第十章静电场中的导体和电介质

第⼗章静电场中的导体和电介质

第⼗章 静电场中的导体和电介质

在上⼀章中，我们讨论了真空中的静电场。实际上，在静电场中总有导体或电介质存在，⽽且在静电的应⽤中也都要涉及导体和电介质的影响，因此，本章主要讨论静电场中的导体和电介质。本章所讨论的问题，不仅在理论上有重⼤意义，使我们对静电场的认识更加深⼊，⽽且在应⽤上也有重⼤作⽤。§10-1 静电场中的导体

⼀、静电平衡条件1、导体与电介质的区别：

（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很⼤（相差10多个数量级，⽽不同导体间电导率数量级最多就相差⼏个数量级）。

（2）微观上导体内部存在⼤量的⾃由电⼦，在外电场下会发⽣定向移动，产⽣宏观上的电流⽽电介质内部的电⼦处于束缚状态，在外场下不会发⽣定向移动（电介质被击穿除外）。 2、导体的静电平衡条件

（1）导体内部任何⼀点处的电场强度为零；

（2）导体表⾯处的电场强度的⽅向,都与导体表⾯垂直.

导体处于静电平衡状态的必要条件:0=i E

（当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有⾃由电⼦

定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，⾃然其内部电场（指外场与感应电荷产⽣的电场相叠加的总电场）必为0。

⼆、静电平衡时导体上的电荷分布1、导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本⾝带的电荷）只分布在导体表⾯。这个可以由⾼斯定理推得：

i

i s

q E ds ε?=

，S 是导体内“紧贴”表⾯的⾼斯⾯，所以0i q =。2、导体是等势体，导体表⾯是等势⾯。显然()

()

0b a b i a V V E dl -=?=?

，a,b 为导体内或导体表⾯的

任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。 3、导体表⾯以处附近空间的场强为：0E n δ

ε=

，δ为邻近场点的导体表⾯⾯元处的电荷密度，?n 为该⾯元的处法向。简单的证明下：以导体表⾯⾯元为中截⾯作⼀穿过导体的⾼斯柱⾯，柱⾯的处底⾯过场点，下底⾯处于导体内部。由⾼斯定理可得：1

2

i s s ds

E ds E ds δε?+?=，1s ,2s 分别为

⾼斯柱⾯的上、下底⾯。因为导体表⾯为等势⾯所以?E En =，所以1s E ds Eds ?=??⽽i

E =0所以

0ds Eds δε=

，即0E n δ

ε=

（0δ>E 沿导体表⾯⾯元处法线⽅向，0δ4、导体表⾯的静电压强：2

p n δε= 证明：任取导体表⾯的⼀个电荷元ds δ，设除去该电荷元外其它场源（包括外场源、导体表⾯的其它电荷元）在该电荷元处产⽣的电场为E '；由⾼斯定理可算出电荷元ds δ在导体表⾯外邻近点的电场强度0?2E n δε''=

。⽽0?E E n δε'''+=，所以02E n δε'=，电荷元ds δ受到的静电⼒0?2dq dF E dq n δε'==，所以20

2dF p n ds δε==。 导体所受静电⼒由

s

p ds 给出（s 是导体表⾯）

。 三、静电屏蔽

在静电场中，因导体的存在是某些特定的区域不受电场影响的现象称之为静电屏蔽。1、 屏蔽外电场

空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受外电场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.

假设腔内有电场线，由（1）可知电场线不能贯穿于导体内表⾯之间，⼜由于腔内⽆电荷所以电场线不能以腔内某点为终点或起点，这样电场线只能在腔内形成闭合曲线这与静电场线的性质不符合，所以腔内必⽆电场，⾃然空腔成为等势区，与导体电势相等。 2、屏蔽腔内电场

接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场影响.E

+ + + + + + + + + +

+

§10-2 静电场中的电介质

⼀、电介质对电场的影响 相对电容率

实验测得两板间电介质中的电场强度E 仅是两板间为真空时电场强度0E

的r ε1倍(此处r ε是⼤于1的纯数)，即rE E ε0

=

r ε叫做电介质的相对电容率。 ⼆、电介质的极化

构成电介质的分⼦分为两种：（1）⽆极分⼦，电荷中⼼重合 （2）有极分⼦，电荷中⼼不重

所谓电介质的极化是指在外电场作⽤下电介质出现极化电荷的现象。对于各向同性的均匀电介质⽽⾔，极化时其体内⽆未被抵消的净极化电荷，极化电荷只分布在它的表⾯上。对于各向异性的⾮均匀电介质⽽⾔，⼀般说来，极化时其体内有未被抵消的极化电荷，其表⾯上也分布有极化电荷。 1、电介质极化的微观机制

