最优化方法与理论第四章 例题

第四章 理论建构与理论检验

一、单项选择题

1.从内容上看，社会理论是

A.人们在社会实践中认识和反映客观现实的一种形式

B.对现实世界各种现象的抽象概括

C.人们对客观社会现实的实质和规律的认识

D.关于社会发展的理论

【解析】：C 社会理论是人对客观社会现实的反映。从其内容上看，社会理论是人们对客观社会现实的实质和规律的认识。

2.社会理论最终是来自于人们对社会现象的经验观察，是对社会现象的

A.抽象概括和普遍性概括

B.理论抽象和普遍性概括

C.特殊性概括

D.理论抽象和特殊性概括

【解析】：B 社会理论最终是来自于人们对社会现象的经验观察，是对社会现象的理论抽象和普遍性概括。

3.社会研究者在思维中按照抽象出来的某种特征对社会现象进行归类表述，这是

A.理论假设

B.理论建构

C.理论概括

D.理论抽象

【解析】：C 本题考查了理论概据的概念。所谓理论概括是指社会研究者在思维中按照抽象出来的特征对社会现象进行的归类表述。

4.研究者在一次研究中抓住社会现象的一种特征，并且在考虑这一特征时暂时忽略其他特征。这是

A.经验概括

B.理论抽象

C.理论概括

D.社会理论

【解析】：B 本题考查了理论抽象的概念。研究者在一次研究中抓住社会现象的一种特征，并且在考虑这种特征时暂时忽略其他特征就是理论抽象。

5.社会研究者通过高度的抽象概括而对社会现象的规律和实质做出的反映就是

A.社会规律

B.经验概括

C.社会理论

D.社会经验

【解析】：C 本题考查了社会理论的概念。社会研究者通过高度的抽象概括而对社会现象的规律和实质做出的反映就是社会理论。

6.人们通过有限的经验观察而获得的对一类社会现象的规律带有普遍性特点的概括是指

A.经验概括

B.理论概括

C.理论抽象

D.价值概括 【解析】：A 本题考查了经验概括的概念。人们通过有限的经验观察而获得的对一类社会现象的规律带有普遍性特点的概括就是经验概括。

第4讲 最优化问题

一、知识要点

在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。

二、精讲精练

【例题1】 用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。问煎3个饼至少需要多少分钟？

练习1：

1.烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？

2.用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？

3.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2分钟）。可小华烙6个大饼只用了6分钟，他是怎样烙的？

【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？

练习2：

1.小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟？

2.小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？

3.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟？

【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？

第四章 无约束最优化直接方法 无约束最优化直接方法只要求目标函数是连续的，求解过程中不需要

计算目标函数的导数。

1.单纯形替换法

1)单纯形

(1)定义: 中的单纯形就是指具有个顶点的多面体。若各棱长相

等，称为正规单纯形。

(2)正规单纯形的构建：

已知正规单纯形任一顶点和棱长。

根据棱长构建数组，其中，

正规单纯形的顶点坐标为：，，

在二维情形下，该方法构建的单纯形为一等边三角形。

(3)一般单纯形的构建

已知单纯形任一顶点和正数。

令

则单纯形的顶点坐标为：，，

在二维情形下，该方法构建的单纯形为一直角三角形。

2)基本想法

选定一个初始点，根据上述方法形成初始单纯形，从这一单纯形出

发，通过迭代设法构造新的单纯形以替换原有的单纯形，使新单纯形不

断向目标函数的极小点靠近，直到搜寻到极小点为止。

3)算法

已知目标函数，单纯形各顶点的位置，终止限。

(1)

计算，

令，，于是和分别是单纯形的最好和最坏的顶点。

把顶点去掉，则剩下的顶点构成维空间中的单纯形，其中心。(2)反射

按如下公式通过反射，，其中，称为反射系数，通常取,称为的反

射点。

当时，转(3)，否则转(4)

(3)延伸

计算延伸点,,称为延伸系数。

①如果，那么就用替换，构成新的单纯形,否则，那么就用替换，

构成新的单纯形。②转(6)

(4)收缩

①存在一个标号，,。

也就是说，除最坏点外，反射点至少比其余一个顶点好。此时以替

换构成新的单纯形,转(6)。

②

在这种情况下，反射点比原单纯形所有的顶点还坏。说明反射方向

错误，则舍弃不管，沿方向进行收缩。

，其中是的收缩点，而是收缩系数。

如果，则舍弃收缩点，转(5),减少原单纯形棱长，否则以替换构

成新的单纯形,转(6)。

③，且，但

在这种情况下，反射点只比好，则沿方向进行收缩。

如果，则舍弃收缩点，转(5),减少原单纯形棱长，否则以替换构

成新的单纯形,转(6)。

(5)减少棱长

原单纯形的最好点保持不动，各棱长减半。此时可按下式计算各顶

点坐标。

，

(6)终止准则

计算，

专题10 最优化问题

阅读与思考

数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：

1．配方法

由非负数性质得02ba．

2．不等分析法

通过解不等式（组），在约束条件下求最值．

3．运用函数性质

对二次函数02acbxaxy，若自变量为任意实数值，则取值情况为：

（1）当0a，abx2时，abacy442最小值 ；

（2）当0a，abx2时，abacy442最大值 ；

4．构造二次方程

利用二次方程有解的条件，由判别式0确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．

例题与求解

【例1】当x变化时，分式12156322xxxx的最小值是 ．

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．

【例2】已知1y，且12yx，则223162yxx的最小值为（ ）

A. 719 B. 3 C. 727 D. 13

（太原市竞赛试题）

解题思路：待求式求表示为关于x(或y)的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x、y的隐含限制．

【例3】21322xxf，在bxa的范围内最小值2a，最大值2b，求实数对(a，b). 解题思路:本题通过讨论a，b与对称轴0x的关系得出结论．

【例4】（1）已知211xxy的最大值为a，最小值b，求22ba的值．

（“《数学周报》杯”竞赛试题）

（2）求使168422xx取得最小值的实数x的值．

（全国初中数学联赛试题）