《数学建模入门》练习题1

《数学建模入门》练习题

练习题1：发现新大陆！

发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？

有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。

练习题2：棋盘问题

有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？

不能，如图所示。

图中共有32个黄格,30个红格,而每张骨牌必定盖住一红一黄两格,那么最后两个黄格用一个骨牌无论如何也盖不上.

练习题3：硬币游戏

如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？

答： 决定先放。第一枚硬币放在桌子中心，随后自己放置的硬币总与对方上次放置的硬币成中心对称，如果对方能放得下，那么己方的硬币必然可以放下。所以己方放置的硬币必然为最后一枚。

练习题4：高速问题

一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B 地，问他从 B 地回到 A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？

解：设A,B两地距离为S，则有：2S/（t+T）=60.t为从A地到B地的时间，T为从B地到A地的时间。即有

○12S/（t+T）=60

○2S=30t

得出：T=0.即速度v=+∞

但是这是不可能达到的速度。所以此题无解。

练习题5：登山问题

某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？

答：可以看做在一天，两人同时于八点分别从山顶山脚出发，，在五点到达。看途中是否能遇到。

设f(t)为上山时的时间与位移表达式，g(t)为下山是的位移表达式，h(t)=f(t)-g(t) 为合位移，总位移为S，规定上山为正方向。

当h(t)=0，两人相遇。

以山脚为位移原点，则山脚处位移为0，山顶为S。

h(8）=f(8)-g(8)=-S<0

h(17)=f(17)-g(17)=S>0

在8=

练习题6：兄弟三人戴帽子问题

解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下：

兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。

此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。

只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！

(县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答吗？)

答：

一共有多少种戴法：全红1种，2红1黑3种，1红2黑3种。共7种不同的戴法。

哪一种最难： 当然是给老三戴红帽最难了。

我们一步步分析，从最简单的开始看起。

首先肯定是老大猜，因为他能看到老二老三的帽子颜色，如果老二老三帽子都是黑的，那么老大马上就能判断自己帽子是红的，这就是1红2黑的3种中的一种情况。共1种，这种情况最简单。

但是万一老大猜不出来呢？那就是老二老三帽子要么1黑1红， 要么2红，这个时候，该让老二猜了，如果老二看到老三的帽子是黑的，他马上就可以猜到自己帽子是红的。（因为老大不能猜出来，则肯定老二老三的帽子1红1黑或2红）如果让老二猜，并且猜出来，这是较难的戴帽方法，包括2红1黑3种中的一种，1红2黑3种中的一种。共2种，这2种较难。

但是万一老二也猜不出来呢？那就是老三的帽子是红的，老二不能猜出来，老三要经过老大老二都不能猜出来分析来判断自己的帽子是红的。包括3红情况下的1种，2红1黑3种情况下中的2种，1红2黑3种情况中的一种，共4种。这4种是最难的。

练习题7：做出空间图形

做出由曲面222yxz与2226yxz相交的空间曲线和所围成的立体的图形。

练习题8：之事，知多少？

关于圆周率的事，你们知道多少？

圆周率是指平面上圆的周长与直径之比。用希腊字母 π (读“Pài”）表示。中国古代有圆率、周率、周等名称。（在一般计算时π人们都把π这无限不循环小数化成3.14）

练习题9：身高和年龄的关系

你不认为“身高和年龄之间有关系吗？”

请你们三个人分别按照每人从出生到现在每年的身高和对应的年龄记录下来（在你本人的宝宝成长纪念册中），制成表（注明：男生、女生，籍贯），然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。

练习题10：过三峡大坝

请你说明船舶是如何从上游通过长江三峡大坝去下游的，又是如何从下游通过长江三峡大坝去上游的。

换句话说，船舶是如何通过长江三峡大坝的。

本题主要是连通器原理的应用

从低位与高位之间有闸门，把闸门打开，水位相平，船开驶入高水位中去，再关掉闸门，然后再往更高水位中注水，再把闸门打开，水位又相平，船又可以驶进去，依此类推。

练习题11：你如何解释？

首都博物馆里有一个展品是一个出土的石盒子容器（见下图），它的外侧表面的石刻画中，有一个佛的头像是一个方形的洞，这如何解释呢？

佛像的头部和身体并不是一体雕刻成的，也就是说头部是单独雕刻然后安装上去的，那么这个洞就是安装佛头用的，现在这个佛头丢失了，就露出了这个洞。

练习题12：海盗分金币

有五个海盗在海上抢得了100枚金币，上岸后他们要分赃。

他们五个人排了个顺序，第一个人先制定一个分配方案，如果第一个人的方案被通过并执行，此次分金币的事结束，如果第一个人的方案被否决，把第一个人杀掉。 100枚金币由其余的四个人分，再由第二个人制定一个分配方案，依次类推，直到金币被分完。