按电介质分⼦的电结构分类：⽆极分⼦电介质和有极分⼦电介质两类，它们极化的微观机制是： ⽆极分⼦电介质：在⽆外场作⽤时，分⼦的正、负电荷的中⼼是重合的。在外电场作⽤下，分⼦的正、负电荷中⼼错开，形成电偶极⼦，这种分⼦的极化机制是位移极化。

有极分⼦电介质：在⽆外场作⽤时，分⼦的正、负电荷的中⼼亦不重合，即分⼦具有固有电矩，但由于分⼦的⽆规则热运动，分⼦的固有电矩取向杂乱⽆章，在介质内的任⼀体积中所有分⼦的固有电矩的⽮量和为零。在外电场作⽤下，有极分⼦受到⼒矩P →

分⼦×E →

。作⽤使分⼦电矩P →

分⼦⽅向转向外电场E →0⽅向。外电场愈强，分⼦电矩转向排列愈整齐。这种极化机制是取向极化。

⽆论是⽆极分⼦电介质或有极分⼦电介质极化后，极化电荷在介质内所产⽣的场强E '总是削弱介质内的场强。 2、极化强度(1) 极化强度的定义

在电介质中，单位体积内分⼦电矩的⽮量和称为极化强度，即V P P e e ?∑=/分⼦

极化强度是在宏观上⽤来描述电介质极化状态的物理量，亦描述电介质的极化程度（强度）和极化⽅向。在静电场中，⼀般说来，P →e 是空间坐标的函数。如果在电介质内各点的P →

e ⼤⼩相等和⽅向相同，亦P →

e =常⽮，则电介质的极化是均匀的，否则极化是⾮均匀的。 (2) 极化强度与极化电荷的关系

en e e P P n P ==?='θσcos

上式表明：介质表⾯某处的极化电荷⾯密度σ'等于该处极化强度P →e 沿介质表⾯外法线⽅向上的分量en P 。当P →

e 与介质表⾯外法线⽅向的单位⽮量n →

的夹⾓θ为锐⾓的地⽅，σ' >0，为正的极化电荷；当θ为钝⾓的地⽅，σ'<0，为负的极化电荷。

极化强度的通量公式：∑'-=?S

i

i e

q d

即介质内通过任⼀闭合曲⾯的极化强度的通量等于该闭合曲⾯所包围的极化电荷的代数和的负值。上式表明，极化强度的源是极化电荷，因电矩的⽅向总是从负电荷指向正电荷，所以P →e 的源头必须是负极化电荷，它的尾闾必是正极化电荷。在各向同性的均匀电介质中，上式变为：=?S

s d P

e

表⽰极化电荷只可能出现在各向同性的均匀电质表⾯。 (3) 电介质的极化规律

对于各向同性的电介质有：E x P e 0ε= 式中x 是电介质的极化率，由介质的性质决定。 应指出：

上式在外电场E →0较⼩时，只对各向同性的电介质成⽴。所谓各向同性的电介质是电介质的电性质不随量度的⽅向⽽变化。在这⾥是指电介质的x （或ε）值不随量度的⽅向⽽变化。也就是说，当外电场沿不同⽅向作⽤时，电介质的极化情况相同，亦极化程度相同，极化⽅向（P →e 的⽅向）均沿外电场⽅向。上式对各向异性的电介质不成⽴，P →

e 既不与E →

成正⽐，且P →e 的⽅向也不与E →的⽅向相同。在普通物理学中，主要讨论各向同性的均匀电介质。另外，上式中的场强必须是所求极化强度处的总场强。

⼆、电介质中的电场强度 极化电荷与⾃由电荷的关系1、电介质中的电场强度

由场强的迭加原理：介质内任⼀点的场强E →

是外电场在该点的场强E →0（由⾃由电荷产⽣）和极化电荷在该点产⽣的场强E'→

的⽮量和。即：E →

=E →

0+E'→

2、极化电荷：

介质中，取向与外电场⼀致的分⼦电偶极⼦穿出⾯s 的电荷总和就是⾯S 上的极化电荷。3、极化强度与极化电荷分布的关系：

设介质⾥的任⼀⾯元ds ，设分⼦的电偶极距p ql =,以ds 为底，l 为斜⾼作⼀圆柱体，圆柱体体积记为dV ，设dV 内取向与外电场⼀致的分⼦电偶矩数量为N ，显然在圆柱体内的分⼦电偶矩都

