七年级(下)数学 三角形的概念、性质及内角和

七年级下册数学三角形的内角和一、三角形内角和定理。

1. 定理内容。

- 三角形的内角和等于180°。

2. 证明方法。

- 方法一：测量法（不完全严谨，但可作为初步感知）- 用量角器分别测量三角形的三个内角，然后将三个角的度数相加，会发现其和接近180°。

由于测量存在误差，所以这只能是一种初步验证的方法。

- 方法二：剪拼法。

- 把三角形的三个角剪下来，然后将它们的顶点拼在一起，可以发现这三个角能拼成一个平角，从而直观地说明三角形内角和为180°。

- 方法三：推理证明（以平行线的性质为基础）- 已知：△ABC。

- 求证：∠A + ∠B+∠C = 180°。

- 证明：过点A作直线EF∥BC。

- 因为EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠B = ∠FAB，∠C = ∠EAC。

- 又因为∠FAB+∠BAC + ∠EAC=180°（平角的定义），所以∠B+∠BAC+∠C = 180°，即三角形内角和为180°。

二、三角形内角和定理的应用。

1. 在求三角形内角的度数中的应用。

- 例1：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的度数。

- 解：根据三角形内角和定理，∠C = 180° - ∠A - ∠B。

- 已知∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C = 180° - 50° - 60° = 70°。

2. 在判断三角形的类型中的应用。

- 例2：一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，判断这个三角形是什么类型的三角形。

- 解：设三角形的三个内角分别为x，2x，3x。

- 根据三角形内角和定理可得：x + 2x+3x = 180°。

- 合并同类项得6x = 180°，解得x = 30°。

- 那么三个角的度数分别为30°，2×30° = 60°，3×30° = 90°。

第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“Δ”表示.2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。

二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.用字母可表示为a+b〉c，a+c〉b，b+c〉a;a—b<c,a-c<b,b-c 〈a.2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c〉a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b-<<+.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

2、三角形按内角的大小可分为三类:(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；(2）直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角.都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。

三角形及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C ＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．因为AB ∥CD （已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．因为DF ∥AC （已作），所以∠1=∠C （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的分类3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的三边关系4. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是()【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能构成三角形，不大于则不能构成三角形．举一反三：【变式】判（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．1【答案】B．解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选：B ．5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对． 类型四、三角形中重要线段6. （2016春•江苏月考）在△ABC 中，画出边AC 上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ；【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部． 举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．7.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD -(AC+CD+AD )＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1【巩固练习】一、选择题1．一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是()2．如图所示的图形中，三角形的个数共有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．4．已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm5．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( )A．5m B．15m C．20m D．28m6．三角形的角平分线、中线和高都是()A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对7．下列说法不正确的是()A．三角形的中线在三角形的内部B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部D．三角形必有一高线在三角形的内部8．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是()A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．以上三种情况都有可能9．若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为() A．40°B．80°C．60°D．120°二、填空题10．（2015•东莞）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是．11．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________cm．12. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________．13. 如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝12∠_______；BE是△ABC的中线，则________＝_______＝12________；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．14.如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．15.在△ABC中，(1)若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______，此三角形为_______三角形；(2)若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为________三角形．三、解答题16．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．17．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?18.（2016春•江苏月考）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的内角平分线，BE、AD相交于点F，已知∠BAD=40°，求∠BFD的度数．19.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD．3. 【答案】A.4. 【答案】B；【解析】根据三角形的三边关系进行判定．5. 【答案】D；【解析】由三角形三边关系定理可知．只有C选项中3+4＞5．故选C (2)画图分析，不难判断出选C．(3)因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故16-12＜AB＜16+12 即4＜AB＜28故选D．6.【答案】B；7.【答案】C；【解析】三角形的三条高线的交点与三条角平分线的交点一定都在三角形内部，但三角形的三条高线的交点不确定：当三角形为锐角三角形时，则交点一定在三角形的内部；当三角形为钝角三角形时，交点一定在三角形的外部．8.【答案】C；【解析】两个三角形等底同高，面积相等9．【答案】B；【解析】根据三角形内角和180°，以及已知条件可以计算得出∠B的度数为120°二、填空题10.【答案】4.【解析】∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故答案为4．11.【答案】5 cm或7 cm；12.【答案】15cm或18cm；【解析】按腰的不同取值分类讨论．13．【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC ⊥14．【答案】15cm2，30cm2；【解析】△ABC的面积是△ABE面积的2倍．15.【答案】（1）30°，60°，90°；直角（2）钝角三、解答题16.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a ＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．17.【解析】解：AD、AF分别是△ABC，△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC，△ADC的中线，AG是△ABC，△ABD，△ACD，△ABG，△ACG，△ADG的高．18.【解析】解：∵AD⊥BC，∠BAD=40°，∴∠ABD=90°﹣40°=50°．∵BE是△ABC的内角平分线，∴∠ABF=∠ABD=25°，∴∠BFD=∠BAD+∠ABF=40°+25°=65°．19.【解析】解：如图。

七年级下册三角形知识点三角形是平面几何中研究的重点和核心概念之一。

在初中阶段，学生也会对三角形进行详细学习，并涉及到一些重要的知识点。

下面，本文将介绍七年级下册的三角形知识点，并做详细阐述。

一、基础知识点1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段都能够连接起来，形成一个角。

2. 分类：按照内角和边长的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等不同类型。

3. 性质：三角形有许多特殊的性质，如角内平分线相交于一点、三角形内部角度的和等于180度、等边三角形的三角角度都为60度等重要性质，这些性质是我们学习和理解三角形的基础。

二、三角形的周长和面积1. 周长：三角形的周长是三边长度之和，即C=a+b+c。

2. 面积：三角形的面积大小可以用海龙公式（即：S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))，其中p=(a+b+c)/2）进行求解，也可以用底边高公式（即：S=1/2*b*h）进行求解。

