数学建模入门练习题

屋檐水槽模型

房屋管理部门想在房顶的边缘安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便，简单说来，从屋脊到屋檐的房顶可以看作是一个长12m，宽6m的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角要视具体的房屋而定，一般说来，这个角度通常在20。~50。之间。

现在有一个公司想承接这项业务，他们允诺：提供一种新型的可持久的檐槽，它包括一个横截面为半圆形（半径为7.5cm）的水槽和一个竖直的排水管（直径为10cm），并且不管天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。

·但是房管部门还在犹豫，考虑公司的承诺能否实现。于是想请你用数学的方法给出一个详细的分析，论证它这个方案的可行性。

2 模型假设

2．1 合理假设 ①降雨分布均匀并以垂直降落，并且直接落在房顶上②所有落在房顶上的雨水迅速流入水槽中；③雨水不从水槽中溅出；④排水管道顺畅，没有任何障碍或阻塞；④假设雨开始下时槽内有雨水深度0．O1 In

图1 屋檐水槽连接示意

2．2 符号说明 笔者列出与问题有关的因素及符号说明(表1)。

3 建立模型

参照图1，根据速度平衡的原理，对于房顶排水系统有：水槽中水的流量的变化率=雨水的流人流量-排水流出的流量。即 01)('QQtV，房顶 b

d α 这里01QQ、分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水流量。房顶雨水的流动情况，如图2所示。房顶的面积是bd，由于房顶是倾斜的，根据合理假设(1)，实际受雨的水平面积应为abdcos，房顶上雨水的流量就是)(trabdcos，雨水的流动是沿倾斜的房顶向下的，从而流入水槽的流量应该是它在铅垂方向的分量，直接落入水槽中的雨形成的水的流量2)(atr，即21)(sincos)(atraabdtrQ。

有关的因素 因素类型 符号 单位

降水强度 输入变量 r sm/

时间 变量 t s

房顶倾斜度 输入参数 a 弧度

房顶的长度 输入参数 d m

房顶的宽度 输入参数 b m

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-- １、放射性废料的处理问题

美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为９0多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂,从而造成核污染。原子能委员会分辨说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过１２.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为２39.46 ｋg,体积为0.2058m3,海水密度为1035.７1ｋｇ/ｍ3,如果圆桶速度小于1２.２ m／s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k＝0.6。现要求建立合理的数学模型,解决如下实际问题：

1． 判断这种处理废料的方法是否合理?

2． 一般情况下,ｖ大，k也大;v小,k也小。当v很大时，常用kｖ来代替k,那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过12.2 m／ｓ,圆桶的运动时间和位移应不超过多少?

(的值仍设为0.6)

鱼雷攻击问题

在一场战争中，甲方一潜艇在乙方领海进行秘密侦察活动。当甲方潜艇位于乙方一潜艇的正西100千米处,两方潜艇士兵同时发现对方。甲方潜艇开始向正北60千米处的营地逃跑,在甲方潜艇开始逃跑的同时，乙方潜艇发射了鱼雷进行追踪攻击。假设甲方潜艇与乙方鱼雷是在同一平面上进行运动。已知甲方潜艇和乙方鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲方潜艇速度的两倍。

试建立合理的数学模型解决以下问题:

1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹;

2) 确定甲方潜艇能否安全的回到营地而不会被乙方鱼雷击中

3、贷款买房问题

某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率１%，贷款期为２5年,要求建立数学模型解决如下问题：

1） 问该居民每月应定额偿还多少钱？

数学建模知识

——之新手上路

一、数学模型的定义

现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：

数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。

二、建立数学模型的方法和步骤

1. 模型准备

要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。

2. 模型假设

根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

3. 模型构成

根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。

数学建模知识

——之新手上路

一、数学模型的定义

现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：

数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。

二、建立数学模型的方法和步骤

1. 模型准备

要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。

2. 模型假设

根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

3. 模型构成

根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。