反比例函数与一次函数综合题的解题技巧

1 反比例函数

知识点及考点：

（一）反比例函数的概念：

知识要点：

1、一般地，形如 y = xk ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；

（2）解析式有三种常见的表达形式：

（A）y = xk（k ≠ 0） ， （B）xy = k（k ≠ 0） （C）y=kx-1（k≠0）

例题讲解：有关反比例函数的解析式

（1）下列函数，① 1)2(yx②. 11xy③21xy ④.xy21⑤2xy⑥13yx ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。

（2）函数22)2(axay是反比例函数，则a的值是（ ）

A．－1 B．－2 C．2 D．2或－2

（3）若函数11mxy(m是常数)是反比例函数，则m＝________，解析式为________．

（4）如果y是m的反比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（ ）

A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数

练习：（1）如果y是m的正比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（ ）

（2）如果y是m的正比例函数，m是x的正比例函数，那么y是x的（ ）

（5）反比例函数(0kykx）的图象经过（—2，5）和（2， n），

求1）n的值； 2）判断点B（24，2）是否在这个函数图象上，并说明理由

（6）已知y与2x－3成反比例，且41x时，y＝－2，求y与x的函数关系式．

2 （7）已知函数12yyy，其中1y与x成正比例, 2y与x成反比例，且当x＝1时，y＝1；

x＝3时，y＝5．求：（1）求y关于x的函数解析式； （2）当x＝2时，y的值．

(二)反比例函数的图象和性质：

知识要点：

1、形状：图象是双曲线。

1 反比例函数练习（1）

一、判断题

1．当x与y乘积一定时，y就是x的反比例函数，x也是y的反比例函数（ ）

2．如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数 （ ）

3．y与2x成反比例时y与x并不成反比例（ ）

二．填空题

4．已知三角形的面积是定值S，则三角形的高h与底a的函数关系式是h =__________,这时h是a的__________；

5．如果y与x成反比例，z与y成正比例，则z与x成____ ___；

6．如果函数222kkkxy是反比例函数，那么k=________，此函数的解析式是____ ____；

7． 有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的31，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是______________

三、选择题：

8．如果函数12mxy为反比例函数，则m的值是 （ ）

A 1 B 0 C 21 D 1

9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s千米与行进时间t的函数图像的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确的是（ ）

10、下列函数中，y是x反比例函数的是（ ）

（A） 12xy（B）22xy （C）xy51（D）xy2

四．辨析题

（1）兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如下表：

①写出兄吃饺子数y与弟吃饺子数x之间的函数关系式（不要求写xy的取值范围）.

②虽然当弟吃的饺子个数增多时，兄吃的饺子数(y)在减少，但y与x是成反例吗？

（2）水池中有水若干吨，若单开一个出水口，水流速v与全池水放光所用时t如下表：

①写出放光池中水用时t(小时)与放水速度v(吨/小时)之间的函数关系.

②这是一个反比例函数吗？

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专题13 反比例函数与一次函数的综合

知识对接

考点一、与一次函数的综合

（1）确定交点坐标：

【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.

【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.

（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解

（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.

（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.

涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.

例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD 2 / 11

专项训练

一、单选题

1．如图，一次函数5ykx（k为常数，且0k）的图像与反比例函数8yx的图像交于(2,)Ab，B两点．若将直线AB向下平移(0)mm个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，则m的值为（）

A．1 B．1或8 C．2或8 D．1或9

2．如图，直线1-22yx与x轴交于点B，与双曲线kyx(x>0)交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线kyx交于点C．且AB=AC，则k的值为（）

A．8 B．12 C．10 D．16 3 / 11 3．如图，反比例函数11kyx的图象和正比例函数22ykx的图象交于点(1,2)A，(1,2)B．若12yy，则x的取值范围是（）

A．10x B．11x

C．1x或01x D．10x或1x

oyx3-2课程导报 北九版

例谈反比例函数与一次函数综合题的解法

山东省曲阜市时庄中学（273100） 丰丙莉 刘国华

函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型.八年级上册时大家学过一次函数，前一段时间又学习了反比例函数，相信同学们已经逐步形成了对函数概念的整体性认识，从函数图像中获取信息的能力也得以逐步提高.下面给出几例与反比例函数、一次函数有关的综合性试题，供同学们探究，解析附后仅供参考.

例1、（1）（2006年， 广东省佛山中考试题）函数y＝－x和xy2在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）.

（2）（2006年，辽宁省旅顺中考试题）如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=mx的图象，观察图象写出y1＞y2时，x的取值范围

．

解析：该例综合考查反比例函数与一次函数（正比例函数）的图像和性质以及分类讨论、数形结合等数学思想.（1）根据k的正负性分类讨论可知：k>0时，双曲线y=k/x分别在一、三象限；直线y=kx过一、三象限.k

例2、（1）（2006年，江苏省南通市中考试题）如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线xy4 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________．

（2）（2007年，永州市中考试题）已知一次函数与反比例函数的图象都经过(－2，－1)和(n，2)两点.

(1)求这两个函数的解析式.

(2)画出这两个函数的图象草图.

解析：这是一例反比例函数与一次函数的图像交点问题，综合考查函数、方程（组）知识以及待定系数法.（1）解方程组xykxy4 可得kykx2211或kykx2222，代入可得2x1y2－7x2y1＝20. （2）设这两个函数的解析式分别为y=k1x+b、y=xk2，将（-2，-1）代入O O O O y y y y