人教版高中数学选修1-1教学讲义-导数及其应用

人教版高中数学选修1-1教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题课型授课日期及时段导数的计算□预习课□同步课■复习课□习题课教学内容导数的计算【学习目标】1．知识与技能（1）了解求基本初等函数导函数的基本方法和步骤，掌握计算一般函数y=f(x)在x处导数的步骤．0（2）熟练记忆8个基本初等函数的导数公式，并能应用公式求简单函数的导数．（3）了解两个函数的和、差、积、商的求导公式，会运用上述公式，求含有和差积商综合运算的函数的导数．（4）了解函数的复合过程，并能求复合函数的导数．2．过程与方法（1）通过求运动物体在某一时刻的速度，抽象概括出计算函数y=f(x)在x=x处的导数的步骤的过程以及由函数y=f(x)在x处导数与所给区间上导函数的过程，体会由特殊到一般的数学研究方法，领会它们之间的联0系与不同，体会算法思想在求导过程中的渗透．（2）经历由两个函数的和差积商的运算法则的求导过程，培养推理、演绎、归纳、抽象的数学思维形式；并通过对基本初等函数间进行四则运算和复合后所得函数求导数，培养学生的运算能力．3．情感、态度与价值观在本节的学习中，认识到数学推理的严谨细致，感受特殊与一般的数学逻辑的关系；提高对导数重要性的认识，利用导数解决与切线的有关问题，体会导数在解决问题中的强大作用．【要点梳理】第1页共18页⎝ x ⎭' '(tan x)'= ⎛sin x ⎫⎪ '=(cot x )'= ⎛ cos x ⎫⎪ '=要点一：基本初等函数的导数基本初等函数导数 特别地常数函数 y = c (c为常数)y ' = 0π ' = 0 ， e '=0幂函数 y = x n (n为有理数)y = n ⋅ x n -1 ⎛ 1 ⎫⎪' = 1 x 2 ， ( x )= 1 2 x指数函数 y = a xy ' = a x ⋅ ln a(e x) =ex对数函数 y = log xa正弦函数 y = sin x余弦函数 y = cos xy ' = 1x ⋅ ln ay ' = cos xy ' = - sin x(ln x )' = 1x 1⎝ cos x ⎭cos 2 x 1⎝ sin x ⎭ sin 2 x要点诠释：1．常数函数的导数为 0，即 c ' =0（ c 为常数）．其几何意义是曲线 f ( x ) = c （ c 为常数）在任意点处的切线平行于 x 轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数 n 与自变量的（ n －1）次幂的乘积，即 ( x n )' = nx n -1 (n ∈ Q ) ．3．在数学中，“ ln ”表示以 e (e=2.71828 K ) 为底数的对数；“ lg ”表示以 10 为底的常用对数． 4．基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．要点二：和、差、积、商的导数要点诠释：1． 上述法则也可以简记为：第2页共18页（ⅲ）商的导数： u ⎫ ' = ⎢ g ( x ) ⎥ g 2 ( x ) 当 f ( x) = 1 时， ⎢' ==- ( g ( x ) ≠ 0) ． ⎣ g ( x) ⎦g 2 ( x )g 2 ( x )（1）类比： (uv)' = u ' v + uv ' ， u ⎫ ' = （2）注意： ⎛ u ⎫ ⎪ ' ≠ 且 ⎪ ' ≠（ⅰ）和（或差）的导数： (u ± v)' = u '± v ' ，推广： (u ± u ± L ± u )' = u ' ± u ' ± L ± u ' ．1 2n12n（ⅱ）积的导数： (u ⋅ v)' = u ' v + uv ' ，特别地： (cu )' = cu ' （c 为常数）．⎝ v ⎭u ' v - uv ' v 2(v ≠ 0) ，两函数商的求导法则的特例⎡ f ( x ) ⎤ f '(x) g ( x ) - f ( x ) g '(x)' = ( g ( x ) ≠ 0) ，⎣ ⎦⎡ 1 ⎤ 1'⋅ g ( x ) - 1⋅ g '(x) g '(x)⎥这是一个函数倒数的求导法则．2．两函数积与商求导公式的说明⎝ v ⎭u ' v - uv ' v 2 （v≠0），注意差异，加以区分．⎝ v ⎭ v ' ⎝ v ⎭v 2 u ' ⎛ u ⎫ u ' v + uv '（v≠0）．3．求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．例如，要对函数y = (x + 2)(x 1)2求导，可先因式分解将该函数化为 y = x 3-3x +2 ，再利用加法和减法法则求导．要点三：复合函数的导数1．复合函数的概念对于函数 y = f [ϕ ( x )] ，令 u = ϕ ( x ) ，则 y = f (u ) 是中间变量 u 的函数， u = ϕ ( x ) 是自变量 x 的函数，则函数 y = f [ϕ ( x )] 是自变量 x 的复合函数．例如，函数 y=ln (sin x ) 是由 y=ln u 和 u=sin x 复合而成的．要点诠释： 常把 u = ϕ ( x ) 称为“内层”， y = f (u ) 称为“外层” ．