三、等腰三角形和直角三角形1. 等腰三角形：等腰三角形是指有两条边相等的三角形，它的第三边被称为底边，底边上的高线被称为高。

等腰三角形有许多重要的性质，如：等腰三角形的高线、中线和角平分线重合、等腰三角形的底角和顶角相等等。

2. 直角三角形：直角三角形是指一个角为90度的三角形。

它的斜边被称为斜边，两条直角边被称为直角边。

直角三角形中，直角边上的高被称为垂线，可以用勾股定理（即：a²+b²=c²）进行计算斜边长度，还可以用正弦定理、余弦定理进行计算。

四、相似三角形1. 定义：相似三角形是指具有相同形状（角度相等）、但是大小不同的三角形。

2. 判定：判断两个三角形是否相似，可以根据它们的角度相等或者它们的对应边成比例判断（即：A1/A2=B1/B2=C1/C2）。

3. 性质：相似三角形也有一些重要性质，如对应角相等、对应线段成比例等。

第03讲_全等三角形辅助线的作法知识图谱三角形的内角（北师版）知识精讲概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形表示三角形有三条边、三个内角和三个顶点，“三角形”可以用符号“”表示如图，顶点是A ，B ，C 的三角形，记作，的三边，有时也用a ，b ，c 来表示．顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、边AB 分别用b ，c 来表示．按角分类直角三角形三角形中有一个角是直角 斜三角形锐角三角形 三角形中三个角都是锐角 钝角三角形 三角形中有一个角是钝角思考：如何按边分类？内角和定理三角形三个内角的和等于．证明过点A 作BC 的平行线DE ∴∠B=∠1，∠C=∠3 ∵D 、A 、E 三点共线 ∴∠1+∠2+∠3=180° ∴∠B+∠2+∠C=180°直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余．表示在Rt △ACB 中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，即两个锐角互余.五．易错点1．求角度过程中计算错误．2．注意导角计算等角的补角相等，等角的余角相等. 3．会利用三角形内角和定理判定三角形形状.三点剖析一．考点：1．按角分类；2．内角和定理；3．直角三角形的性质二．重难点：利用内角和定理求角度．三．易错点：求角度过程中计算错误．按角分类例题1、 在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则△ABC 是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等腰直角三角形231DBCA ECBA【答案】 D【解析】 设三个内角的度数分别为k°，k°，2k°，则 k°+k°+2k°=180°， 解得k°=45°， ∴2k°=90°，∴这个三角形是等腰直角三角形．随练1、 现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ）A.3B.4或5C.6或7D.8【答案】 A【解析】 由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时， ∴共有33÷3=11个三角形；又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角形； 故还有11﹣5﹣3=3个锐角三角形．内角和定理例题1、 如图，在△ABC 中，46B ∠=︒，54C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ∥AB ，交AC 于E ，则∠ADE 的大小是（ ）A.45°B.54°C.40°D.50°【答案】 C【解析】 ∵46B ∠=︒，54C ∠=︒，∴180180465480BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵AD 平分∠BAC ，∴11804022BAD BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∵DE ∥AB ，∴40ADE BAD ∠=∠=︒．故选：C ．例题2、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A ＝22°，则∠BDC 等于（ ）A.44°B.60°C.67°D.77°【答案】 C【解析】 △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝22°， ∴∠B ＝90°－∠A ＝68°，由折叠的性质可得：∠CED ＝∠B ＝68°，∠BDC ＝∠EDC ， ∴∠ADE ＝∠CED －∠A ＝46°，∴180672ADEBDC ︒-∠∠==︒．例题3、 （1）如图①，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝80°，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数；EDC B A（2）将（1）中“∠B＝40°，∠C＝80°”改为“∠B＝x°，∠C＝y°，∠C＞∠B”，①其他条件不变，你能用含x，y的代数式表示∠EAD吗？请写出，并说明理由；②如图②，AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，用含x，y的代数式表示∠EFM，并说明理由．【答案】（1）20°（2）①1122EAD y x∠=-；理由见解析②1122EFM y x∠=-；理由见解析【解析】（1）∵∠B＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°∵AE平分∠BAC，∴1302CAE BAC∠=∠=︒∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝80°，∴∠CAD＝90°－∠C＝10°，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD＝30°－10°＝20°；（2）①∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－x－y∵AE平分∠BAC，∴11(180)22CAE BAC x y∠=∠=︒--，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－y，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD111(180)(90)222x y y y x =︒---︒-=-；②过A作AD⊥BC于D，∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C，∵AE平分∠BAC，∴11(180)22CAE BAC x y∠=∠=︒--，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－y，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD111(180)(90)222x y y y x =︒---︒-=-∵AD⊥BC，FM⊥BC，∴AD∥FM，∴∠EFM＝∠EAD，∴1122 EFM y x ∠=-．随练1、如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1=____________．【答案】105°【解析】给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°=180°，∠2=30°，∴∠3=180°﹣30°﹣45°=105°，∴∠1=∠3=105°．随练2、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_________-．【答案】130°或90°【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°．直角三角形的性质例题1、如图，图中直角三角形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个．例题2、如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3＝________°．【答案】 135【解析】 观察图形可知：△ABC ≌△BDE ， ∴∠1＝∠DBE ，又∵∠DBE ＋∠3＝90°， ∴∠1＋∠3＝90°． ∵∠2＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠3＋∠2＝90°＋45°＝135°．例题3、 如图，ABC △中，AD 是高，AE 、BF 分别是BAC ∠和ABC ∠的平分线，它们相交于点O ，60A ∠=︒，70C ∠=︒．求DAC ∠，BOA ∠．【答案】 20︒；125︒【解析】 9020DAC C ∠=︒-∠=︒∵180C BAC ABC ∠+∠+∠=︒，70C ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴50ABC ∠=︒∵AE ，BF 是角平分线，∴12302BAC ∠=∠=︒，13252ABC ∠=∠=︒∵23180BOA ∠+∠+∠=︒，∴125BOA ∠=︒．随练1、 如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边成50°角，那么这个直角三角形的较小的内角是________度． 【答案】 25【解析】 暂无解析随练2、 图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt △ABC 的顶点都是图中的格点，其中点A 、点B 的位置如图所示，则点C 可能的位置共有（ ）A.9个B.8个C.7个D.6个【答案】 A【解析】 暂无解析三角形的边知识精讲按角分直角三角形三角形中有一个角是直角斜三角形锐角三角形三角形中三个角都是锐角钝角三角形三角形中有一个角是钝角按边分不等边三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的三角形有两条边相等的三角形等边三角形（正三角形）三边相等的三角形三角形任意两边的和大于第三边三角形任意两边的差小于第三边如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征叫做三角形的稳定性．除了三角形外，其他多边形不具备稳定性，因此在生产建设中，为达到巩固的目的，把一些构件都做成三角形结构．四．易错点1．在做与三角形的边有关的计算时，最后一定要注意检验是否满足三边关系定理，即最能否组成三角形．2．在应用三边关系判断三条线段能否组成三角形时，要注意“任意”二字．三点剖析考点：1. 按边分类；2. 三边关系；3. 稳定性重难点：1. 在应用三边关系判断能否组成三角形时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．2. 由三角形三边关系可得，如果a, b, c三条线段能够组成三角形，那么b c a b c-<<+.易错点：在做与三角形的边有关的计算时，最后一定要注意检验是否满足三边关系定理，即最终能否组成三角形.按边分类例题1、若下列各组值代表线段的长度，以它们为边能构成三角形的是（）A.6、13、7B.6、6、12C.6、10、3D.6、9、13【答案】D【解析】A、6＋7＝13，则不能构成三角形，故此选项错误；B、6＋6＝12，则不能构成三角形，故此选项错误；C、6＋3＜10，则不能构成三角形，故此选项错误；D、6＋9＞13，则能构成三角形，故此选项正确．例题2、各边长度都是整数、最大边长为11的三角形共有________个．【解析】 设另外两边长为x ，y ，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x ＋y≥12． 当y 取值11时，x ＝1，2，3，…，11，可有11个三角形； 当y 取值10时，x ＝2，3，…，10，可有9个三角形；当y 取值分别为9，8，7，6时，x 取值个数分别是7，5，3，1，∴根据分类计数原理知所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36．三边关系例题1、 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A.2cm ，3cm ，5cm B.7cm ，4cm ，2cm C.3cm ，4cm ，8cm D.3cm ，3cm ，4cm 【答案】 D【解析】 A 、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误； B 、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误； C 、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误； D 、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．例题2、 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A.5 B.6 C.11 D.16 【答案】 C【解析】 设此三角形第三边的长为x ，则10﹣4＜x ＜10+4，即6＜x ＜14，四个选项中只有11符合条件． 故选：C ．例题3、 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，求证：12AB AE BC AD AC ++>+【答案】 见解析【解析】 ∵AD BC ⊥∴AB AD ＞，在△AEC 中，AE EC AC +>．又∵AE 为中线，∴12EC BC =即12AE BC AC +>，∴12AB AE BC AD AC ++>+随练1、 已知一个三角形的第一条边长为（a+2b ）厘米，第二条边比第一条边短（b ﹣2）厘米，第三条边比第二条边短3厘米．（1）请用式子表示该三角形的周长；（2）当a=2，b=3时，求此三角形的周长． 【答案】 （1）3a+4b+1 （2）19【解析】 （1）第二条边长为：a+2b ﹣（b ﹣2）=（a+b+2）厘米， 第三条边长为：a+b+2﹣3=（a+b ﹣1）厘米， 则周长为：a+2b+a+b+2+a+b ﹣1=3a+4b+1； （2）当a=2，b=3时， 周长为：3×2+4×3+1=19．随练2、 在△ABC 中，若AB ＝5，BC ＝2，且AC 的长为奇数，则AC ＝________．ED CBA【解析】暂无解析随练3、如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有________对．【答案】3【解析】暂无解析稳定性例题1、下列图形中，不具有稳定性的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查的是三角形稳定性．A可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；B可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；C可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；D可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．故选B．随练1、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）A.0根B.1根C.2根D.3根【答案】B【解析】本题考查的是三角形稳定性．加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选B．三角形的高、中线、角平分线知识精讲一．三角形的高线、中线、角平分线概念从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线三．易错点1.画三角形的高时，只要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．特别是钝角三角形的高，有两条是在三角形外.2.三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线.3.三角形的中线是线段4.三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线三点剖析考点：1.三角形的高、中线、角平分线；2.面积问题；重难点：1.锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；直角三角形两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点也在三角形的直角顶点处；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部.2.三角形三条中线的交点一定在三角形内部.3.每个三角形都有三条角平分线且交于一点，这个点叫三角形的内心，它也一定在三角形内部．易错点：1.画三角形的高时，只要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．2.三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线.三角形的高、中线、角平分线例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别为（）A.2cm、2cm、2cmB.3cm、3cm、3cmC.4cm、4cm、4cmD.2cm、3cm、5cm【答案】A【解析】∵△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，∴OE=OF=OD，设OE=x，∵S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OCB，∴12×6×8=12OF×10+12OE×6+12OD×8，∴5x+3x+4x=24，∴x=2，即点O到三边AB，AC和BC的距离都等于2．故选A．例题2、如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到'''A B C，图中标出了点B 的对应点'B．（1）补全'''A B C根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）'''A B C的面积为________【答案】（1）如图所示：'''A B C即为所求；（2）如图所示：CD就是所求的中线；（3）如图所示：AE即为BC边上的高；（4）8．【解析】（1）连接BB'，过A、C分别做BB'的平行线，并且在平行线上截取AA CC BB'='='，顺次连接平移后各点，得到的三角形即为平移后的三角形；（2）作AB的垂直平分线找到中点D，连接CD，CD就是所求的中线．（3）从A点向BC的延长线作垂线，垂足为点E，AE即为BC边上的高；（4）4421628⨯÷=÷=．故'''A B C的面积为8．随练1、如图，在△ABC中，CD是高线，点E在CD上，且∠ACD＝∠DBE，则有（）A.BE⊥ACB.BE平分∠ABCC.∠BCD＝∠CBED.∠CBD＝∠BED【答案】A【解析】延长BE到AC上一点F，∵CD是高线，∴∠BED＝∠CEF，∠BDE＝90°，则∠DEB＋∠EBD＝90°，∵∠ACD＝∠DBE，∴∠ACE＋∠CEF＝90°，∴∠CFB＝180°－（∠ACE＋∠CEF）＝90°，即BE⊥AC，故A选项正确；随练2、如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于H．下面判断正确的有________．（1）AD是在△ABC的角平分线（2）BE是的△ABD的AD边上的中线（3）CH为△ACD边AD上的中线（4）AH是△ACF的角平分线和高线．【答案】（1）（4）【解析】（1）根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法正确；（2）根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；（3）根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法不正确；（4）根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．面积问题例题1、如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S l，△ACE的面积为S2，若S△ABC＝12，则S1＋S2＝________．【答案】14【解析】∵BE＝CE，∴1112622ACE ABCS S==⨯=，∵AD＝2BD，∴2212833ACD ABCS S==⨯=，∴S1＋S2＝S△ACD＋S△ACE＝8＋6＝14．例题2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm／s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝________，△APE的面积等于6．【答案】 1.5或5或9【解析】如图1，当点P在AC上，∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，∴CE＝4，AP＝2t．∵△APE的面积等于10，∴1124622APES AP CE t==⨯⨯=△，∴t＝1.5；如图2，当点P在线段CE上，∵E是DC的中点，∴BE＝CE＝4．∴PE＝4－（t－3）＝7－t，∴11(7)6622S EP AC t==-⨯=，∴t＝5，如图3，当P在线段BE上，同理：PE＝t－3－4＝t－7，∴11(7)6622S EP AC t==-⨯=，∴t＝9，综上所述，t的值为1.5或5或9．例题3、如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B l C1的面积是14，那么△ABC的面积是（）A.2B.143C.3D.72【答案】A【解析】如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A 、B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，∴S △ABB1＝S △ABC ，S △A1AB1＝S △ABB1＝S △ABC ，∴S △A1BB1＝S △A1AB1＋S △ABB1＝2S △ABC ，同理：S △B1CC1＝2S △ABC ，S △A1AC1＝2S △ABC ，∴△A 1B 1C 1的面积＝S △A1BB1＋S △B1CC1＋S △A1AC1＋S △ABC ＝7S △ABC ＝14．∴S △ABC ＝2．随练1、 如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝4cm 2，则S 阴影等于（ ）A.2cm 2B.1cm 2C.12cm 2D.14cm 2 【答案】 B 【解析】 2111cm 24BCE ABC S S S ===△△阴影． 随练2、 如图，在△ABC 中，E 为AC 的中点，点D 为BC 上一点，BD ︰CD ＝2︰3，AD ，BE 交于点O ，若S △AOE －S △BOD＝1，则△ABC 的面积为________．【答案】【解析】 ∵点E 为AC 的中点，∴S △ABE=12S △ABC ． ∵BD ：CD=2：3， ∴S △ABD=25S △ABC ， ∵S △AOE -S △BOD=1，∴S △ABE -S △ABD=12S △ABC -25S △ABC=1， 解得S △ABC=10．故答案为：10随练3、 阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，BD 是ABC ∆的高．P 是BC 边上一点，PM ，PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M ，N ．求证：BD PM PN =+．他发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即111222AC BD AB PM AC PN ⋅=⋅+⋅．由AB AC =，可得BD PM PN =+． 他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD ，PM ，PN 之间的数量关系是：请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；∵ABC APC S S ∆∆=-___________，∴1122AC BD AC ⋅=⋅_____12AB -⋅______， ∵AB AC =，∴BD PN PM =-．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC ∆中，AB AC BC ==，BD 是ABC ∆的高．P 是ABC ∆所在平面上一点，PM ，PN ，PQ 分别与直线AB ，AC ，BC 垂直，垂足分别为点M ，N ，Q ．图3，若点P 在ABC ∆的内部，则BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：_________________；②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：________________________．【答案】 （1）见解析（2）①BD PM PN PQ =++②BD PM PQ PN =+-【解析】 该题考查的是等面积方法的应用．（1）由图可知∵ABC APC APB S S S ∆∆∆=-∴111222AC BD AC PN AB PM ⋅=⋅-⋅, ∵AB AC =∴BD PN PM =-（2）①连接AP 、BP 、CP参考该同学思考问题的方法，则有∵ABC APB APC BPC S S S S ∆∆∆∆=++，∴11112222AC BD AB PM AC PN BC PQ ⋅=⋅+⋅+⋅，∵AB AC BC ==，∴BD PM PN PQ =++．②过点P 分别作直线AB ，AC ，BC 的垂线P ，垂足分别为点M ，N ，Q ，分别连接接AP 、BP 、CP ，参考以上的思考方法，则有∵ABC APB BPC APC S S S S ∆∆∆∆=+-， ∴11112222AC BD AB PM BC PQ AC PN ⋅=⋅+⋅-⋅， ∵AB AC BC ==，∴BD PM PQ PN =+-．拓展1、 若一个三角形的三个内角的度数之比为3:4:2，那么这个三角形是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】 A【解析】 ∵三个内角的度数之比为3:4:2，∴三个内角的度数分别是60︒，80︒，40︒；∴该三角形是锐角三角形．2、 如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a b ∥，150∠=︒，260∠=︒，则3∠的度数为（ ）A.50︒B.60︒C.70︒D.80︒【答案】 C 【解析】 由题意：354∠=∠=∠，由124180∠+∠+∠=︒，故123180∠+∠+∠=︒，故370∠=︒。

BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。

A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。

第10讲认识三角形与图形全等目标导航知识精讲知识点01三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．【知识拓展1】（2021秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【即学即练1】（2021秋•静安区期末）下列说法错误的是（）A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形【即学即练2】（2021秋•双牌县期末）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）A．B．C．D．知识点02三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．【知识拓展2】（2021秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2B．3C．4D．5【即学即练1】（2021秋•沙坪坝区校级期末）数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（）A．B．C．D．【即学即练2】（2021秋•思明区校级期末）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（）A．BC＝2AD B．AB＝2AF C．AD＝CD D．BE＝CF知识点03三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．【知识拓展3】（2021秋•正阳县期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．8【即学即练1】（2021秋•同安区期末）如图，S△ABD＝S△ACD，已知AB＝8cm，AC＝5cm，那么△ABD和△ACD的周长差是cm．【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的高和中线，AD＝2cm，△ACE的面积是3cm2，则BC＝cm．知识点04三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）【知识拓展4】（2021秋•泉州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，若GE＝3，则线段CB的长度为（）A．10B．9C．6D．【即学即练1】（2021秋•莱州市期末）如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D．若BC ＝6，则CD＝．【即学即练2】（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的心．知识点05三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．【知识拓展5】（2021秋•樊城区期末）若线段AP，BP，AB满足AP+BP＞AB，则关于P点的位置，下列说法正确的是（）A．P点一定在直线AB上B．P点一定在直线AB外C．P点一定在线段AB上D．P点一定在线段AB外【即学即练1】（2021秋•宜春期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．4，5，9【即学即练2】（2021秋•岑溪市期末）已知一个三角形有两边长分别为3和9，则它的第三边长可能是（）A．4B．5C．6D．7知识点06三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．【知识拓展6】（2021秋•大余县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（）A．75°B．80°C．85°D．90°【即学即练1】（2021秋•铅山县期末）如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACD，若∠A＝80°，则∠D的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．140°【即学即练2】（2021秋•连江县期末）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A＝n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（）A．45°+n°B．90°C．90°﹣D．180°﹣n°知识点07全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．【知识拓展1】（2021秋•潜江期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形【即学即练1】图中所示的网格是正方形网格，则下列关系正确的是（）A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1+∠2＝90°D．∠1+∠2＝180°【即学即练2】（2021秋•辛集市期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）A．3组B．4组C．5组D．6组知识点08直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．【知识拓展8】（2021秋•富川县期末）在一个直角三角形中，一个锐角等于56°，则另一个锐角的度数是（）A．26°B．34°C．36°D．44°【即学即练1】（2021秋•越城区期末）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PCB．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BCC．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C ＝度．能力拓展【考点1】：认识三角形例题1．（2021·石家庄市第四十一中学七年级期末）若三角形的两边长是2cm 和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm【变式1】（2021·山东烟台市·七年级期末）用直角三角板作ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【变式2】（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，三角形ABC 中，AC BC ⊥，CD AB ⊥于点D ，则下列线段关系成立的是（ ）A ．AD BC AB +< B ．BD AC AB +< C ．2BC AC CD +>D ． AC BC AB +<例题2．（2020·辽宁锦州市·七年级期末）已知三角形ABC ，且AB =3厘米，BC =2厘米，A 、C 两点间的距离为x 厘米，那么x 的取值范围是________．【变式1】（2021·广西南宁市·七年级期末）现有一张边长为1的正方形纸片，第一次沿着线段1AP 剪开，留下三角形1ABP ；第二次取1BP 的中点2P ，再沿着2AP 剪开，留下三角形2ABP ；第三次取2BP 的中点3P ，再沿着3AP 剪开，留下三角形3ABP ；…，如此进行下去，在第n 次后，被剪去图形的面积之和是________．【变式2】（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知直线//m n ，将一块含有45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 相交于点D ．若124︒∠=，则2∠的度数为_______．例3．（2021·兰州市第三十六中学七年级期末）把两个形状相同，大小不同的三角板如图所示拼在一起，已知B DAC x ∠=∠=，2C BAD x ∠=∠=． （1）求C ∠的度数；（2）如图，如果ACF BCF ∠=∠，试比较AEC ∠和BFC ∠的大小．【变式1】（2021·浙江台州市·七年级期末）如图，在平面内有三个点、、A B C（1）根据下列语句画图： ①连接AB ； ②作直线BC ；③作射线AC ，在AC 的延长线上取一点D 使得CD CB =，连接BD ； （2）比较,,AB BD AB BC CD AD +++的大小关系．【变式2】（2021·四川绵阳市·东辰国际学校七年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转（1）试说明∠DPC=90°；（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE 平分∠CPD，求∠EPF；（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．【考点2】：图形的全等例题1．（2001·浙江省杭州第十中学七年级期末）如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去【变式1】（2020·四川成都市·七年级期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°【变式2】（2020·山东泰安市·七年级期末）下列说法正确的是( )A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形是指面积相等的两个三角形C ．两个等边三角形是全等三角形D ．全等三角形是指两个能完全重合的三角形例题2．（2021·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个33⨯的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．【变式1】（2020·重庆七年级期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）【变式2】（2020·山西临汾市·七年级期末）如图，ABC ADE ≅，如果5,7,6AB cm BC cm AC cm ===，那么DE 的长是______．例题3．（2020·江苏苏州市·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．【变式1】（2018·全国七年级期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．（1）求证：BD＝BC；（2）若BD＝6cm，求AC的长．【变式2】（2019·山东青岛市·七年级期末）图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.（1）用实线把图①分割成六个全等图形；（2）用实线把图②分割成四个全等图形.分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2021秋•思明区校级期末）如图，CM是△ABC的中线，AM＝4cm，则BM的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．（2021秋•东城区校级期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AC于点E，DE＝4，AC＝6，那么△ACD的面积是（）A．10B．12C．16D．243．（2021秋•玉林期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，5，10D．3，7，94．（2021秋•全椒县期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（）A．5°B．4°C．8°D．6°5．（2021秋•无为市期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝（）A．60°B．90°C．100°D．120°6．（2021秋•望城区期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（）A．25°B．55°C．65°D．75°二．填空题（共8小题）7．（2021秋•岚皋县校级月考）图中以AE为边的三角形共有个．8．（2021秋•天河区期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为cm．9．（2021秋•定海区校级月考）如图，△ABC中，D是BC边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2＝3，则△ABC的面积为．10．（2021秋•港南区期中）如图，BD、CE是△ABC的高，若AB＝4，AC＝6，CE＝5，则BD的长度是．11．（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的心．12．（2021秋•巢湖市期末）△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为．13．（2021秋•包河区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△BDC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数是．14．（2021秋•大连月考）直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是°．三．解答题（共3小题）15．（2021秋•启东市期末）如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°．（1）求∠AFB的度数；（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．16．（2021秋•双台子区期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．17．（2021秋•临漳县期末）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC 内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝度；∠ABP+∠ACP＝度；（2）类比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的关系是；（3）变式探索：如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是．题组B 能力提升练一．选择题（共7小题）1．（2021秋•兴城市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．（2021秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，CD是∠ACB的平分线，CH⊥AB 于点H，则∠DCH的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°3．（2021秋•开州区期末）如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．（2021秋•忠县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD 沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15°D．20°5．（2021秋•密山市期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF＝4，则S△ABC等于（）A．16B．24C．32D．306．（2021秋•潮安区期末）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（）A．4B．2C．6D．87．（2021秋•江宁区期中）如图，在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'．下列条件中：①∠A＝∠A'，AD＝A'D'；②∠A＝∠A'，CD＝C'D'；③∠A＝∠A'，∠D＝∠D'；④AD＝A'D'，CD＝C'D'．添加上述条件中的其中一个，可使四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．上述条件中符合要求的有（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④二．填空题（共8小题）8．（2021秋•博兴县期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是．9．（2021秋•平罗县期末）如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝．10．（2021秋•博白县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为．11．（2020秋•十堰期末）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于．12．（2021秋•鹿城区校级月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，连接BE并延长交AD于点F，若AG＝2BG，则＝．13．（2021春•东阳市期末）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为2kcm，则：（1）裁去的每个小长方形面积为cm2．（用k的代数式表示）（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为．14．（2021秋•湖州期末）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC 于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝．15．（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是．三．解答题（共4小题）16．（2021秋•建昌县期末）如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC＝70°，∠ECD＝20°．求∠ACB的度数．17．（2021秋•沙依巴克区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，AD⊥BC于D，且AE 平分∠BAC，求∠EAD的度数．18．（2021秋•南昌期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）若∠C＝40°，求∠DAE的度数；（2）若EF⊥AE，交AC于点F，请补全图形，并在第（1）问的条件下，求∠FEC的度数．19．（2021秋•邗江区期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝120°，一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD＝∠COE；（2）如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；（3）将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为α度，在旋转的过程中，能否使∠AOE＝3∠COD？若能，求出α的度数；若不能，说明理由．题组C 培优拔尖练一．选择题（共3小题）1．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，则的最大值是（）A．B．1C．D．2．（2021春•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．53．（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF 交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题（共3小题）4．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD ＝30°，则∠BDC＝．（用含α的式子表示）5．（2021春•高邮市期中）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A4B4C4，则其面积S4＝．6．（2021春•宝应县月考）如图，A，B，C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是28，那么△ABC的面积是．三．解答题（共5小题）7．（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．8．（2021秋•西湖区校级期末）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为倍角三角形．（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC 的度数．（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．9．（2021秋•兴庆区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当△PMN所放位置如图①所示时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．10．我们把两个能够互相重合的图形称为全等形．（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数；（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出．11．（2021秋•思明区校级期末）问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；问题解决：（2）如图2，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m3．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE 边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．。

