十字相乘法因式分解(经典全面)

因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。

交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。

从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。

2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。

右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。

完整版)十字相乘法在进行因式分解时，首先要考虑能否提取公因式，然后再考虑运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法。

对于还能继续分解的多项式因式，仍然要用这一步骤反复进行。

以上步骤可以用口诀来概括：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”。

二次三项式是指多项式ax+bx+c，其中a为二次项，b为一次项，c为常数项。

例如，x-2x-3和x+5x+6都是关于x的二次三项式。

在多项式x-6xy+8y中，如果把x看作常数，它就是关于y的二次三项式；如果把y看作常数，它就是关于x 的二次三项式。

同样地，在多项式2ab-7ab+3中，如果把ab 看作一个整体，它就是关于ab的二次三项式。

还有多项式(x+y)+7(x+y)+12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式。

十字相乘法是一种分解二次三项式的方法。

对于二次项系数为1的二次三项式x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，方法的特征是“拆常数项，凑一次项”。

当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。

例如，对于7x+(-8x)，我们可以得到原式=(x+7)(x-8)。

另外，对于x^2-10x+16，我们可以将其分解为(x-2)(x-8)。

对于二次项系数不是1的二次三项式ax^2+bx+c=a1x^2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)，它的特征是“拆两头，凑中间”。

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同。

例如，对于-2x+(-8x)，我们可以得到原式=-10x，而对于2x^2-11x-6，我们可以将其分解为(2x+1)(x-6)。

幻灯片1幻灯片2实际在使用此公式时，需要把一次项系数和常数项进行分拆，在试算时，会带来一些困难。

下面介绍的方法，正好解决了这个困难。

幻灯片3十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。

幻灯片4在分组分解法中，我们学习了形如 x ＋(p ＋q)x ＋pq 的式子的因式分解问题。

2即：x ＋(p ＋q)x＋pq=(x ＋p)(x ＋q) 2 即：x ＋(p ＋q)x ＋pq=(x ＋p)(x ＋q) 2 xxpqpx ＋qx=(p ＋q)xx2pq例1 分解因式 x －6x ＋82=(x－2)(x－4) 幻灯片5xx－2－4 －4x－2x=－6x解：x －6x＋8 2练习：分解因式(x－y) ＋(x－y) －62对于一般地二次三项式ax＋bx＋c (a≠0) 此法依然好用。

2例2 分解因式3x －10x＋3 2=(x －3)(3x －1)=(5x ＋3)(x －4) 幻灯片6x 3x－3－1－9x －x=－10x解：3x －10x ＋32例3 分解因式 5x －17x －1225x x＋3－4－20x ＋3x=－17x解：5x －17x －122幻灯片7练习：将下列各式分解因式答案(7x ＋6)(x ＋1)6 1－51－5＋6=11 2－5－1－1－10=－111、 7x －13x ＋62答案 (x －1)(x －a) 幻灯片8=(2x ＋y)(x －2y)＋3x ＋4y －2 =(2x ＋y －1)(x －2y ＋2)5、 x －(a ＋1) x ＋a 2例5 将 2x －3xy －2y ＋3x ＋4y －2 分解因式 22 解： 2x －3xy －2y ＋3x ＋4y －2 22 =(2x －3xy －2y )＋3x ＋4y －222 211－2－4＋1=－3。

十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

(完整版)初中体育十字相乘法因式分解初中体育十字相乘法因式分解介绍在初中体育中，我们研究了许多有关运动和身体健康的知识。

本文将介绍一个在初中体育中常用的数学方法——十字相乘法因式分解。

十字相乘法因式分解的定义十字相乘法因式分解是一种用于将多项式因式分解的方法。

它使用乘法性质，将原多项式转化为两个简化的因式相乘的形式。

使用步骤1. 将原多项式按照常用的因式分解方式进行分解。

2. 将分解后的每一项的因子按照十字相乘法排列在一个十字形的图表中。

3. 使用竖线分隔图表，每个部分的乘积即为一个简化的因式。

4. 将简化的因式相乘，得到最终的因式分解结果。

示例下面我们通过一个示例来说明十字相乘法因式分解的具体步骤：原多项式：x^2 + 3x + 21. 将原多项式按照常用的因式分解方式进行分解：(x + 1)(x + 2)2. 将分解后的每一项的因子按照十字相乘法排列在一个十字形的图表中：| x + 1 | x + 2---- | ------- | -------x+1 | x^2 + x | x^2 + 2x---- | ------- | -------x+2 | x^2 + 2x | x^2 + 3x + 23. 使用竖线分隔图表，每个部分的乘积即为一个简化的因式：(x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 24. 最终的因式分解结果为：x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)总结十字相乘法因式分解是初中体育中常用的一种数学方法，用于将多项式进行因式分解。

它通过将原多项式转化为两个简化的因式相乘的形式，帮助我们更好地理解和解决问题。

通过研究和掌握十字相乘法因式分解，我们可以更加灵活和高效地应用数学知识解决体育中的问题。

注意：本文介绍的内容仅供参考，具体的因式分解步骤和方法应根据实际问题和教材要求进行应用和研究。

参考资料。

十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。