+∞y2ey=洛必达limy→+∞2yey=洛必达limy→+∞2ey=0故由夹逼准则知limx→+∞y→+∞(x2+y2)e−(x+y)=0注意：多元函数洛必达教材没有，不可用！例2.6：求极限lim(x,y)→(0,0)x2ln⁡(x2+y2)=0解：因为lim(x,y)→(0,0)x2ln⁡(x2+y2)=lim(x,y)→(0,0)x2x2+y2(x2+y2)ln⁡(x2+y2)令x2+y2=t则t→0+那么lim(x,y)→(0,0)(x2+y2)ln⁡(x2+y2)=limt→0+tln⁡t=limt→0+ln⁡t1/t=limt →0+1/t−1/t2=0所以lim(x,y)→(0,0)x2ln⁡(x2+y2)=0例2.7：求极限lim(x,y)→(0,0)xln⁡(x2+y2)解：因为limx→0y→0xln⁡(x2+y2)=2limx→0y→0xx2+y2x2+y2ln⁡x2+y2令x2+y2=t则t→0+那么lim(x,y)→(0,0)x2+y2ln⁡x2+y2=limt→0+tln⁡t=limt→0+ln⁡t1/t=limt→0+1/t−1/t2=0所以lim(x,y)→(0,0)xln⁡(x2+y2)=0例2.8：求极限lim(x,y)→(0,0)x2+y2−sin⁡x2+y2(x2+y2)3/2解：lim(x,y)→(0,0)x2+y2−sin⁡x2+y2(x2+y2)3/2=x2+y2=ρlimρ→0ρ−sin⁡ρρ3=limρ→0ρ−(ρ−16ρ3+o(ρ3))ρ3=16。

多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。

一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。

2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。

(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。

二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。

多元函数求极限的方法
在多元函数中，求极限是一个重要的问题。

多元函数的极限求解方法有很多种，其中包括直接代入法、夹逼法、极坐标法、球坐标法、柱坐标法等。

本文将对这些方法进行详细介绍，希望能够帮助读者更好地理解多元函数求极限的过程。

首先，我们来看直接代入法。

对于多元函数 f(x, y)，当(x, y)趋于某一点(a, b)时，如果 f(x, y)可以直接代入(a, b)，并且得到有限的值L，那么就可以说f(x, y)在点(a, b)处有极限，记作lim(f(x, y)) = L。

这种方法适用于一些简单的多元函数，但对于
复杂的多元函数就不太适用了。

其次，夹逼法是一种常用的求多元函数极限的方法。

夹逼法的思想是通过构造
一个夹逼序列，使得这个序列的极限值等于多元函数的极限值。

通过夹逼法，可以解决一些复杂的多元函数极限求解问题，尤其是在极限存在但不易直接计算的情况下。

除此之外，极坐标法、球坐标法、柱坐标法等方法也是常用的多元函数求极限
的方法。

这些方法在处理一些特殊的多元函数问题时非常有效，能够简化计算过程，提高求解效率。

总之，多元函数求极限的方法有很多种，每种方法都有其适用的范围和特点。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解多元函数的极限，从而更好地理解和应用多元函数的知识。

希望本文对读者有所帮助，如果有任何疑问或者建议，欢迎大家留言讨论。

谢
谢阅读！。

多元函数求极限方法多元函数求极限是高等数学中的重要内容之一，它与微积分、数学分析等领域密切相关。

在学习多元函数求极限的过程中，我们需要掌握一些基本方法和技巧。

下面，我将介绍几种常用的多元函数求极限方法。

一、直接代入法直接代入法是求解多元函数极限最简单的方法之一。

当我们需要求解一个多元函数在某个点处的极限时，可以先将这个点的坐标代入到这个函数中，从而得到一个实数值。

如果这个实数值存在且唯一，那么这个实数就是该多元函数在该点处的极限值。

例如，对于二元函数f(x,y) = (x^2+y^2)/(x+y)，当(x,y) = (1,1)时，我们可以直接将(1,1)代入到f(x,y)中得到：f(1,1) = (1^2+1^2)/(1+1) = 1因此，在点(1,1)处，该二元函数的极限值为1。

二、夹逼定理夹逼定理是判断多元函数是否收敛以及计算其极限值的重要工具。

夹逼定理通常用于那些难以直接计算或者无法使用其他方法计算出来的多元函数极限。

夹逼定理的核心思想是，如果一个多元函数可以被两个已知的函数“夹逼”在中间，而这两个函数的极限值相等，那么这个多元函数的极限值也应该等于它们的极限值。

例如，对于二元函数f(x,y) = sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)，我们可以使用夹逼定理来求解它在点(0,0)处的极限。

首先，我们定义两个二元函数g(x,y)和h(x,y)，使得：g(x,y) = (x^2+y^2)/sin(x^2+y^2)h(x,y) = 1显然，在点(0,0)处，g(x,y)和h(x,y)都等于1。

因此，我们可以将f(x,y)表示为：h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y)当x和y趋近于0时，g(x,y)趋近于1，而h(x,y)趋近于1。

因此，根据夹逼定理，f(x,y)在点(0,0)处的极限值也应该等于1。

三、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种常用于计算多元函数积分、求解多元函数最大值和最小值以及判断多元函数是否可积等方面的工具。

证明多元函数极限不存在多元函数的极限问题在很多数学学科中都有广泛的应用，尤其是在微积分和实分析课程中。

然而，有些多元函数的极限并不一定存在，这在一些特殊情况下尤其明显。

本文将介绍如何证明多元函数极限不存在，并给出一些例子以帮助读者更好地理解。

第一类：分歧多元函数的分歧可以导致极限不存在。

分歧是指当沿着不同的路径逼近函数值时，函数值的极限不同。

例如，考虑函数f(x, y) = (x^2-y^2)/(x^2+y^2)。

当以不同的方法逼近点(0,0)时，这个函数可能会收敛到不同的极限。

例如，如果我们考虑以x轴为x=0的直线逼近(0,0)，则f(x, y) = -1，但如果我们考虑以y轴为y=0的直线逼近(0,0)，则f(x, y) = 1。

因此，f(x, y)在点(0,0)处的极限不存在。

第二类：震荡另一种导致多元函数极限不存在的情况是震荡。

震荡是指当函数值在逼近某个极限时来回振荡的情况。

例如，考虑函数f(x, y) =sin(x^2+y^2)/x。

当x趋近于0时，函数值在不同的(y, x)点上来回振荡。

虽然函数的绝对值总是小于等于1，但结果是这个函数在(0,0)点不存在极限。

第三类：无穷在某些情况下，函数的极限问题可以被简化为证明函数的无穷。

例如，考虑函数f(x, y) = 1/(x^2+y^2)，它在平面上的图像是一个射线从原点开始向外扩展。

当我们接近原点时，这个函数的值变得越来越大。

我们可以证明这个函数在原点没有界，因此它的极限也不存在。

第四类：不连续最后，函数的不连续性也可能导致函数的极限不存在。

例如，考虑函数f(x, y) = |x|/x。

当x>0时，f(x, y) = 1；当x<0时，f(x, y) = -1。

很明显，这个函数在(0,0)处不连续，因此它的极限也不存在。

综上所述，证明多元函数极限不存在需要通过证明函数的分歧、震荡、无穷或不连续性来实现。

在处理这些证明问题时，需要表达得简单清晰，使用适当的符号，注重逻辑严密性。

多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。

一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。

因此，我们需要重新定义多元函数的极限。

1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。

可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。

在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。

多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。

一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。

对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。

我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。

类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。

多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。

2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。

但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。

3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。

4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。

对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。

类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。

多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。