知识点一：任意角
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
第一象限角的集合为{}
36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z
第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z
终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z
3、终边相同的角：
与角α终边相同的角的集合为{}
360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限：若α是第k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧n 等分，并从x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号k
的区域是角
n
α
终边所在的范围。 知识点二、弧度制的转换：
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r
α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π
=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝
⎭
． 特殊角的弧度数：
00
030
045
060
090
0120
0135
0150
0180
知识点五：扇形
8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，
则弧长公式：l r α=，扇形周长：2C r l =+，扇形面积：211
S lr r α==．
例题分析
【例1】在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1） ；（2）
；（3）
．
【例2】如果α角是第二象限的角，那么
2α
，3
α角分别是第几象限的角？说说你的理由。
【例3】写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)
【例4】（1）扇形的中心角为π3
2
，弧长为π2，则其半径=r ______．
（2）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 弧度．
（3）点P 从圆心在原点O 的单位圆上点)0,1(出发，沿逆时针方向运动π6
5
弧长，到达点Q ，则点
Q 的坐标是_______________. （4）将65π
rad 化为角度是 ．
（5）已知扇形的周长为cm 3
24π
+
,其半径为cm 2,则该扇形的圆心角的弧度数为 . （6）若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为（ ）
A 、1sin 2
B 、21sin 2
C 、 21sin 1
D 、tan1
【例5】如图,一条弦AB 的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB 和劣弧AB 所组成的弓形的面积.
A B
R R
【例6】如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角（0πθ<≤），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．
【例7】一扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此
扇形的最大面积？
针对练习
1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2．下列命题正确的是（ ）
Α.终边相同的角一定相等。 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象限的角。 D.小于︒90的角都是锐角。
3．如果一扇形的弧长为2πcm ，半径等于2cm ，则扇形所对圆心角为（ ）
Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．π2 Ｄ．3π
2
4.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）
Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 5．若3rad α=-，则它是（ ）C
A 、第一象限角
B 、第二象限角
C 、第三象限角
D 、第四象限角 6.一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）
Ａ．211
2sin 222
R ⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
Ｂ．21sin 22
R Ｃ．212
R
Ｄ．221sin 22
R R -
7．若α角的终边落在第三或第四象限，则2α
的终边落在（ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限
8．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）
A ．2°
B ．2
C ．4°
D ．4 9．下列说法正确的是
（ ）
A ．1弧度角的大小与圆的半径无关
B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
D ．用弧度表示的角都是正角
10．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
A ．2
B ．
1
sin 2
C ．1sin 2
D ．2sin
二、填空题
11．若三角形的三个内角的比等于2:3:7，则各内角的弧度数分别为 ．
12.将时钟拨快了10分钟，则时针转了 度，分针转了 弧度．
13．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．
14．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 . 三、解答题
15.求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ．
16．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）
（1） （2） （3）
17．绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm?
18、已知两角的和为1弧度，两角的差为1°，求这两个角各是多少弧度？
任意角和弧度制、任意角的三角函数专题 一、基础小题 1．已知角α的终边与单位圆交于点? ?? ?? －45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－3 4 2．sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．23 B ．32 C ．23π D ．32 π 4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) 5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝ 2 4 x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 3 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ |tan θ| 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π 3 ，则sin α＝( ) A ．－ 32 B ．32 C ．－12 D ．12 9．给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
第一章：三角函数 第一课时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 过程： 一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1.回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2.讲解：“旋转”形成角 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α 4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1?角有正负之分如：α=210?β=-150?γ=-660? 2?角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360?32=720?） 3周（360?33=1080?） 3?还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30? 390?-330?是第Ⅰ象限角， 300?-60?是第Ⅳ象限角 585? 1180?是第Ⅲ象限角，-2000?是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390?，-330?角，它们的终边都与30?角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与) k∈个周角的和 (Z k 390?=30?+360?)1 k (=
