高中数学-高考圆锥曲线高考真题解析

试卷第1页，总7页 高中数学-高考圆锥曲线高考真题解析

一、单选题

1．（2011·湖北高考真题（文））（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（ ）

A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥3

【答案】C

2．（2013·全国高考真题（理））已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）

A．（0，1） B．21122， C．21123， D．1132，

【答案】B

二、解答题

3．（2014·上海高考真题（文））

在平面直角坐标系中，对于直线：0axbyc和点记1122)().axbycaxbyc（若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.

⑴求证：点被直线分隔；

⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；

⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明轴为曲线E的分割线.

【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k；（3）证明见解析.

4．（2014·福建高考真题（文））

已知曲线上的点到点(0,1)F的距离比它到直线3y的距离小2.

（1）求曲线的方程；

（2）曲线在点P处的切线l与x轴交于点A.直线3y分别与直线l及y轴交于点,MN，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.

【答案】（1）24xy.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析. 试卷第2页，总7页 5．（2011·山东高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）．

（1）求m2+k2的最小值；

（2）若|OG|2=|OD|∙|OE|，

（i）求证：直线l过定点；

（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．

【答案】（1）2 （2）见解析

6．（2013·浙江高考真题（理））图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

【答案】（1） （2）

7．（2013·湖北高考真题（文））（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．

（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值； 试卷第3页，总7页 （2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．

【答案】（1） （2）见解析

8．（2011·广东高考真题（理））在平面直角坐标系xOy中，给定抛物线21:4Lyx，实数,pq满足240pq，12,xx是方程20xpxq的两根，记12,max,pqxx

（1）过点20001,04APPP作L的切线交y轴于点B，证明：对线段AB上的任一点,Qpq，均有0,2Ppq；

（2）设(,)Mab是定点，其中,ab满足2400aba，，过(,)Mab作L的两条切线12,ll，切点分别为22112211(,),'(,)44EPPEPP，12,ll与y轴分别交于,'FF，线段EF上异于两端点的点集记为X，证明：112(,)(,)2PMabXPPab；

（3）设21(,)|15144yxDxyyx，当点,pq 取遍D 时，求,pq的最小值（记为min）和最大值（记为max）.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）min1，max54.

9．（2019·全国高考真题（理））

已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：PQG是直角三角形；

（ii）求PQG面积的最大值.

10．（2018·浙江高考真题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． 试卷第4页，总7页

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+24y=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）151062,4.

11．（2017·山东高考真题（理））在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：22221xyab0ab的离心率为22，焦距为2.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）如图，动直线l：132ykx交椭圆E于,AB两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为2k，且1224kk，M是线段OC延长线上一点，且:2:3MCAB，M的半径为MC，,OSOT是M的两条切线，切点分别为,ST.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.

【答案】（1）2212xy （2）SOT 的最大值为π3 ，取得最大值时直线l的斜率为122k .

12．（2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线2xy.点A1139-2424B，，，，抛物线上的点P（x,y）13-x22＜＜,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q 试卷第5页，总7页

（I）求直线AP斜率的取值范围；

（II）求·PAPQ的最大值

【答案】（I）（-1，1）；（II）2716.

13．（2014·重庆高考真题（理））如图，设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，点D在椭圆上，112DFFF，121||22||FFDF，12DFF的面积为22.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）2212xy；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239xy.

14．（2015·湖北高考真题（文））一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且1DNON，3MN．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕O转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． 试卷第6页，总7页

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设动直线l与两定直线1:20lxy和2:20lxy分别交于,PQ两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

【答案】（Ⅰ）221164xy；（Ⅱ）存在最小值8．

15．（2014·重庆高考真题（文））如图，设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，点D在椭圆上，112DFFF，121||22||FFDF，12DFF的面积为22.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）2212xy；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239xy.

16．（2015·江苏高考真题）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为√22，且右焦点F到左准线l的距离为3. 试卷第7页，总7页

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

【答案】（1）𝑥22+𝑦2=1（2）𝑦=𝑥−1或𝑦=−𝑥+1．

17．（2015·重庆高考真题（文））（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

如图，椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（𝑎>𝑏>0）的左右焦点分别为𝐹1,𝐹2,且过𝐹2的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ⊥ 𝑃𝐹1.

（Ⅰ）若|𝑃𝐹1|=2+√2，|𝑃𝐹2|=2-√2，求椭圆的标准方程.

（Ⅱ）若|PQ|=𝜆|𝑃𝐹1|，且34 ≤𝜆≤43，试确定椭圆离心率的取值范围.

【答案】（Ⅰ）𝑥24+y2=1，（Ⅱ）√22<𝑒≤√53.