高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

考点09函数与方程【命题趋势】此知识点是高考考查的重点，常以指数函数、对数函数、幂函数、分段函数或者三角函数为背景进行考查，解题时注意数形结合思想的应用.具体要求为：（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.【重要考向】一、函数零点（方程的根）所在区间的判断二、函数零点个数的判断三、函数零点的应用问题函数零点（方程的根）所在区间的判断1．函数零点的概念对于函数(),y f x x D =∈，我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数(),y f x x D =∈的零点．2．函数的零点与方程的根之间的联系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f (x )=x 2＋1，由于方程x 2＋1=0无实数根，故该函数无零点．3．二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点0∆>0∆=0∆<二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的图象与x 轴的交点(x 1，0)，(x 2，0)(x 1，0)无交点零点个数214．零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.1．二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下：①确定区间[a ，b ]，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度ε；②求区间(a ，b )的中点c ；③计算f (c )；a ．若f (c )=0，则c 就是函数的零点；b ．若f (a )·f (c )<0，则令b =c (此时零点x 0∈(a ，c ))；c ．若f (c )·f (b )<0，则令a =c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a −b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.【巧学妙记】1.函数()e xf x x -=-的零点所在的区间为A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】易知函数()exf x x -=-的图象是连续的，且通过计算可得()()11e 1e 10f -=--=+>，12111e 0222f ⎛⎫⎛⎫-=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00e 010f =-=>，12111e 0222f -⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，()111e 110ef -=-=-<，由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.2.在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.【答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】令()321f x x x =--，3275310288f ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭，()120f =-<，()28530f =-=>，故下一步可以断定根所在区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭.故填3,22⎛⎫⎪⎝⎭.3.已知函数()32113f x x x =-+．（1）证明方程f （x ）=0在区间（0，2）内有实数解；（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f （x ）=0，x ∈[0，2]的实数解x 0在哪个较小的区间内．【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭．()1103f =>，由此可得()()1209f f ⋅=-<，则下一个有解区间为()1,2，31028f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，由此可得()3110224f f ⎛⎫⋅=-<⎪⎝⎭，则下一个有解区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，所求实数解0x 在较小区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内.函数零点个数的判断(1)解方程法：令f (x )=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.【巧学妙记】4.函数f (x )2－2，x ≤0，x －6＋ln x ，x >0的零点个数是．【答案】2【解析】当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f (x )有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x 恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.5.函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x－2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.6.函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内()A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点【答案】B【解析】当x ∈(0，1]时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x >0，sin x >0，所以f ′(x )>0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos1>0，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，f(x)＝x－cos x>0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.函数零点的应用问题1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：①求出零点，直接比较大小；②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.【巧学妙记】7.已知函数()1f x mx =+的零点在区间(1,2)内，则m 的取值范围是A ．1(,)2-∞-B ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1(,1)(,)2-∞--+∞ 【答案】B【解析】由题知f (x )单调，故(1)(2)0,f f ⋅<即(1)(21)0,m m ++<解得112m -<<-.故选B ．8.已知函数f (x )x ≥1，，x <1，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则k 的取值范围是__________．【答案】(0,1)【解析】作出f (x )x ≥1，x <1的函数图象如图所示：方程f (x )＝k 有两个不同零点，即y ＝k 和f (x )x ≥1，x <1的图象有两个交点，由图可得k 的取值范围是(0,1)．9.已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．【答案】(0,1)∪(9，＋∞)【解析】由题意知a >0.在同一直角坐标系中作出y ＝|x 2＋3x |，y ＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y ＝|x 2＋3x |与y ＝a |x －1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，＝－x2－3x，＝a(1－x)有两组不同解，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又a>0，∴0<a<1或a>9.一、单选题1．方程12log x x =的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．32．函数()662,0,log 12,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A ．-1B ．1C ．-2D ．23．已知函数()2log 3f x x x =+-在区间(),1a a +内有零点，则正数a 的取值范围为（）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()0,1D ．()1,+∞4．已知函数()22,2,21219,2,x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩若方程()0f x a -=的实根之和为6，则a的取值范围为（）A ．(]1,3B ．[]1,3C ．(]1,4D ．()3,4二、多选题5．若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3，则函数()21g x bx ax =--的零点是（）A ．1B ．12C ．13-D ．16-三、填空题6．函数1y x x=的零点为___________．7．若函数()xf x e =，则函数()1y f x =-的零点是___________.8．函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在(),ππ-上的零点之和为______.9．若方程30x m +=的根在()1,0-内，则m 的取值范围是_____．10．已知二次函数221y ax ax =++只有一个零点，则实数a =__________.11．用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5) 5.625f =，那么下一个有根区间为_________．四、双空题12．已知2,0()22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则f （f （―2））=________，函数f （x ）的零点的个数为________.五、解答题13．方程20x x k ++=在(0,1)x ∈有解，求k 的取值范围.一、单选题1．（2014·北京高考真题（文））已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,4D ．()4,+∞2．（2019·全国高考真题（文））函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．53．（2010·浙江高考真题（文））已知0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点，若()()10201,,x x x x ∈∈+∞，则（）A ．1()0f x <，()20f x <B ．1()0f x <，()20f x >C ．()10f x >，()20f x <D ．()10f x >，()20f x >4．（2010·福建高考真题（文））函数()223,0{ 2,0x x x f x lnx x +-≤=-+>的零点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．05．（2014·重庆高考真题（文））已知函数13,(1,0](){,()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x -∈-==---+∈且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是A ．91(,2](0,]42--⋃B ．111(,2](0,]42--⋃C ．92(,2](0,43--⋃D ．112(,2](0,43--⋃6．（2011·福建（文））若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．（﹣1，1）B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C．(,0)-∞ D．(,0))-∞+∞ 8．（2015·安徽高考真题（文））下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y =lnxB ．21y x =+C ．y =sinxD ．y =cosx 9．（2015·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．510．（2013·安徽高考真题（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11．（2016·天津高考真题（文））已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x 且⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是___________.12．（2015·湖南高考真题（文））若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.13．（2008·湖北高考真题（文））方程223x x -+=的实数解的个数为_____________.三、解答题14．（2018·全国高考真题（文））已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x只有一个零点．一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟）设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则方程2sgn 21x x x =-的解是（）A ．1B．1--C ．1或1-D ．1或1-+或1-2．（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文））已知函数()21()2f x a x x x =-+有且仅有两个零点，则实数a =（）A ．3227B ．3227-C ．2732D ．2732-3．（2021·宁夏高三其他模拟（文））函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数()231f x x x =++.若关于x 的方程()0f x a x -=恰有两个不同的实根，则a 的取值范围是（）A ．()1,5B ．[]1,5C ．()1}50{⋃，D ．[]1}50{⋃，5．（2021·河南商丘市·高三月考（文））已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()3f x a x =+有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．(,4-∞-B．()4++∞C．0,4⎡-⎣D．(0,4-6．（2021·晋中市新一双语学校高三其他模拟（文））若关于x的方程2sin2x x m -=-在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个解，则m 的值不可能为（）A ．2-B ．1-C ．12-D ．07．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数()31,13,1x x f x x x -⎧->-⎪=⎨+≤-⎪⎩，当a b c <<时，有()()()f a f b f c ==，则()1f a -的取值范围是（）A ．()1,9B ．()4,9C ．()1,4D ．[]4,98．（2021·新疆高三其他模拟（文））定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且0x >时，()ln xf x x=.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．11,0,e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11,00,ee ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,0,22e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,00,22e e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．（2021·四川宜宾市·高三二模（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-二、填空题10．（2021·云南昆明市·高三三模（文））已知函数ln ()1xxf x ae x=--两个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________.11．（2021·晋中市新一双语学校高三其他模拟（文））规定记号"Δ"表示一种运算，即()()22Δ12,,a b a b b a b =--∈R ，若0k >，函数()()Δf x kx x =的图象关于直线12x =对称，则k =___________.12．（2021·宁夏高三其他模拟（文））关于函数2()sin sin f x x x =-有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；③()f x 在[,]-ππ有四个零点；④()f x 的值域是1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；⑤()f x 的周期为2π.其中所有正确结论的编号是___________.13．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知函数21,0(),0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()()g x f x a =-仅有两个不同零点，则实数a 的取值范围是_________．14．（2021·全国高三其他模拟（文））方程e ||10x x x --=的实数根的个数为___________.15．（2021·成都七中实验学校高三三模（文））已知函数2,1()169,1xx f x x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，若方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则3411x x +的取值范围是___________.参考答案跟踪训练1．B 【分析】在同一坐标系内，作出y =12log y x =的图象，根据图象的交点个数即可求解.【详解】在同一坐标系内，作出y =12log y x =的图象，如图：由图象可知，方程只有一个解.故选：B 2．A 【分析】根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和.【详解】函数()662,0,log 12,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩当0x >时，()62xf x =-，设其零点为1x ，则满足1620x -=，解得16log 2x =；当0x ≤时，()6log 12f x x =+，设其零点为2x ，则满足26log 120x +=，解得26log 12x =-；所以零点之和为1266log 2log 121x x +=-=-故选:A.【点睛】本题考查了分段函数的简单应用，函数零点的定义，对数式的运算性质，属于基础题.3．A 【分析】由题得(2)=0f ，且函数在定义域内()f x 单调递增，得21a a <<+，解不等式得解.【详解】由题得()22log 2230f =+-=，且函数在定义域内()f x 单调递增（增+增=增），所以21a a <<+，得12a <<.故选：A 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握是水平，属于基础题.4．A 【分析】作出()f x 图象，求方程()0f x a -=的实根之和为6，即求()y f x =与y a =图象交点横坐标之和为6，分别讨论a =1、12a <<、a =2、23a <≤、34a <<和a =4时y a =图象与()y f x =图象交点个数及性质，数形结合，即可得答案.【详解】作出()f x 图象，如图所示求方程()0f x a -=的实根之和为6，即求()y f x =与y a =图象交点横坐标之和为6，当a =1时，y a =图象与()y f x =图象只有一个交点（3,1），不满足题意；当12a <<时，y a =图象与()y f x =图象有2个交点，且从左至右设为12,x x ，由图象可得12,x x 关于x =3对称，所以1232x x +=，即126x x +=，满足题意；当a =2时，y a =图象与()y f x =图象有3个交点，且（0,2）为最左侧交点，设y a =与()y f x =图象另外两个交点为12,x x ，由图象可得12,x x 关于x =3对称，所以1232x x +=，即126x x +=，满足题意；当23a <≤时，y a =图象与()y f x =图象有4个交点，从左至右设为12,x x ，34,x x ，由图象可得12,x x 关于x =0对称，所以120x x +=，34,x x 关于x =3对称，所以3432x x +=，即346x x +=，满足题意；当34a <<时，y a =图象与()y f x =图象有3个交点，由图象可得不满足题意；当a =4时，y a =图象与()y f x =图象有2个交点，由图象可得不满足题意；综上：a 的取值范围为13a <£.故选：A 5．AD 【分析】由()f x 的零点求参数a 、b ，写出()g x 的解析式，进而可求其零点.【详解】由题设知：2,3是20x ax b -+=的两个根，∴235,236a b =+==⨯=，∴()2651g x x x =--，若()0g x =，可得零点为1x =或16x =-.故选：AD.6．1【分析】令10y x==求解.