任意角和弧度制 知识点 1.角的分类： （1）正角：一条射线逆时针方向旋转形成的角 （2）负角：一条射线顺时针方向旋转形成的角 （3）零角：一条射线不做旋转 2．象限角的概念： （1）定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． （2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。 （3）终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k·360 ° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：∈ k∈Z ∈ α是任一角； ∈ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍； ∈ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例如： 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
(完整版)任意角与弧度制练习题 §5。1 任意角和弧度制 班级 姓名 评价 一、归纳基础知识： 1．任意角的概念:正角、负角、零角； 象限角,终边在坐标轴上的角（轴线角）的表示方法； 2．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成集 合 ｛β|β= }. 3. 弧度制：长度等于________长的弧所对的圆心角叫做1rad （弧度)的角。 弧度与角度的换算公式:360o =_____rad ； πrad=_____； 1o =_______rad ； 1rad=________。 4。 扇形的弧长公式：L =_________ ； 扇形的面积公式：S=_________=__________ 5．单位圆：在直角坐标系中，以______为圆心,以_________为半径的圆叫做单位圆。在单位圆中，圆心角α的弧度数的绝对值，等于圆心角α所对的_________。 二、举例示范解题： 例1、“角︒=90α”是“角α终边在y 轴的正半轴上”的（ ）条件. A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要 例2、填空:（1）02230化为弧度制是 ；(2）5 2 rad 化成 角度是 ; （3)扇形的中心角为2 3 ，弧长为2，则其内切圆的半径等 于 。 例3．（2005湖南文）tan600°的值是( ) A ．3 3 - B ．33 C ．3- D ．3 例4、已知角︒=1690α，()1试将α写成)[()πββπ2,0,2∈∈+Z k k 的形式；()2求θ，使θ与α的终边相同，且()ππθ2,4--∈. 三、巩固挑战高考： 1。 快速口答题:︒90= π；︒45= π；︒135= π；︒150= π； ︒450= π；︒-150= π;︒390= π；︒1440= π。 2。 时针走过2小时45分，则分针转过了 度, 弧度。 3. 若α是第二象限角，则α-︒180是（ ) A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角 4 ． 与 45终边相同的角集合 是 。 6．在00到0360范围内，与角 064018 相同的角 是 。 7. 已知︒-<<︒-630990x ,且x 与︒120角的终边相同，则=x . 8。 如果()()()41416 k k k Z π παπ+<<++ ∈，则α是第 象限
5.1 任意角和弧度制 （基础知识+基本题型） 知识点一 任意角 1.角的概念 (1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 (2)角的表示：如图 射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。 2.角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 拓展： （1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置。 （2）角的范围不再限于0 360. B O A O A B O A B A （B O
知识点二 象限角与终边相同的角 1.象限角 （1）象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （2）象限角的集合表示 }360 90360,x k k Z <<+⋅∈ }90360180360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }180360270360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }270360360360,k x k k Z ⋅<<+⋅∈ 2.终边相同的角 （1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{S ββα==+}360,k k Z ⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 （2）角的终边在坐标轴上的角的集合表示 ,k Z ∈}360,k k Z +⋅∈ }180,k k Z ⋅∈ }90360,k k Z +⋅∈ }90 360,k k Z +⋅∈
1.1任意角与弧度制知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α ∠可以简记成α。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、 C关系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊂C D．A=B=C 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与) k∈个周角的和。 k (Z （2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合 即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 注意：
1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4 θ的角终边相同的角为 。 （2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ． 例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角： 若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ） 。 A.重合 B.关于原点对称 C.关于x 轴对称 D.有关于y 轴对称 二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：
三角函数-任意角与弧度制 知识点 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。 2. 角的分类为了区别起见，我们规定: （1）正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角； （2）负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角； （3）零角：如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 注意：（1）角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角 （2）在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”。 3.终边相同的角的表示方法：与α终边相同的角构成一个集合： { } 360,S k k Z ββα==+?∈o 注:（1） Z k ∈； （2）α是任意角； （3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 4.象限角：在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 非象限角：终边落在x 轴或y 轴上的夹角。 5.弧度与角度的互化 （1）弧度制的定义 比较两个同心圆，我们发现同一个圆心角所对应的弧长与半径对应成比例。