穿出⾯元ds ⼜Nql dsP ds Nq dV

=

=，所以Nq 就是穿过⾯元ds 的极化电量dq '。在介质⾥任取⼀闭合曲⾯S ，则穿出S 的极化电量='s

s P q

d 0

,由电荷守恒（原来电介质是呈电中性）可知⾯内有等值异号的极化电荷-='s

i s P qd 。

§10-3 电位移 有电介质时的⾼斯定理

如图所⽰，取⼀闭合的正柱⾯作为⾼斯⾯，⾼斯⾯的两端⾯与极板平⾏，其中⼀个端⾯在电介质内，端⾯的⾯积为S 。设极板上的⾃由电荷⾯密度为0σ，电介质表⾯上的极化电荷为σ'。对此⾼斯⾯来说，由⾼斯定理，有)(1

d 00

Q Q S E S

'-=??ε

将0rr 1

Q Q εε-=

'代⼊上式，得 r

00

d εεQ S E S

=

令E E D

εεε==r 0

其中r 0εεε=为电介质的电容率。

那么式r00

d εεQ S E S

=?? 可写成

0d Q s D s

=

式中D

称作电位移，⽽??ss D d 则是通过任意闭合曲⾯S 的电位移通量。电位移的单位为

2-m C ?。

因此，有电介质时的⾼斯定理可叙述为：在静电场中，通过任意闭合曲⾯的电位移通量等于该闭合曲⾯内所包围的⾃由电荷的代数和，其数学表达式为∑?=?i

i S

Q S D 0d

应指出：(1) 电介质中的⾼斯定理是电磁学中的基本定理之⼀。它对于任何电介质，对于⽆论是静电场，还是变化的电场亦适⽤，是麦克斯韦⽅程组的四个⽅程之⼀。(2) 在有介质时的⾼斯定理中， 并不表⽰电位移 D →

本⾝与极化电荷⽆关。 事实上，D→=ε0E→+P→e，⽽E→和P→e均与极化电荷有关，因此，应与极化电荷有关。就是在各向同性的电介质中，D→=εE→中的因⼦ε和E→（是由⾃由电荷和极化电荷共同决定的）已把极化电荷的影响考虑进去了。(3) 在利⽤介质中的⾼斯定理求电介质中的场强时，可使其计算⼤为简化。但只有⾃由电荷分布具有⼀定的对称性，且各向同性的均匀电介质充满电场所在空间，或各向同性的均匀介质表⾯是等势⾯时，则⽆需知道极化电荷的多少，⽅可⽤⾼斯定理求出D→，然后利⽤D→=εE→求出场强E。其原因在于只有电介质各向同性的，在电介质中才有D→=εE→的关系；只有⾃由电荷分布具有⼀定的对称性，才有E→0的分布具有⼀定的对称性；只有均匀电介质充满电场所在的空间或介质的表⾯是等势⾯时，才有极化电荷分布具有⼀定的对称性，即E'→分布也具有⼀定的对称性。从⽽才能保证E→=E→0+E'→和D→=εE→都具有⼀定对称性。这样⽅有可能使D从积分号内提出来，进⽽才能利⽤⾼斯定理和D→=εE→求场强E→。§10-4 电容

电容是表征导体由于带电⽽引起本⾝电势改变的物理量。导体可容纳电荷，利⽤导体的这⼀性质制成的电容器是电⼦技术中最基本的元件之⼀。本节主要介绍⼏种电容器及其计算。

⼀、电容1、孤⽴导体的电容

在真空中设有⼀半径为R 的孤⽴的球形导体，它的电量为q ，那么它的电势为（取⽆限远处电势=0）R

q U 04πε=

对于给定的导体球，R ⼀定，当q 增⼤时，U 也变⼤，q 变⼩时，U 则变⼩，⽽⽐值R U q04πε=却不变，此结论虽然是对球形孤⽴导体⽽⾔的，但对⼀定形状的其它导体也是如此，⽐值U

q

仅与导

体⼤⼩和形状等有关，称为孤⽴导体电容，⽤C 表⽰，记作：U

q C =

对于孤⽴导体球，其电容为R Rq q U

q C 0044πεπε===

。对给定的孤⽴导体，其电容是⼀个恒