2．复合函数的导数设函数 u = ϕ ( x ) 在点 x 处可导，u ' = ϕ '(x) ，函数 y = f (u ) 在点 x 的对应点 u 处也可导 y ' = f '(u ) ，则复x u第 3 页 共 18 页x 2+2log x ； 5 '+2(log x )' = x - 5 ⎪ '+2 (log x )' = x 5 + （1） y ' = ⎪ 5 x ln 3⎝ 5 x 2 ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 3 1⎝ ⎭ ⎝ x ⎭' '合函数 y = f [ϕ ( x )] 在点 x 处可导，并且 y ' = y ' ⋅ u ' ，或写作 f ' [ϕ ( x )] = f '(u) ⋅ϕ '(x) ．x uxx3．复合函数求导一般步骤（1）分层：将复合函数 y = f [ϕ ( x )] 分出内层、外层．（2）各层求导：对内层 u = ϕ ( x ) ，外层 y = f (u ) 分别求导．得到ϕ '(x), f '(u)（3）求积并回代：求出两导数的积： f '(u) ⋅ϕ '(x) ，然后将u 用ϕ ( x )替换 ，即可得到 y = f [ϕ ( x )] 的导数．要点诠释：1． 整个过程可简记为：分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．2． 选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．【典型例题】类型一：导数的计算例 1． 求下列各函数的导数：（1） y =13（2） y = 5 1x 3 + π ；x（3） f ( x ) = ( x 2 + 1)(2x - 3) ；（4） y = 1 - ln x．1 + ln x【思路点拨】先将各函数写出初等函数的和、差、积、商的形式，再利用求导法则展开，最后代入各初等函数的导数值．【解析】⎛ 1 ⎫ ⎛ 2 ⎫ 2 - 7 2 3 3．2 （2） y ' = x 5 ⎪ ' ⎪ '+ π '= x 5 + 5 x 2．（3）法一：去掉括号后求导．∵ f ( x )=( x 2 + 1)(2x - 3)=2 x 3 - 3x 2 + 2 x - 3 ，∴ f '(x) = 2 (x 3 ) - 3 (x 2 )+ 2 x '= - 36 x 2 - 6 x + 2 ．法二：利用两个函数乘积的求导法则第 4 页 共 18 页= x2 ==f '(x) = ( x 2 + 1)'⋅ (2 x - 3) + ( x 2 + 1)⋅ (2 x - 3)'= x(2 x －3) + (x 2 + 1)⨯ 2= 6 x 2－6 x + 2.（4） y '= (1 - ln x )'⨯ (1 + ln x ) (1 - ln x )⨯ (1 + ln x )'(1 + ln x )21 1- (1+ ln x) - (1- ln x)x (1+ ln x)2=-2．x(1+ ln x)2【总结升华】（1）求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简；（2）求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．（3）如果遇到求多个积的导数，可以逐层分组进行；举一反三：【变式 1】求下列函数的导数：（1） y = 2 x 3 - 3x 2 + 5x - 4 ；（2） y = (2 x 2 + 3)(3x - 2) ；（3） y =x + 3 x 2 + 3；（4） f ( x ) = tan x ．【答案】（1） y ' = (2 x 3 - 3x 2 + 5x - 4)' = (2 x 3 )' - (3x 2 )' + (5 x )' - 4' = 6 x 2 - 6 x + 5 ．（2）法一：直接求导（利用乘法法则）：y ' = (2 x 2 + 3)'g(3x - 2)+(2 x 2 + 3)g(3x - 2)'=4x g(3x - 2) + 3(2 x 2 + 3)= 18x 2 - 8x + 9 ．法二：展开后求导（利用加法和减法法则）：y = (2 x 2 + 3)(3x - 2) = 6 x 3 - 4 x 2 + 9 x - 6 ，∴ y ' = (6 x 3 - 4 x 2 + 9 x - 6)' = (6 x 3 )' - (4 x 2 )' + (9 x )' - 6' = 18 x 2 - 8 x + 9 ；( x + 3)'g( x 2 + 3) - ( x + 3)g( x 2 + 3)'( x 2 + 3) - ( x + 3) ⋅ 2 x- x 2 - 6 x + 3 （3） y ' =．( x 2 + 3)2( x 2 + 3)2( x 2 + 3)2第 5 页 共 18 页（4）f'(x)=(sin x（3）y=1（1）y'=(2x sin x)'+ cos x⎪'⎛-1⎫=x sin x+2x cos x+ ⎪cos x+(-sin x)⋅18-+4log x 4x3(2+log x)-8x3+4x3log x-lg ax ln a=ln a=x3．