高考数学二轮复习导数及其应用张(课堂PPT)

4．函数的性质与导数 在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a， b)上单调递增． 在区间(a，b)内，如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a， b)上单调递减．
5．导数的应用 (1)求可导函数f(x)极值的步骤 ①求导数f ′(x)； ②求方程f ′(x)＝0的根； ③检验f ′(x)在方程f ′(x)＝0的根的左右的符号，如果在 根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这 个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近 为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y ＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
[评析] (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切 线”，还是“过某点的切线”．
(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标 解决．
(文)(2011·宁波模拟)已知曲线y＝1x. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
y－ 33＝－13(x－ 3)或y＋ 33＝－13(x＋ 3)． 即切线方程为x＋3y－2 3＝0或x＋3y＋2 3＝0.
[评析] (1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P 一定在曲线上．
(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以 本题的易错点是把点Q作为切点．求过点P的切线方程时， 首先是检验点P是否在已知曲线上．
①当f(x)>0时，S＝bf(x)dx；
a
②当f(x)<0时，S＝－bf(x)dx；
a
③当x∈[a，c]时，f(x)>0；当x∈[c，b]时，f(x)<0，
则S＝cf(x)dx－bf(x)dx.
a
c
[例1]
设函数f(x)＝ax－
b x
，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处
的切线方程为7x－4y－12＝0.
(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝ek＋k 1>1e， 所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e. 当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是 f(－k)＝4ek2.
所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e等价于 f(－k)＝4ek2≤1e. 解得－12≤k<0.
故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e时， k 的取值范围 是[－12，0)．
y－y0＝(1＋x320)(x－x0)，
即y－(x0－x30)＝(1＋x320)(x－x0)．
令x＝0得y＝－
6 x0
，从而得切线与直线x＝0的交点坐
标为(0，－x60)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交 点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围 成的三角形面积为12|－x60||2x0|＝6.
(理)(2011·北京理，18)已知函数f(x)＝(x－k)2exk.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤
1 e
，求k
的取值范围．
[分析] 本题主要考查利用函数的导数研究函数的单 调性．
(1)问，利用导函数大于(小于)零，解不等式求得函数 的单调区间(注意参数k的取值对单调区间的影响)．(2)问把 不等式恒成立求参数的范围问题，转化为求函数f(x)的区间 (0，＋∞)上的最值，注意对k分k>0，k<0两种情况进行分类 讨论．
则切线方程为y－1a＝－a12(x－a)．①
将Q(1,0)代入方程①得0－1a＝－a12(1－a)，
解得a＝12，
故所求切线方程为y＝－4x＋4.
(3)设切点坐标为A(a，
1 a
)，则切线的斜率为k2＝－
1 a2
＝－13，解得a＝± 3，
∴A( 3， 33)或A′(Βιβλιοθήκη 3，－ 33)． 代入点斜式方程得
(理)已知点P在曲线y＝
4 ex＋1
上，α为曲线在点P处的
切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.0，π4 C.π2，34π
B.π4，π2 D.34π，π
[答案] D
[解析] y＝ex＋4 1， ∴y′＝e－x＋4·1ex2＝－e2x＋42eexx＋1＝－ex＋4e1x＋2， ∵ex＋e1x≥2，∴－1≤y′<0， 由导数的几何意义知34π≤α<π，故选D.
[解析] (1)∵y′＝－x12. 又P(1,1)是曲线上的点， ∴P是切点，所求切线的斜率为k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P点处的切线方程为y－1＝－(x－1)． 即y＝－x＋2.
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝
1 x
上，则可设过该点的切线
的切点为A(a，1a)，则该切线斜率为k1＝f′(a)＝－a12.
[评析] 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解 集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二 次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式 对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过 因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进 行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行 的，千万不要忽视了定义域的限制．
(3)应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问 题．这类问题往往通过对函数求导转化为解不等式问 题．此处大多以考查含参二次不等式(组)为主.
(4)应用导数求函数的极值、最值和值域问题．这类问 题与函数单调性有着必然联系，解决这类问题可借助单调 性列表(或画函数示意图)求解．
(5) 不 等 式 恒 成 立 问 题 ． 这 类 问 题 是 近 几 年 高 考 的 热 点．一类是求参数取值范围，它是函数、导数与不等式的 综合问题．另一类是证明不等式．它对综合分析和运用的 能力要求较高．
(2011·南京二模)已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存 在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由； (3)证明f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的 上方．
[解析] (1)由已知f ′(x)＝3x2－a， ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， ∴f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2时，对x∈R恒成立． ∵3x2≥0，∴只需a≤0， 又a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数， ∴a≤0.
(2)由f ′(x)＝3x2－a≤0，在(－1,1)上恒成立， 得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立． ∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需a≥3. 当a＝3时，f ′(x)＝3(x2－1)． 在x∈(－1,1)上，f ′(x)<0， 即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减． (3)∵f(－1)＝a－2<a， ∴f(x)的图像不可能总在直线y＝a上方．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f ′(x)； ②求方程f ′(x)＝0的根(注意取舍)； ③求出各极值各区间端点处的函数值； ④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就 是最小值)．
(3)利用导数解决优化问题的步骤 ①审题设未知数；②结合题意列出函数关系式；③确 定函数的定义域；④在定义域内求极值、最值；⑤下结 论． (4)定积分在几何中的应用(理) 被 积 函 数 为 y ＝ f(x) ， 由 曲 线 y ＝ f(x) 与 直 线 x ＝ a ， x ＝ b(a<b)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.
(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
3．导数的计算
(1)基本初等函数的导数公式
①c′＝0(c为常数)；
②(xm)′＝mxm－1；
③(sinx)′＝cosx; ④(cosx)′＝－sinx；
⑤(ex)′＝ex; ⑥(ax)′＝axlna；
⑦(lnx)′＝1x； ⑧(logax)′＝－xl1na.
(2)导数的四则运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ③[gfxx]′＝f′xgxg－ 2xfxg′x. ④(理)(f(u))′＝f′(u)·φ′(x)＝af′(ax＋b)
1．导数的概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景． (2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算 (1)能根据导数的定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x3，y ＝1x，y＝x2，y＝ x的导数. (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于 形如f(ax＋b)的导数)．
当0<k－1<1，即1<k<2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调 递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所 以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. [评析] 本题主要考查导数的应用以及综合运用有关 知识解决问题的能力．
本部分内容在高考中所占分数大约在10%左右．导数 及其应用在高考中的题型分布大致是一个选择或填空，一 个解答题，分值约17～19分，属于高考重点考查内容．具 体考查体现在：
(1)简单函数求导，它是解决导数问题的第一步，应熟 记导数基本公式，导数四则运算法则和复合函数求导法 则．
(2)求曲线的切线方程，切线斜率的一类问题，包括曲 线的切点问题．这类问题是导数几何意义的运用，拓宽了 解析几何的解题思路，凸显了数形结合的数学思想方法．