专题03 三角形知识网络重难突破知识点一三角形的有关概念及分类1、三角形的有关概念名称内容图形三角形由3条不在同一条直线上的线段，首尾依次相接组成的图形叫作三角形．边组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边．三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：a，b，c或BC，CA，AB．顶点相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点．角相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角．三角形的记法三角形用符号“V”来表示，顶点是A，B，C的三角形记作ABCV，读作“三角形ABC”．2、三角形的分类（1）按角分类三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形．（2）按边分类注意：①任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.典例1（2019春•东台市校级月考）若一个三角形三个内角度数的比为3:4:11，那么这个三角形是() A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【解答】解：设这个三角形三个内角度数依次为3x︒，4x︒，11x︒，则3411180++=，x x x解得：10x=，∴这个三角形三个内角度数依次为30︒，40︒，110︒，则这个三角形是钝角三角形，故选：D ． 典例2（2019春•徐州期中）ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【解答】解：Q 在ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，∴设A x ∠=，则2B x ∠=，3C x ∠=．180A B C ∠+∠+∠=︒Q ，即23180x x x ++=︒，解得30x =︒， 390C x ∴∠==︒， ABC ∴∆是直角三角形．故选：A ．知识点二 三角形的三边关系（1）对于任意的ABC V ，如果把其中任意两个顶点看成定点（假设B 、C 为定点），由“两点之间，线段最短”可得：b c a +>．同理可得：a b c +>，a c b +>．即：三角形任意两边之和大于第三边．推论：三角形任意两边之差小于第三边． 理论依据：两点之间，线段最短. （2）三角形三边关系的应用①已知三角形的两边长，求第三边的取值范围； ②判断三条线段能否组成三角形.注意：判断三条线段能否组成三角形时，首先找出三条边中的最长边，然后计算另外两边的长度和，若两条短边的长度之和大于最长边的长度，就能组成三角形.典例1（2019春•泰州市泰兴市期中）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( ) A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cmD ．13cm ，12cm ，20cm【解答】解：A 、348+<，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B 、8715+=，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C 、5511+<，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；D 、121320+>，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．故选：D ．典例2（2019春•新吴区期中）有4根小木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，任意取3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：可搭出不同的三角形为：2cm 、3cm 、4cm ；2cm 、4cm 、5cm ；3cm 、4cm 、5cm 共3个．故选：C ．典例3（2019春•常熟市校级月考）已知三角形的三边长分别为4，5，x ，则x 不可能是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9【解答】解：5454x -<<+，即19x <<，则x 的不可能的值是9，故选D ．知识点三三角形的高、中线与角平分线名称图形定义几何语言三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线．顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线．简称三角形的高因为AD是ABCV的高（已知），所以AD BC⊥于点D （或90ADC ADB∠∠︒==）三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线因为AD是ABCV的角平分线（已知），所以1122BAC∠∠∠==三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，交点叫作三角形的重心因为AD为ABCV的中线（已知），所以12BD DC BC==（或22BC BD DC==）注意：三角形的中线、角平分线、高都是一条线段；中线、角平分线都在三角形内部，三角形的高有两种特例：直角三角形中其中一条直角边的高就是另一条直角边；钝角三角形中锐角所对的边上的高在三角形的外部．（2019春•相城区期中）在ABC∆中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，BE为AC边上的高．故选：D．典例2（2019春•盐城市东台市期中）下列说法中错误的是()A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段B．任意三角形的内角和都是180︒C．三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形D．三角形的一个外角大于任何一个内角【解答】解：A、正确，符合线段的定义；B、正确，符合三角形内角和定理；C、正确；D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，错误．故选：D．（2019春•徐州期中）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠． （1）若70C ∠=︒，30B ∠=︒求DAE ∠的度数； （2）若20C B ∠-∠=︒，则DAE ∠= ︒．【解答】解：（1）如图，Q 在ABC ∆中70C ∠=︒，30B ∠=︒，180180703080BAC C B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，AE Q 平分BAC ∠，11804022CAE BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒；AD BC ⊥Q ，70C ∠=︒，90907020CAD C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，40CAE ∠=︒Q ，402020DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）如图，AE Q 平分BAC ∠，1(180)2CAE C B ∴∠=︒-∠-∠，AD BC ⊥Q ，90CAD C ∴∠=︒-∠，11(90)(180)()1022DAE CAD CAE C C B C B ∴∠=∠-∠=︒-∠-︒-∠-∠=∠-∠=︒．故答案为：10．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2019春•靖江市期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( ) A ．4cm 、7cm 、3cm B ．7cm 、3cm 、8cmC ．5cm 、6cm 、7cmD ．2cm 、4cm 、5cm【解答】解：A 、437+=，不能组成三角形，故本选项正确；B 、738+>，能组成三角形，故本选项错误；C 、567+>，能组成三角形，故本选项错误；D 、425+>，能组成三角形，故本选项错误．故选：A ．2．图中三角形的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：图中是三角形的有：ABC ∆、ADE ∆、BDF ∆、DEF ∆、CEF ∆共5个． 故选：A ．3．（2019春•邗江区校级月考）已知三角形三边分别为2，1a -，4，那么a 的取值范围是( ) A ．15a <<B ．26a <<C ．37a <<D ．46a <<【解答】解：依题意得：42142a -<-<+， 即：216a <-<， 37a ∴<<．故选：C ． 4．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形； ②等边三角形是特殊的等腰三角形； ③等腰三角形是特殊的等边三角形； ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；错误． ②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确． ③等腰三角形是特殊的等边三角形；错误． ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确， 故选：B ．5．如图，若CD 是ABC ∆的中线，10AB =，则(AD = )A ．5B ．6C ．8D ．4【解答】解：Q 如图，若CD 是ABC ∆的中线，10AB =， 152AD BD AB ∴===． 故选：A ．6．如图所示，ABC ∆中AC 边上的高线是( )A ．线段DAB ．线段BAC ．线段BCD ．线段BD【解答】解：由图可得，ABC ∆中AC 边上的高线是BD ， 故选：D ．7．（2019春•东台市校级月考）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，点O 在AD 上，且OE BC ⊥于点E ，60BAC ∠=︒，80C ∠=︒，则EOD ∠的度数为( )A ．20︒B ．30︒C ．10︒D ．15︒【解答】解：60BAC ∠=︒Q ，80C ∠=︒， 40B ∴∠=︒．又AD Q 是BAC ∠的角平分线， 1302BAD BAC ∴∠=∠=︒，70ADE ∴∠=︒，又OE BC ⊥Q ， 20EOD ∴∠=︒．故选：A ．8．如图，ABC ∆中，12∠=∠，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点，且CF AD ⊥于H ，下列判断，其中正确的个数是( ) ①BG 是ABD ∆中边AD 上的中线；②AD 既是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，也是ABE ∆中BAE ∠的角平分线； ③CH 既是ACD ∆中AD 边上的高线，也是ACH ∆中AH 边上的高线．A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①G 为AD 中点，所以BG 是ABD ∆边AD 上的中线，故正确；②因为12∠=∠，所以AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，AG 是ABE ∆中BAE ∠的角平分线，故错误； ③因为CF AD ⊥于H ，所以CH 既是ACD ∆中AD 边上的高线，也是ACH ∆中AH 边上的高线，故正确． 故选：C ．二、填空题（共3小题）9．（2019春•东台市校级月考）已知等腰三角形两边的长分别是15和7，则其周长为．【解答】解：①7cm是腰长时，三角形的三边分别为7、7、15，Q，771415+=<∴不能组成三角形，②7cm是底边时，三角形的三边分别为7、15、15，能组成三角形，周长7151537=++=，综上所述，它的周长是37．故答案为：37．10．已知三角形的三边长都是整数，其中两条边长分别是1cm和3cm，则第三条边长_____cm．【解答】解：Q两条边长分别是1cm和3cm，<，∴第三边的取值范围是2<第三边4Q三边均为整数，∴第三边的长为3cm，故答案为：3．11．已知三角形的三边长均为整数，其中两边长分别为1和3，则第三边长为．【解答】解：设第三边长为a，则3131-<<+，a即24<<，aQ是整数，a∴=．a3故答案为：3．三、解答题（共3小题）12．（2019春•大丰区期中）如图，在ABC∆中，点D在BC上，且BAD CAD∠=∠，E是AC的中点，BE 交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？【解答】解：AD是ABC∆的角平分线；∆的角平分线，AF是ABEBE是ABC∆的中线，DE是ADC∆的中线．13．（2018秋•丹阳市期中）如图，ABC∆中，90∆的高、中线、角ACB∠=︒，CD、CE、CF分别是ABC平分线．求证：12∠=∠．【解答】证明：CFQ是ACB∠的平分线，∴∠=∠．ACF BCF∠=︒，CD ABACBQ，90⊥∴∠=∠（同角的余角相等）．ACD BCEQ是AB边上的中线，∴=，BE CE∴∠=∠（等边对等角），BCE B1ACF ACD ACF B∴∠=∠-∠=∠-∠，∠=∠-∠=∠-∠，2BCF BCE ACF B∴∠=∠．1214．如图，ABC∆中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB AC BP CP+>+．【解答】证明：在ABD+>，∆中，AB AD BD 在PDC+>，∆中，CD PD PCAB AD CD PD BD PC∴+++>+∴+>+．AB AC BP CP。

