2020-2021学年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)及答案解析
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四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科））
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则∁UM=（ ）
A．[1，2） B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．（0，1]
3．执行如图所示程序框图，则输出的n为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
4．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）．已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（ ）
A．27种 B．48种 C．54种 D．72种
7．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）=f（﹣x）；③f（x）在（，）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（ ） A．f（x）=cos（x+） B．f（x）=sin2x﹣cos2x
C．f（x）=sinxcosx D．f（x）=sin2x+cos2x
8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（ ）
A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，1]
9．设M，N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=0，过点A（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（ ）
A．80 B．100 C．120 D．160
10．该试题已被管理员删除
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
11．已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t=_______．
12．若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为_______．
13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示．
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据分析，这个经营部定价在_______元/桶才能获得最大利润．
14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（0，4）．若直线2x﹣y+m=0上存在点P，使得PA=PB，则实数m的取值范围是_______．
15．已知函数f（x）=，其中常数a＞0，给出下列结论：
①f（x）是R上的奇函数；
②当a≥4时，f（x﹣a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立；
③f（x）的图象关于x=a和x=﹣a对称； ④若对∀x1∈（﹣∞，﹣2），∃x2∈（﹣∞，﹣1），使得f（x1）f（x2）=1，则a∈（，1）．
其中正确的结论有_______．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6个小题，共75分.
16．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试．现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；
（Ⅱ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA．
（1）求A的大小；
（2）若cosB=，BC=5， =，求CD的长．
18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=（）2（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．
19．如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l．
（I）求证：l⊥平面CDE；
（II）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是否存在实数k，使得△ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．设函数g（x）=lnx，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是正常数，且0＜λ＜1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最值；
（Ⅱ）对于任意的正数m，是否存在正数x0，使不等式|﹣1|＜m成立？并说明理由；
（Ⅲ）设λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1，证明：对于任意正数a1，a2都有a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．
四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科））
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：∵z（1+i）=i，∴z（1+i）（1﹣i）=i（1﹣i），∴z=，
则复数z所对应的点在第一象限．
故选：A．
2．已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则∁UM=（ ）
A．[1，2） B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．（0，1]
【考点】补集及其运算．
【分析】分别求出关于U，M的范围，从而求出M的补集即可．
【解答】解：U={x|y=}={x|x≥1}，
M={y|y=2x，x≥1}={y|y≥2}，
则∁UM=[1，2），
故选：A．
3．执行如图所示程序框图，则输出的n为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=3时，满足条件S≥3，退出循环，输出n的值为8．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=0，n=1
执行循环体后，S=1，n=2
不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=3
不满足条件S≥3，执行循环体后，S=2，n=4
不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=5
不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=6
不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=7
不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log=3，n=8
此时，满足条件S≥3，退出循环，输出n的值为8．
故选：D．
4．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由于“∃x＞0，使a+x＜b”与“a＜b”成立等价，即可判断出关系．
【解答】解：“∃x＞0，使a+x＜b”⇔“a＜b”， ∴“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的充要条件．
故选：C．
5．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点P（x，y）对应图形的面积，及满足条件“内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．
【解答】解：不等式组表示的区域如图所示，
阴影部分的面积为，
则所求概率为．
故选B．
6．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）．已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（ ）
A．27种 B．48种 C．54种 D．72种
【考点】计数原理的应用．
【分析】由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，根据分步计数原理可得．
【解答】解：由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，故有A31A31A33=54种，
故选：C．
7．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）=f（﹣x）；③f（x）在（，）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（ ）
A．f（x）=cos（x+） B．f（x）=sin2x﹣cos2x
C．f（x）=sinxcosx D．f（x）=sin2x+cos2x
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质，逐个排查即可．
【解答】解：根据题意，函数应满足：①f（x）的最小正周期为π；
②对任意的x∈R，都有f（x﹣）+f（﹣x）=0，
用x+替换式中的x可得f（x﹣）+f（﹣x﹣）=0，
即函数的图象关于点（﹣，0）对称；
③f（x）在（，）上是减函数；
对于A，f（x）=cos（x+）的周期为T=2π，不符合①，故不满足题意；
对于B，f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），不符合②，故不满足题意；
对于C，f（x）=sinxcosx=sin2x，不符合②，故不满足题意；
对于D，f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），符合①②③，满足题意．
故选：D．
8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（ ）
A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，1]
【考点】二面角的平面角及求法．