【详解】令10y x ==1x=，两边平方得：()310x x =>，解得1x =，所以函数1y x=的零点为1.故答案为：1.7．0【分析】求得函数()11xy f x e =-=-，令0y =，即可求解.【详解】由函数()xf x e =，可得()11xy f x e =-=-，令0y =，可得10x e -=，解得0x =，故函数()1y f x =-的零点是0.故答案为：0.8．3π-【分析】令()0f x =，得1sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据(),x ππ∈-，得到23x π-范围求解.【详解】()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令()0f x =得，1sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(),x ππ∈-，所以752,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则11236x ππ-=-或76π-或6π或56π，解得34x π=-或512π-或4π或712π，所以12343x x x x π+++=-.故答案为：3π-9．()0,3【分析】设()3f x x m =+，利用零点存在定理可构造不等式求得结果.【详解】设()3f x x m =+，则()()()1030f f m m -⋅=-<，解得：03m <<，即m 的取值范围为()0,3.故答案为：()0,3.10．1【分析】先判断0a ≠，再利用判别式为零可得答案.【详解】因为221y ax ax =++是二次函数，所以0a ≠，又因为二次函数221y ax ax =++只有一个零点，所以二次方程2210ax ax ++=只有一个解，所以24400a a a ∆=-=⇒=（舍去），或1a =，故答案为：1.【点睛】本题主要考查函数的零点，考查了分类讨论思想与转化思想的应用，属于基础题.11．()2,2.5【分析】利用零点存在性定理判断.【详解】()210f =-< ，()2.5 5.6250f =>，()()2 2.50f f <，所以下一个有根区间为()2,2.5.故答案为：()2,2.512．141【分析】先求(2)f -，再求((2))f f -，令f （x ）=0，直接解方程可得函数的零点【详解】根据题意得：2(2)(2)4f -=-=，则4((2))(4)2216214f f f -==-=-=；令f （x ）=0，得到220x -=，解得：x =1，则函数f （x ）的零点个数为1，故答案为：14；1.13．20k -<<【分析】转化为求二次函数2k x x =--，(0,1)x ∈的值域，可求得结果.【详解】由20x x k ++=得2k x x =--在(0,1)x ∈有解，当01x <<时，2211()24k x x x =--=-++为减函数，所以110k --<<，所以20k -<<.真题再现1．C【详解】因为(2)310f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.2．B【分析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈ ，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．3．B【分析】转化0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点为0x 是函数2x y =与11y x =-的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可【详解】因为0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点，则0x 是函数2x y =与11y x =-的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，则当()101,x x ∈时，2x y =在11y x =-下方，即()10<f x ；当()20,x x ∈+∞时，2x y =在11y x =-上方，即()20f x >，故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想4．B【解析】试题分析：当0x ≤时，令()2230f x x x =+-=，解得3x =-；当0x >时，令()2ln 0f x x =-+=，解得2x e =.综上可知()f x 的零点有2个.故B 正确.考点：1分段函数；2函数的零点.5．A【分析】试题分析：令，分别作出与的图像如下，由图像知是过定点的一条直线，当直线绕着定点转动时，与图像产生不同的交点.当直线在轴和直线及切线和直线之间时，与图像产生两个交点，此时或故答案选A .考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.6．C【详解】试题分析：利用题中条件：“关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根”由韦达定理的出m 的关系式，解不等式即可．解：∵关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即：m 2﹣4＞0，解得：m ∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选C ．点评：本题考查一元二次方程的根的判别式与根的关系，属于基本运算的考查．7．D【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意；当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.8．D【详解】选项A ：ln y x =的定义域为（0,+∞），故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错；选项D ：cos y x =是偶函数，且cos 02y x x k ππ==⇒=+，k z ∈，故D 项正确.考点：本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.9．A【详解】当0x <时22x ->,所以()22f x x x =-=+,()22f x x -=,此时函数()()()()2231f x g x f x f x x x -=+--=+-的小于零的零点为152x =-;当02x ≤≤时()22f x x x =-=-,()222f x x x -=--=,函数()()231f x g x x x -=-+-=-无零点;当2x >时,()()22f x x =-,()2224f x x x -=--=-,函数()()()2224355f x g x x x x x -=-+--=-+大于2的零点为552x +=,综上可得函数()()y f x g x =-的零点的个数为2.故选A.考点：本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.10．A【解析】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象11．12[,)33【详解】试题分析：由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程()23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以232,3解得a a <<，因此a 的取值范围是12[,33.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12．02b <<【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么13．2【解析】因为223x x -=-,作出函数22,3x y y x -==-的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，所以方程223x x -+=的实数解的个数为2.14．（1）f （x ）在（–∞，33-），（323++∞）单调递增，在（33-，33+）单调递减．（2）见解析.【详解】分析：（1）将3a =代入，求导得2()63f x x x '=--，令()0f x '>求得增区间，令()0f x '<求得减区间；（2）令321()(1)03f x x a x x =-++=，即32301x a x x -=++，则将问题转化为函数32()31x g x a x x =-++只有一个零点问题，研究函数()g x 单调性可得.详解：（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --．令f ′（x ）=0解得x =33-或x =323+．当x ∈（–∞，323-323++∞）时，f ′（x ）>0；当x ∈（323-，33+f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，33-），（33+，+∞）单调递增，在（33-，33+递减．（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++．设()g x =3231x a x x -++，则g ′（x ）=()()2222231x x x xx ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=221116260366a a a ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭，f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数()f x 的定义域；②求导数()'f x ；③由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的取值范围，当()0f x '>时，()f x 在相应区间上是增函数；当()0f x '<时，()f x 在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数()g x 有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.模拟检测1．C【分析】根据符号函数的定义，分三种情况讨论化简方程，然后解方程即可.【详解】解：当0x >时，方程2sgn 21x x x =-可化为221x x =-，化简得()210x -=，解得1x =；当0x =时，方程2sgn 21x x x =-可化为01=-，无解；当0x <时，方程2sgn 21x x x =-可化为221x x -=-，化简得2210x x +-=，解得1x =-（舍去）或1x =--；综上，方程2sgn 21x x x =-的解是1或1-.故选：C.2．C【分析】将函数()21()2f x a x x x =-+有且仅有两个零点，转化为()212a x x x =--由两个不同的根，在同一坐标系中作出(),y a y g x ==的图象，利用数形结合法求解.【详解】令()21()20f x a x x x =-+=，则()212a x x x =--由两个不同的根，令()()212g x x x x =--，则()()23342x g x x x -'=--，当0x <时，()0g x '>，当403x <<时，()0g x '<，当423x <<或2x >时，()0g x '>，当43x =时，()2732g x =，在同一坐标系中作出(),y a y g x ==的图象，如图所示：因为函数()21()2f x a x x x=-+有且仅有两个零点，由图象知：实数a =3227，故选：A 3．B 【分析】根据零点存在性定理，由3()9x f x e x =+-为增函数，带入相关数值判断即可得解.【详解】由x e 为增函数，3x 为增函数，故3()9x f x e x =+-为增函数，由(1)80f e =-<，2(2)10f e =->，根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =，故选：B.4．C 【分析】首先讨论0x =，在0x ≠时，利用分离参数的思想，画出13y x x=++的图像，利用数形结合判断出答案.【详解】当0x =时，()010f =≠，故0x =不是方程()0f x a x -=的根，当0x ≠时，由()0f x a x -=得，13a x x=++，方程()0f x a x -=恰有两个不同的实根等价于直线y =a 与函数13y x x=++的图像有两个不同的交点，作出函数()y f x =的大致图像如图所示，由图可知，0a =或15a <<.故选：C.【点睛】本题解题时利用了数形结合的思想，根据图像判断出结果.5．D 【分析】方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根，即直线(3)y a x =+与曲线()y f x =，作出函数图像，即转化为2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根，可得答案.【详解】设(3)y a x =+，该直线恒过点()3,0-，方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根如图作出函数()y f x =的图像，结合函数图象，则0a >，所以直线(3)y a x =+与曲线()22,2,0y x x x =--∈-有两个不同的公共点，所以2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根，令()2(2)3g x x a x a =+++，实数a 满足()()()22120220203020a a a g a g a ⎧∆=+->⎪+⎪-<-<⎪⎨⎪=>⎪-=>⎪⎩，解得04a <<-，所以实数a的取值范围是(0,4-.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解6．B 【分析】化简可得cos 262m x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，转化为cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2m y =-只有1个交点，根据,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦结合三角函数的性质可求出.【详解】由2sin2x x m -=-可得1cos sin22xx m +-=，化简可得cos 262m x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象和直线2my =-只有1个交点.又,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.当263x ππ+=-，即4πx =-时，可得1cos ;32y π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当206x π+=，即12x π=-时，可得1y =；当262x ππ+=，即6x π=时，可得0.y =要使得cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2my =-只有1个交点，可得12m-=或1022m -<，解得2m =-或10m -<.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数与方程的应用，解题的关键是化简将题目转化为cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2m y =-只有1个交点.7．B 【分析】作出函数()f x 的图象，求出a 的取值范围，由此可得出()12f a a -=的取值范围.【详解】当1x >-时，311x -->-，作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()t f a f b f c ===，由图可知，当01t <<时，直线y t =与函数()f x 的图象有三个交点，由()()30,1f a a =+∈，解得32a -<<-，因为()12f -=，因此，()()124,9f aa -=∈.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8．D 【分析】根据函数为偶函数，通过求导先求0x >时函数的图像与性质，然后结合图像，求临界点时k 的值，即()f x 和直线kx 相切时的切线斜率，再根据对称性即可得解.【详解】当0x >时，令()21ln 0xf x x-'==，则e x =.即()0,x e ∈时，()f x 单调递增.(),x e ∈+∞时，()f x 单调递减.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根，如图，当0k >时，设过点()0,0做曲线的切线交曲线于点000ln ,x P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，切线方程为：()000200ln 1ln x x y x x x x --=-切线又过点()0,0，则0000ln 1ln x x x x --=-，即0x e =又∵ln xy x=在()0,x e ∈时单调递增.∴0x e =，切线的斜率为12e ，∴10,2k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由对称性知：11,00,22k e e ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查了函数方程问题，考查了利图象交点求参数范围，同时考查了利用导数研究函数的单调性，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）利用导数研究函数的单调性，并能正确画出函数图像；（2）求临界值，掌握过某点求切线方程.9．C 【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性；B 利用放缩法，当0x >易证()1f x >，由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-，即可知()f x 与sin y x =的交点情况；C ：由()2f x =变形可得112713x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可；D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可.【详解】A ：()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-，故()f x 为奇函数，错误；B ：当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=，又()f x 为奇函数，则当0x <时，()1f x <-，即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞，则()f x 的图象与sin y x =没有交点，错误，C ：若()2f x =，则有()3log 9112x x+-=，即()3log 913x x +=，变形得9127x x+=，即112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 为减函数且其值域为()0,+¥，则()1g x =有且只有一个解，即()f x 的图象与2y =只有一个交点，正确，D ：()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log 3=-，而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()()21f f ->-，错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B 放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C 将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D 通过函数解析式求函数值，进而比较大小.10．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】令ln ()10xxf x ae x=--=，转化为ln 0x axe x x --=有两个不同的根，令()ln x g x axe x x =--，转化为函数()g x 有两个零点，用导数法求解.【详解】令ln ()10xxf x ae x=--=，则ln 0x axe x x --=，令()ln x g x axe x x =--，则()()1111xxx g x ae axe x ae x x ⎛⎫'=--=+- ⎝+⎪⎭，当0a ≤时，()0g x '<在()0,∞+上恒成立，()g x 递减，不可能有两个零点，当0a >时，存在0x 使得()00g x '=，即01x aex =，当00x x <<时，()00g x '<，当0x x >时，()00g x '>，若()f x 两个不同的零点，即()g x 有两个零点，则()00g x <，即()0000001ln 1ln 1ln0x xg x ax e x x e x a=--=-=-<，解得10a e<<，故答案为：10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．1【分析】根据新运算的定义，得到函数解析式为()()()()112f x kx kx x x =-+-，再根据函数图象关于直线12x =对称，得到函数的四个零点两两对称，列出方程求解，即可得出结果.【详解】由题意可得：()()()()()()()222Δ12112f x kx x k x x x kx kx x x ==--=-+-，0k >，则函数()()()()112f x kx kx x x =-+-有四个零点，从大到小依次是1k -，0，1k，2，因为函数()f x 的图象关于直线12x =对称，所以1,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭与()2,0关于直线12x =对称，1,0k ⎛⎫⎪⎝⎭与()0,0关于直线12x =对称，所以101,121,k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得 1.k =故答案为：1.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于由函数新定义得到函数解析式，确定函数零点，再由对称性，即可求解.12．②③⑤【分析】对于①，利用函数的奇偶性的定义进行判断即可；对于②，由于。