等边三角形是七年级数学下学期第三章第三节的内容，本讲主要讲解等边三角形的性质和判定定理；重点是理清性质和判定之间的区别和联系，难点是灵活运用等边三角形的性质解决综合题目，综合性更强．1、等边三角形的性质等边三角形的每个内角都等于60°．2、等边三角形的判定（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．等边三角形内容分析知识结构模块一：等边三角形性质与判定知识精讲2 / 24【例1】 下列说法中错误的是（ ）A ．等边三角形是等腰三角形B ．等边三角形是锐角三角形C ．等边三角形的高、中线、角平分线共有3条D ．含有60°角的三角形是等边三角形 【答案】D【解析】含有60°角的三角形不一定是等边三角形． 【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质．【例2】 （1）等腰三角形的一个外角等于120°，则它是 三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_______________． 【答案】（1）等边三角形；（2）三，三边的垂直平分线．【解析】（1）当一个外角等于120︒时，与这个外角相邻的内角为60︒，因为是等腰三角形， 所以另外两个角也为60︒，则这个三角形为等边三角形；（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质．【例3】 （1）已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE =_____________；（2）△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，则∠ACD = ． 【答案】（1）60︒；（2）30︒． 【解析】（1）ABC ∆是等边三角形， 601303BAC AD BC CAD BAC ︒︒∴∠=∴∠=∠=，是边上的高，，90BE AC BE AC AEF ︒∴⊥∴∠=是边上的中线，，，903060AFE AEF CAD ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=；ACDBFE 例题解析（2）ABC ∆是等边三角形，60ACB ︒∴∠=． //90AD BC CD AD BCD ︒⊥∴∠=，，，906030ACD ︒︒︒∴∠=-=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质．【例4】 已知三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且有一个内角为60°则这个三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形【答案】A【解析】因为三角形一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且同时等于与它不相邻的 两个内角之和，所以与它不相邻的两个内角相等，因为有一个内角为60︒，所以三个内 角均为60︒，所以为等边三角形．【总结】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和定理．【例5】 已知△ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在AB 上，BD 与CE 相交于点F ，且BF=CF ，说明△ADE 是等边三角形．【解析】BF CF =，FBC FCB ∴∠=∠．60()ABC AB AC ABC ACB A ABD ACE ABD ACE ASA ︒∆∴=∠=∠∠=∴∠=∠∴∆≅∆为等边三角形，，，，AE AD ADE ∴=∴∆，是等边三角形． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定及全等三角形的判定．A B CDEFDCBA4 / 24【例6】 如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，△ADB 和△ACE 都是等边三角形，且∠DAE =∠DBC ，求∠BAC 的度数． 【答案】20°． 【解析】AB AC =，ABC ∴∆是等腰三角形．60ADB ACE ABD BAD CAE ︒∆∆∴∠=∠=∠=和是等边三角形，．606060DAE DBC ABC BAC ︒︒︒∠=∠∴∠+=∠++，，60ABC BAC ︒∠=∠+即．2180ABC ABC BAC ︒∆∠+∠=在中，，)260180BAC BAC ︒︒∴∠++∠=（，即2120180BAC BAC ︒︒∠++∠=，36020BAC BAC ︒︒∴∠=∴∠=，． 【总结】本题主要考查等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．【例7】 如图，ABC ∆是等边三角形，90CBD BD BC ∠==，，则1∠的度数是________． 【答案】75︒．【解析】ABC ∆是等边三角形，60ABC AB BC ︒∴∠==，．906090150CBD ABD ︒︒︒︒∠=∴∠=+=，，23BD BC BD AB =∴=∴∠=∠，，，18015021516015752︒︒︒︒︒︒-∴∠==∴∠=+=，．【总结】本题主要考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．【例8】 如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的动点，且AD =BE =CF ，说明△DEF 是等边三角形的理由．【解析】60ABC A B C AB BC AC ∆∴∠=∠=∠=︒==是等边三角形，，．AD BE CF BD CE AF ==∴==，．A BCDEFAB CDE321ABCDADF BED ∆∆在和中，()AD BE A B ADF BED SAS AF BD ⎧⎪∠∠∴∆≅∆⎨⎪⎩＝＝，＝ DF DE DE EF ∴==，同理可证：，DE DF EF DEF ∴==∴∆，是等边三角形．【总结】本题主要考查等边三角形的性质和判定的综合运用．【例9】 如图，在等边三角形ABC 的边BC 上任取一点D ，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接AD ，BE ，试说明BE =AD 的理由．【解析】ABC ∆是等边三角形，60AC BC ACD ︒∴=∠=，．60CDE CD CE BCE ︒∆∴=∠=是等边三角形，，ACD BCE ∆∆在和中，AC BC ACD BCE ACD BCESAS CD CE =⎧⎪∠=∠∴∆≅∆⎨⎪=⎩，（） BE AD ∴=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．【例10】 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．求证：M 是BE 的中点．【解析】BD 连接601160302230ABC ACB ABC D AC DBC ABC CE CD CDE EACB CDE E E DBC E BD ED ︒︒︒︒∆∴∠=∠=∴∠=∠=⨯==∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∴∠=∠∴=为等边三角形，是边的中点，，，，，DM BC M BE ⊥∴，是的中点．【总结】本题主要考查了等边三角形性质和等腰三角形性质的运用．ABCDEABCDEM6 / 24【例11】 （1）如图所示，已知：△ABC 是等边三角形，M 、N 分别是边BC 、AC 的中点，AM 、BN 相交于点P ，求∠BPM 的大小；（2）如果点M 、N 分别在BC 、AC 的延长线上，且BM =CN ．∠BPM 的大小会发生变 化吗?【答案】（1）60︒；（2）不会．【解析】（1）ABC ∆为等边三角形，60ABC ︒∴∠=． 90M BC AM BC PMB ︒∴⊥∴∠=是的中点，，N AC BN ABC ∴∠是的中点，平分，30MBP ︒∴∠=，180180903060BPM PMB MBP ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=．（2）ABC ∆是等边三角形，60BAC ACB AC BC AB ︒∴∠=∠===，， 120BAN ACM ︒∴∠=∠=，BM CN AN CM =∴=，，()ABN CAM SAS ∴∆≅∆， N M ∴∠=∠．60BPM N PAN M CAM ACB ︒∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，故∠BPM 的大小会不会发生变化．【总结】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理的综合运用．【例12】 如图，已知：在等边△ABC 中，D 在BC 边上，E 在△ABC 外，∠BAD =15°，∠DAE =70°，AD =AE ，求∠CAE ，∠EDC ，∠EFC 的度数．【答案】255080CAE EDC EFC ︒︒︒∠=∠=∠=；；． 【解析】ABC ∆是等边三角形，60BAC B ︒∴∠=∠=．1570BAD DAE ︒︒∠=∠=，，15706025CAE BAE BAC ︒︒︒︒∴∠=∠-∠=+-=．AD AE =，118070552ADE E ︒︒︒∴∠=∠=-=（）， 255580EFC CAE E ︒︒︒∴∠=∠+∠=+=． 156075ADC BAD B ︒︒︒∠=∠+∠=+=， 755520EDC ADC ADE ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．ABCNPMABCPMN ABCDEF【例13】下列说法中正确的个数有（）①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；⑤△ABC中三边为a、b、c，满足()()()0a b b c c a---=，则这个三角形是等边三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形，所以①正确；有两个外角相等的等腰三角形是不一定是等边三角形，所以②不正确；有三个外角都相等的三角形三个内角是相等的，是等边三角形，所以③是正确；有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以④不正确；△ABC中三边为a、b、c，满足()()()0a b b c c a---=，则这个三角形是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以⑤不正确．故选B．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用．【例14】等边△ABC中，AD=BE=CF，D、E、F不是各边的中点，AE、BF、CD分别交于点P、M、N在每一组全等三角形中有三个三角形两两全等，那么在图中全等的三角形的组数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】CFB BEA ADC∆≅∆≅∆；CAE BCD ABF∆≅∆≅∆；CMB BPA ANC∆≅∆≅∆；CFM BEP ADN∆≅∆≅∆；CNE BMD APF∆≅∆≅∆，共5组．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质．A BCDEFMN P8 / 24【例15】 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，且BD AE =，AD 与CE交于点F ．（1）求证：AD CE =； （2）求DFC ∠的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60︒． 【解析】（1）ABC ∆是等边三角形， 60BAC B AB AC ∴∠=∠=︒=，，()AE BD AEC BDA SAS =∴∆≅，，AD CE ∴=；（2）AEC BDA ∆≅∆，ACE BAD ∴∠=∠，60DFC FAC ACF FAC BAD BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外角的性质的综合运用．【例16】 已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3， △ABC 的高为h ．“若点P 在一边BC 上［如图（1）］，此时h 3＝0．可得结论： h 1＋h 2＋h 3＝h ．”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内［如图（2）］，以及点P 在△ABC 外［如图（3）］这两种情况时，上述结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，h 1，h 2，h 3与h 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明．【解析】（1）P ABC ∆当在内部时，结论仍成立． PA PB PC 连接、、， ABC AB PC APC B P S S S S ∆∆∆∆=++， 12311112222BC h AB h AC h BC h ∴=++．ABC ∆是等边三角形，AB BC AC ∴==，123h h h h ∴=++．（2）P ABC ∆当在外部时，不成立，123.h h h h +-=此时 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形面积的综合应用．DA EFBCAB C DM FP ABCD E F AB CDEM P M F P图1 图2 图3【例17】 如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =1200的等腰三角形，以D 为顶点作一个600角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形成一个三角形．求证：△AMN 的周长等于2．【解析】AC P CP BM DP =延长到点，使，连接．