a2（3）∵y=1=(sin x)'⋅cos x-sin x⋅(cos x)'cos x⋅c os x-sin x(-sin x)1 )'===．cos x(cos x)2cos2x cos2x【变式2】求下列函数的导数：（1）y=2x sin x+1xcos x；x4（2）y=；2+log xa1+；1-x1+x（4）y=x gsin x gln x．【答案】⎛1⎫⎝x⎭1-2⎝x2⎭11=(x-2-x-1)sin x+(2x2-x-2)cos x．1 x（2）y'=a a12-2(1-x)'2+=，∴y'=．1-x1+x1-x(1-x)2(1-x)2（4）y'=(xsinx)'⋅lnx＋xsinx⋅(lnx)'=⎡⎣x'⋅sinx+x⋅(sinx)'⎤⎦lnx＋sinx=(sinx＋xcosx)lnx＋sinx．例2．求下列复合函数的导数：（1）y=ln(8x)；（2）y=5e2x+1；（3）y=sin2x－cos2x.【思路点拨】利用复合函数的求导步骤，按照分层——求导——回代的顺序逐步进行．【解析】（1）第一步：分层：令u=8x，则y=ln u．第6页共18页u 8x x法二：∵ y ＝ 2 sin(2 x － ) )，∴ y '＝ 2 cos(2x － ) ·2＝2 2sin(2x ＋ )．π( ) ，所以 =5e ⋅ ⎡(e 2)2)2= 10e 2x +1 ．因为 y =5e2x +1=5e ⋅ e 2'1 ⎣⎦第二步：求导： u ' = 8 ， y ' = x u 1 u．1 1 1第三步：回代： y '= y ' ⋅ u ' = 8 ⋅ = 8 ⋅ = ．u x （2） 第一步：分层：设 y ＝5e u ，u ＝2x ＋ ，第二步：求导： y ' ＝5e u ，u ' ＝2 ，ux第三步：回代： y '= y ' ⋅ u ' = 10e u =10e 2 x +1 ．ux（3）法一： y '＝(sin 2 x －cos2 x)'＝(sin 2 x )'－(cos2 x )'＝2cos2 x ＋2sin 2 x ＝2 2 sin(2 x ＋π) ．4ππ 444【思路点拨】（1）复合函数求导的本质是逐层求导，在求导的过程中把一部分量或式子暂时当作一个整体，即中间变量，求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．（2）通过恒等变换，将复合函数化简为初等函数和、差、积、商的形式，再通过四则运算求导法则计算导数，从而简化步骤，减少失误．比如，本题第（1）题的另一解法：x⎢ ⎥（3）在熟悉复合函数的求导步骤后，可省略中间步骤，如第（2）题，可写成如下形式：y '=5 [log (2x+1)]'= 2 5 10g(2 x + 1)'= ．(2 x + 1)ln 2 (2 x + 1)ln 2举一反三：【变式 1】求下列函数导数．（1） y = ln( x + 2) ；（2） y = e 2 x +1 ；（3） y = cos(2 x 2 + 1) ；第 7 页 共 18 页（4） y = ⎪ sin x ≠ 0 ）． （4）方法一： y ' = 2 ⎪ ' = ⋅ =- - =- - ()⎛ cos x ⎫2⎝ sin 2 x ⎭【答案】（1）令 y = ln u ， u = x + 2 ，∴ y ' = y ' ⋅ u ' = (ln u ) '⋅ ( x + 2)' = x u x1 1⋅1 =u x + 2（2）令 y = e u ， u = 2x +1 ，∴ y ' = y ' ⋅ u ' = (e u ) '⋅ (2 x + 1)' = 2e u = 2e 2 x +1xu x（3）令 y = cos u ， u = 2x 2 + 1 ，∴ y ' = y ' ⋅ u ' = (cos u ) '⋅ (2 x 2 + 1)' = -4 x sin u = -4 x sin(2 x 2 + 1) ．xu xcos x ⎛ cos x ⎫ 2cos x (cos x) 'sin 2 x - cos x(sin 2 x) '⋅sin 2 x ⎝ sin 2 x ⎭ sin 2 x sin 6 x2cos x(- sin 3 x - 2cos 2 x ⋅ s in x) 2cos x 4cos 3 x= ．sin 6 x sin 3 x sin 5 xcos 2 x方法二：∵ y = ，sin 4 x∴ y ' =(cos 2 x)'sin 4 x - cos 2 x(sin 4 x)'sin 8 x2cos x(- sin x)sin 4 x - cos 2 x ⋅ 4sin 3 x cos x 2cos x 4cos 3 x= ．sin 8 x sin 3 x sin 5 x【变式 2】求下列函数导数：（1） y = cos 2(2 x +π3 )；（2） f ( x ) = e - x (cos x + sin x) ；（3） y = ln x ＋ 1 + x 2．