第三章 中世纪的中国数学

28 第三章 中世纪的中国数学

希腊几何的演绎精神，随着希腊文明的衰微而在整个中世纪的欧洲湮没不彰。数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长的东方时期。除了埃及外，河谷地区再次成为数学活跃的舞台。中世纪（公元5-17世纪）数学的主角，是中国、印度与阿拉伯地区的数学。

与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的数学推导。所谓“算法”，不只是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算方法。算法倾向本来是古代河谷文明的传统，但在中世纪却有了质的提高。这一时期中国与印度的数学家们创造的大量结构复杂、应用广泛的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则，它们是一种归纳思维能力的产物。这种能力与欧几里得几何的演绎风格迥然不同却又相辅相成。东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。

本章介绍中国数学史。就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的。从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。

3.1《周髀算经》与《九章算术》

3.1.1古代背景

第一章中已涉及了中国远古数与形概念的萌芽。殷商甲骨文中已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位值制筹算记数。我们今天还可以从现存的公元前3世纪的刀币上看到这种记数法。

《孙子算经》中记载的筹算记数法则说：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵。千十相望，百万相当”。据此我们知道筹算记数有纵横两种形式.

纵式用来表示个位、百位、万位，„„数字；横式用来表示十位、千位、十万位、„„数字。纵、横相间，零则以空位表示。这样，数76 031用算筹表示出来是。这种十进位值记数法是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。

关于几何学，《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”。“规”是圆规，“矩”是直尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械。这些都说明了早期几何学的应用。从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识。

战国（公元前475-前221）诸子百家，与希腊雅典学派时代相当。“百家”就是多种不 29 同的学派，其中的“墨家”（代表人物是墨翟,前468-前376）与“名家”（代表人物是惠施、公孙龙），其著作包含有理论数学的萌芽。如《墨经》（约公元前4世纪著作）中讨论了某些形式逻辑的法则，并在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义：

点：“端，体之无厚而最前者也”；

直线：“直，参也”；

圆：“圜(yuan)，一中同长也”；

正方形：“方，柱隅四讙也”； （讙huan,同“欢”）

平行：“平，同高也”；

体积：“厚，有所大也”

等等，大约有17条之多。《墨经》中甚至涉及到“有穷”与“无穷”，说“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”。以善辩著称的名家，对无穷概念则有更进一步的认识，如据《庄子》记载，数名家的惠施曾指出：“至大无外谓之大一；至小无内谓之小一”。这里“大一”、“小一”有无穷大和无穷小之意。

名家主要是辩论哲学概念，但《庄子》（庄子，前369-前286）中记载他们的多条名辩，也可以从数学的意义上去理解，其中最有名的如：

矩不方，规不可以为圆；

飞鸟之影未尝动也；

镞(zu)矢之疾,而有不行不止之时；

一尺之棰，日取其半，万世不竭

等等，可以说与希腊芝诺学派的悖论遥相呼应。

不过名、墨两家在先秦诸子中是属例外情形，其他包括儒、道、法等各家的著作则很少关心与数学有关的论题，而只注重社会伦理、修心养身、经世治国之道，这与古代希腊的学派有很大的不同。秦始皇统一中国，结束了百家争鸣的局面。到东汉独尊儒术，名、墨著作中的数学论证思想，便失去进一步成长的机会。两汉时期的数学，主要是沿着实用与算法的方向发展，并取得了很大的成就。

3.1.2《周髀算经》

在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。《周髀算经》作者不祥，成书年代据考应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前11世纪-前8世纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天说”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。

《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径隅五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式： 30 “„„以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”。

这是从天文测量中总结出来的普遍定理。

《周髀算经》中还讨论测量“日高”的方法。

《周髀算经》主要是以文字形式叙述了勾股算法。中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家，是公元3世纪三国时期的赵爽（吴）。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。如图，

考察以一直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，其面积应有.22ba如果将这合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到一个以原三角形之弦为边的正方形，其面积应为2c，因此.222cba

赵爽这一简洁优美的证明，可以看作是对《周髀算经》中紧接在“勾三股四弦五”特例之后的一段说明文字的诠释。《周髀算经》的这段文字说：“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩”。