1203060909090()60BDC BD CD BDC DBC DCB ABC ABC ACB MBD ABC DBC NCD PCD MBD PCDBM CP BDM CDP SAS MD PD MDB PDC MDN MDB NDC PDC NDC BDC MD ∆∴=∠=︒∴∠=∠=︒∆∴∠=∠=︒∴∠=∠+∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠∠=︒∴∠+∠=∠+∠=∠-∠是等腰三角形，，等边三角形，，，同理可得；，，，，，60,60112AMN N MDN PDN NMD NPD SAS MN PN NC CP NC BM C AM AN MN AM AN NC BM AB AC ∆=︒∴∠=∠=︒∴∆≅∆∴==+=+∴=++=+++=+=+=的周长，（），，2AMN ∴∆的周长为．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质的综合运用，注意辅助线的添加．【例18】 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 的度数． 【答案】30︒．【解析】AC ABC ACE DE ∆∆以为一边在外侧作正三角形，连接2080608080()8020,40AB AC A ABC ACE AC AE CE EAC EAD AB AC AC AE CE AB AEAB AE ABC EAD ABC EAD ABC EAD SAS BC AD ACB EDA BAC AED ED AC DEC DE EC EDC =∠=︒∴∠=︒∆∴==∠=︒∴∠=︒===∴==⎧⎪∆∆∠=∠=︒∴∆≅∆⎨⎪=⎩∴∠=∠=︒∠=∠=︒=∴∠=︒=∴∠=∠，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，，70180180807030ECD BDC ADE EDC =︒∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒【总结】本题考查了等腰三角形、全等三角形和等边三角形性质的综合运用，综合性较强．BCA DEPBAC DN M10 / 24将等边三角形的性质作为一直条件，运用到解题中．【例19】 如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．【解析】ABC CDE ∆∆和是等边三角形60()(ACB ECD AC BC CD CE ACB BCD ECD BCD ACD BCE AC BCACD BCE ACD BCECD CE ACD BCE SAS AD BE CAD CBE M AD N BE AM BN AC BC AMC BNC CAD CBEAM BN AMC BNC S ∴∠=∠=︒==∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠=⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=∠=∠∴==⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆，，，在和中，，，是线段的中点，是线段的中点，在和中，)60AS CM CN ACM BCN NCM BCN BCM ACB ACM BCM NCM ACB CMN ∴=∠=∠∠=∠-∠∠=∠-∠∴∠=∠=︒∴∆，，，，是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．模块二：等边三角形综合知识精讲例题解析 AC ENMBD【例20】 如图，已知D 是等边三角形ABC 的边AB 边延长线上一点，BD 的垂直平分线HE交AC 延长线于点E ，那么CE 与AD 相等吗?试说明理由． 【答案】相等，见解析．【解析】//H HG BC AE G 过点作，交于点．60//6060,903018030,22ABC A ABC AB AC HG BC AHG ABC AHG A AHG HG AG AHHE BD AHE BH DHGHE AHE AHG GEH AHE A GHE GEH EG HG AG AHCE AE AC AG AC AH ∆∴∠=∠==∴∠=∠=︒∴∠=∠=︒∴∆∴==∴∠=︒=∴∠=∠-∠=︒∠=︒-∠-∠=︒∴∠=∠∴===∴=-=-=-是等边三角形，，，，为等边三角形，为的垂直平分线，，，，222.AC AB BH ACAB BH AB BH DH AD =+-=+=++=【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，注意辅助线的添加．【例21】 如图，已知：等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取一点E ，使AD =AE ，作等边三角形PCD 、QAE 和RAB ，则P 、Q 、R 为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．【解析】BP 连接60()ABC PCD AC BC DC PC ACB BAC ABC DCP ACD BCP AC BCADC BPC DC PC ADC BPC SAS ACD BCP ∆∆∴==∠=∠=∠=∠=︒∴∠=∠=⎧⎪∆∆=∴∆≅∆⎨⎪∠=∠⎩和为等边三角形在和中，，，，，，6060606060180606060180.60AD BP DAC PBC RAB QAE RAB RBA R QAE RA RB AQ AERAB BAC QAE R A Q RBA ABC PBC R B P AQ AE AD BP RQ RA AQ RB BP RP R P ∴=∠=∠=︒∆∆∴∠=∠=∠=∠=︒==∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴===∴=+=+=∠=︒∴，和为等边三角形、、三点共线、、三点共线，，，，，以，、Q R 、为顶点的三角形是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合性运用，难度较大．GA B C DEHABCD ERP Q12 / 24【例22】 如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD =AE ，EB 与CD 相交于点O ．EF 与CD 垂直于点F ，试说明OE =2OF ．【解析】60F OFG OE G ∠=︒过点作，交于点60(..)60609030ABC A ABC AB BC AB BCABE BCD A ABC AE BD ABE BCD S A S ABE BCDADO ABC BCD ADO BOD ABE BOD ABC EOF OFG OG OF GFEF CD OFE OEF ∆∴∠=∠=︒==⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠=︒∴∠=︒∴∆∴==⊥∴∠=︒∴∠=︒∠是等边三角形，，在与中，，，又为等，，，，边三，角，形，，302.GFE OEF GFE GE GF OF OE OG GE OF =︒∴∠=∠∴==∴=+=，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用，注意对方法的选择．【例23】 如图，点O 是等边△ABC 内的一点，∠AOB =110°，∠BOC =135°，试问：（1） 以OA 、OB 、OC 为边，能否构成一个三角形，若能，求出该三角形各角的度数； 若不能，说明理由；（2） 如果∠AOB 的大小保持不变，那么当∠BOC 等于多少度时，以OA 、OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形．【解析】（1）OC OCD AD ∆以为边作等边，连， 60OCD OC CD ∠=︒=则，．60 60 (..) 110135 115 1156055 135 1356075 ABC ACB AC BCBCO ACO ACD BCO ACD S A S OB AD ADC BOC OAD OA OB OC AOB BOC AOC AOD ADC ADO O ∆∴∠=︒=∴∠=︒-∠=∠∴∆≅∆∴=∠=∠∴∆∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒-︒=︒∴∠是等边三角形，，，，，是以线段、、为边构成的三角形，，，，，180557550.505575.AD OA OB OC =︒-︒-︒=︒∴︒︒︒以线段、、为边构成的三角形的各角是、、（2）AOB AOC BOC ∠+∠+∠AOB AOC ADC =∠+∠+∠ ()()AOB AOD DOC ADO CDO =∠+∠+∠+∠+∠G ABCD EFO DABCO()()1106060 360AOD ADO =∠︒+∠+︒+∠+︒=︒，130AOD ADO ∴∠+∠=︒， 50OAD ∴∠=︒．AOD ∠当是直角时，90AOD ∴∠=︒，9060150AOC ∴∠=︒+︒=︒， 100BOC ∴∠=︒； ADO ∠当是直角时，90ADO ∴∠=︒，9060150ADC ∴∠=︒+︒=︒，150BOC ∴∠=︒，综上，当∠BOC 等于100°或150°时，以OA 、OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，注意利用旋转的思想去解题．【例24】 △CAB 与△CDE 是有公共顶点C 的两个等边三角形，△CDE 绕点C 顺时针旋转至以下各位置：（1） 当E 在BC 下方时，说明AD =BE ；（2） 当E 在BC 边上如图2、当E 在△ABC 内如图3、当E 在AC 边上如图4， 当 CE ∥AB 时，如图5，AD =BE 还成立吗?请一一说明理由．【解析】（1）ABC ∆是等边三角形， 60AC BC ACB ∴=∠=︒，．6060().CDE CD CE DCE BCE BCD ACD BCE ACD SAS AD BE ∆∴=∠=︒∴∠=︒-∠=∠∴∆≅∆∴=是等边三角形，，，，（2）成立．方法同（1），可证ACD BCE ∆≅∆，所以AD BE =．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用． 【例25】 已知A 、B 、C 三点共线，分别AC 、BC 为边，在直线AB 同侧作等边△CAN 和等边△BCM ，易得AM =BN ．（1）将△CAN 绕点C 旋转一定的度数，得到图（2），试问：AM =BN 吗?ABCDE 图1ABCDE图2CDA B C DE BAECEABD图3图4 图514 / 24（2）将（1）中等边△CAN 再绕点C 旋转一定角度，得到图（3），上述AM =CN 还成 立吗?请说明理由；（3）在旋转过程中，直线AM 和直线BN 所夹的锐角的大小随着旋转角的改变而改变 吗?说说你的理由．【解析】（1）CAN ∆为等边三角形，60CA CN ACN ∴=∠=︒，．6060(..).BCM CM CB BCM ACM NCM NCBACM NCB S A S AM BN ∆∴=∠=︒∴∠=︒+∠=∠∴∆≅∆∴=为等边三角形，，，（2）成立．方法同（1）．（3）不变．AM BN αβ令直线和直线所夹锐角为，所夹钝角为，606012060.ACM NCB AMC NBCNBM AMB NBM AMC BMCNBM NBC BMC CBM BMC βα∆≅∆∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒∴∠=︒， 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．A BC 图1N M ABC 图2MNABCN 图3MABCDA ′B ′C ′【例26】如图，△ABC 中，已知∠C =600，AC ＞BC ，又△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C 都是 △ABC 外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC =DC ．（1）说明△C ′BD ≌△B ′DC 的理由； （2）说明△AC ′D ≌△DB ′A 的理由；（3）对△ABC 、△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C ，从面积大小关系上，你能得出什么结论? 直接写出来．【解析】（1）60ACB BC CD ∠=︒=，60'''6060'().BCD CBD ABC AB BC ABC ABC ABD C BD C BD ABC SAS C D ACBCA DCB DB BA C BD B DC ∴∆∴∠=︒∆∴=∠=︒∴∠=︒+∠=∴∆'≅∆∴'=∆≅∆'∴'=∴∆'≅∆'是等边三角形，是等边三角形，，，同理可证：，， （2）C D B C AB B D BC AC '='=''='='由(1)的结论知:，，().AC D DB A SAS ∴∆'≅∆' （3）.AB C ABC ABC A BC S S S S ∆'∆'∆∆'＞＞＞【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，注意总结等边三角 形的面积与边长的关系．【习题1】 三个内角都相等的三角形是_________三角形，每个内角都等于______． 【答案】等边；60︒． 【解析】略．【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质．随堂检测16 / 24【习题2】 在等腰三角形中，已知两底角之和等于顶角的2倍，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形但不等边 【答案】C【解析】2αα设等腰三角形的顶角为，则底角和为， 218060ααα∴+=︒∴=︒，．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故选C ．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定及三角形内角和定理的运用．【习题3】 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =60°，BD ⊥AC 于点D ，DG ∥AB 交BC 于点G ，E 在BC 的延长线上，CE =CD ．（1）∠E =________；（2）∠BDE =_______；（3）图中的等腰三角形有________个；（4）图中的等边三角形有_______个． 