【答案】第 8 页 共 18 页y ' = ⎢cos 2 (2 x + ) ⎥ ' = 2cos(2 x + ) ⋅ ⎢cos(2 x + ) ' ⎦（1）设 y = μ 2， μ = cos v ， v = 2 x +π3，则y ' = y ' ⋅ μ ' ⋅ v ' = -2μ ⋅ sin v ⋅ 2xμV xπ π= -2cos(2 x + ) ⋅ s in(2 x + ) ⋅ 23 3 2π= -2sin(4 x + )3在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：⎡ ⎣ π ⎤ π ⎡ π ⎤ 3 ⎦ 3 ⎣ 3 ⎥π π π= -2cos(2 x + ) ⋅ s in(2 x + ) ⋅ (2 x + )'3 3 3 2= -2sin(4 x + π )3（2） f '(x) = e - x ⋅ (- x )'(cos x + sin x) + e - x ⋅ (cos x + sin x)'= -e - x (cos x + sin x) + e - x (- sin x + cos x)= e - x (- sin x + cos x - cos x - sin x)= e - x (-2sin x)= -2e - x ⋅ sin x ．（3） y ' =1 x + 1 + x2 ( x + 1 + x 2) ' = 1 x + 1 + x 2 (1+ x1 + x2 ) ＝ 11 + x 2【变式 3】函数 y = ( x + 1)2 ( x - 1) 在 x = 1 处的导数等于()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D法一： y ' = [( x + 1)2 ]'( x - 1) + ( x + 1)2 ( x - 1)'= 2( x + 1)⋅ ( x - 1) + ( x + 1)2 = 3x 2 + 2 x - 1∴ y '|x =1= 4 ．第 9 页 共 18 页例 3． 曲线 y = e2 在点 (4, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）1 1 x【解析】 y ' = (e 2)' = (( e ) x )' = ( e ) x ⋅ ln e = ( e ) x = e 2 ，2【总结升华】本题考查导数的知识以及切线方程的求法，关键是求切线的斜率，而 y = e 2 的导数采用将解析式 利用指数幂运算法则变形为 y ' = (e 2 )' = (( e ) x )' ，从而由导数公式求解．ex k 法二：∵ y = ( x + 1)2 ( x - 1) = ( x 2 - 1)(x + 1) = x 3 + x 2 - x - 1∴ y ' = ( x 3 )' + ( x 2 )' - x '- 1' = 3x 2 + 2 x - 1∴ y '|x =1= 4 ．类型二：曲线的切线问题1 xA ． 9 2e 2B ． 4e 2C ． 2e 2D ． e 2【思路点拨】通过求导，求出切线斜率，进而得到切线方程，再求切线方程与坐标轴的交点，即可求出三角形的面积．【答案】D1x 2 2曲线在点 (4, e 2 ) 处的切线斜率为 y ' x=4 1= e 2 ，2所以切线方程为 y - e 2 = 12e 2 ( x - 4) ，令 x = 0 得 y = -e 2 ；令 y = 0 得 x = 2 ，所以 S = 1⨯ 2e 2 = e 2 ．∆1 x1 x举一反三：【变式】已知直线 y = kx 是曲线 y = ln x 的切线，则 k 的值为（）A ． eB ．–C ． 1e【答案】CD ． - 1e【解析】设切点 P( x , y ) ， y = ln x 的导数为 y ' = (ln x)' = 0 0 1 x，∴ y ' x =x= 1 1= k , 显然 x > 0,∴ x = ，0 0x ⎪⎪ 2 2 ⎧a = 1,b 7 ⎩b = 3. x x x x2 x代入 y = kx 中得 y = 1 ，再代入 y = ln x 中得 ln x = 1 ，0 0∴ x = e ,∴ k = 10 01= ，故选 C ．e类型三：利用导数求解析式中的参数例 4． 设函数 f ( x ) = ax - b x，曲线 y = f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x - 4 y - 12 = 0 ，（1）求 f ( x ) 的解析式；（2）证明：曲线 y = f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x = 0 和直线 y = x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解析】（1）方程 7 x - 4 y - 12 = 0 可化为 y =7 4x - 3 ，当 x = 2 时， y = 1 2，又 f '(x) = a + b b 7，故 f '(2) = a + = ，x 2 4 4⎧b 1 2a - = , 所以 ⎨ ，解得 ⎨⎪a + = .⎪⎩ 4 4故 f ( x ) = x - 3.x（2）证明：设点 P( x , y ) 为曲线上任一点． 