2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷,含答案)
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2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，含答案）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合1,2,3M，2,3,4N，则
A．MN B．NM
C．2,3MNI D．1,4MNU
2．下列命题中的假命题．．．是
A．Rx，120x＞ B．Nx，10x2＞
C．Rx，lgx＜1 D． Rx，tan2x
3．极坐标方程cos和参数方程1,23xtyt（t为参数）所表示的图形分别是
A．圆、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．直线、直线
4．在RtABC中，90Co，4AC，则ABACuuuruuurg等于
A．16 B．8 C．8 D．16
5．421dxx等于
A．2ln2 B．2ln2 C．ln2 D．ln2
6．在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若120Co，2ca，则
A．a＞b B．a＜b
C．a=b D．a与b的大小关系不能确定
7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10 B.11 C.12 D.15
8．用min,ab表示,ab两数中的最小值.若函数()min,fxxxt的图像关于直线12x对称，则t的值为
A．2 B．2 C．1 D．1
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．
9．已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间．若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g．
10．如图1所示，过Oe外一点P作一条直线与Oe交于A,B两点．已知PA=2，点P到Oe的切线长PT=4，则弦AB的长为 ．
11．在区间1,2上随机取一个数x，则1x的概率为 ．
12．图2是求2221232…+100的值的程序框图，则正整数n ．
13．图3中的三个直角三角形是一个体积为203cm的几何体的三视图，则h cm．
图2
1,0is 开始
1ii
2ssi?in
否
输出s
结束 是 14．过抛物线22(0)xpyp＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,AB两点，,AB在x轴上的正射影分别为,DC．若梯形ABCD的面积为122，则p
．
15．若数列na满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得man＜成立，记这样的m的个数为()na，则得到一个新数列()na．例如，若数列na是1,2,3,n…，…，则数列()na是0,1,2,1,n…，…．已知对任意的Nn，2nan，则5()a ，
(())na ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数2()3sin22sinfxxx．
（Ⅰ）求函数()fx的最大值；
（Ⅱ）求函数()fx的零点的集合.
17．（本小题满分12分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.
（Ⅰ）求直方图中x的值.
（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.
18．（本小题满分12分）
如图5所示，在正方体1111ABCDABCD中，E是棱1DD的中点.
（Ⅰ）求直线BE的平面11ABBA所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱11CD上是否存在一点F，使1BF∥平面1ABE？证明你的结论.
19．（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线2x的右侧，考察范围为到点B的距离不超过655km的区域；在直线2x的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过45km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段12PP，23PP是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
20.（本小题满分13分）
已知函数2()(,),fxxbxcbcR对任意的xR，恒有'()fx()fx.
（Ⅰ）证明：当0x时，2()()fxxc；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式22()()()fcfbMcb恒成立，求M的最小值.
21．（本小题满分13分）
数列*()nanN中，11,naaa是函数322211()(3)332nnnfxxanxnax的极小值点.
（Ⅰ）当0a时，求通项na；
（Ⅱ）是否存在a，使数列na是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由. 参考答案
一、选择题
1.C 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7.B 8.D
二、填空题
9.171.8或148.2 10.6 11.23 12.100 13.4 14.2 15.2 2n
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
解法2：由()0fx得223sincos2sinxxx，于是sin0x，或3cossinxx
即tan3x.
由sin0x可知xk；由tan3x可知3xk.
故函数()fx的零点的集合为,,3xxkxkkZ或
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.020.10.370.391x，解得0.12x.
（Ⅱ）由题意知，XB(3,0.1):.
因此031233P(0)0.90.729,(1)0.10.90.243XCPXC，
223333P(2)0.10.90.027,(3)0.10.001XCPXC.
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的数学期望为EX=30.1=0.3.
18．（本小题满分12分）
解法1：设正方体的棱长为1.如图所示，以1ABADAAuuuruuuruuuur，，为单位正交基底建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）依题意，得1(1,0,0),(0,1,),(0,0,0),(0,1,0)2BEAD，
所以1=(1,1,),(0,1,0)2BEADuuuruuur.
在正方体1111ABCDABCD中，因为11ADABBA平面,所以ADuuur是平面11ABBA的一个法向量，设直线BE和平面11ABBA所成的角为，则
12sin3312BEADBEADuuuruuurguuuruuurg.
即直线BE和平面11ABBA所成的角的正弦值为23.
设F是棱11CD上的点，则(,1,1)(01)Ftt.又1(1,0,1)B，所以
1(1,1,0)BFtuuuur.而11BFABE平面，于是
11110(1,1,0)(2,1,2)02(1)102BFABEBFntttFuuuurgg∥平面为11CD的中点，这说明在棱11CD上存在点F(11CD的中点)，使11BFABE∥平面
解法2：（Ⅰ）如图（a）所示，取1AA的中点M，连结EM,BM.因为E是1DD的中点，四边形11DDAA为正方形，所以EM∥AD.
即直线BE和平面11ABBA所成的角的正弦值为23.
（Ⅱ）在棱11CD上存在点F，使11BFABE∥平面.
事实上，如图（b）所示，分别取11CD和CD的中点F，G，连结1EG,BG,,FGCD.因1111ADBCBC∥∥,且11ADBC,所以四边形11ABCD是平行四边形，因此11DCAB∥.又E,G分别为1DD，CD的中点，所以1DCEG∥，从而1BEG∥A.这说明1A，B，G，E共面，所以1BGBE平面A.
因四边形11CCDD与11BBCC皆为正方形，F，G分别为11CD和CD的中点，所以
11FGCBB∥C∥，且11FGCBB=C=，因此四边形1BBGF是平行四边形，所以1BGBF∥.而11BF平面ABE，1BGBE平面A，故11BFABE∥平面.
19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为(,)xy，
当2x时，由题意知2236(4)5xy.
当2x时，由45PAPB知，点P在以A，B为焦点，长轴长为245a的椭圆上.此时短半轴长22(25)42b.因而其方程为221204xy.
故考察区域边界曲线（如图）的方程为
22221236:(4)(2):1(2)5204xyCxyxCx和.
（Ⅱ）设过点12,PP的直线为1l，过点23,PP的直线为2l，则直线1l，2l的方程分别为
314,6yxy.
程为38yx，l与1l之间的距离为148313d.
又直线2l到1C和2C的最短距离6565d，而3d，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3.
设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，
得0.2(21)321n，所以4n.
