chap3多维随机变量

随机变量的独立性

随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念

两事件A,B独立的定义是：

若P(AB)=P(A)P(B)

则称事件A,B独立 . 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有

)()(),(yYPxXPyYxXP

则称X,Y相互独立 . 两随机变量独立的定义是：

)()(),(yFxFyxF

YX用分布函数表示,即

设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有

则称X,Y相互独立 .

它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合

分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .

),(yxf其中 是X,Y的联合密度， )()(),(yfxfyxf

YX

几乎处处成立，则称X,Y相互独立 . 对任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的

定义等价于：

这里“几乎处处

成立”的含义是：

在平面上除去面

积为0的集合外，

处处成立.

分别是X的 )(),(yfxf

YX

边缘密度和Y 的边缘密度 .

若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的

定义等价于：

)()(),(

jijiyYPxXPyYxXP

则称X和Y相互独立. 对(X,Y)的所有可能取值(x

i, y

j),有

例1 设(X,Y)的概率密度为





其它,00,0,

),()(yxxe

yxfyx

问X和Y是否独立？

解： 

0)()(dyxexfyx

X



0)()(dxxeyfyx

Y,xxe

,yex>0

即：





其它,00,

)(xxe

xfx

X



其它,00,

)(ye

yfy

Y对一切x, y, 均有：

故X,Y 独立 )()(),(yfxfyxf

YX

y >0

若(X,Y)的概率密度为





其它,y,yx,

)y,x(f

01002

情况又怎样？

解： ),1(22)(1xdyxf

xX

y

Yydxyf

0,22)(0

0

由于存在面积不为0的区域，

1 第四章 大数定律与中心极限定理

§4.1 特征函数

4.1.1 特征函数的定义

定义4.1.1 设X是一个随机变量，称

teEtitX),()(

为X的特征函数

注意：(1)因为1itXe，所以)(itXeE总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的。

(2)离散随机变量的特征函数为tpetkkitxk,)(1；

连续随机变量的特征函数tdxxpetitx,)()(。

(3)与随机变量的数学特征一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数相同，所以也称为分布的特征函数。

常用分布的特征函数(一)

(1)单点分布：1)(aXP，其特征函数为

itaet)(

(2)0-1分布：1,0,)1()(1xppxXPxx，其特征函数为

pqqpetit1,)(其中

(3)泊松分布)(P：,1,0,!)(kekkXPk，其特征函数为

)1(0!)(ititeekkikteeeeket

(4)均匀分布),(baU：因为密度函数为

elsebxaabxp ,0 ,1)(

所以特征函数为

)()(abiteedxabetiatibtbaitx。

(5)标准正态分布)1,0(N：因为密度函数为

,21)(22xexpx

所以特征函数为

2 2222)(2222222221 2121)(tititxtitxtxitxedxeedxeedxet

其中222ititxdxe是利用复变函数中的围道积分求得的。

(6)指数分布)(Exp：因为密度函数为

0 ,00 ,)(xxexpx

第２４卷第３期　

２００８年６月　大　学　数　学　

ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２４，№．３　Ｊｕｎ．２００８　

多维随机变量分量问的线性相关性研究　

蒋福坤，　刘正春　

（嘉兴学院数学与信息科学学院，浙江嘉兴３１４００１）　

［摘　要］研究了　维随机变量分量间的线性相关性，给出了具有（在概率１意义下）严格线性关系的充　要条件以及衡量线性相关性程度的量．　［关键词］　维随机变量；线性相关性；协方差矩阵　［中图分类号］０２ｌ１．５　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２～１４５４（２００８）０３—０１４４—０４　

１　引　言　

二维随机变量（ｘ，ｙ）的相关系数ｐ　一曼　是衡量随机变量ｘ，Ｙ线性相关程度的　’　√ＤＸ・ＤＹ　

一把尺子．当ｌ　ｐｘｙ　ｌ越接近于０时，Ｘ与ｙ存在微弱的线性关系；当ｌ　ｐｘ　ｌ越接近１时，Ｘ与ｙ存在较强的　

线性关系；当ｌ　ｐ　ｌ＝１时，Ｘ与ｙ具有（在概率１意义下）严格线性关系．那么对于一个ｎ（，２≥３）维随机　变量Ｘ＝（Ｘ　，Ｘ　，…，Ｘ　），它的分量间线性相关程度是否也可以用一个量来衡量，并在什么条件下，　