专题11函数与方程最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.基础知识融会贯通1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．重点难点突破【题型一】函数零点所在区间的判定【典型例题】函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．【再练一题】函数f（x）＝log8x的一个零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：函数f（x）＝log8x的连线增函数，∵f（1）＝00，f（2）＝log820，可得f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是（1，2），故选：B．思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理；(2)数形结合法．【题型二】函数零点个数的判断【典型例题】已知偶函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+1）＝f（x﹣1）且x∈[0，1]时f（x）＝x，则函数g（x）＝f（x）﹣log3|x|的零点个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由f（1+x）＝f（1﹣x），取x＝x+1，得：f（x+1+1）＝f（1﹣x﹣1），所以f（x+2）＝f（﹣x），又因为函数为偶函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数．因为当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x，由偶函数可知，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，所以函数f（x）的图象是f（x）＝x在[﹣1，1]内的部分左右平移2个单位周期出现，0求函数g（x）＝f（x）﹣|log3x|的零点个数，就是求两函数y＝f（x）与y＝|log3x|的交点个数，由于log33＝1，所以两函数在（0，3]内有2个交点，根据对称性可知：[﹣3，0）内有2个交点，所以交点总数为4个，所以函数g（x）＝f（x）﹣|log3x|的零点个数为4．故选：D．【再练一题】已知f（x）x，则y＝f（x）的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：已知f（x）x，则y＝f（x）的零点个数，即方程πx的解的个数．当x＞0时，方程即x+1，故该方程解的个数即函数y＝x+1与函数y的图象的交点个数．当x＜0时，方程即x﹣1，故该方程解的个数即函数y＝x﹣1与函数y的图象的交点个数，数形结合可得，方程πx的解的个数为2，故选：C．思维升华函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；(3)利用函数图象的交点个数判断．【题型三】函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数【典型例题】已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在x＝1处取到极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lnx﹣ax+1，∴x＞0，，∵f（x）在x＝1处取到极值，∴f′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，∴实数a的值为1．（2）∵x＞0，，由f′（x）＝0，得x当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，x∈（，+∞），f′（x）＜0，f（x）在上单调递减．∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点；当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，∴f（）是函数f（x）的最大值，当f（）≤0时，f（x）最多只有一个零点，∴f（）＝ln0，解得0＜a＜1，此时，，且f（）＝﹣110，f（）＝2﹣2lna1＝3﹣2lna，（0＜a＜1），令F（a）＝3﹣2lna，则F′（x）0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）＝3﹣e2＜0，即f（）＜0，∴a的取值范围是（0，1）．【再练一题】已知函数的图象过点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2m+3有3个零点，求m的取值范围．【解答】解：（1）因为函数的图象过点．所以，解得a＝2，即，所以f'（x）＝x2﹣x﹣2．由f'（x）＝x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2；由f'（x）＞0，得x＜﹣1或x＞2．所以函数f（x）的递减区间是（﹣1，2），递增区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（2）由（1）知，同理，，由数形结合思想，要使函数g（x）＝f（x）﹣2m+3有三个零点，则，解得．所以m的取值范围为．命题点2 根据函数有无零点求参数【典型例题】已知函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+b，f（1）＝1．（1）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象的对称轴是x＝1，解不等式f（x）＞1．【解答】解：（1）由f（1）＝1得1+a﹣1+b＝1，得a+b＝1，因为函数f（x）没有零点，所以x2+（a﹣1）x+b＝0中△＜0，即（a﹣1）2﹣4b＜0，又b＝1﹣a，所以（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＜0，化为a2+2a﹣3＜0，解得﹣3＜a＜1；（2）函数f（x）的图象的对称轴是x＝1，即，又b＝1﹣a，联立解得a＝﹣1，b＝2．∴x2﹣2x+2＞1，化为（x﹣1）2＞0，解得x≠1，所以f（x）＞1的解集为{x|x≠1}．【再练一题】已知f（x）＝a cos2x+2cos x﹣3（Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y＝f（x）存在零点，求a的取值范围．【解答】解：由已知可得：f（x）＝a cos2x+2cos x﹣3＝2a cos2x+2cos x﹣（3+a）．（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝2cos2x+2cos x﹣4＝2（cos x）2由﹣1≤cos x≤1，得函数y＝f（x）的值域为[，0]（Ⅱ）函数y＝f（x）存在零点，即2at2+2t﹣（3+a）＝0在[﹣1，1]上有解．（1）a＝0时，方程的解t∉[﹣1，1]不满足条件（2）当a≠时，设g（t）＝2t2（）则①当g（﹣1）g（1）≤0时满足条件，此时有1≤a≤5②当g（﹣1）g（1）＞0时时，必有以下四式同时成立即g（﹣1）＞0，g（1）＞0，△≥0，﹣11．解得a＞5，或a综上可得，a的取值范围为（﹣∞，）∪[1，+∞）命题点3 根据零点的范围求参数【典型例题】已知函数f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，其中k∈R．（1）设函数p（x）＝f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，p（x）在（0，3）上有零点，∴p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5在（0，3）上有零点．∴△＝（4k2﹣8k+4）﹣12k﹣60≥0，解得k≤﹣2，或k≥7．若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则p（0）p（3）＝（k+5）（7k+26）＜0 ①，或②，或③，或④．解①得﹣5＜k，解②得k∈∅，解③得k，解④可得k＝﹣2，或k＝7．当k＝7时，p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5＝3x2+12x+12的零点是﹣2，不符合题意所以k＝7舍去．若p（x）在（0，3）上有2个零点，则有，解得k≤﹣2．综上所述，实数k的取值范围为[﹣5，﹣2]．（2）函数q（x），即q（x）．显然，k＝0不满足条件，故k≠0．当x≥0时，q（x）＝2k2x+k∈[k，+∞）．当x＜0时，q（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5∈（5，+∞）．记A＝[k，+∞），B∈（15，+∞）．①当x2＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＜0，且A⊆B，故k≥5；②当x2＜0时，q（x）在（﹣∞，0）上是减函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＞0，且B⊆A，故k≤5；综上可得，k＝5满足条件．故存在k＝5，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）．【再练一题】已知函数f（x）alnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＞0，函数f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）alnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x．①a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；②a＞0时，由f′（x）＞0得x；由f′（x）＜0得0＜x．即f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当a＞0时，由（1）知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，①若1，即0＜a≤1时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（1），f（x）在区间（1，e）上无零点．②若1e，即1＜a＜e2时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e）上单调递增．f（x）min＝f（）a（1﹣lna）．∵f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，∴f（1）0，f（）a（1﹣lna）＜0．f（e）e2﹣a＞0，∴e＜a e2．③若e，即a≥e2时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（1）0，f（e）e2﹣a＜0，f（x）在区间（1，e）上有一个零点．综上，f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点时a的取值范围是（e，e2）．思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法．(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．基础知识训练1．下列函数中，能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意以及零点判定定理可知：只有选项D能够应用二分法求解函数的零点，故选：D．2．方程的根所在的区间为A．B．C．D．【答案】C【解析】令函数，则方程的根即为函数的零点，再由，且，可得函数上有零点．故选：C．3．函数的零点所在的一个区间是A．B．C．D．【答案】C【解析】上的增函数，又，故零点所在对的区间为，选C．4．已知函数若方程有5个解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，当时，，所以函数上是偶函数，当时，单调递减，且当时，，当时，，因此，作出函数的大致图象如图所示：设，则原方程为，因为是方程的根，所以由图象可知，若关于的方程有五个不同的实数解，只需直线与函数的图象有三个不同的公共点，且关于的方程有两个不同的公共点，其中一根，另一根，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选D.5．已知函数满足，当时，；当时，，若函数上有五个零点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】有题意知，则的周期为。

