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向量概念与线性运算

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向 量

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：___________________________.

(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a； 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.

(3)向量的长度：_______________________________.

(4)特殊的向量：零向量a＝O__________规定：O与任一向量______

单位向量：aO为单位向量____________

(5)相等的向量：______________(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）2121yyxx

(6) 相反向量：a=-b_______________________

(7)平行向量(共线向量)：_________.记作a∥b.平行向量也称为______.

2.向量的运算

运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质

向量的

加法 1.平行四边形法则

2.三角形法则 1212(,)abxxyy abba

()()abcabc

ACBCAB

向量的

减法 三角形法则 1212(,)abxxyy ()abab

ABBA,ABOAOB

数

乘

向

量 1.a是一个向量,满足:||||||aa

2.>0时, aa与同向;

<0时, aa与异向;

=0时, 0a. (,)axy ()()aa

()aaa

()abab

//abab

二、 基本训练

1． 已知,ADBE分别是ABC的边,BCAC上的中线,且,ADaBEb,则BC为

_____________

2．已知,,ABaBCbCAc,则0abc是,,ABC三点构成三角形的______条件

3．若P是ABC的重心，则PA+PB+PC=____________ 4．若,ab满足8,2ab，则ab的最大值为____，最小值为_________

5．若,OAaOBb，ab=3，060AOB，则ab=_________

6．若32,43aebe，则____ab

7．若,OAOB不共线，且APtABtR，用,OAOB表示OP为_________

8.设1(2,3),(1,5),,33ABACABADAB且，则C、D的坐标分别是_________

9.对平面内任意的四点A,B,C,D，则ABBCCDDA

.

10．若3,ab与a的方向相反，且5,______bab则

11．化简：

（1）ABBCCD_____________。

（2）ABADDC______________。

（3）()()ABCDACBD______________。

12．判断下列命题是否正确

（1）若ab，则ab。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。

（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。

（5）若,abbc，则ac。

（6）若//,//abbc，则//ac。

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平面向量的概念与线性运算

平面向量的概念与线性运算

高一数学联赛班 高一 1 思维的发掘 能力的飞跃 第15讲 平面向量的概念与线性运算

知识总结归纳

一．向量的有关概念 名称 定义 备注

向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 物理学中常称为矢量

零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为||aa

平行向量 方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线 共线向量 平行的非零向量又叫做共线向量

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0

二．向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

（1）交换律：

abba．

（2）结合律：

()()abcabc

减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差 ()abab

数乘 求实数与向量a的积的运算 （1）||=||||aa；

（2）当0＞时，a的方向与a的方向相同；当0＜时，a的方向与a的方向相反；当λ＝0时，0a． （1）()()aa；

（2）()aaa；

（3）()abab． 高一数学联赛班 高一 2 思维的发掘 能力的飞跃 三．共线向量定理

向量(0)aa与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba．

四．重难点解析

1．向量的两要素

向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．

2．向量平行与直线平行的区别

向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

向量的概念及线性运算

向量的概念及线性运算

向量的概念及线性运算

考纲要求

1. 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

2. 理解向量的几何表示。

3. 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。

一、必备知识

1.向量的相关概念

（1）向量的定义：既有 又有 的量叫做向量。

（2）向量的长度：表示AB的 长度，即AB的大小叫做AB的长度或称为AB的模， 的向量叫做零向量，记作0，

的向量叫做单位向量。

（3）平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量。规定：0与任何向量平行，平行向量也叫 。

（4）相等向量： 的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作ba.

(5)相反向量： 的向量叫做相反向量。

2.向量的线性运算

向量

运算 定义 法则（或几何意义） 运算律

加

法

减

法

数

乘

3.共线向量定理

向量)0(aa与b共线的充要条件是存有唯一一个实数，使得 。

二、必记结论

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即nnnAAAAAAAAAA11433221，特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量。

2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则)(21OBOAOP

3.若A、B、C是平面内不共线的三点，则

（1）的重心。为ABCPPCPBPA0

（2）的重心。为ABCGPCPBPAPG)(31

4.证明三点A、B、C共线，借助向量，只需证明由这三点A、B、C所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数，使得(0)abb。

三、题型归纳

（独立完成三维设计P62考点一----考点三的练习，注意总结题型。）

平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算

1

平面向量的概念及线性运算

知识点：

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量

零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

交换律：

a＋b＝b＋a

结合律：

(a＋b)＋c

＝a＋(b＋c)

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λaμa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

2

3.向量共线的判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

选择题：

给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )

A．① B．③ C．①③ D．①②

解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．

已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( )

平面向量的概念及线性运算测试题

平面向量的概念及线性运算测试题

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ADCB平面向量的概念及线性运算

一、选择题

1.设b是a的相反向量,则下列说法错误的是( )

A.a与b的长度必相等 B.ab C.a与b一定不相等 D.a是b的相反向量

2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c,则向量OD等于( )

A.abc B.abc C.abc- D.abc--

3.(如图)在平行四边形ABCD中,下列正确的是( ).

A.ABCD B.ABADBD

C.ADABAC D.ADBC0

4.COBOOCOA等于( )

A.AB B.BA C.AC D.CA

5.化简SPPSQPOP的结果等于( )

A、QP B、OQ C、SP D、SQ

6.(如图)在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断错误的是( )

A ABOC B AB∥DE C ADBE D ADFC

7.下列等式中,正确的个数是( )

①abba ②abba-- ③0aa ④(a)a ⑤a(a)0

A.5 B.4 C.3 D.2

8.在△ABC中,ABa,ACb,如果a||b||,那么△ABC一定是( ).

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

9.在ABC中,BCa,CAb,则AB等于( )

A.ab B.(ab) C.ab D.ba