Ｘ　，Ｘ　，…，Ｘ　间具有（在概率１意义下）严格线性关系？这个问题也是值得研究．　

本文先给出ｎ维随机变量Ｘ＝（Ｘ　，Ｘ　，…，Ｘ　）的分量间具有（在概率１意义下）严格线性关系的一　

个充分必要条件，并具体给出寻找线性关系的方法．然后将利用最小二乘法导出衡量ｎ维随机向量　

Ｘ：（Ｘ　，Ｘ　，…，Ｘ　）的分量间线性相关程度的一个量．　

２存在线性关系的充要条件　

定义　设ｎ维随机变量Ｘ一（Ｘ　，Ｘ　，…，Ｘ　），如果存在一组不全为零的数ｋ一（ｋ　，ｋ　，…～ｋ），使得　

Ｐ｛Ｘｋ　：ｃ（常数）｝一１（以概率１成立），则称ｘ的分量间具有（在概率１意义下）严格线性关系．　定理１　ｎ维随机变量Ｘ＝（Ｘ　，Ｘ　，…，Ｘ　）的分量间具有（在概率１意义下）严格线性关系的充要　

条件是它的协方差矩阵Ｖ＝（口　）　的行列式ｌＶｌ一０，其中　一ｃｏｙ（Ｘ　，Ｘ　）（ｉ，Ｊ一１，２，…，ｎ）．　

第１９卷第１斯　Ⅷ．１９　Ｎｏ　１　渝州大学学报（自然科学版）　Ｊ（ＹＯＲＮＡＬＯＦＹＩＡ＇Ｂ－ＩＧＵＩＡＮＩＶＥＲＳｒＩＹ（Ｎａｔ　Ｓｃｉｅｎ．Ｅｄｋ）　２００２年３月　Ｍａｒ　２００２　

文章编号：１００６—３２９３（２００２｝０１—０００６—０３　

多维正态随机变量的几个性质’　

袁德美　（渝州大学数学与计算机辩学系．重庆４０００３３）　

摘　要：设（ｘ　，…，Ｘ，）和（￡　，…，Ｅ　）分别是ｎ维正态和　维标准正态随机变量，研究ｊ　

（ｘ　，…，ｘ¨）与（￡　，…，￡　）以及Ｅ（Ｘ　ｆｘ：，…，　）与（ｘ２，…，ｘ，）的关系，并且讨论把Ｅ　ｘ表　…　‘　示成ＥＸ，Ｘｊ的问题　关键词：正态系；Ｈｉｌｂｅｒ￣空间；条件期望；投影算子　中图分类号：Ｏ　２１１・５　文献标识码：Ａ　。　

设（ｘ　一，　）是ｎ维正态随机变量，其协方差矩阵Ｂ＝（Ｅｘ　）　≤　≤Ｈ是对称非负定的．由线性代数　的知识．存在矩阵Ａ满足Ｂ＝ＷＡ，其中　表示Ａ的转置．下面性质１是经典结论，也是本文的基础．为完　整起见，这里仍给出其证明．　性质１设（ｘ　一，墨）是　维正态随机变量，ＥＸ，：０，ｉ＝１，２，…，ｎ．Ａ如上所述（￡　－－，ｅ　）是　

ｎ维标准正态随机变量．则（ｘ　一，ｘＨ）与（￡　．－，￡　）Ａ同分布．　¨　证　记Ａ＝（日　）…，（　，…，　）＝（Ｅ　，…，　）Ａ．由Ａ＇Ａ＝Ｂ知，∑ｎ　ｎ　＝ＥＸ，Ｘ￣由于（ｘ　，…，　日　ｘ　）和（￡　一，￡　）Ａ都是　维正态随机变量，并且Ｅ　＝ＥＹｉ＝０，ｋ＝１。２．…，　．要证明它们同分布，只　

需证明ＥＶ，Ｙｊ＝ＥＸ，Ｘｊ，Ｖ１≤ｉ、　≤　．而ＥＶ，Ｙ￣：Ｅ（∑ｎ　∑ｎ　）＝∑∑ａｋｉ　向：∑ａ，ｌ，ａ　＝　

ＥＸ，Ｘｊ．故性质１得证．　熟知，Ｅ（ｘ　１ｘｚ，…，Ｘ）关于　一代数　（ｘ　．…，Ｘ　）可测．当（ｘ　一，Ｘ　）是　维正态随机变量时．　有下面进一步的性质．　性质２设（ｘ　．－，Ｘ）是　维正态随机变量，则Ｅ（ｘ．１　，…，Ｘ，）可以表示成ＥＸ　与ｘ　．…，ｘＨ的　某个线性组合之和．　证　由性质１知　（ｘ　，…，ｘ＾）＝　（￡　．…，￡　），从而Ｅ（ｘ　ｆｘ　，…，Ｘ）＝Ｅ（Ｘ　ｌ￡ｚ．…，Ｅ　）．固此，　为证该性质，只需证当置∽Ｎ（Ｏ，１），　＝１，２，…，　，且（ｘ２，…，咒）是　一１维独立随机变量时，　Ｅ（ｘ　ｌｘ：，…，ｘＨ）是　，…，ｘ¨的线性组合．设（ｘ　一，ｘ¨）的协方差矩阵为