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我爱学习网 高中数学学习方法/gaozhong/shuxue/fangfa/ 第1讲 平面向量的概念及线性运算
【2015年高考会这样考】
1．考查平面向量的线性运算．
2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．
【复习指导】
本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．
基础梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1) 交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生
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减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
3.向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
1
平面向量的概念及线性运算
知识点：
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a
结合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λaμa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
2
3.向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
选择题：
给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )
A．① B．③ C．①③ D．①②
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．
已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( )
主备：赵强 审核：陈闯 编号： 班级 姓名
平面向量及其线性运算
学习目标 1.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.
2.理解向量的几何表示.
3.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义
重、难点 平面向量的线性运算
一 预习案
自主梳理
1.向量的有关概念
(1)向量的定义：既有________又有________的量叫做向量．
(2)表示方法：用____________来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a，b，…或用AB→，BC→，…表示．
(3)模：向量的________叫向量的长度或模，记作______或________．
(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．
(5)单位向量：长度为________单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝____________.
(6)平行向量：方向________或________的________向量；平行向量又叫________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量________．
(7)相等向量：长度________且方向________的向量．
2．向量的加法运算及其几何意义
(1)已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则向量OB→叫做a与b的____，记作________，即________＝OA→＋AB→＝________，这种求向量和的方法叫做向量加法的____________．
(2)以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC→就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的____________．
(3)加法运算律
a＋b＝________ (交换律)； (a＋b)＋c＝________(结合律)．
1 平面向量的概念及线性运算
1．(2019·山东省实验中学高三摸底测试)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝0 B．a＝b
C．a与b反向共线 D．存在正实数λ，使得a＝λb
解析：选D 由已知得，向量a与b为同向向量，即存在正实数λ，使得a＝λb，故选D.
2．设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
3．(2019·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．|AB―→|＝|AD―→|一定成立 B．AC―→＝AB―→＋AD―→一定成立
C．AD―→＝BC―→一定成立 D．BD―→＝AD―→－AB―→一定成立
解析：选A 在平行四边形ABCD中，AC―→＝AB―→＋AD―→一定成立，AD―→＝BC―→一定成立，BD―→＝AD―→－AB―→一定成立，但|AB―→|＝|AD―→|不一定成立．故选A.
4．(2019·石家庄高三一检)在△ABC中，点D在边AB上，且BD―→＝12DA―→，设CB―→＝a，CA―→＝b，则CD―→＝( )
A.13a＋23b B.23a＋13b
C.35a＋45b D.45a＋35b 2 解析：选B ∵BD―→＝12DA―→，∴BD―→＝13BA―→，∴CD―→＝CB―→＋BD―→＝CB―→＋13BA―→＝CB―→＋13(CA―→－CB―→)＝23CB―→＋13CA―→＝23a＋13b，故选B.
