消元法解二元一次方程组案例
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《消元——二元一次方程组的解法》教学案例
教学科研 加入时间：2010-1-18 10:58:17 数学组 点击：51
山东省郯城第三中学 王国凤
一、背景介绍：
我所在的学校坐落在乡镇。任教的七年级（4）班学生活泼热情，思维活跃，对新鲜事物充满好奇，自我感觉良好。但是在学习习惯和学习意志上有所欠缺，既轻视基础，又怕麻烦和困难。
解二元一次方程组是学生必须掌握的一项基本技能。通常情况下，认为学生只有通过重复，机械的练习才能获得这一技能。而重复机械的练习常常使学生觉得枯燥乏味，反而影响了学生对数学的学习态度与情感，不利于提高课堂教学效率。怎样才能在提高课堂教学效率的基础上使学生更好的学习与掌握这一基本技能，并在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展呢？在学生们学完了用代入法、加减法节二元一次方程组后，我进行了一次有益的分层教学的尝试。全班学生共分为三组：
A组学生（后进生）10人：培养学习数学的兴趣，使他们能乐意完成各方面的任务，掌握九义大纲要求的基础知识和基本技能，在数学能力上不断提高。
B组学生27人：熟练掌握基础知识和基本技能，使各方面数学能力不断提高，并形成一定的自学能力。
C组学生20人：在熟练掌握基础知识和基本技能的前提下，重点培养自学能力、独立分析问题解决问题的能力、发散思维的能力、语言表达能力和应用数学的能力。
二、教学目标：
1．知识目标：（1）根据方程组的特点选择适当的方法解二元一次方程组。 （2）进一步体会解二元一次方程组的基本思想——消元。
2．能力目标：通过选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。
3．情感态度与价值观目标：（1）体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心。
（2）通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神。
三、教学重点：选用适当的方法解二元一次方程组。
四、教学难点：探索如何用适当的方法将“二元”转化为“一元”的消元过程。
五、教学方法：练习法、发现法、探究法等。
六、教学过程设计：
上课了，我像往常一样走进教室：“同学们，前面我们学习了二元一次方程组的解法。今天我们来上一节复习课。”我扫视了一下教室，平静的语言没有激起什么波澜，有的学生在掏书，有的还在谈笑风生……
【教师】解二元一次方程组的基本思路是什么？
【学生】消……元……
教师出示幻灯片
解方程组3x＋4y＝7①12x－9y＝3②
【教师】今天，我们只解一题。
【学生】咳，这个简单……我来做，我来做。
教师根据学生举手的情况，有目的的选择A组学生来完成。 A组男生甲走上讲台。他用的是加减法。
①×4得：12x＋16y＝7,③
③－②得：25y＝4……
学生甲还没写完，下面就出现了议论声。
【学生】错了，错了……
此处是学生的典型错误。
甲一写完，下面就有学生迫不及待的举起了手。
【学生】老师，我来改，我来改……
12x＋16y＝28，∴25y＝25，y＝1，将y＝1代入①，求得x＝1，
∴方程组的解为x＝1 y＝1
A组女生乙充满自信地将它改了过来。
解题反思：教师千辛万苦的讲解不如学生的一次纠错效果好。这样使得学生掌握了最基本的解二元一次方程组的方法，同时也保证了所有学生都会解方程组。
【教师】这个题目还有没有其他方法呢？
【学生丙】有，代入法。
【学生】麻烦死了……
【教师】用代入法可不可以解？
【学生】可以是可以，就是麻烦。
【教师】那你有没有办法使它简单一点呢？
【学生丙】奧，我知道了…… 【教师】丙，你知道了什么了？
【学生丙】因为第二个方程中x的系数是第一个方程中x的系数的4倍，故用整体代入法，将3x看做一个整体。由①得3x＝7－4y 代入② 从而得解。
教师比较满意 B组丙同学的解答，给出表扬。
【教师】大家再想一想，还有什么方法没有。四人一小组可以讨论。
学生们很愿意接受挑战，叽叽喳喳地讨论开了。这时主要是以 C组学生为组织者展开讨论。几分钟后，学生们开始陈述自己的观点。
解法3：将3x＋4y看做一个整体
将②化为12x＋16y－25y＝3，
4（3x＋4y）－25y＝3，
∵①为3x＋4y＝7，整体代入上式
4×7－25y＝3，由此得解
这是一种巧妙的换元。
解法4：观察方程②，化为4x－3y＝1，③
3x＋4y＝7①4x－3y＝1，③
一般解法 ①×3＋③×4，
得 25x＝25，x＝1
解后反思：虽然没有比上述各解法简单，巧妙，但这是解此类方程组的常规方法。
解法5：观察方程②，化为4x－3y＝1，③
3x＋4y＝7①4x－3y＝1，③ ①＋③得7x＋y＝8，由此化为 y＝8－7x代入①求解。
解后反思：这种代入非常巧妙，他构造了系数为1的元。
这是学生进入一种更为积极的状态，教师趁热打铁，给出一个变式。
教师出示幻灯片
解方程组3x＋4y＝7①4x＋3y＝1，②
教师引导学生通过观察系数的特殊性，介绍了解决此类方程组的特殊技巧。
①＋②得： x＋y＝8／7，③
②－①得： x－y＝﹣6， ④
联立③④，解得方程组。
此时的学生很兴奋。
七、小结:不同的方法可以达到殊途同归的效果，如何根据方程组的特点选择恰当的方法呢？要解对一道方程组，又有哪些重要因素呢？
学生根据本节课的内容展开热烈的讨论。纷纷发表自己的见解。
八、作业：
1．根据方程组的特点选择合适的消元法。
（1）x＋4y＝2①5x－6y＝1，②
（2）2x＋3y＝3①5x－3y＝2，②
（3）2x－3y＝1①4x＋7y＝5，② （本题A组学生必须完成）
2．用适当方法解方程组。
（1）5（x＋y）＋3（x－y）＝2①7（x＋y）－3（x－y）＝﹣6，②
（2）1997x－1999y＝1995①1996x－1998y＝1994②
（本小题 B、 C组学生必须完成）