0 0由 f '(x) = 1 +3知，曲线 y = f ( x ) 在点 P( x , y ) 处的切线方程为：2y - y = (1+ 30 2 0 3 3)( x - x ) ，即 y - ( x - ) = (1+ )( x - x ) ，0 0 2 0 0 0令 x = 0 得 y = - 6 6，从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为 (0, - ) ．x x0 0令 y = x 得 y = x = 2 x ，从而得切线与直线 y = x 的交点坐标为 (2 x ,2 x ) ，0 01 6所以点 P( x , y ) 处的切线与直线 x = 0 、 y = x 所围成的三角形面积为 ⋅ -0 0 0⋅ 2 x = 6 ． 0故曲线 y = f ( x ) 上任一点处的切线与直线 x = 0 和直线 y = x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6 ．【总结升华】本题主要考查导数的几何意义，导数的运算法则以及方程思想．举一反三：A．－1B．－2C．2D．0【答案】B)＝4ax3＋2bx，若f'(1)＝2，【解析】由题意知f'(x)＝4a＋2b＝2，即f'(1故f'(－1)＝－4a－2b＝－2．【变式2】已知f(x)是关于x的多项式函数．（1）若f(x)=x2+2x f'(1)，求f'(0)；（2）若f'(x)=3x2-6x且f(0)=4，解不等式f(x)>0．【答案】（1）显然f'(1)是一个常数，所以f'(x)=2x+2f'(1)，所以f'(1)=2⨯1+2f'(1)，即f'(1)=-2，所以f'(0)=2⨯0+2f'(1)=-4．（2）∵f'(x)=3x2-6x，∴可设f(x)=x3-3x2+c，∵f(0)=c=4∴f(x)=x3-3x2+4=(x+1)(x-2)2，由f(x)>0，解得{x|x>-1且x≠2}．课后作业年级：上课次数：作业上交时间：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：作业内容作业得分作业内容【巩固练习】一、选择题3 4 43 m/sx =3=-8． ⎪ = ___________， ⎡⎣2 x sin (2 x + 5)⎤⎦ = ____________．1．下列运算中正确的是（）A ． (ax 2 + bx + c)' = a( x 2 )' + b ( x )'B ． (sin x - 2 x 2 )' = (sin x)' - 2'( x 2 )'C ． ( sin x (sin x)' - ( x 2 )')' =x 2 x 2D ． (cos x ⋅ s in x)' = (sin x)' c os x + (cos x)' c os x2．质点做直线运动的方程是 s = 4 t （位移单位：m 时间单位：s ），则质点在 t=3 时的速度是（）A ．14 4 3 m/s B ． 1 4 3 3 m/s C ． 1 2 3 3m/s D ． 13．下列结论：①若 y=cos x ，则 y ' = - sin x ；②若 y = - 1 1 1 2，则 y ' = ；③若 y = ，则 y ' | x 2 x x x 2 27中，正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知曲线 y = x 2 1- ln x( x > 0) 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）4 2A ．3B ．2C ．1D ．1 25．函数 y = 5x 4 + 3x - 8的导数是（ ）A ．54 x 3 + 3B ． 5(4 x 3 + 3) 5(4 x 3 + 3)C ．0D ． -( x 4 + 3x - 8)2 ( x 4 + 3x - 8)26． 已知函数 f ( x ) =ax 2 - 1 且 f ' (1) = 2 ，则实数 a 的值为（）A ． a =1B ． a =2C ． a = 2D ． a > 07．设曲线 y = x + 1( x ≠ 1) 在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=（x - 11 1A ．2B ．C ．―D ．―22 2二、填空题⎛ x 3 - 1 ⎫' ' ⎝ sin x ⎭）9．曲线 y = sin x 在点,1⎪ 处的切线方程为________．⎛ π ⎫ ⎝ 2 ⎭10．在曲线 y ＝4 x 2上求一点 P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135°，则 P 点坐标为________．11． 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C ：y = x 3―10 x + 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为________．三、解答题12．求函数的导数．（1） y = 1 1+1 - x 1 + x（2） y = x ⋅ tan x ；x 4（3） y = ．2 + log xa13．已知 f ( x ) = cos x ， g ( x ) = x ，求适合 f '(x) + g '(x) ≤ 0 的 x 的值．