专题12函数与方程--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力学生应掌握函数的零点、方程的解、图象交点（横坐标）三者之间的灵活转化，以实现快速解决问题．二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。

常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.三、自主梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系（☆☆☆）(x0)，(x0)(x0)无交点四、高频考点+重点题型考点一、求解函数零点例1-1（直接求解函数零点）(2019·全国卷⇔)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]所有零点之和为【答案】3π【解析】由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin x cos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x ＝1，⇔x＝kπ，k⇔Z，又⇔x⇔[0,2π]，⇔x＝0，π，2π，即零点有3个.例1-2（二分法求零点）用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)【答案】1.56【解析】注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.对点训练1.（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的所有零点之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】当x<0时2−x>2,所以f(x)=2−|x|=2+x,f(2−x)=x2,此时函数f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−3=x2+x−1的小于零的零点为x=−1+√5;当0≤x≤2时f(x)=2−2|x|=2−x,f(2−x)=2−|2−x|=x,函数f(x)−g(x)=2−x+x−3=−1无零点;当x>2时,f(x)=(x−2)2,f(2−x)=2−|2−x|=4−x,函数f(x)−g(x)=(x−2)2+4−x−3=x2−5x+5大于2的零点为x=5+√5,综上可得.故选A.2对点训练2.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）A ．[－2.1，－1]B ．[4.1，5]C ．[1.9，2.3]D ．[5，6.1]【答案】C 【解析】结合图象可得：ABD 选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点， C 选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点. 故选：C对点训练3．用二分法求函数()y f x =在区间()2,4上的近似解，验证()()240f f <，给定精度为0.1，需将区间等分__________次. 【答案】5 【解析】因为区间()2,4的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次. 故答案为5.考点二、判断函数零点个数 例2-1（直接求解零点）（2020·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.[]t t [ 1.3]2-=-[2.6]2=[]()21f x x x =--【答案】2 【解析】函数的零点即方程的根，函数的零点个数，即方程的根的个数..当时，. 当时，或或（舍）. 当时，，方程无解. 综上，方程的根为，1. 所以方程有2个根，即函数有2个零点. 故答案为：2.例2-2（零点存在定理+单调性）（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数()ln 6f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A ．()2,3 B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6【答案】C 【解析】根据零点存在性定理，若在区间(,)a b 有零点，则()()0f a f b ⋅<，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】由题意得()ln 6f x x x =+-为连续函数，且在(0,)+∞单调递增，(2)ln 240,(3)ln330f f =-<=-<，2(4)ln 42ln 20f e =-<-=，(5)ln 51ln 10f e =->-=，根据零点存在性定理，(4)(5)0f f ⋅<，[]()21f x x x =--[]21x x -=∴()f x []21x x -=[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥01x ≤<[]10,210,2x x x =∴-=∴=1x =[]1,211,211x x x =∴-=∴-=211,1x x -=-∴=0x =1x >[]2121x x x x -=->≥∴[]21x x -=[]21x x -=12[]21x x -=[]()21f x x x =--所以零点一定位于区间()4,5. 故选：C例2-3（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数()f x 是定义在区间()(),00,-∞+∞上的偶函数，且当()0,x ∈+∞时，()()12,0221,2x x f x f x x -⎧<≤⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()2128f x x +=根的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D 【解析】将问题转化为()f x 与228xy =-的交点个数，由解析式画出在(0,)+∞上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数. 【详解】要求方程()2128f x x +=根的个数，即为求()f x 与228xy =-的交点个数，由题设知，在(0,)+∞上的图象如下图示，∴由图知：有3个交点，又由()f x 在()(),00,-∞+∞上是偶函数，∴在,0上也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D.对点训练1.（2020·开原市第二高级中学高三）函数21()f x x x=+，(0,)x ∈+∞的零点个数是（ ）. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解. 【详解】 由于20x >，10x>， 因此不存在(0,)x ∈+∞使得21()0f x x x=+=， 因此函数没有零点. 故选：A .对点训练2-1.（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数的零点所在的大致区间为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】因为函数在R 上单调递减, ,,所以零点所在的大致区间为 故选:D对点训练2-2【多选题】（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）在下列区间中，函数()43x f x e x =--一定存在零点的区间为（ ）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,3)e -C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭31()102f x x x =--+(1,0)-(0,1)(1,2)(2,3)31()102f x x x =--+(2)10f =>(3)0f <(2,3)【答案】ABD 【解析】本题首先可通过求导得出函数()f x 在()ln 4,+∞上是增函数、在(),ln 4-∞上是减函数以及()ln 40f <，然后通过函数()f x 的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断，即可得出结果. 【详解】()43x f x e x =--，()4x f x e '=-，当()0f x '>时，ln 4x >，函数()f x 在()ln 4,+∞上是增函数； 当()0f x '<时，ln 4x <，函数()f x 在(),ln 4-∞上是减函数，()ln4ln 44ln 4314ln 40f e =--=-<，A 项：()1114310f e e--=-=+>+，1211435022f e ⎛⎫=-⨯-=< ⎪⎝⎭，因为()1102f f ⎛⎫-⨯< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点，A 正确；B 项：()430ef e e e -+-=->，()333123150f e e =--=>-，因为ln 43e，()ln 40f <，所以函数()f x 在(,3)e -内存在零点，B 正确；C 项：()00320f e =-=-<，102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，()1002f f ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭， 因为1ln 42，所以函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点，C 错误； D 项：()10f ->，11430e f e e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()110f f e ⎛⎫-⨯< ⎪⎝⎭， 则函数()f x 在11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点，D 正确， 故选：ABD.对点训练3.(2018·全国卷⇔)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【答案】C【解析】令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.考点三、已知零点求参 例3-1（已知零点个数求参）（2021·广东茂名市·高三二模）已知函数()()12log 1,0,(1),0,x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点，则实数a 的取值可以是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B 【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示，将原问题转化为函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，令()()0g x f x x a =--=，即()+f x x a =， 所以要使函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点，则需函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围为(]10-，，故选：B.例3-2（已知零点所在区间求参）函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)【答案】C【解析】因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3，故选C 。