【答案】（1）30︒；（2）120︒；（3）5；（4）2． 【解析】（1）60AB AC A =∠=︒，60309030120.ABC ACB BD AC ABD BDC CD CE E CDE BDE ∴∆∴∠=︒⊥∴∠=︒∠=︒=∴∠=∠=︒∴∠=︒是等边三角形，，，，，（3）等腰三角形有：ABC CDG CDE BGD BDE ∆∆∆∆∆，，，，； （4）等边三角形有：ABC CDG ∆∆，．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定．【习题4】 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A ． ①②③ B ．①②④C ．①③D ．①②③④【答案】D【解析】①、②正确，是等边三角形的判定定理，③三个外角相等则三个内角必相等，则一 定是等边三角形，故正确；④利用等腰三角形的三线合一，可知，该三角形也是等边三 角形，正确，故选D ．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定．AB CDEG【习题5】 如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD =BE =CF ，则△DEF 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形 【答案】A【解析】ABC ∆为等边三角形，60A B AB AC ∴∠=∠=︒=，．(..)..AD CF AF BD ADF BED S A S DF ED DF FE DF ED FE DEF =∴=∴∆≅∆∴==∴==∴∆，，，同理可证：，是一个等边三角形【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定的综合运用．【习题6】 已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ） A ． 2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【答案】C【解析】1AC AB AC P PA PB =第个点在上，作线段的垂直平分线，交于点，则有； 2A AB AP AB AC P =第个点是以为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点；34566A AB AP AB CA P B BA BP BA AC P B BA BP BA BC P A AB AP AB BC P P ====第个点是以为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点；故符合条件的点有个点.【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，注意利用 “两圆一线”的方法确定等腰三角形．A BCDEF18 / 24【习题7】 如图，等边△ABC 中，AD =CE ，CD 于BE 相交于点P ，求∠BPC 的度数． 【答案】120︒【解析】ABC ∆是等边三角形，60(..)6060120.AC CB A ACB AD CE ACD CBE S A S ACD CBE ACD BCD ABC CBE BCD BPC ∴=∠=∠=︒=∴∆≅∆∴∠=∠∠+∠=∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质．【习题8】 如图，△ABC 和△DBE 都是等边三角形，说明AB ∥CE 的理由．【解析】ABC DBE ∆∆和是等边三角形6060(..)6060//.AB BC BD BE A ABC DBE ABD CBE DBCABD CBE S A S BCE A ABC BCE AB CE ∴==∠=∠=∠=︒∴∠=∠=︒-∠∴∆≅∆∴∠=∠=︒∴∠=∠=︒∴，，，，，【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质的运用．【习题9】 如图，△ABC 为等边三角形，E 是BC 延长线上一点，CD 平分∠ACE ，CD =BE ，试说明△ADE 为等边三角形的理由．【解析】ABC ∆为等边三角形，6012060(..)6060B ACB AB AC ACE CD ACE ACD B ACD AB ACABE ACD B ACDBE CD ABE ACD S A S AD AE BAE CAD BAC DAE ADE ∴∠=∠=︒=∴∠=︒∠∴∠=︒∴∠=∠=∆∆∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠∠⎧⎪=︒∴∠=︒∆⎨⎪⎩∴，，平分，，在和中，，，，，为等边三角形.【总结】本题主要考查等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．A BC EDPABCDEAB C DE【习题10】 如图，△ABC 中，BA =BC =a ，∠B =60°，在BC 的延长线上取一点D ，使CD =b ，在BA 延长线上取一点E ，使AE =a +b ，试判断△ECD 是什么三角形，并说明理由． 【答案】等腰三角形． 【解析】//DF AC BE F 作交于60//60(..).ABC BAC B BA BC DF AC EFD CAE BFD BAC BDF DF BD BF a b AF BF BA BD BC CD bAE a b FE a AC AE BD FD EFD CAE S A S ED EC ECD ∆∴∠=∠=︒=∴∠=∠∠=∠=︒∴∆∴===+∴=-=-===+∴====∴∆≅∆∴=∴∆是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，，是等腰三角形【总结】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用，注意平行 线的添加，将问题进行转化．【作业1】 已知一个三角形的任意一个角的平分线都垂直于这个角的对边，则这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形．【答案】D【解析】只有在等边三角形中任意一个角的平分线是垂线并且是中线． 【总结】本题主要考查全等三角形的判定．课后作业ABCDEF20 / 24【作业2】 等边△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ）A ． 60°B ．90°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】ABC ∆是等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒．113030221803030120.BI ABC CI ACB IBC ABC ICB ACB BIC ∠∠∴∠=∠=︒∠=∠=︒∴∠=︒-︒-︒=︒平分，平分，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和角平分线的性质的综合运用．【作业3】 如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠ABE =∠ACD ，BE =CD ，则△ADE 的形状是（ ）A ． 等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 【答案】B【解析】ABC ∆为等边三角形，AB AC ∴=．(..)60ABE ACD BE CD ABE ACD S A S AE AD BAE CAD ADE ∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠=︒∴∆，，，，是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定．【作业4】 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ） A ．3个B ．4个C ． 5个D ．6个【答案】D【解析】 AB AC =， ABC ∴∆是等腰三角形， 36C B ∴∠=∠=︒，180 180 36 36 108BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．2 36 ADE BAD B BAD ABD ∠=∠∴∠=∠=︒∴∆，，是等腰三角形．ACE ∆同理可得是等腰三角形．ADE AED ADE ∠=∠∴∆，是等腰三角形．A BCDEAB CD E108 36 72CAD BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ADE CAD CAD ∴∠=∠∴∆，是等腰三角形．BAE ∆同理可得是等腰三角形．6 ABC ADE ABD ACE ABE ACD ∴∆∆∆∆∆∆有个等腰三角形，分别为：、、、、、．【总结】本题主要考查了等腰三角形的判定．【作业5】 如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：BD +DC =AD ．【解析】ABC ∆是等边三角形，60BA BC ABC ∴=∠=︒，．6060(),.BDE BE BD DE DBE ABE CBD CBE ABE CBD SAS AE CD BD DC DE AE AD ∆∴==∠=︒∴∠=∠=︒-∠∴∆≅∆∴=∴+=+=是等边三角形，，，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．【作业6】 如图，已知△ABC 、△ADE 是等边三角形，点E 恰在CB 的延长线上，说明∠ABD =∠AED 的理由．【解析】ABC ADE ∆∆、为等边三角形，60AD AE AB AC DAE AED BAC C ∴==∠=∠=∠=∠=︒，，．60DAB EAC BAE ∴∠=∠=︒+∠， DAB EAC ∴∆≅∆，60ABD C AED ∴∠=∠=︒=∠．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．ABCDEABCDE22 / 24【作业7】 试说明等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于这个三角形一边上的高．【解析】a 如图，设等边三角形的边长为， 11••22ABC S BC AH a AH ∆∴==，111•••222111•••2221)2ABCSAB PD BC PE AC PF a PD a PE a PFa PD PE PF =++=++=++( PD PE PF AH ∴++=， 即得证．【总结】本题主要考查了三角形面积公式的应用及等边三角形的性质的综合运用．【作业8】 如图，D 是等边△ABC 内一点，DA =BD ，PB =AC ，且∠DBP =∠DBC ，则∠BPD的度数是 ． 【答案】30︒． 【解析】CD 连接．60(..)1302,(..)30.ABC AB BC AC ACB DB DA DC DC ACD BCD S S S BCD ACD ACB PB AC PB BC DBP DBC BD BD BPD BCD S A S BPD BCD ∆∴==∠=︒==∴∆≅∆∴∠=∠=∠=︒=∴=∠=∠=∴∆≅∆∴∠=∠=︒是等边三角形，，，，，，，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的运用．【作业9】 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ．（1）试说明COD △是等边三角形； （2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形?ABCDPABCDO110α【解析】（1）60BOC C ADC ∆︒∆将绕点按顺时针方向旋转得60.CO CD OCD COD ∴=∠=︒∴∆，，是等边三角形（2）150AOD α=︒∆当时，是直角三角形，1506090BOC ADC ADC BOC COD ODC ADO ADC ODC AOD ∆≅∆∴∠=∠=︒∆∴∠=︒∴∠=∠-∠=︒∴∆，是等边三角形，，是直角三角形.（3）AO AD =①要使，AOD ADO ∠=∠需． 360110601906019060125AOD ADO αααααα∠=︒-︒-︒-=︒-∠=-︒∴︒-=-︒∴=︒，又，，；OA OD OAD ADO =∠=∠②要使，需，1801801906050OAD AOD ADO αα∠=︒-∠+∠=︒-︒-+-︒=︒（）（），6050110αα∴-︒=︒∴=︒，；OD AD OAD AOD =∠=∠③要使，需，19050140αα∴︒-=︒∴=︒，．125110140AOD α︒︒︒∆综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形．【总结】本题综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定，注意进行角度的计算，综 合性较强，第（3）问注意要分类讨论．【作业10】 如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，并使AE =BD ，连接CE 、DE ，说明CE =DE 的理由．【解析】BD F DF BC EF =延长至，使，连接．6060(..).AE BD AE CFABC BA BC B BE BF BEF BE EF B F BC DF ECB EDF S A S CE DE =∴=∆∴=∠=︒∴=∴∆∴=∠=∠=︒=∴∆≅∆∴=，为等边三角形，，，为等边三角形，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质与判定及全等三角形的判定，注意辅助线的添加．A BC D EF【作业11】在等边△ABC所在平面内求一点P，使△P AB、△PBC、△P AC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_________个．【答案】10．【解析】（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的P点，每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，注意利用“两圆一线”去画等腰三角形．24/ 24。

