一次函数与反比例函数综合题

一次函数与反比例函数综合题

类型一 反比例函数与一次函数综合

1. (2017湘潭)已知反比例函数y＝kx的图象过点A(3，1)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2) 若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．

2. (2017武汉)如图，直线y＝2x＋4与反比例函数y＝kx的图象相交于A(－3，a)和B两点．

(1)求k的值；

(2)直线y＝m(m>0)与直线AB相交于点M，与反比例函数y＝kx的图象相交于点N.若MN＝4，求m的值．

第2题图

3. (2017泸州二诊)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝ kx＋b和反比例函数y＝mx的图象的两个交点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)求△AOB的面积；

(3)观察图象，直接写出方程kx＋b－mx＝0的解．

第3题图

4. (2017资阳模拟)如图，已知直线y＝kx与双曲线y＝4x(x>0)相交于点A(2，m)，将直线y＝kx向下平移2个单位长度后与y轴相交于点B，与双曲线交于点C，连接AB、AC.

第4题图

(1)求直线BC的函数表达式；

(2)求△ABC的面积．

类型二 反比例函数与几何图形综合

5. 如图，已知，A(0，4)，B(－3，0)，C(2，0)，D为B点关于AC的对称点，反比例函数y＝kx的图象经过D点．

(1)证明四边形ABCD为菱形；

(2)求此反比例函数的解析式；

(3)已知在y＝kx的图象(x>0)上有一点N，y轴正半轴上有一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．

第5题图

6. (2017泰安)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x 轴的正半轴上，∠OBA＝90°，且tan∠AOB＝12，OB＝25，反比例函数y＝kx的图象经过点B.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y＝mx＋n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．

第6题图

类型三 反比例函数与一次函数、几何图形综合

7. 如图，双曲线y＝kx(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为(4，6)，连接AC交x轴于D，连接BD.

(1)确定k的值；

(2)求直线AC的解析式；

(3)判断四边形OABD的形状，并说明理由； (4)求△OAC的面积．

第7题图

8. (2017绵阳模拟)如图，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝kx的图象相交于A(1，4)，B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB.

(1)求k和b的值；

(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；

(3)在y轴上是否存在一点P，使S△PAC＝25S△AOB？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

第8题图

答案 1. 解：(1)将点A(3，1)代入反比例函数解析式中，

得1＝k3，

∴k＝3，

∴反比例函数的解析式为y＝3x；

(2)对于一次函数y＝ax＋6(a≠0)，

联立两解析式得y＝3xy＝ax＋6，

消去y得3x＝ax＋6，

去分母得ax2＋6x－3＝0 ①，

∵一次函数与反比例函数图象只有一个交点，

∴①式中Δ＝62－4a×(－3)＝0，

解得a＝－3≠0，

∴一次函数解析式为y＝－3x＋6.

2. 解：(1) ∵直线y＝2x＋4与反比例函数y＝kx的图象相交于A(－3，a)，

∴a＝2×(－3)＋4＝－2，

∴点A坐标为(－3，－2)，

k＝xy＝(－3)×(－2)＝6；

(2) ∵M在直线y＝2x＋4上，

∴设M(m－42，m)， ∵N在反比例函数y＝6x上，

∴设N(6m，m)，

∴MN＝xM－xN＝m－42－6m＝4或MN＝xN－xM＝6m－m－42＝4，

∵m＞0，

∴解得m＝6＋43或m＝2.

3. 解：(1)∵点B(2，－4)在函数y＝mx的图象上，

∴m＝－8，

∴反比例函数的解析式为y＝－8x；

又∵点A(－4，n)在函数y＝－8x的图象上，

∴n＝2，

∴A(－4，2)，

∵y＝kx＋b经过A(－4，2)，B(2，－4)两点，

∴－4k＋b＝22k＋b＝－4，

解得k＝－1b＝－2，

∴一次函数的解析式为y＝－x－2；

(2)如解图，设直线AB与x轴交于点C，

第3题解图

当y＝0时，x＝－2，

∴点C(－2，0)，即OC＝2，

∴S△AOB＝S△ACO＋S△BCO＝12×2×2＋12×2×4＝6；

(3)方程kx＋b－mx＝0的解为x1＝－4，x2＝2.