14． 求曲线 y = 1 1在点 (1, ) 处的切线方程．(3x + x 2 ) 2 16s＝s(t)＝5－25-9t2，求函数在t＝s时的导数，并解释它的实际意义．1-31-3115．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为715【答案与解析】1．【答案】A【解析】由求导的四则运算法则可以判断．2．【答案】A1【解析】s=4t=t4，则s'=t4，当t=3时，s'=⋅34=．4444333．【答案】D【解析】①②③正确．4．【答案】D【解析】由y=x+12=1+x-1x-12，求导得y'=-，(x-1)2所以切线斜率k=y'|1 x=3=-2，则直线ax+y+1=0的斜率为2，所以―a=2，即a=―2．5．【答案】D⎝ sin x ⎭【解析】⎪ =12． 【解析】（1）∵ y =1（2） y ' = ( x) 'tan x + x(tan x) ' = tan x + x ⋅⎪ '【解析】 y =5x 4 + 3x - 8，则 y ' = - 5(4 x 3 + 3) ( x 4 + 3x - 8)2 ．6．【答案】B【解析】 f '(x) =2ax2 ax 2 - 1=ax ax 2 - 1，af '(1)= = 2 ，所以 a=2 ．a - 17．【答案】D【解析】 由 y =x + 1 2= 1 +x - 1 x - 12 ，求导得 y ' = - ， ( x - 1)2所以切线斜率 k = y ' | 1x =3 =- 2 ，则直线 ax+y+1=0 的斜率为 2，所以―a=2，即 a=―2．3x 2 sin x - ( x 3 - 1)cos x8． 【答案】 ， 2sin(2 x + 5) + 4 x cos(2 x + 5)sin 2 x⎛ x 3- 1 ⎫' 3x 2sin x - ( x 3-1)cos xsin 2 x；⎡⎣2 x sin (2 x + 5)⎤⎦' = 2sin(2 x + 5) + 4 x cos(2 x + 5) ；9． 【答案】y=1【解析】 (sin x)' = cos x ， k = y ' |10． 【答案】(2，1)【解析】设 P (x 0，y 0)，x = π2= 0 ，从而切线方程为 y=1．y ′＝ ( 4x 2) ' ＝(4x －2)′＝－8x －3，∴tan135°＝－1＝－8 x -3 ．∴x 0＝2，y 0＝1．11．【答案】（―2，15）【解析】y ' = 3x 2 - 10 ，令 y ' = 2 ⇒ x 2 = 4 ，P 在第二象限 ⇒ x=―2 ⇒ P （―2，15）．12 -2(1- x)' 2 +=，∴ y ' ==1 - x 1 + x1 - x(1- x)2(1- x)2⎛ sin x ⎫⎝ cos x ⎭lg a2(k∈Z)．（3）y'=4x3(2+log x)-a(2+log x)2ax4x ln a= =8x3+4x3log x-a(2+log x)2a18-+4log xa(2+log x)2ax3ln ax3．13．【解析】f'(x)=-sin x，g'(x)=1，则-s in x+1≤0，sin x≥1，即sin x=1．∴x=2kπ+π14．【解析】y=(3x+x2)-2，则y'=-2⋅3+2x (3x+x2)3y'|x=1=-2⋅543=-532．15∴切线方程为y-=-(x-1)1632即5x+32y-7=0．15【解析】。

人教版高中数学选修1-1教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题《导数及其应用》全章复习与巩固课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容《导数及其应用》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 1.基本初等函数的导数基本初等函数 导数 特别地常数函数()y c c =为常数 '0y ='0π=，'=0e幂函数()ny xn =为有理数1n y n x -=⋅211'x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1'2x x =指数函数xy a = 'ln x y a a =⋅()'xxe e=对数函数log a y x = 1'ln y x a =⋅()1ln 'x x=正弦函数sin y x = 'cos y x =()2sin 1tan '='=cos cos x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2cos 1cot '='=sin sin x x x x⎛⎫⎪⎝⎭ 余弦函数cos y x ='sin y x =-要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 2.和、差、积、商的导数要点诠释：（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦．3.复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅．