第十章 静电场中的导体和电解质

第十章 静电场中的导体和电介质

一 选择题

1. 半径为R的导体球原不带电，今在距球心为a处放一点电荷q ( a＞R)。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 (

)

20200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(aqaRaqaqRaqo

解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q分布在导体球表面上，且0)(qq，它们在球心处的电势

qqqRRqV0dπ41π4d00

点电荷q在球心处的电势为 aqV0π4

据电势叠加原理，球心处的电势aqVVV00π4。

所以选（A）

2. 已知厚度为d的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为 ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 (

)

00002 . D . C 2 . B 2 .A εdE=εE=EE

解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2，可得

0E。

所以选（C）

3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的距离为 d处(d

(

)

)Rd(qRdq11π4 D. 4πq C. π4 B. 0 A.000

解：球壳内表面上的感应电荷为-q，球壳外表面上的电荷为零，所以有)π4π4000RqdqV。

所以选（ D ）

4. 半径分别为R和r的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比R /r为 ( )

1 第13章 静电场中的导体和电解质

一、选择题

1(D)，2(A)，3(C)，4(B)，5(C)

二、填空题

(1). (x，y，z)/0，与导体表面垂直朝外( > 0) 或 与导体表面垂直朝里( < 0).

(2). ，0r )； (3). Rq04 ；

(4). P ，－P ，0； (5). r ，r

三、计算题

1.如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求：

(1) 球壳内外表面上的电荷．

(2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．

(3) 球心O点处的总电势．

解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+Q．

(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的

距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为

adqUq04aq04

(3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点

产生的电势的代数和

qQqqOUUUU

rq04aq04bqQ04 )111(40barqbQ04

2. 如图所示，一球形电容器，内球壳半径为R1，外球壳半径为R2 (R2＜2R1)，其间充有相对介电常数分别为r1和r2的两层各向同性均匀电介质(r2＝r1 / 2)，其界面半径为R．若两种电介质的击穿电场强度相同，问：

第⼗章静电场中的导体和电介质

第⼗章 静电场中的导体和电介质

在上⼀章中，我们讨论了真空中的静电场。实际上，在静电场中总有导体或电介质存在，⽽且在静电的应⽤中也都要涉及导体和电介质的影响，因此，本章主要讨论静电场中的导体和电介质。本章所讨论的问题，不仅在理论上有重⼤意义，使我们对静电场的认识更加深⼊，⽽且在应⽤上也有重⼤作⽤。§10-1 静电场中的导体

⼀、静电平衡条件1、导体与电介质的区别：

（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很⼤（相差10多个数量级，⽽不同导体间电导率数量级最多就相差⼏个数量级）。

（2）微观上导体内部存在⼤量的⾃由电⼦，在外电场下会发⽣定向移动，产⽣宏观上的电流⽽电介质内部的电⼦处于束缚状态，在外场下不会发⽣定向移动（电介质被击穿除外）。 2、导体的静电平衡条件

（1）导体内部任何⼀点处的电场强度为零；

（2）导体表⾯处的电场强度的⽅向,都与导体表⾯垂直.

导体处于静电平衡状态的必要条件:0=i E

（当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有⾃由电⼦

定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，⾃然其内部电场（指外场与感应电荷产⽣的电场相叠加的总电场）必为0。

⼆、静电平衡时导体上的电荷分布1、导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本⾝带的电荷）只分布在导体表⾯。这个可以由⾼斯定理推得：

i

i s

q E ds ε?=

，S 是导体内“紧贴”表⾯的⾼斯⾯，所以0i q =。2、导体是等势体，导体表⾯是等势⾯。显然()

()

0b a b i a V V E dl -=?=?

，a,b 为导体内或导体表⾯的

任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。 3、导体表⾯以处附近空间的场强为：0E n δ

ε=

，δ为邻近场点的导体表⾯⾯元处的电荷密度，?n 为该⾯元的处法向。简单的证明下：以导体表⾯⾯元为中截⾯作⼀穿过导体的⾼斯柱⾯，柱⾯的处底⾯过场点，下底⾯处于导体内部。由⾼斯定理可得：1

2

i s s ds

E ds E ds δε?+?=，1s ,2s 分别为

101 第十章 静电场中的导体和电介质

10–1 如图10-1所示，有两块平行无限大导体平板，两板间距远小于平板的线度，设板面积为S，两板分别带正电Qa和Qb，每板表面电荷面密度1= ，2= ，3= ，4= 。

解：建立如图10-2所示坐标系，设两导体平板上的面电荷密度分别为1，2，3，4。由电荷守恒定律得

12aSSQ （1）

34bSSQ （2）

设P，Q是分别位于二导体板内的两点，如图10-2所示，由于P，Q位于导板内，由静电平衡条件知，其场强为零，即

3124000002222PE （3）

3124000002222QE （4）

由方程（1）~（4）式得

142abQQS （5）

232abQQS （6）

由此可见，金属平板在相向的两面上（面2，3），带等量异号电荷，背向的两面上（面1，4），带等量同号电荷。

10–2 如图10-3所示，在半径为R的金属球外距球心为a的D处放置点电荷+Q，球内一点P到球心的距离为r，OP与OD夹角为，感应电荷在P点产生的场强大小为 ，方向 ；P点的电势为 。

解：（1）由于点电荷+Q的存在，在金属球外表面将感应出等量的正负电荷，距+Q的近端金属球外表面带负电，远端带正电，如图10-4所示。P点的场强是点电荷+Q在P点产生的场强E1，与感应电荷在P点产生的场强E2的叠加，即EP=E1+E2，当静电平衡时，EP=E1+E2=0，由此可得