yf)xU y = f (x)f (x) =0f(x) f(x)f(a)f(b )£0 f(x)fa,bf (x) =0f (x) =02f(x)=0:_、八 f (x)f(x) =0f(x)3f(x) X 。

f(x) X 。

f(x)la,b 11 y = f (x)2 1y = f(x )y = f(x)a，b[a,b]x^e (a,b)f%)=0X 。

f(x) =0 f(a)f(b) ：：：0二 0：=."■= =0 ==f (x) =f (x)f(x) f(x) =0 -0 [a,b]f (a)f(b) ：：:0y =f(x )，2 [a,b], f(a) f(b) <0(a,b)cf (x) =0= f(x)la,b I③计算f(c)；(i )若 f (C) =0,则c 就是函数的零点；(ii )若 f (a) ・f(c) ：：：0,则令 b =c (此时零点 & • (a,c)); (iii)若 f (c) f(b) :::0,则令 a = c (此时零点 xo 三(c,b)); ④判断是否达到精确度£，即 a _b vI 则得到零点近似值为a(或b );否则重复②至④步【经典例题】1函数f(x)=2x +x 3 -2在区间(0,1)内的零点个数是()A 、0B 、1C 、22.函数f(x) = 2x + 3x 的零点所在的一个区间是 ()3.若函数f(x)=a x -x-a (a 0且a = 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 _______________________ .A 、(一汽—2] U — 1 , 2B 、( — ^,— 2] U — 1，—寸C 、C 1，1 )u (4,+4D 、(— 1，- 4)u 士+T8 .已知函数 f (x ) = log a x x -b(a > 0,且 a = 1).当 2 v a v 3 v b v 4 时，函数 f (x )的零点x 0 (n, n 1), n N ,贝V n 二 __________ .9. 求下列函数的零点：324(1) f (x)二 x -2x 「x 2 ；(2) f (x)二 x函数 h(x)=g(x)-f(x)在A 、5 1 3［-丄,3］上的零点个数为( ) D 、8B 、6C 、75.函数2f (X )二XCOSX 在区间［0,4］上的零点个数为()A 、 4B 、5C 、6D 、76.函数 f (X)二、X - -cosx 在[0,)内 ( )A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点4.设函数 f(x)(x R)满足 f(-x )=f (x), f(x)=f(2-x),且当 x [0,1]时, a , a — b w]…227.对实数a 和b ,定义运算 “”：a?b =<设函数f(x)= (x 2— 2)?(x — x 2), x € R ,若函数y = f(x)l b , a — b>1.—c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 () A 、(一 2, - 1)B 、(- 1,0)C 、(0,1)D 、 (1,2)3f(x)=x •又函数 g(x)= |xcos (二 x) |,则x10.判断函数y= X3—X—1在区间［1,1.5］内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1).【课堂练习】1、在下列区间中，函数1A、(——,0)42、f (x) = e x• 4x -3的零点所在的区间为1 1 1B、(0,；)C、(；，)4 4 2(D、1 3(越)3、若x°是方程lg x • x = 2的解，贝U x°属于区间A、(0,1)B、(1,1.25)C、(1.25,1.75)下列函数中能用二分法求零点的是()(1.75,2)的零点所在的一个区间是4、函数 f X =2X+3xA . ( -2,-1)B、(-1, 0) C、( 0, 1) (1, 2)5、设函数f x =4sin (2x+1) -x，则在下列区间中函数 f x不存在零点的是A > [-4,-2]6、函数f x = x -cosx 在[0,B > [-2,0]■::)内A、没有零点B、有且仅有一个零点7、若函数f (x)的零点与g(x) =4x ' 2x -2A、f (x) =4x T[0,2] [2,4]有且仅有两个零点的零点之差的绝对值不超过C、0.25,B、f (x) =(x -1)2C、f (x) = e x T有无穷多个零点则f(x)可以是( )1f (x) = l n( x )28下列函数零点不宜用二分法的是()3f (x) = x -8 B、f (x) = In x 3 9、函数f(x)=log 2X+2x-1的零点必落在区间(C、f(x) =X222x 2)2D、f (x) = -x 4x1D[?1]f 1 ：：0, f 1.5 0, f 1.25 ::: 0, A (1,1.25) B (1.25,1.5)C (1.5,2)D14f (x) = 4sin(2 x +1) —xf(x)A 【Y-2】B1-2,0 】C10,2】D〔2,4】x 2 +2x —3,x 兰015f (x)=A 3B 2C 1D 0-2 In x, x 03216f (x) =x +x —2x —2A 1.2B 1.3C 1.4D 1.5172“+X 2=3__________18 2 2f (x)二 x (a T)x a -21119 f(x) =4x+x 2 -2x 3[-1,1]320 f (x) = x 3 2x 2 _3x _6( 0.1)10M 1 )_ , ___ I841Ig x 0 xD (1,2)(0, 1]B (1, 10] (10, 100]D (100,：：)11f(x) =e x 4x -3(-〕0) 4(0,1) 41 3 (越)12f (x)=二 x log 2 x13f x = 3x3x -8 ,3x 3x - 8 = 01,21 1 [8,4]【课后作业】F 列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是34、若函数f(x) =x -3x a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ( )9、用二分法求方程f(x) =0在(1,2)内近似解的过程中得 f (1) ：：： 0, f (1.5) • 0, f (1.25) ：：：0f(1)<0 ,则方程的根在区间()A 、(1.25,1.5)B 、(1,1.25)110、设函数 f(x) = ^x — Inx(x >0)，贝U y = f(x)A 、在区间1，1 , (1, e)内均有零点 C 、(1.5,2) D 、不能确定 ()1、 2、 3、设f(x) =3x -x 2，则在下列区间中，使函数A 、[0,1]B 、[1,2]f (x)有零点的区间是C 、[ — 2,— 1]) [—1,0]已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的A 、函数f(x)在(1,2)或12,3内有零点B 、函数f(x)在(3,5)内无零点C 、函数f(x)在(2,5)内有零点D 、函数f(x)在(2,4)内不一定有零点A 、-2,2B 、〔-2,2】C 、」：，-1A 、(— 1, 0)B 、( 0, 1)C 、(1, 2) 36、求函数f (x) =2x-3x 1零点的个数为( ) A 、1B 、2C 、3D 、(1, e )的零点，则m 的取值范围是( )11A 、(，：：11B、(」W )11C 、(」盲)8方程Igx -x = 0根的个数为( )A 、无穷多B 、3C 、1D 、05、函数f(x)二x lnx 的零点所在的区间为() 7 如果二次函数有两个不同B、在区间匕，1 , (1, e)内均无零点C、在区间e，1内有零点，在区间(1, e)内无零点D、在区间e 1内无零点，在区间(1, e)内有零点1 211、设函数f(x) =1 nx x 1(x 0)，则函数y = f(x)()2A、在区间(0,1), (1,2)内均有零点B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C、在区间(0,1), (1,2)内均无零点D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点312、用二分法研究函数f(x) =X 3x-1的零点时，第一次经计算f(0) ：：:0, f(0.5) . 0,可得其中一个零点X。