1xe ； ()25x x+；(1)求a ，b ；(2)求函数()f x 在()[0] 0t t >，内的最大值和最小值．【变式2】设函数()2=++ln f x x ax b x ，曲线()y f x ＝过()10P ，，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：()22f x x ≤－.例4. 设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值1-.(Ⅰ)求a b 、的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间.举一反三：【变式1】如果函数()=y f x 的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()=y f x 在区间132⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内单调递增；②函数()=y f x 在区间132⎛⎫- ⎪⎝⎭，内单调递减；③函数()=y f x 在区间(4,5)内单调递增；。

人教版高中数学选修1-1教学讲义利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：①在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0f x '=的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值．要点三：利用导数解决最优化问题的基本思路要点四：最优化问题的常见类型(1)利润最大问题；(2)用料最省、费用最低问题；(3)面积、体积最大或最小问题．【典型例题】类型一：用料最省、费用最低问题例1. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m )【思路点拨】本题的关键是建立关于变量x （或y ）的函数.【解析】依题意，有1822x xy x +=g ， ∴ 8(042)4x y x x =-<<，于是框架用料总长度为 2316222222x L x y x x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 231622L x '=+-，令0L '=，即2316202x+-=， 解得1842x =-，2428x =-(舍去)．当0＜x ＜8－42时，0L '<；当84242x -<<时，0L '>．∴ 当x ＝842-时，L 取得最小值，此时842 2.343m x =-≈，y ≈2.828 m ．即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省．【总结升华】本问题中，由0L'=，得到1842x=-，2428x=-，由于x表示边框的长度，故x＞0，所以舍去2428x=-．解决实际问题时，切不可忽视变量的实际意义．举一反三：【变式】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂位于离岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和到乙厂的水管费分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?【答案】依题意设CD＝x，则AC＝50-x(0≤x≤50)用2240BC x=+，∴水管费2223(50)540(150351600)y a x a x a x x=-++=-++．∴2225353216001600x xy a ax x⎛⎫⎛⎫'=-+⨯=-+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，令0y'=，得25301600xx-+=+，∴x＝30．当0≤x＜30时，0y'<；当30＜x≤50时，0y'>．∴x＝30时，y取得最小值，此时，CD＝30 km，故AC＝50-30＝20(km)，因此供水站建在A、D之间距甲厂20 km处时，可使水管费用最省．类型二：利润最大问题例2．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元／辆，出厂价为13万元／辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场的需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价一每辆车的投则22S R Rh ππ=+22(0)V R R Rπ=+<<+∞ 322222V V S R R R R πππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭, 令0S '=，得3VR π=，从而32V V h R ππ==． 因为函数在(0，+∞)内有唯一的极值点，所以它就是最小值点．故当圆柱的底面半径和高均为3Vπ时，用材料最省．