2019年四川省泸州市高考数学三诊试卷(理科)含答案解析
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2019年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．设集合M={x|x2﹣x﹣6＜0}，N={x|x﹣1＞0}，则M∩N=（ ）
A．（1，2） B．（1，3） C．（﹣1，2） D．（﹣1，3）
2．若命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是（ ）
A．∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0 B．∃x0∈R，x0﹣2＜lgx0
C．∀x∈R，x﹣2＜lgx D．∀x∈R，x﹣2≤lgx
3．已知cos2θ=，则sin4θ﹣cos4θ的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
4．圆x2+y2﹣4x=0的圆心到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
5．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，则输出t的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．0
6．从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，某三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．某学校一天共排7节课（其中上午4节、下午3节），某教师某天高三年级1班和2班各有一节课，但他要求不能连排2节课（其中上午第4节和下午第1节不算连排），那么该教师这一天的课的所有可能的排法种数共有（ ） 第2页（共22页）
A．16 B．15 C．32 D．30
8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（ ）
A．3 B． C． D．
9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（ ）
A．{t|} B．{t|≤t≤2} C．{t|2} D．{t|2}
10．已知函数f（x）=，g（x）=﹣4x+a•2x+1+a2+a﹣1（a∈R），若f（g（x））＞e对x∈R恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0] B．（﹣1，0） C．[﹣2，0] D．[﹣，0]
二、填空题：本题共5小题，每题5分，共25分。
11．复数z=（i为虚数单位）的虚部是_______．
12．在二次项式（x﹣）6的展开式中，常数项的值是_______．（用具体数字作答）
13．下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）来近似描述，则该港口在11：00的水深为_______m．
14．若直线ax+y﹣a+1=0（a∈R）与圆x2+y2=4交于A、B两点（其中O为坐标原点），则的最小值为_______．
15．函数f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，|AB|为A、B两点间距离，定义φ（A，B）=为曲线f（x）在点A与点B之间的“曲率”，给出以下问题：
①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数； 第3页（共22页）
②函数f（x）=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则点A与点B之间的“曲率”φ（A，B）＞；
③函数f（x）=ax2+b（a＞0，b∈R）图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ（A，B）≤2a；
④设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线f（x）=ex上不同两点，且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．
其中正确命题的序号为_______（填上所有正确命题的序号）．
三、简答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=，S3=．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn=+105成立的n的值．
17．我国政府对PM2.5采用如下标准：
PM2.5日均值m（μg/m3） 空气质量等级
m＜35 一级
35≤m≤75 二级
m＞75 超标
某市环保局从180天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，检测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（1）求这10天数据的中位数；
（2）从这10天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；
（3）以这10天的PM2.5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级？
18．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=ccosB+bsinC．
（1）求C的值；
（2）若D是AB上的点，已知cos∠BCD=，a=2，b=3，求sin∠BDC的值．
19．如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB，CE=CD．
（I）求证：平面CDE⊥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角C﹣BE﹣A的余弦值． 第4页（共22页）
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（1，），其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于两点M、N（异于点A），若D在MN上，且AD⊥MN，|AD|2=|MD||ND|，证明直线l过定点．
21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=x2﹣x+a有唯一实根，求（1+lna）a2的值；
（Ⅱ）若过原点作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直，证明：＜a＜；
（Ⅲ）设g（x）=f（x+1）+ex，当x≥0时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．
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2019年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．设集合M={x|x2﹣x﹣6＜0}，N={x|x﹣1＞0}，则M∩N=（ ）
A．（1，2） B．（1，3） C．（﹣1，2） D．（﹣1，3）
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+2）＜0，
解得：﹣2＜x＜3，即M=（﹣2，3），
由N中不等式解得：x＞1，即N=（1，+∞），
则M∩N=（1，3），
故选：B．
2．若命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是（ ）
A．∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0 B．∃x0∈R，x0﹣2＜lgx0
C．∀x∈R，x﹣2＜lgx D．∀x∈R，x﹣2≤lgx
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0．
故选：A．
3．已知cos2θ=，则sin4θ﹣cos4θ的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．
【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，原式利用平方差公式及同角三角函数间的基本关系化简，将得出关系式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=，
∴sin4θ﹣cos4θ=（sin2θ﹣cos2θ）（sin2θ+cos2θ）=sin2θ﹣cos2θ=﹣（cos2θ﹣sin2θ）=﹣，
故选：C．
4．圆x2+y2﹣4x=0的圆心到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【考点】双曲线的简单性质． 第6页（共22页）
【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x=0的圆心为（2，0），半径为2，
双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，
可得圆心到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为：
d==1．
故选：A．
5．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，则输出t的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．0
【考点】程序框图．
【分析】分析框图可知，本题是求可行域内，目标函数t=最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值即可．
【解答】解：由程序框图知：本题是求可行域内，t=的最大值，
画出可行域如图： 第7页（共22页）
由于t=为经过可行域的一点与原点的直线的斜率，可得当直线经过OA时斜率最大，
由，解得，A（1，3），此时，t===3．
故选：B．
6．从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，某三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示：该几何体是一棱长为1的正方体切去如图所示的一角．
【解答】解：由题意所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示：
该几何体是一棱长为1的正方体切去如图所示的一角，
∴剩余几何体的体积等于正方体的体积减去截取的直三棱锥的体积，
∴V=1﹣×=．
故选：B．