或者说同一个圆中弧长与半径之比是不变的。 因此我们有如下定义： 如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r （2）. 弧度角的定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 弧度单位：rad 。（此单位写不写都可以） （3）. 弧长公式：r l ?=α （4）. 角度与弧度的换算3602π=o rad ；180π=o rad 。 1°＝ π180rad ；1 rad ＝(180 π )° (3)特殊角的度数与弧度制对应表： （5）. 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为S ＝12＝12|α|·r 2 题型一 终边相同的角的表示 【例1】写出与ο 75角终边相同的角的集合，并求在ο ο 1080~360范围内与ο 75角终边相同的角
任意角和弧度制及任意角的三角函数 考纲解读 1.通过角的变换，判断角所在象限；2.常见的角度与弧度之间的转化；3.已知角的终边求正弦、余弦、正切值；4.利用三角函数线求角的大小或角的范围；5.利用扇形面积公式和弧长公式进行相关计算． [基础梳理] 1．任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按逆时针方向旋转形成的角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角； ③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)角α的弧度数公式：|α|＝l r . (3)角度与弧度的换算： 360°＝2π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝(180 π)°≈57°18′. (4)扇形的弧长及面积公式： 弧长公式：l ＝α·r . 面积公式：S ＝12l ·r ＝1 2α·r 2. 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作
角α的正弦线、余弦线和正切线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等． [三基自测] 1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10 D.10π9 答案：D 2．若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C 3．弧长为3π、圆心角为3 4π的扇形半径为________． 答案：4 4．(必修4·4.1例题改编)α终边上一点P (－3,4)．则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 答案：45 －35 －43 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α的终边过点(3,4)，则cos ????α－π 4＝__________. 答案：72 10 [考点例题] 考点一 终边相同的角及象限角|易错突破 高考总复习·数学(理)第三章 三角函数、解三角形[例1] (1)若角α满足α＝2k π3＋π 6(k ∈Z )，则α的终边一定在( ) A ．第一象限或第二象限或第三象限 B ．第一象限或第二象限或第四象限 C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上
、选择题 1.若a 是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 2.终边与坐标轴重合的角 a 的集合是 (B){ a|a =k 180 ° 90 ° k € Z} 5?将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 *6.已知集合A=｛第一象限角｝ , B=｛锐角｝, C=｛小于90 的角｝，下列四个命题: ①A=B=C ②AC ③C A ④A Q C=B,其中正确的命题个数为 二.填空题 三.解答题 11. 试写出所有终边在直线 y 3x 上的角的集合，并指出上述集合中介于 -180°和1800之 间的角.班级 §.1任意角和弧度制 姓名 学号 得分 (A) 90 -°a (B) 90 + a (C)360 -a (D)180 (A){ a 沪k 360 ° k € Z} (C){ a 沪k -180 °, k € Z} (D){ o| a =k 90 ° k € Z} 3.若角a 3的终边关于y 轴对称，则 3的关系一定是(其中 k € Z ) (A) a + 3= n (B) a 3=— (C) a -3=(2k+1) n (D) a + 3=(2k+1) n 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 (B)令 (A) 3 (C) ■■ 3 (D)2 (A) 3 (B) - 3 (C)6 (D) - 6 (A)0 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 7.终边落在X 轴负半轴的角 a 的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角 的集合是 23 8. - — n ra 化为角度应为 12 9.圆的半径变为原来的 3倍, 而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 10.若角a 是第三象限角，则 ?角的终边在 ,2a 角的终边在
必修四第一章三角函数 1.1任意角与弧度制 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α ∠可以简记成α。 注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 4、常用的角的集合表示方法 <1>、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与) (Z k k∈个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S∈ ⋅ + = =, 360 | α β β 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈ k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 <2>、终边在坐标轴上的点： 终边在x轴上的角的集合： {}Z k k∈ ⨯ =, 180 | β β 终边在y轴上的角的集合： {}Z k k∈ + ⨯ =, 90 180 | β β 终边在坐标轴上的角的集合： {}Z k k∈ ⨯ =, 90 | β β <3>、终边共线且反向的角： 终边在y=x轴上的角的集合： {}Z k k∈ + ⨯ =, 45 180 | β β 终边在x y- =轴上的角的集合： {}Z k k∈ - ⨯ =, 45 180 | β β <4>、终边互相对称的角： 若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系：β α- =k 360
知识点一：任意角 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几 象限，则称 为第几象限角． 第一象限角的集合为 k 360 k 360 90 , k 第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 ,k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90 ,k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k 3、终边相同的角： 与角 终边相同的角的集合为 k 360 ,k * 4、已知 是第几象限角，确定 n * 所在象限： 若 是第 k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧 n n 等分，并从 x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上 1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域是角 终边所在的范围。 n 知识点二、弧度制的转换： 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度． 6、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 l ． r 7、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 ，1 ， 1 180 57.3 ． 180 特殊角的弧度数： 知识点五：扇形 8、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ， 则弧长公式： l r ，扇形周长： C 2r l ，扇形面积： S 21lr 12 r 2． 第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270 , k 第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360 , k