【总结升华】解决实际生活中的最值问题，关键是选好自变量，建立目标函数，如果函数在定义域开区间上只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也就是取得最值的点；如果在一个闭区间内讨论，则将此极值与区间端点处的函数值加以比较得出最值．举一反三：【变式】要做一个底面为长方形的带盖的长方体箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边的比为1:2，问它的长、宽、高各为多少才能使表面积最小?【答案】设底面较短的边长为x cm ，则相邻一边长为2x cm ，又设箱子高为h ，则2272362h x x ==， 设表面积为S ，则223642(2)S x x x x =++g 22164(0)x x x =+>，32221688(27)S x x x x'=-=-． 令0S '=，解得S 在(0，+∞)内的唯一可能的极值点x ＝3．当x ＜3时，S ′＜0．当x ＞3时，S ′＞0．∴ 在x ＝3时，函数取极小值，即最小值，也就是当底面边长分别为3 cm ，6 cm ，高为4 cm 时，长方体箱子的表面积最小．励 学 国 际 学 生 课 后 作 业8．设某银行中的总存款与银行付给储户的利率的平方成正比，若银行以10％的年利率把总存款的90％贷出，同时能获得最大利润，需要支付给储户的年利率为________．9. 水以20m3／min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，底面直径为12 m，当水深10 m时，水面上升的速度是________．三、解答题10．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得=++最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b．l AB BC CD11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，两桥墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小?12. 某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．【答案与解析】1. 【答案】C【解析】 解法一：设内接矩形的宽为z ，则长为2225x ，面积2225S x x =-g ．则2250425x S x -'=-．令0S '=，得522x =或522x -=(舍)． ∵ 此函数为单峰函数，∴ 当522x =时，max 25S =． 解法二：如图所示．设∠NOB ＝θ02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则矩形的面积5sin 25cos S θθ=⨯⨯＝25sin 2θ，故max 25S =．2．【答案】D【解析】 设高为x cm ，则底面半径为2220x -cm ，体积22(20)(020)3V x x x π=-<<g ，则2(4003)3V x π'=-，由0V '=得2033x =或2033x =-(舍去)． 当20303x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，时，0V '>， 当203203x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，时，0V '<，所以当2033=时，V 取最大值． 3．【答案】A【解析】要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x 米，则长为512x米，因此新墙总长为5122(0)L x x x =+>，则25122L x'=-，令0L '=，得x ＝±16．又x ＞0，∴ x ＝16．则当x ＝16时，长为5123216=(米)． 4．【答案】A【解析】作轴截面如图，设圆柱高为2h ，则底面半径为22R h -，圆柱的体积2223()222V R h h R h hπππ=-=-g g．∴2226V R hππ'=-，令0V'=，得22260R hππ-=，∴33h R=．即当2323h R=时，圆柱的体积最大．5．【答案】C【解析】设此三棱柱底面边长为a，高为h，则234V a h=，∴表面积223343322VS a ah aa=+=+．由24330VS aa'=-=0得34a V=．6．【答案】D【解析】由题意，总成本为C＝20000+100x，所以总利润213002000(0400)260000100(400)x x xP R Cx x⎧--≤≤⎪=-=⎨⎪->⎩，.则300(0400)100(400)x xPx-≤≤⎧'=⎨->⎩，.令0P'=，当0≤x≤400时，得x＝300；当x＞400时，0P'<恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．7．【答案】1:1【解析】设窗户面积为S，周长为L，则222S x hxπ=+，24Sh xxπ=-，所以窗户周长2222SL x x h x xxππ=++=++，。