（完整版）圆锥曲线高考真题
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（完整版）圆锥曲线⾼考真题
（1）求M 的⽅程
（2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对⾓线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的⾯积最⼤值.2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b
+=>>的左右焦点，M 是C 上⼀点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另⼀个交点为N.
（1）若直线MN 的斜率为34
，求C 的离⼼率；
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平⾏于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .
(1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平⾏四边⾏？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平⾏于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.
（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；
（2）若△PQF 的⾯积是△ABF 的⾯积的两倍，求AB 中点的轨迹⽅程.5.已知抛物线C ：y 2
=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的⽅程．6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
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x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为
()()10M m m >，．
（1）证明：12
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上⼀点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r
，FP u u u r ，FB u u u r 成
等差数列，并求该数列的公差．7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离⼼率
为，且经过点(0,1)，圆
22221:C x y a b +=+。 （1）求椭圆C 的⽅程；
（2）直线:(0)l y km m k =+≠与椭圆C 有且只有⼀个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问是否存在这样的直线l ，使得AM MB =u u u u r u u u r
若存在，求出l 的⽅程，若不存在，请说明理由。8.已知椭圆1C 的中⼼和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在
x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等⽐数列。 （1）当2C 的准线与1C 的右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的⽅程；
（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P,Q 两点，交2C 于M,N 两点。当367
PQ =时，求MN 的值。
9.如图，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的⼀个焦点是F （1，0），O 为坐标原点．
（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与⼀个焦点构成正三⾓形，求椭圆的⽅程；
（2）设过点F 的直线l 交椭圆于A ，B222
OA OB AB +<，求a 的取值范围．
10.设椭圆中⼼在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（1）若6ED DF =u u u r u u u r
，求k 的值；
（2）求四边形AEBF ⾯积的最⼤值．11.已知椭圆1C 的中⼼和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在
x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等⽐数列。
（1）当2C 的准线与1C 的右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的⽅程；
（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P,Q 两点，交2C 于M,N 两点。当367
PQ =时，求MN 的值。
12. 如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12
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2=+y x 的顶点，过坐标原
的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第⼀象限，过P 作x 轴的垂线，垂⾜为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB
13.平⾯内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于⾮零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线． （1）求曲线C 的⽅程，并讨论C 的形状与m 值得关系；
（2）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。试问：在1C 撒谎个，是否存在点N ，使得△1F N 2F 的⾯积2||S m a =。若存在，求tan 1F N 2F 的值；若不存在，请说明理由。
14.如图7，椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>的离⼼率32，x 轴被曲线2
2:C y x b =- 截得
的线段长等于C 1的长半轴长。
（1）求C 1，C 2的⽅程；
（2）设C 2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C 1相交与D,E ．（i ）证明：MD⊥ME;（ii ）记△MAB,△MDE 的⾯积分别是12,S S ．问：是否存在直线l ,使得
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32
S S =?请说明理由。 15.如图，已知椭圆C 1的中⼼在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C1，C 2的离⼼率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从⼤到⼩依次为A ，B ，C ，D ．（1）设12
e =
，求BC 与AD 的⽐值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．16.已知O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:12
y C x +=在y 轴正半轴上
的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P
满⾜0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r
（1）证明：点P 在C 上；
（2）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同⼀圆上．17.在平⾯直⾓坐标系xOy 中， 已知点A （0，-1），B 点在直线3y =-上，M 点满⾜//MB OA u u u r u u u r
，MA AB MB BA =u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，M 点的轨迹为曲线C ．
（I ）求C 的⽅程；
（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最⼩值．18.已知动直线l 与椭圆C: 22
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x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的⾯积OPQ S ?=6
,其中O 为坐标原点. （1）证明2212x x +和22
12y y +均为定值;
（2）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最⼤值；
（3）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得62
ODE ODG OEG S S S ===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.
19.如图，设P 是圆22
25x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上⼀点，且4
5
MD PD =
（Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的⽅程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的长度20. 椭圆有两顶点A （-1，0）、B （1，0），过其焦点F （0，1）的直
线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．
（I ）当|CD | =3
22
时，求直线l 的⽅程； （II ）当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ ?u u u r u u u r
为定值。21.已知斜率为1的直线l 与双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>相交于B 、D 两点，且BD
的中点为M(1,3) （Ⅰ）求C 的离⼼率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，||||17DF BF ?=
证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。