高中数学必修一函数与方程知识点总结函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

从本质上讲，函数与方程没是没有什么区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。

可以说，函数的研究离不开方程。

列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

典型例题1：很多时候，在高考数学学习中，如果我们能实现函数与方程的互相转化、接轨，就能达到解决问题的目的。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了联系和变化的辩证唯物主义观点。

一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。

另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

典型例题2：典型例题3：函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答。

函数与方程【考纲要求】1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。

【知识网络】【考点梳理】1．函数零点的理解（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x 轴交点的个数． （2）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点． ②若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点．③若函数()f x 在区间[a ，b]上的图象是一条连续的曲线，则()()0f a f b ⋅<是()f x 在区间（a ，b ）内有零点的充分不必要条件．要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。

2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．（2）求曲线()y f x =与()y g x =的交点的横坐标，实际上就是求函数()()y f x g x =-的零点，即求()()0f x g x -=的根．要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。

3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()()0f a f b ⋅<．函数与方程 函数的零点二分法函数与方程的关系（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-），函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根． 【典型例题】类型一、判断函数零点的位置例1.函数f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 解析：∵f(0)＝1>0，f(－1)＝52-<0，∴选B. 答案：B点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式】已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠且，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),x n n n N ∈+∈,则n = ．.解：用数形结合法 log a x x b =-+ 作出 2log y x =及3log y x =的图象， 作出 3y x =-+及4y x =-+由图象可知，当(2,3)a 在内变动，(3,4)b 在内变动时，显然对数函数图象与直线y x b =-+的公共点皆在区间(2,3)内，即函数()f x 的零点0(2,3)x ∈，故2n =．类型二、确定函数零点的个数例2.二次函数2y ax bx c =++中，0ac <，则函数的零点的个数是( ) A.1 B.2 C.0 D.无法确定 解法1：20,40ac b ac <∴∆=->Q ∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根 ∴函数2y ax bx c =++有两个零点，选B. 解法2：()00ac a f =⋅<Q()()000000a a f f ><⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩或，不论哪种情况，二次函数图象与x 轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B. 点评：可以利用函数图象或方程的判别式.举一反三：【变式】设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2]D ．[2,4]解析：本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x ＋1)＝x 是否有解．如图：显然在[2,4]内曲线y ＝4sin(2x ＋1)，当x ＝54π－12时，y ＝4，而曲线y ＝x ，当x ＝54π－12<4，有交点，故选A.答案：A例3.（2015 安徽三模）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()()12log 1,[0,1)13,[1,)x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()()01F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ） A ．21a- B ．21a-- C ．12a -- D ．12a -答案：D【解析】当10-x ≤<时，10x ≥->，当1x ≤-时，1x -≥，()f x Q 为奇函数0x <Q 时，()()()12log 1,[1,0)13,(,1]x x f x f x x x ⎧--+∈-⎪=--=⎨⎪-+--∈-∞-⎩画出()y f x =和()01y a a =<<的图像如图所示：共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则1232x x +=-，4532x x +=，而()132log 1x a --+=即()23log 1x a -+= 312a x ∴-= 即312a x =-所以1234512ax x x x x ++++=-，故选D.举一反三：【变式1】（2015 河东区一模）函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：C【解析】由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞；求函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数等价于求函数ln y x =和函数2y x =-的图像在()0,+∞上的交点个数，在同一个坐标系下画出两个函数的图像如下：由图得，两个函数图像有两个交点，故对应函数有两个零点.故选C.【变式2】已知函数2()1f x x =-，()g x x a =+.若方程()()0f x g x -=有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围。

2024年高三数学高考知识点总结一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义及函数关系的表示方法- 函数的定义域、值域和区间- 函数的奇偶性、周期性及单调性2. 一次函数与二次函数- 一次函数的性质及图像- 二次函数的性质及图像- 一次函数与二次函数的应用3. 指数函数与对数函数- 指数函数的性质及图像- 对数函数的性质及图像- 指数函数与对数函数的应用4. 三角函数- 正弦函数、余弦函数、正切函数的性质及图像- 三角函数之间的关系及图像的性质- 三角函数的应用5. 幂函数与反比例函数- 幂函数的性质及图像- 反比例函数的性质及图像- 幂函数与反比例函数的应用6. 方程和不等式- 一元一次方程与一元一次不等式的解法- 一元二次方程与一元二次不等式的解法- 方程与不等式的应用7. 绝对值方程与绝对值不等式- 绝对值方程与绝对值不等式的解法及应用- 带有绝对值的一元二次方程的解法二、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质- 数列的定义及常见数列的形式- 等差数列与等比数列的性质及通项公式2. 数列的通项公式与求和公式- 等差数列的通项公式及前n项和公式- 等比数列的通项公式及前n项和公式- 递推数列的通项公式及前n项和公式3. 数学归纳法- 数学归纳法的基本思想及应用- 利用数学归纳法证明不等式4. 递归数列与逼近法- 递归数列的定义及应用- 逼近法解决数学问题三、三角恒等变换1. 三角函数的和差化积与积化和差- 正弦、余弦、正切的和差化积公式- 正弦、余弦、正切的积化和差公式2. 三角函数的倍角化半角与半角化倍角- 正弦、余弦、正切的倍角化半角公式- 正弦、余弦、正切的半角化倍角公式3. 三角方程的基本解法- 使用三角函数的恒等变换解三角方程- 利用等效代换解三角方程4. 三角函数的图像与性质- 三角函数图像的性质及平移、伸缩、翻转操作- 三角函数图像的综合性质及应用四、平面几何与立体几何1. 二维几何相关知识- 平面几何基本概念及性质- 二维几何形状的性质与判定2. 三角形相关知识- 三角形的内角和与外角和的性质- 三角形的中线、高线、角平分线的性质及应用3. 圆相关知识- 圆的基本概念及性质- 弧长与扇形面积的计算- 切线与切线定理的应用4. 直线与圆的位置关系- 直线与圆的位置关系的判定及性质- 直线与圆的切线与切点的性质与计算5. 空间几何相关知识- 空间几何基本概念及性质- 空间几何形状的性质与判定6. 空间几何立体的计算- 空间几何立体的体积与表面积的计算- 立体的展开图与折叠图的应用五、概率与统计1. 概率的基本概念与性质- 随机事件与样本空间的概念- 概率的定义及性质- 概率的计算方法2. 排列、组合与概率计算- 排列与组合的基本概念与计算方法- 包含条件的排列与组合的计算方法- 概率计算中的排列与组合问题的应用3. 随机变量与概率分布- 随机变量的定义及性质- 离散型和连续型随机变量的概率分布- 随机变量的数学期望与方差的计算4. 概率统计与抽样调查- 总体与样本的概念及表示方法- 抽样调查的基本方法与误差分析- 统计量的计算与应用六、向量与矩阵1. 向量的基本概念与性质- 向量的定义及表示方法- 向量的数量乘法、加法、减法与向量的线性相关性2. 向量的线性组合与线性方程组- 向量的线性组合与线性方程组概念- 线性方程组的解的判定与求解3. 矩阵的基本概念与运算- 矩阵的定义及表示方法- 矩阵的乘法、加法、减法与矩阵的性质4. 矩阵的转置、行列式与逆矩阵- 矩阵的转置运算与性质- 矩阵的行列式及其性质与应用- 矩阵的逆矩阵的定义与求解5. 矩阵的秩与线性方程组- 矩阵的秩的定义及性质- 秩与线性方程组解的存在性与唯一性的关系这只是对____年高三数学高考知识点进行的一个预测总结，具体内容还需要参考教材或高考大纲进行复习和学习。

肄高高中高高中数学函数与方程知识点及例题解析膂【知识梳理】蒆1、函数零点的定义芆(1 )对于函数y =f(x)，我们把方程f(x) =0的实数根叫做函数y=f(x)的零点。

蒄(2)方程f (x) =0有实根二函数y = f (x)的图像与x轴有交点二函数y = f (x)有零点。

因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程f(x) =0，所得实数根就是f(x)的零点薀(3 )变号零点与不变号零点蕿①若函数f(x)在零点X。

左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。

芆②若函数f(x)在零点X。

左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。

蚁③若函数f(x)在区间a,b ］上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)c0是f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。

莂2、函数零点的判定芈(1)零点存在性定理：如果函数y =f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的曲线，并且有 f (a) f (b) ：：：0，那么，函数y =f(x)在区间a,b内有零点，即存在& (a,b)，使得“畑=0,这个x°也就是方程f(x) =0的根。

莆(2)函数y二f(x)零点个数(或方程f(x) =0实数根的个数)确定方法肂① 代数法：函数y=f(x)的零点=f(x)=0的根；螀②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

