2018人教A版高中数学必修一第一章测试题含答案

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专业资料 第一章 章末检测题

一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的 )

1.集合 {1 ，2，3} 的所有真子集的个数为 ( )

A.3 B.6

C.7 D.8

答案 C

解析 含一个元素的有 {1} ，{2} ，{3} ，共 3 个；含两个元素的有 {1 ，2} ，{1 ，3} ，{2 ，3} ，

共 3 个；空集是任何非空集合的真子集，故有 7 个.

2.下列五个写法，其中错误写法的个数为 ( )

①{0} ∈{0 ，2，3} ；② ? {0} ；③ {0 ， 1，2} ? {1 ，2， 0} ；④ 0∈?；⑤ 0∩?＝?

A.1 B.2

C.3 D.4

答案 C

解析 ②③正确 .

2－2} ，N＝{y|y ＝x2－2} ，则 M ∩N 等于 ( ) 3.已知 M ＝{x|y ＝x

A.N B.M

C.R D.?

答案 A

解析 M ＝{x|y ＝x 2－2} ＝R，N＝{y|y ＝x2－2} ＝{y|y ≥ －2} ，故 M ∩N＝N.

2＋2x＋3(x≥ 0)的值域为 ( ) 4.函数 y＝x

A.R B.[0 ，＋∞ )

C.[2，＋∞ ) D.[3 ，＋∞ )

答案 D

解析 y＝x2＋2x＋3＝ (x＋1)2＋2，∴函数在区间 [0，＋∞ )上为增函数，

故 y≥ (0＋ 1) 2＋2＝3.

5.某学生离开家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中 d 轴

表示离学校的距离， t 轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是 ( )WORD文档

专业资料 答案 D

解析 t＝0 时，学生在家，离学校的距离 d≠0，因此排除 A、C 项；学生先跑后走，因此 d

随 t 的变化是先快后慢，故选 D.

6.函数 f(x)＝ x－1

x－2

的定义域为 ( )

A.(1，＋∞ ) B.[1 ，＋∞ )

C.[1，2) D.[1 ，2)∪(2，＋∞ )

答案 D

x－1≥ 0， 解析 根据题意有

x－2≠0， 解得 x≥ 1 且 x≠2.

2－1 不是减函数的是 ( ) 7.在下面的四个选项所给的区间中，函数 f(x) ＝x

A.( －∞，－ 2) B.(－ 2，－ 1)

C.(－1， 1) D.(－∞， 0)

答案 C

解析 函数 f(x) ＝x

2－1 为二次函数，单调减区间为 (－∞， 0]，而 (－1， 1)不是 (－∞， 0]的

子集，故选 C.

5＋x3＋x 的图像 ( ) 8.函数 f(x)＝ x

A.关于 y 轴对称B.关于直线y＝ x 对称

C.关于坐标原点对称D.关于直线y＝－ x 对称

答案 C

解析 易知 f(x) 是 R 上的奇函数，因此图像关于坐标原点对称.

9.已知 f(x)＝ 1

2

2x－1（ x<

），

f（x－1）＋ 1（x≥

1

2

）， 1

则f(

)＋f(

4 7

6

)＝( )

A.－ 1

6 1

6

B.

5 5

C.

6 D.－

6 WORD文档

专业资料 答案 AWORD文档

专业资料 1 1

解析 f( －1＝－

)＝ 2×

4 4 1

2

，f( 7

6

)＝f( 7

6

－1)＋ 1＝f( 1

6

)＋1＝2× 1 1 1

－1＋1＝ ，∴f(

)＋f(

6 3 4 7

6

)＝－ 1

6

，

故选A.

7.函数 y＝f(x) 与 y＝g(x)的图像如下图，则函数 y＝f(x) · g(x)的图像可能是 ( )

答案 A

解析 由于函数 y＝f(x) g·(x) 的定义域是函数 y＝f(x) 与 y＝g(x) 的定义域的交集 (－∞，0)∪(0，

＋∞ )，所以函数图像在 x＝0 处是断开的， 故可以排除 C、D 项；由于当 x 为很小的正数时，

f(x) ＞0 且 g(x) ＜ 0，故 f(x) g·(x)＜0，可排除 B 项，故选A.

8.若 f(x) 是偶函数且在 (0，＋∞ )上减函数，又 f(－ 3)＝1，则不等式f(x)<1 的解集为 ( )

A.{x|x>3 或－ 3

C.{x|x< －3 或 x>3} D.{x| － 3

答案 C

解析 由于 f(x) 是偶函数， ∴f(3) ＝f(－3)＝1，f(x) 在 (－∞，0)上是增函数， ∴当 x>0 时，f(x)<1

即 f(x)3，当 x<0 时， f(x)<1 即 f(x)

9.已知函数 y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为 M ，最小值为 m，则 m

M

的值为 ( )

A. 2

2 B. 2

C.2 2 D.2

答案 A

解析 本题考查函数的最值及求法.

∵y≥ 0，∴ y＝ 1－x＋ x＋3＝ 4＋2 （x＋ 3）（ 1－x） (－ 3≤ x≤ 1)，

∴当 x＝－ 3 或 1 时， ymin＝2；当 x＝－ 1 时， ymax＝2 2，即 m＝2， M ＝2 2，∴ m

M

＝ 2

.

2

二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)

2＋4} ，A∩B＝{3} ，则实数 a＝________. 10.设集合A ＝{ －1，1，3} ，B＝{a＋2，a

答案 1

解析 ∵A∩B＝{3} ，∴ 3∈B.

