第八届“华杯赛”初一组决赛二试题答案

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第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题（初一组）

（时间: 2015年4月11日10:00～11:30）

一、选择题 (每小题10分, 共80分)

1. 计算:











10241

10

81

3

41

2

21

12048= .

2. 一堆彩球只有红、黄两色. 先数出的50个球中有49个红球, 此后, 每数出8

个球中都有7个红球, 恰好数完. 已数出的球中红球不少于90%. 这堆彩球

最多有 个.

3. 正整数

a,

b,

c,

d 满足

43

32



dc

ba

, 当

dcba最小时,

c

= ,

d = .

4. 圆形跑道上等距插着2015面旗子, 甲与乙同时同向从某面旗子的位置出发,

当甲与乙再次同时回到出发点时, 甲跑了23圈, 乙跑了13圈. 不算起始点旗

子位置, 则中间有 次甲正好在旗子位置追上乙.

5. 现有2015张卡片, 每张上写有数字

1或

1. 如果每次指着其中的三张卡片

问：“这三张卡片所写的数字的乘积是多少？”并得到正确回答. 那么, 至

少问 次才能确定这2015张卡片所写的数字的乘积.

6. 设a, b, c为1到9中的三个不同整数, 则

cbaabc

的最大值是 , 最小

值是 .

（

abc是个三位数）

7. 如右图, 正六边形中两个等边三角形的面积都为30平方厘米,

那么正六边形的面积是 平方厘米.

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8. 从一副扑克牌中抽走一些牌, 在剩下的牌中至少要数出20张, 才能确保数出

的牌中有两张同花色的牌的点数和为15. 那么最多抽走 张牌, 最少

抽走 张牌. （J、Q、K的点数分别为11, 12, 13, 大、小王的点数为0；

一副扑克牌有54张牌, 其中52张是正牌, 另2张是副牌（大王和小王）. 52

张正牌又均分为13张一组, 并以黑桃、红桃、草花、方块四种花色表示各组,

每组花色的牌包括从1至10（1通常表示为A）以及J、Q、K标示的13张

第 1 页 共 2 页 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题（初中一年级组）

（时间: 2017年3月11日10:00～11:30）

一、填空题（每小题 10分, 共80分）

1.数轴上个点所表示的数分别为,

a,

a

,

a

, 且当i为奇数时,



iiaa, 当i为偶数时, 

iiaa, 那么

aa．

2.如右图, △ABC,

△AEF和△BDF均为正三角形, 且

△ABC,

△AEF的边长分别为和,

则线段DF长度的最大值等于．

3.如下的代数和

)()(mmm

的个位数字是 , 其中m是正整数.

4.已知x. 设

x表示不大于x的最大整数, 定义

xxx.如

果

xx是整数, 则满足条件的所有x的和等于 .

5.设x, y, z是自然数, 则满足

xyzyx的x, y, z有 组.

6.设p, q,

qp

,

pq

都是正整数, 则

qp的最大值等于 .

7.右图是A, B, C, D, E五个防区和连接这些防区的条公路的示

意图. 已知每一个防区驻有一支部队. 现在这五支部队都要换

防, 且换防时, 每一支部队只能经过一条公路, 换防后每一个

防区仍然只驻有一支部队, 则共有种不同的换防方式．

第 2 页 共 2 页 8.下面两串单项式各有个单项式:

(1) 

yxyxyxyxyxxynn

,,,,,,,

;

(2) 

yxyxyxyxyxyxmm

,,,,,,,

,

其中n, m为正整数, 则这两串单项式中共有 对同类项.

二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）

9.是否存在长方体, 其十二条棱的长度之和、体积、表面积的数值均相等？如

第 1 页 共 3 页 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（小学中年级组） （时间: 2017年3月11日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1. 在2017个自然数中至少有一个两位数, 而且其中任意两个数至少有一个三位数, 则这2017个数中有 个三位数. 2. 如右图（1）所示, 一个棋子从A到B只能沿着横平竖直的路线在网格中行走, 给定棋子的一条路线, 将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方, 在某一行中经过的格子数标在该行的左方. 如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的, 那么图中x代表的数字为 . 3. 用x表示不超过x的最大整数, 例如10.210. 则 201732017420175201762017720178111111111111 等于 . 4. 盒子里有一些黑球和白球. 如果将黑球数量变成原来的5倍, 总球数将会变成原来的2倍. 如果将白球数量变成原来的5倍, 总球数将会变成原来的 倍. 5. 能被自己的数字之和整除的两位数中, 奇数共有 个. 第 2 页 共 3 页 6. 如右图, 将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形, 最后剩下一个长方形. 正方形边长和三角形直角边长都是整数. 若剪去部分的总面积为40平方厘米, 则长方形的面积是 平方厘米. 7. 小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场. 从家到商店距离是500米, 用了7分钟; 从商店到游乐场以80米/分钟的速度要走8分钟; 从游乐场到学校的距离是300米, 走的速度是60米/分钟. 那么小龙从家到学校的平均速度是 米/分钟. 8. 亚瑟王在王宫中召见6名骑士, 这些骑士中每个骑士恰好有2名朋友. 他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如右图）, 结果发现这种坐法, 任意相邻的两名骑士恰好都是朋友. 亚瑟王想重新安排座位, 那么亚瑟王有 种不同方法安排座位, 使得每一个骑士都不与他的朋友相邻 (旋转以后相同的, 算同一种方法). 二、简答题（每小题15分, 共60分, 要求写出简要过程） 9. 如右图所示, 两个边长为6的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCD. G为DE的中点. 连接BG交EF于H. 求图中五边形CDGHF的面积. 10. 乌龟和兔子进行1000米赛跑, 兔子速度是乌龟速度的5倍, 当它们从起点同时出发后, 乌龟不停地跑, 兔子跑到某一地点开始睡觉, 兔子醒来时乌龟已经领先它, 兔子奋起直追, 但乌龟到达终点时, 兔子仍落后10米. 求兔子睡觉期间, 乌龟跑了多少米? 第 3 页 共 3 页

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决赛试题（初二组）

（时间: 2014年4月12日10:00～11:30）

一、填空题（每小题 10分, 共80分）

1. 计算: 233223

32623323333

=________.

2. 已知正整数a, b, c满足三个等式：cba3, 9432cba, 6822ba, 那么

2c等于________.

3. 如图, E, F分别是菱形ABCD的边AB, AD上的点,

60DCB, 105DFE, 1DF, 32BE,

那么这个菱形的边长等于________.

4. 将一个四位数的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379, 则满足条

件的四位数有________个.

5. 已知aax14501450, 其中a是正整数, 那么所有使得x为整

数的a的取值之和为________.

6. 已知a, b, c为互不相等的非零实数, 且存在实数x, y满足 



000

333

ycxcybxbyaxa

,

那么cba的值是________.

7. 如右图所示, 五边形ABCDE中, AEAB, CDBC,

2AC厘米, 60BAE, EDBCDB,

则五边形ABCDE的面积是________平方厘米. 第 2 页 共 2 页

8. 方程023CBxAxx的系数CBA,,为整数, 10||,10||,10||CBA,

且1是方程的根, 那么这种方程总共有________个.

二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）

9. 关于x的方程02|4|21axax的3个解恰好是某个直角三角形三条

边的边长, 那么这个直角三角形面积的最大值是多少?

10. 若干个选手参加象棋比赛, 每两个选手下一盘. 每盘棋的记分方法为：胜者