新人教A版高二数学选修2-2第一章导数及其应用 1.5.3 定积分的概念

第一章 导数及其应用

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

§1.1.3 导数的几何意义

§1.2 导数的计算

§1.2.1 几个常用函数的导数

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

§1.3 导数在研究函数中的应用

§1.3.1 函数的单调性与导数

§1.3.2 函数的极值与导数

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数

§1.4 生活中的优化问题举例

§1.5 定积分的概念

§1.5.1 曲边梯形的面积

§1.5.2 汽车行驶的路程

§1.5.3 定积分的概念

§1.6 微积分基本定理

§1.7 定积分的简单应用

§1.7.1 定积分在几何中的应用

§1.7.2 定积分在物理中的应用

章末整合提升 章末达标测试

第二章 推理与证明

§2.1 合情推理与演绎推理

§2.1.1 合情推理

§2.1.2 演绎推理

§2.2 直接证明与间接证明

§2.2.1 综合法和分析法

§2.2.2 反证法

§2.3 数学归纳法

章末整合提升

章末达标测试

第三章 数系的扩充与复数的引入

§3.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.2 复数的几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算

§3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算

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§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

[课标要求]

1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点)

2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)

3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)

一、函数平均变化率

如果函数关系用y＝f(x)表示，那么变化率可用式子f（x2）－f（x1）x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是平均变化率可以表示为ΔyΔx．

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用教材习题点拨 新人教A版选修2-2

教材问题解答

(问题)

如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特征？

答：如果在某个区间上恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是常数函数．

(思考)

请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系．

答：函数y＝f(x)的平均变化率fx2－fx1x2－x1的几何意义是经过(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点直线的斜率．

当导数为正值时，函数单调递增，平均变化率fx2－fx1x2－x1＞0；当导数为负值时，函数单调递减，平均变化率fx2－fx1x2－x1＜0.

(问题)

如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

答：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，也可以求解本题，但运算过程相对麻烦，有时需要变形的很多技巧，特别是判断三次的多项式函数的单调性时，这种方法不是一种简便的方法，导数是研究函数单调性的工具，其方法具有普适性、通用性．

练习1

1．解：(1)因为f(x)＝x2－2x＋4，所以f′(x)＝2x－2.

当f′(x)＞0，即x＞1时，函数f(x)＝x2－2x＋4单调递增；

当f′(x)＜0，即x＜1时，函数f(x)＝x2－2x＋4单调递减．

(2)因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.

当f′(x)＞0，即x＞0时，函数f(x)＝ex－x单调递增；

当f′(x)＜0，即x＜0时，函数f(x)＝ex－x单调递减．

(3)因为f(x)＝3x－x3，所以f′(x)＝3－3x2.

当f′(x)＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增；

当f′(x)＜0，即x＞1或x＜－1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减．

定积分和不定积分的历史联系

这两个东西在概念上的联系我困扰了我好一阵子，因为他们在高数书上的反映这两个部分完全是两个概念，不定积分只是一种运算方式，而定积分是微分的逆向思维。

后来，看到这么一个帖子内容才有所明白其中的缘由~~

定积分和不定积分在几何意义上没有任何关系，但有牛顿莱布尼茨公式中所表示的代数关系。为什么？难道是一种巧合吗？

历史的发展应该是这个样子的，先是黎曼提出了黎曼积分，也就是定积分的概念。然后牛顿和莱布尼茨发现了那个公式，揭示了定积分和原函数之间的关系。下面的问题是怎么计算原函数，牛顿和莱布尼茨又根据原函数提出了不定积分的概念。之所以命名为不定积分就是根据那个公式。所以定积分和不定积分并不是共同出生的一对孪生兄弟，只是后人根据牛莱公式给原函数族起了一个和定积分相似的名字。

微分思想是无限分割，积分思想是无限累加。但这指的应该是定积分，不定积分体现不出来这种思想，因为它根本就不是积出来的。从数学思想上，微分和定积分才是互逆的。不定积分和导数是互逆运算，不表示它和微分也是互逆运算。微分用导数来表示，只是一个计算得出的结果，从定义中推不出来。所以说微分是不定积分的逆运算并不准确，它们形似而神非。

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 导数的实际应用课堂探究

新人教B版选修2-2

探究一 收益(利润)最大问题

利用导数解决收益(利润)最大问题，关键是要建立收益(利润)的函数关系式，然后借助导数研究该函数的最大值，注意函数定义域的限制以及实际意义．

【典型例题1】 某公司准备在两个项目上投资．已知在A项目上投资的收益(万元)与投资额(万元)的平方根成正比，且当投资额为9万元时，投资收益为2万元；在B项目上的投资收益g(t)(万元)与投资额t(万元)的关系式是g(t)＝3lnx10＋1.已知该公司现准备在两个项目上共投资350万元，试求该公司的最大总收益．

思路分析：设在A项目上的投资额为x(万元)，则在B项目上的投资额为(350－x)万元，然后将收益表示为x的函数再用导数求解．

解：设该公司在A项目上的投资额为x万元，依题意，在A项目上的收益为f(x)＝kx，又当x＝9时，f(9)＝2，即k9＝2，所以k＝23，于是f(x)＝23x.

这时在B项目上的投资额为350－x万元，则在B项目上的收益为g(350－x)＝3ln350－x10＋1.

于是该公司的总收益为h(x)＝f(x)＋g(350－x)＝23x＋3ln360－x10，其中0＜x＜350.

于是h′(x)＝23·12x＋3·10360－x·－110

＝13x－3360－x＝360－x－9x3x360－x

＝－x＋24x－153x360－x，

令h′(x)＝0，得x＝15，即x＝225，

当0＜x＜225时，h′(x)＞0；

当225＜x＜350时，h′(x)＜0，

所以h(x)在x＝225处取得极大值，即最大值，

最大值为h(225)＝23225＋3ln13510＝10＋3ln272，

故该公司最大总收益为10＋3ln272万元．

探究二 费用最低(用料最省)问题 2 将费用或用料表示为某个变量的函数，然后研究该函数的最值情况．多数情况下，用料最省问题会涉及几何体的表面积问题，这时要注意结合平面几何，立体几何中相关的公式求解．