∵a 2＋4≥ 4，∴ a＋2＝3，∴ a＝1.WORD文档

专业资料 11.若函数 f(x) ＝2x 4－|3x＋a|为偶函数，则 a＝________.

答案 0

解析 f(－ x)＝2x 4－|a－3x|，由偶函数定义得|3x＋a|＝|a－3x|，∴ (a＋3x)＋ (a－ 3x)＝0，∴ a

＝0.

12.函数 f(x) 是定义在 [－1，3]上的减函数， 且函数 f(x) 的图像经过点 P(－1，2)，Q(3，－ 4)，

则该函数的值域是 ________.

答案 [－4，2]

解析 ∵f(x) 的图像经过点 P，Q，

∴f( －1)＝2，f(3) ＝－ 4.

又 f(x) 在定义域 [－ 1，3]上是减函数，

∴f(3) ≤ f(x) ≤ f( －1)，即－ 4≤ f(x) ≤ 2.

∴该函数的值域是 [－4，2].

13.偶函数 f(x) 在(0，＋∞ )上为增函数，若 x1<0，x2>0，且 |x1|>|x2|，则 f(x 1)与 f(x2)的大小关

系是 ________.

答案 f(x1)>f(x 2)

解析 ∵x1<0，∴－ x1>0，又 |x1|>|x2|， x2>0，∴－ x1>x2>0.

∵f(x) 在(0，＋∞ )上为增函数，∴ f(－x1)>f(x 2).

又∵ f(x) 为偶函数，∴ f(x 1)>f(x 2).

三、解答题 (本大题共6 个小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )

14.(10 分)已知集合 A ＝{x| －4≤ x<8} ，函数 y＝ x－ 5的定义域构成集合 B，求：

(1)A ∩ B； (2)(?RA) ∪B.

解析 y＝ x－5的定义域为 B＝{x|x ≥ 5} ，则

(1)A ∩ B＝ {x|5≤ x<8}.

(2) ?RA ＝{x|x< －4 或 x≥ 8} ，∴ (?RA) ∪B＝{x|x< －4 或 x≥ 5}.

2＋ax＋b 的图像关于直线x＝1 对称. 15.(12 分)已知函数 f(x) ＝x

(1)求实数 a 的值；

(2)若 f(x) 的图像过 (2，0)点，求 x∈[0，3]时， f(x) 的值域 .

解析 (1)二次函数 f(x) ＝x 2＋ax＋b 的对称轴为 x＝－ a 2＋ax＋b 的对称轴为 x＝－ a

，∴－

2 a

2

＝ 1，∴ a＝－ 2.

(2)若 f(x) 过(2，0)点，∴ f(2) ＝0.

∴2 2－2×2＋b＝0，∴ b＝0，∴ f(x) ＝x2－2x.

当 x＝1 时 f(x)最小为 f(1) ＝－ 1，当 x＝3 时， f(x) 最大为 f(3)＝ 3，

∴f(x) 在[0，3]上的值域为 [－1，3].

2x＋1 16.(12 分)已知函数 f(x) ＝ . 17. x＋1WORD文档

专业资料 (1)判断函数在区间 [1，＋∞ )上的单调性，并用定义证明你的结论；

(2)求该函数在区间 [1，4]上的最大值与最小值 .

解析 (1)f(x) 在[1，＋∞ )上是增函数 .证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞ )，且 x1＜x2， f(x1)

－f(x 2)＝ 2x1＋1

x1＋1

－ 2x2＋1

x2＋1

＝ x1－x2

（x1＋1）（ x2＋1）.

∵x1－x2＜ 0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，

∴f(x 1)＜f(x2).

∴函数 f(x) 在[1，＋∞ )上是增函数 .

(2)由(1)知函数 f(x) 在 [1，4]上是增函数，∴最大值为f(4)＝ 2×4＋1 9 ＝

，最小值为f(1) ＝

4＋1 5

2×1＋1 3

＝ .

1＋1 2

18.(12 分)商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个定价 5 元，该店推出两种优

惠办法：

(1)买 1 个茶壶赠送1 个茶杯；

(2)按总价的 92%付款 .

某顾客需购茶壶 4 个，茶杯若干个 (不少于 4 个)，若购买茶杯数为x 个，付款数为y(元)，

试分别建立两种优惠办法中y 与 x 之间的函数关系式， 并讨论该顾客买同样多的茶杯时， 两

种办法哪一种更省钱.

解析 由题知，按照第 1 种优惠办法得y1＝80＋(x－ 4) ·5＝5x＋60(x≥ 4).

按照第 2 种优惠办法得y2＝(80＋5x)× 92%＝4.6x＋73.6(x ≥ 4)，y1－ y2＝ 0.4x－13.6(x ≥ 4)，

当 4≤ x<34 时， y1－ y2<0，y1

当 x＝34 时， y1－y2＝0，y1＝y2；

当 x>34 时， y1－y2>0，y1>y2.

故当 4≤ x<34 时，第一种办法更省钱；当 x＝34 时，两种办法付款数相同；当 x>34 时，第

二种办法更省钱.

19.(12 分)函数 f(x)是 R 上的偶函数，且当 x>0 时，函数的解析式为f(x) ＝ 2

x

－1.

(1)用定义证明 f(x)在 (0，＋∞ )上是减函数；

(2)求当 x<0 时，函数的解析式 .

解析 证明 (1)设0

2 2

－1)－( －1)＝ x1 x2 f(x 1)－ f(x 2)＝( 2（x2－x1）

，

x1x2

∵00，x2－x1>0.

∴f(x 1)－f(x2)>0，即 f(x 1)>f(x 2).