B北师大版数学七年级下备课笔记 考点9：三角形中的角、多边形【知识梳理】知识点一：三角形的内角与外角（一）三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的 角. （2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 （3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数； ③求一个三角形中各角之间的关系. （二）三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为 °.（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上； ②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的 .（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 的和.②三角形的一个外角 （大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点二：多边形（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 .注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 从n 边形的一个顶点出发，可以画 条对角线，n 边形一共有 条对角线.（三）多边形的内角和公式：n 边形的内角和为 .内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 .外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点三：镶嵌（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就能拼成一个平面图形.【典例分析】题型一：三角形的内角和例1、若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大︒44，求此三角形的最大角。

三角形的内角和知识点三角形是几何学中研究最广泛的一个概念，它由三条边和三个内角组成。

在研究三角形时，内角和是一项非常基本且重要的知识点。

本文将介绍三角形的内角和的计算公式、性质以及应用。

一、内角和的计算公式在任意三角形ABC中，内角A、内角B和内角C的和等于180度。

这是因为三角形的所有内角的和总是等于一个平面的直角，即180度。

根据这个原理，我们可以得出如下计算公式：内角A + 内角B + 内角C = 180度这个公式适用于任意三角形。

二、内角和的性质1. 三角形两个内角的和在一般的三角形中，两个内角的和不等于90度，也不等于180度。

只有在特殊的情况下，即等腰三角形和直角三角形中，两个内角的和会有特殊的取值。

2. 等腰三角形的内角和等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

在等腰三角形中，两个相等的内角的和等于180度，而第三个内角等于180度减去这两个相等内角的和。

这是等腰三角形的一个重要性质。

例如，在一个等腰三角形ABC中，假设两个相等的内角A和B的度数分别为x度，则根据等腰三角形的内角和性质，内角C的度数为180度 - (x度 + x度) = 180度 - 2x度。

3. 直角三角形的内角和直角三角形是指具有一个内角为90度的三角形。

在直角三角形中，另外两个内角的和一定等于90度。

例如，在一个直角三角形ABC中，假设一个内角为90度，另一个内角的度数为x度，则根据直角三角形的内角和性质，第三个内角的度数为90度 - x度。

三、内角和的应用1. 判定三角形的类型通过计算三角形的内角和，我们可以判定三角形的类型。

根据内角和的计算公式，如果一个三角形的内角和等于180度，则该三角形是一个普通三角形；如果一个三角形的内角和小于180度，则该三角形是一个锐角三角形；如果一个三角形的内角和大于180度，则该三角形是一个钝角三角形。

2. 解决三角形的问题在解决三角形相关的问题时，了解内角和的知识是非常重要的。

初一下册数学《三角形》知识点复习总结初一下册数学《三角形》知识点复习总结章一一、三角函数1.定义：在rt△abc中，∠c=rt∠，则sina= ;cosa= ;tga= ;ctga= .2. 特殊角的三角函数值：0° 30° 45° 60° 90°sinαcosαtgα /ctgα /3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…4. 三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。

2. 依据：①边的关系：②角的关系：a+b=90°③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理1. 俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

初一下册数学《三角形》知识点复习总结章二一、目标与要求1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

二、重点三角形内角和定理;对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

三、难点三角形内角和定理的推理的过程;在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

四、知识框架五、知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的分类3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。