3.1.3《九章算术》

《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程（“六艺”）中有一门是“九数”，刘徽（三国魏人）《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九数”发展而来，，并经过西汉张苍（?-公元前152）、耿寿昌等人删补。1984年出土的湖北张家山汉初古墓竹简《算术书》，有些内容与《九章算术》类似。因此可以认为，《九章算术》是从先秦至西汉中叶的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学著作。

《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田、粟(su)米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。其中所包含的数学成就是丰富和多方面的。

（一） 算术方面

（1）分数四则运算法则。《九章算术》“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。其中“约分术”给出了求分子、分母最大公约数的“更减相损”法，与欧几里得《原本》卷Ⅶ中给出的方法是一致的。

（2）比例算法。《九章算术》“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法。设从比例关系

a:cb:x

求x。《九章算术》称a为“所有率”，b为“所求率”，c为“所有数”，x为“所求数”。“今 31 有术”：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”相当于abcx。

我们知道，希腊人的比例论是几何线段的比例论，数字比例算法在欧洲出现颇晚，被称为“三率法”，有时也叫“黄金法则”。

以“今有术”为基础，“衰分”章处理正、反比例分配问题，“衰分”就是按一定级差分配。“均输”章则运用比例分配解决粮食运输负担的平均分配。

（3）盈不足术。“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。

《九章算术》中典型的盈亏类问题如：

“今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？”

一般地假设人数为x，物价为y，每人出钱1a盈1b，出钱2a不足2b。《九章算术》“盈

不足术”相当于给出解法：

2112212112212121,,bbbabaxyaababayaabbx

任何算术问题（不一定是盈亏类问题），通过两次假设未知量的值，都可以转换成盈亏

类问题来求解。《九章算术》“盈不足”章就用这种方法解决了许多不属于盈亏类的问题。如果我们所求算术问题的答数x满足一个方程0)(xf。先假设一个答数1x，此时对应的)(1xf为1y；再假设一个答数2x，此时对应的)(2xf为2y，则可按盈不足术求出

)()()()(212112211221xfxfxfxxfxyyyxyxx。

对一次函数，这个解答是精确的；对非线性函数这个解答只是x的一个线性近似值。盈不足术实质上是一种线性插值法。

“盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹算法”，即中国算法。13世纪意大利数学家斐波那契《算经》一书中也有一章将“契丹算法”。

（二）代数方面

《九章算术》在代数方面的成就是具有世界意义的。

（1）方程术。“方程术”即线性联立方程组的解法。

以“方程”章第1题为例：

“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问：上、中、下禾实一秉各几何？”

题中“禾”为黍米(黍,音“署”)，“秉”指捆，“实”是打下来的粮食。设上、中、下、禾各一秉打出的粮食分别为zyx,,（斗），则问题就相当于解一个三元一次联立方程组： 32 .2632,3432,3923zyxzyxzyx

《九章算术》没有表示未知数的符号，而是用算筹将zyx,,的系数和常数项排列成一个方阵（如图,其中已将筹算数码换作阿拉伯数码），这就是“方程”一词的来源。注意这里采取的是自右至左纵向排列。“方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：

用图(i)右行上禾)(x的系数3“遍乘”中行和左行各数，然后从所的结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行各数，就得到图(ii)所示的新方程。

其次以图(ii)中行中禾)(y的系数5遍乘左行各数，从所得结果直除中行并约分，右得到图(iii)所示的新方程。其中左行未知量系数只剩一项，以4除11，即得下禾432)(z（斗）。

为求上禾)(x和中禾)(y，重复“遍乘直除”程序。以图(iii)左行下禾)(z的系数4遍乘中行和右行各数，从所得结果按行分别直除左行并约分，最后得到图(iv)所示的新方程。由此方程计算得

上禾419)(x，中禾414)(y，下禾432)(z。

很清楚，《九章算术》方程术的遍乘直除算法，实质上就是我们今天所使用的解线性联立方程组的消元法，西方文献中称之为“高斯消去法”。《九章算术》方程术，是世界数学史上的一颗明珠。

（2）正负术。《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献是负数的引进。在方程术中，当我们用遍乘直除法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，不引入负数就不可能保障“直除”程序的进行。

《九章算术》正是在“方程”章中提出了“正负术”，即正、负数的加减运算法则：

“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”

“同名”、“异名”即同号、异号；“相益”、“相除”指二数绝对值相加、相减。