4. 解：(1)∵点A(2，m)在y＝4x的图象上，

∴m＝2，A点坐标为(2，2)，

∵点A在y＝kx上，

∴k＝1，

∴直线BC的解析式为y＝x－2；

(2)如解图，过点A作AD∥y轴交BC于点D，

第4题解图

把x＝2代入y＝x－2中得，y＝0，

∴D(2，0)，

∴AD＝2，

∵点C为直线BC与反比例函数的交点， ∴y＝4xy＝x－2，

解得x＝1±5，

∴C(1＋5，5－1)，

∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝12×2×2＋12×2×(1＋5－2)＝1＋5.

5. (1)证明：∵A(0，4)，B(－3，0)，C(2，0)，

∴OA＝4，OB＝3，OC＝2，

∴AB＝OA2＋OB2＝5，BC＝5，

∴AB＝BC，

∵D为B点关于AC的对称点，

∴AB＝AD，CB＝CD，

∴AB＝AD＝CD＝CB，

∴四边形ABCD为菱形；

(2)解：∵四边形ABCD为菱形，

∴D点的坐标为(5，4)，

∵反比例函数y＝kx的图象经过D点，

∴4＝k5，

∴k＝20，

∴反比例函数的解析式为y＝20x；

(3)解：∵四边形ABMN是平行四边形，

∴AN∥BM，AN＝BM， ∴AN是BM经过平移得到的，

∴首先BM向右平移了3个单位长度，

∴N点的横坐标为3，

代入y＝20x，得y＝203，

∴M点的纵坐标为203－4＝83，

∴M点的坐标为(0，83)．

6. 解：(1)如解图，过点B作BD⊥OA，垂足为点D，设BD＝a，

∵tan∠AOB＝BDOD＝12，

∴OD＝2BD＝2a，

∵∠ODB＝90°，OB＝25，

∴a2＋(2a)2＝(25)2，

解得a＝±2(－2舍去)，

∴a＝2，

∴BD＝2，OD＝4，

∴B(4，2)，

∵反比例函数y＝kx的图象经过点B，

∴k＝4×2＝8，

∴反比例函数表达式为y＝8x；

第6题解图

(2)∵tan∠AOB＝12，

∴AB＝12OB＝5，

∴OA＝OB2＋AB2＝（25）2＋（5）2＝5，

∴点A的坐标为(5，0)，

又∵OM＝2OB，B(4，2)，

∴M(8，4)，

把点M、A的坐标代入y＝mx＋n中得：

0＝5m＋n4＝8m＋n，

解得m＝43，n＝－203，

∴一次函数的表达式为y＝43x－203.

7. 解：(1)将A(4，6)代入解析式y＝kx得：k＝24；

(2)∵AB∥x轴，B的纵坐标是6，C为OB中点，

∴把y＝3代入反比例函数解析式y＝24x得x＝8，即C点坐标为(8，3)， 设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，

将A(4，6)，C(8，3)代入得4k＋b＝68k＋b＝3，

解得k＝－34b＝9，

∴直线AC的解析式为y＝－34x＋9；

(3)四边形OABD为平行四边形．理由如下：

∵点C的坐标为(8，3)，点A的坐标为(4，6)，

∴点B的坐标为(16，6)，

∴AB＝16－4＝12，

把y＝0代入y＝－34x＋9中得：x＝12，即D(12，0)，

∴OD＝12，

∴AB＝OD，

又∵AB∥OD，

∴四边形OABD为平行四边形；

(4)S▱OABD＝12×6＝72，

根据平行四边形的性质可知，S△OAC＝14S▱OABD＝18.

8. 解：(1)将A(1，4)分别代入y＝－x＋b和y＝kx得：4＝－1＋b，4＝k1，

解得：b＝5，k＝4； (2)x>4或x<0<1；

【解法提示】联立两解析式y＝－x＋5y＝4x，

解得x1＝1y1＝4，x2＝4y2＝1，

∴B点坐标为(4，1)，

∴一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为x＞4或0＜x＜1；

第8题解图

(3)存在．理由如下：

如解图，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作BM⊥x轴于点M，

由(2)知，B点坐标为(4，1)，

∴S△AOB＝S四边形ANMB＝12(AN＋BM)×MN＝12×(4＋1)×3＝152，

∵S△PAC＝25S△AOB，

∴S△PAC＝25×152＝3，

如解图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，设P(0，t)，