肇(3)零点个数确定菜厶.0：= y=f(x)有2个零点二f(x)=0有两个不等实根；蒃,■：- 0^ y = f(x)有1个零点二f(x) =0有两个相等实根；蒂也<0二y = f(x)无零点二f(x)=0无实根；对于二次函数在区间hb］上的零点个数，要结合图像进行确定•1、2、肀二分法薅(1)二分法的定义：对于在区间［a,b］上连续不断且f(a).f(b)：：：o的函数y=f(x)，通过不断地把函数y = f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法；袄(2)用二分法求方程的近似解的步骤：羀① 确定区间［a,b］,验证f(a) f (b) ：：:0,给定精确度；;衿②求区间(a,b)的中点c；蚅③计算f (c)；芅(i )若f(c) =0,则c就是函数的零点;蚂(ii)若f (a) f (c) <0 ,则令b=c(此时零点沧(a,c));蚈(iii)若 f (c)(b) ：：：0,则令a = c(此时零点x0：=(c,b));螅④判断是否达到精确度S即a-b 则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步莂【经典例题】腿1 •函数f(x)=2x+x‘ - 2在区间(0,1)内的零点个数是( )袅2•函数f(x)= 2x+ 3x 的零点所在的一个区间是 ()袁3•若函数f(x)二a x-x-a (a 0且a=1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ____________________ .蒀4.设函数 f(x)(x ：二 R)满足 f( -x )=f(x), f(x)=f(2 —X)，且当 x ：二［0,1］时,1 3则函数h (x)=g(x)-f(x)在 ［- — ,—］上的零点个数为()2 2袅 A、5 B 、6 C 、7 D 、82膃5•函数f(X)=XCOSX 在区间［0,4］上的零点个数为( )艿 A 、4 B 、5 C 、6 D 、7膈6.函数 f(x) =、j x -COSX 在［0,：：)内 ()羅A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点 C 、有且仅有两个零点 D 、有无穷多个零点a, a — b 三122薄7•对实数a 和b ,定义运算？”： a?b =〈设函数f(x) = (x 2— 2)?(x — x 2), x € R ，若函数y =f(x)b, a — b>1.—c 的图象与X 轴恰有两个公共点，则实数 C 的取值范围是()肅8.已知函数f (x ) = log a x x -b(a> 0,且a = 1).当2 v a v 3 v b v 4时，函数f (x )的零点x ° (n, n 1), n N ,贝V n 二 ____ .羅9.求下列函数的零点：32葿(1) f(x)二x -2x -x 2 ；羀10.判断函数y = x 3— x — 1在区间［1,1.5］内有无零点，如果有，求出一个近似零点 (精确度0.1).螃 A 、(- 2, - 1) B 、( - 1,0)C 、(0,1)D 、 (1,2)3f(x)=x .又函数 g(x)= |xcos (二肁 A、(—汽一2］ U (2) f(x)二x-£.XB 、(―汽—2］ U羇C 、-1,3D 、3U膄【课堂练习】肂1、在下列区间中，函数 f(x)二e x• 4x -3的零点所在的区间为 (蝿2、若X 0是方程lg x x=2的解，贝y X o 属于区间芄A、 (0,1) B 、 (1,1.25) C 、 (1.25,1.75)蒃3、下列函数中能用二分法求零点的是袃 4、函数 f x =2x+3x 的零点所在的一个区间是莁 6、函数 f X = '. x -cosx 在［0, •：：)内肃8、下列函数零点不宜用二分法的是()蒄9、函数f(x)=log 2X+2X-1的零点必落在区间C 、 *1D 、(1,2)薈 A . ( -2,-1) (-1, 0) C 、( 0, 1)(1 , 2)莄5、设函数f X =4sin (2x+1) -x ，则在下列区间中函数f X 不存在零点的是袄 A、［-4,-2］B 、［-2,0］C 、［0,2］D 、［2,4］1 膁 A 、(— — 0)4?1B 、匕C 、(1,1) 4 2D 、D 、 (1.75,2)莇 A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点 有无穷多个零点蒄7、若函数f (x)的零点与g(x^4X2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25, 则f (x)可以是()芅 A、 f (x) = 4x -12f(xH(x-1)f (x) = e x-11f (x)=ln(x-23莀A、 f(x)二x -8 B 、 f(x)=lnx 3C 、f(x)=x 22、、2x 22f (x) _ -x 4x11莃10、lg x 0有解的区域是( )x羁A、(0, 1] B、(1, 10] C、(10, 100]莆11、在下列区间中，函数f(x)=ex4x -3的零点所在的区间为()1 1 11 13蚅A、(-—,0)B、(0，;) C、(~ - ) D、(二，)4 4 4 2 2 4 肄12、函数f (x^ ： x log 2 x的零点所在区间为( )蚀A、[0,1]8C、1D、[?1]螀13、设f x]=3x• 3x -8 ,用二分法求方程3x• 3x -8 =0在x三i：1,2内近似解的过程中得f 1 :: 0, f 1.5 0, f 1.25 :：: 0,则方程的根落在区间( )肅A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C (1.5,2) D、不能确定蒂14、设函数f(x) =4sin(2x，1)-x，则在下列区间中函数 f (x)不存在零点的是( )螂A、1-4, -2\B、[-2,ol C、〔0,21 D、12,4 1x2 +2x_3 x 兰0袀15、函数f (x) ，零点个数为(l—2+l nx,x:>0C、1 蒆16、若函数f(x) =x3 x2 -2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:羀那么方程x3・X2-2X-2=0的一个近似根(精确到0.1)为 ( )羄A、1.2 B、 1.3 C、1.4 D、1.5莄17、方程2 -・x2=3的实数解的个数为 ________________ .聿18、已知函数f(x) =x2• (a2 -1)x a _2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数2聿19、判断函数f (x) =4x • x2 _^x3在区间［-1,1］上零点的个数，并说明理由。