请你替第一个人制定一个合适的分配方案。

（注：分配方案被通过是指同意的人数大于反对的人数，否则方案被否决。）

逆推法：

1. 五号为了得到全部的金币，会对前面四个人全投反对票，所以如果只剩下四号和五号，四号必死无疑；

2. 四号为了生存，必须同意三号，若只剩下三四五号，三号就可以独吞金币，所以四号必须同意二号；

3. 三号和五号为了得到金币，一定反对二号，所以二号必须同意一号，四号因此也得同意一号。

4. 一号只要给二号和四号一定数量的金币就可以保证自己生存。比如一二四号各三分之一。

网上答案：1号海盗分给3号1枚金币，4号或5号2枚金币，自己则独得97枚金币，即分配方案为（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。现来看如下各人的理性分析：

首先从5号海盗开始，因为他是最安全的，没有被扔下大海的风险，因此他的策略也最为简单，即最好前面的人全都死光光，那么他就可以独得这100枚金币了。

接下来看4号，他的生存机会完全取决于前面还有人存活着，因为如果1号到3号的海盗全都喂了鲨鱼，那么在只剩4号与5号的情况下，不管4号提出怎样的分配方案，5号一定都会投反对票来让4号去喂鲨鱼，以独吞全部的金币。哪怕4号为了保命而讨好5号，提出（0，100）这样的方案让5号独占金币，但是5号还有可能觉得留着4号有危险，而投票反对以让其喂鲨鱼。因此理性的4号是不应该冒这样的风险，把存活的希望寄托在5号的随机选择上的，他惟有支持3号才能绝对保证自身的性命。

再来看3号，他经过上述的逻辑推理之后，就会提出（100，0，0）这样的分配方案，因为他知道4号哪怕一无所获，也还是会无条件的支持他而投赞成票的，那么再加上自己的1票就可以使他稳获这100金币了。

但是，2号也经过推理得知了3号的分配方案，那么他就会提出（98，0，1，1）的方案。因为这个方案相对于3号的分配方案，4号和5号至少可以获得1枚金币，理性的4号和5号自然会觉得此方案对他们来说更有利而支持2号，不希望2号出局而由3号来进行分配。这样，2号就可以屁颠屁颠的拿走98枚金币了。

不幸的是，1号海盗更不是省油的灯，经过一番推理之后也洞悉了2号的分配方案。他将采取的策略是放弃2号，而给3号1枚金币，同时给4号或5号2枚金币，即提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的分配方案。由于1号的分配方案对于3号与4号或5号来说，相比2号的方案可以获得更多的利益，那么他们将会投票支持1号，再加上1号自身的1票，97枚金币就可轻松落入1号的腰包了

练习题13：学会管理工作

你的公司需要确定五名员工值一个月（30天）的班，每天只需要安排这五名员工中的二名值班。

请你们安排一个公平、合理、科学的值班表。

练习题14：身高和鞋码的关系

你不认为“身高和鞋码之间有关系吗？”

请把你们三个班同学的身高和对应的鞋码记录下来，制成表（男生、女生分开），然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。

练习题15：近几年北京市空气质量好多了!

你不认为“近几年北京市空气质量好多了吗？”

请你们寻找近几年北京市空气质量的数据，并用得到的数据找出年份和对应的蓝天数之间的关系，用数学模型的方法表示出来。

再用你们建立的数学模型预测今年、明年北京市空气质量(主要指蓝天数)。

再用你们建立的数学模型预测一下，到那年北京市空气质量全达标(主要指蓝天数等于全年的天数)。

练习题16：为什么要更改名字？

我校为了庆祝建校30周年，在校园内立了几个雕塑，其中一个（见下图）刚立时名字叫“麦比乌斯环”，可是过了一段时间后就把名字改了，为什么要更改名字呢？

练习题17：学习查资料