函数【】函数的概念〔1〕函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法那么f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应〔包括集合A，B以及A到B的对应法那么f〕叫做集合A到B的一个函数，记作f:A B．②函数的三要素:定义域、值域和对应法那么．③只有定义域相同，且对应法那么也相同的两个函数才是同一函数．〔2〕区间的概念及表示法①设a,b 是两个实数，且a b，满足ax b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a xb，或ax b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x a,x a,x b,x b的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：对于集合{x|a x b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须b．3〕求函数的定义域时，一般遵循以下原那么：f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤y tanx中，x k(k Z)．2⑥零〔负〕指数幂的底数不能为零．⑦假设f(x)是由有限个根本初等函数的四那么运算而合成的函数时，那么其定义域一般是各根本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：假设f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a g(x)b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．4〕求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法根本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小〔大〕数，这个数就是函数的最小〔大〕值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比拟简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：假设函数y f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)x c(y)0，那么在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用根本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【】函数的表示法5〕函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．〔6〕映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法那么f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应〔包括集合A，B以及A到B的对应法那么f〕叫做集合A到B的映射，记作f:A B．②给定一个集合A到集合B的映射，且aA,b B．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〗函数的根本性质】单调性与最大〔小〕值1〕函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质(版)高考文科数学函数专题讲解及高考真题(含答案)如果对于属于定义域 I 内〔1〕利用定义某个区间上的任意两个1yy=f(X)f(x 2)〔2〕利用函数 12<的单调性自变量的值x、x ,当x．．函数的单调性x 2时，都有 f(x 1)<f(x2)，．． ．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数． ．．．如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个 自变量的值 x 1、x 2，当x 1< ．． x 2时，都有 f(x 1)>f(x2)，．． ．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区 间上是减函数．．．． f(x 1)o x 1x 2xy y=f(X)f(x 1)f(x 2)o x 1 x 2x〔3〕利用函数图象〔在某个区间图象上升为增〕4〕利用复合函数1〕利用定义2〕利用函数的单调性3〕利用函数图象〔在某个区间图象下降为减〕〔4〕利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数yf [g(x)]，令ug(x)，假设yf(u)为增，u g(x)为增，那么y f[g(x)]为增；假设y f(u)为减，ug(x)为减，那么yf[g(x)]为增；假设y f(u)为增，ug(x)为减，那么yf[g(x)]为减；假设yf(u)为减，u g(x)为增，那么 y f[g(x)]为减． 〔2〕打“√〞函数 f(x) x a(a0)的图象与性质xf(x)分别在( , a]、[a,)上为增函数，分别在[a,0)、(0,a]上为减函数．〔3〕最大〔小〕值定义①一般地，设函数 y f(x)的定义域为I ，如果存在实数 M 满足：〔1〕对于任意yox的xI ，都有 f(x) M ；〔2〕存在x 0I ，使得f(x 0)M．那么，我们称M 是函数f(x)的最大值，记 作f max (x) M ．②一般地，设函数yf(x)的定义域为I ，如果存在实数m 满足：〔1〕对于任意的xI ，都有f(x) m ；〔2〕存在x 0I ，使得f(x 0)m ．那么，我们称m 是函数f(x)的最小值，记作f max (x)m ．】奇偶性4〕函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 定义图象 判定方法性质如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数．．．．．．．．．．．f(x)叫做奇函数．．．．函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数．．．．．．．．．．f(x)叫做偶函数．．．．②假设函数f(x)为奇函数，且在x 0处有定义，那么f(0)0．1〕利用定义〔要先判断定义域是否关于原点对称〕2〕利用图象〔图象关于原点对称〕1〕利用定义〔要先判断定义域是否关于原点对称〕2〕利用图象〔图象关于y轴对称〕③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数〔或奇函数〕的和〔或差〕仍是偶函数〔或奇函数〕，两个偶函数〔或奇函数〕的积〔或商〕是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积〔或商〕是奇函数．〖补充知识〗函数的图象1〕作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质〔奇偶性、单调性〕；④画出函数的图象．利用根本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种根本初等函数的图象．①平移变换y f(x)②伸缩变换y f(x)y f(x)③对称变换h0,左移h个单位yf(xh)yf(x)k0,上移k个单位yf(x)k h0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位01,伸y f(x)1,缩0A1,缩y Af(x)A1,伸y f(x)y f(x)y f(x)yf(x) x轴f(x)y f()y轴y f() y x x原点f(x)y f(x)直线yxy f1(x) y去掉y轴左边图象y f(|x|)保存y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保存x轴上方图象y|f(x)|将x轴下方图象翻折上去2〕识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．3〕用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形〞的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 根本初等函数 (Ⅰ)〗指数函数】指数与指数幂的运算〔1〕根式的概念①如果x na,a R,xR,n1，且n N ，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的 n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号 n a 表示，负的n 次方根用符号 na表示；0的n 次方根是 0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，a 0 ．③根式的性质：(n a)na ；当n 为奇数时，n a na ；当n 为偶数时，n a n|a|a(a0)．a(a0)〔2〕分数指数幂的概念mn a m(a①正数的正分数指数幂的意义是：a n0,m,n N,且n 1)．0的正分数指数幂等于0．mmn (1)m (a②正数的负分数指数幂的意义是：an(1)n 0,m,nN,且n1)．0的负分数指数幂没aa有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．〔3〕分数指数幂的运算性质①a r a s a rs (a 0,r,sR)②(a r )s a rs (a0,r,sR)③(ab )r rb r (a 0,b 0,r )aR【】指数函数及其性质〔4〕指数函数函数名称指数函数定义函数ya x (a0且a1)叫做指数函数图象a 10 a1yya xyya xy1y1(0,1)(0,1)Ox Ox 定域R域(0,)定点象定点(0,1)，即当x0，y1．奇偶性非奇非偶性在R上是增函数在R上是减函数a x1(x0)a x1(x0)函数的a x1(x0)a x1(x0)化情况a x a x1(x0)1(x0) a化象的影响在第一象限内，a越大象越高；在第二象限内，a越大象越低．〖〗数函数【】数与数运算〔1〕数的定①假设a x N(a0,且a 1)，x叫做以a底N的数，作x log a N，其中a叫做底数，N叫做真数．②数和零没有数．③数式与指数式的互化：xlog a N a x N(a0,a1,N0)．〔2〕几个重要的数恒等式log a10，log a a1，log a a b b．〔3〕常用数与自然数常用数：lgN，即log10N；自然数：lnN，即log e N〔其中e⋯〕．〔4〕数的运算性如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：log a M log a N log a(MN)②减法：log a M log a Nlog a MN③数乘：nlog a M log a M n(n R)④a log a N N⑤log bM n nlogaM(b0,n)log a Nlog b N且b1)ab R⑥换底公式：(b0,log b a【】对数函数及其性质5〕对数函数函数名称对数函数定义函数ylog a x(a0且a1)叫做对数函数a10a1x1x1y ylog a x y ylog a x图象(1,0)O(1,0)x O x 定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数log a x0(x1)log a x0(x1)函数值的log a x0(x1)log a x0(x1)变化情况log a x0(0x1)log a x0(0x1) a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数y f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f1(y)，习惯上改写成yf1(x)．〔7〕反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f(x)中反解出x f1(y)；③将x f1(y)改写成y f1(x)，并注明反函数的定义域．〔8〕反函数的性质①原函数y f(x)与反函数y f1(x)的图象关于直线yx对称．②函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．③假设P(a,b)在原函数y f(x)的图象上，那么P'(b,a)在反函数y f1(x)的图象上．④一般地，函数yf(x)要有反函数那么它必须为单调函数．〖〗幂函数〔1〕幂函数的定义一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．〔2〕幂函数的图象〔3〕幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，那么幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，那么幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q〔其中p,q互pq q质，p和q Z〕，假设p为奇数q为奇数时，那么yx p是奇函数，假设p为奇数q为偶数时，那么yx p是偶q函数，假设p为偶数q为奇数时，那么y x p是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，假设0x1，其图象在直线y x下方，假设x1，其图象在直线y x上方，当10x1yx上方，假设x1，其图象在直线时，假设，其图象在直线x下方．〖补充知识〗二次函数〔1〕二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)ax2bx c(a0)②顶点式：f(x)a(x h)2k(a0)③两根式：f(x)a(x x1)(x x2)(a0)〔2〕求二次函数解析式的方法①三个点坐标时，宜用一般式．②抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大〔小〕值有关时，常使用顶点式．③假设抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求f(x)更方便．〔3〕二次函数图象的性质①二次函数f(x)ax2bx c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x b,顶点坐标是2ab4acb2 (,)．2a4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,b]上递减，在[b,)上递增，当xb时，2a2a2af min(x)4acb 2；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,b]上递增，在[b,)上递减，4a2a2a当x b4acb2时，f max(x)4a．2a③二次函数f(x)ax2bx c(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2||a|．〔4〕一元二次方程ax2bxc0(a0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这局部知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理〔韦达定理〕的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程ax2bx c 0(a 0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x) ax2bx c，从以b 下四个方面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置：x ③判别式：④端点函数2a值符号．〔5〕二次函数f(x)ax 2 bxc(a 0)在闭区间[p,q]上的最值设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m ，令x 01(p q)．〔Ⅰ〕当a0时〔开口向上〕2①假设bp ，那么mf(p) ②假设p bq ，那么mf( b ) ③假设b q ，那么mf(q)2a2a2a2affff(q)(p)(q)(p)OxOxOxfbbf((p)bf()f f())2a2a 2a(q)b Mf(q)bf(p)①假设x 0，那么②x 0，那么M2a2ax 0f(q)O gxff((p)b )(Ⅱ)当a02a时(开口向下)①假设bf(p)②假设pp ，那么M2af(b)2af(p)(p)Oxfb(q)，那么mf(q)①假设x 0 2af(b ) f 2a(p)x 0gOxf (q)f(p)xgOxf f(b)2a(q)b q ，那么Mf( b)③假设b2a2a2af(b)2aff f (Ox(q)f(q)Ob x 0，那么mf(p)．f②2a(p)f (b)2a(q)xgO xf (p)q ，那么Mf(q)) 2ax第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x 叫做函数yf(x)(xD)的零点。

高中数学必考知识点函数与方程应用题解析及解题技巧总结高中数学必考知识点：函数与方程应用题解析及解题技巧总结在高中数学中，函数与方程应用题是必考的知识点之一。

通过运用函数与方程的知识，可以解决各种实际问题。

本文将解析一些常见的函数与方程应用题，并总结解题的技巧。

一、线性方程应用题1. 等速度问题在等速运动问题中，常会涉及到线性方程的应用。

假设某车以每小时50公里的速度行驶，若行驶t小时，求行驶的距离。

解题步骤：- 设行驶的距离为D，根据速度=距离/时间的关系，得到方程50 =D/t。

- 通过化简方程，可以求解出D = 50t。

2. 斜率问题斜率是线性方程中的一个重要概念，它描述了函数图像的变化趋势。

在应用题中，我们可以通过斜率来解决一些问题。

例如，在一个坡度为2/3的斜坡上，小明以每分钟1米的速度上升，求他上升2米需要多长时间。

解题步骤：- 设上升的时间为t分钟，根据速度=距离/时间的关系，得到方程1 = 2/3t。

- 通过化简方程，可以求解出t = 3/2分钟。

二、二次函数应用题1. 抛物线问题二次函数在物理学中有广泛的应用，常用于描述天体运动、抛体运动等。

在抛物线问题中，我们可以通过二次函数的性质解决一些实际问题。

例如，一个飞行器以初速度40米/秒从水平面上升，经过4秒钟后开始下降，请问其最高点的高度是多少？解题步骤：- 设最高点的高度为h，根据抛物线的性质，最高点的时间为0轴对称点的横坐标。

- 0轴对称点的横坐标为 t = 4/2 = 2秒。

- 将t = 2代入二次函数中得到高度，计算得到h = 40*2 - 9.8*2^2 = 40米。

2. 面积问题二次函数的图像可以形成一个抛物形状，通过求解该抛物线与x轴之间的面积，可以解决一些面积问题。

例如，一个花坛的形状是一个抛物线，已知顶点坐标为(2, 5)，边长为4的正方形位于抛物线与x轴之间，求正方形的面积。

解题步骤：- 设正方形的边长为a，根据抛物线的性质，正方形位于x=2附近，边长为a的正方形与抛物线有两个交点。