1 ●高考明方向 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ★备考知考情 1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合， 考查三角函数求值问题． 2.三角函数的定义与向量等知识相结合， 考查三角函数定义的应用． 3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一 角的概念 (1)分类⎩⎪⎨⎪⎧ 按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 《名师一号》P47 对点自测 1、2 注意： 1、《名师一号》P48 问题探究问题1、2 相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？ 相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍． 角的表示形式是唯一的吗？ 角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}． (补充) 2、正角 > 零角 > 负角 3、下列概念应注意区分 小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角． 4、(1)终边落在坐标轴上的角 2
3 1）终边落在x 轴非负半轴上的角 {x|x ＝2kπ，k∈Z} 2）终边落在x 轴非正半轴上的角 {x|x ＝2kπ+π，k∈Z} 终边落在x 轴上的角 {x|x ＝kπ，k∈Z} 3）终边落在y 轴非负半轴上的角 {x|x ＝2kπ+π2，k∈Z} 4）终边落在y 轴非正半轴上的角 {x|x ＝2kπ+3π2，k∈Z} 终边落在y 轴上的角 {x|x ＝kπ+π2，k∈Z} (2) 象限角 （自己课后完成） 知识点二 弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算： 360°＝2π弧度；180°＝π弧度；
任意角的概念及弧度制基础知识 一、角的定义: 1、小学和初中对角的定义： 2、高中对角的定义： 3、正角、负角、零角的定义： 4、角的加减法的几何意义： 5、终边与某一角相同的角的表示法: 6、象限角的定义: 7、轴线角的定义： 8、若角α是某一象限的角，则α 2、α 3 分别是什么象限的角: 二、弧度制、弧度制与角度制的换算 1、角度值的定义： 2、弧度制的定义: 3、弧度制与角度制的换算
4、 特殊角的弧度： 5、 弧度、弧长、半径之间的关系: 6、 扇形的面积的计算公式： 任意角的概念及弧度制练习题 1、 在直角坐标系中,若角α与角β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系一定是 ．若角α与角β的终边互相垂直，则α与β的关系可以是 ． 2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是 ． 3、已知集合{第一象限的角｝，{锐角｝，｛小于90o 的角},下列四个命题： ① ② ③ ④ 正确的命题个数是 ． 4、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ． 5、若是第四象限角,则是 ． 6、－1120°角所在象限是 ． 7、下列命题是真命题的是( ） Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同 D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={} Z k k ∈+⋅=,90180| αα 8、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角 D ．第一、四象限角 9、两弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所夹的扇形的面积为 。 =A =B =C C B A ==C A ⊂A C ⊂B C A =⊂ααπ-
2. 按角的终边位置 (1) 角的终边在第几象限， —则此角称为第几；(2)角的终边在—上，则此角不属于 任何一 个象限• 3. ________________________________________________________________________________ 所有与角a 终边相同的角，连同角 a 在内，可构成一个集合 S= _______________________________________ ，即 任一与角a 终边相同的角，都可以表示成角 【常考题型】 题型一、象限角的判断 【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在 出它们是第几象限角. (1) - 75 ° ;⑵855 ° ; (3) - 510 【类题通法】象限角的判断方法 (1) 根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限， 此角就是第几象限角. (2) 根据终边相同的角的概念.把角转化到 0°?360。范围内，转化后的角在第几象限，此 角就是第几象限角. 【对点训练】 在直角坐标系中，作出下列各角，在 0°?360。范围内，找出与其终边相同的角，并判定 它是第几象限角. (1)360 ° ；⑵720 ° ； (3)2 012 ° ； (4) - 120 ° . 题型二、终边相同的角的表示 任意角与弧度制 【知识梳理】 1按旋转方向分 X 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指
【例2】(1)写出与a=- 1 910。终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720 v卩v 360。的元素卩写出来• ⑵分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合
任意角和弧度制练习 C.2s ini D.si n2 sini 7. 若角是第二象限的角，则一是（ ） 2 （A ）第一象限或第二象限的角 （C ）第二象限或第四象限的角 8. 在单位圆中，面积为 1的扇形所对的圆心角为（ A. 1 B . 2 C . 3 D .4 9. ° 120 的弧度数是（ ) 5 4 c 2 3 A. B. C. D. 6 3 3 4 V3 A.恋3 B . 1 C . 2 D .3 M x k x ,k Z ,N x x k -,k Z 2•设集合 2 2 ，则M 与N 的关系是（ ） A. M N B. M N C. M N D. M I N 1.圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是（ ) 3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是 （） A.2 B. 4.在“①160。②480。③960°④ 1600°”这四个角中，属于第二象限的角是 A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 5. 若是钝角，则 k ,k A.第二象限角 B. C.第二象限角或第三象限角 6. 设k Z ，下列终边相同的角是（ A . 2k 1 180°与 4k 1 180° C. k 180° 30°与 k 360° 30° Z 是（ ） 第三象限角 D. 第二象限角或第四象限角 ） B . k 90° 与 k 180° 90° D . k 180° 60°与 k 60° （B ）第一象限或第三象限的 角 （D ）第一象限或第四象限的角
10 •下列命题中，命题正确的是（ ) C. 若 2k （k z ），则角 的三角函数值等于角 的同名三角 函数值 D. 半径为R ，n o 的圆心角所对的弧长为 R n o 2 11.扇形的中心角为一，弧长为2 ，则其半径r _____________ . 3 12 •一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 _________ 弧度. 13. 终边在y 轴上的角的集合是（用弧度制表示） _____________________ . 5 14. 点P 从圆心在原点 0的单位圆上点（1,0）岀发，沿逆时针方向运动 弧长，到达点 Q ， 6 6_ 则点 Q 的坐标是 ________________ . 15. 将 5 rad 化为角度是 ______________ . 2 16. 已知扇形的周长为 4 cm ,其半径为2cm ,则该扇形的圆心角的弧度数为 _— 3 17. 求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210 ; （2） 1484 37 • 18. 已知角 是第二象限角，求：（1）角一是第几象限的角；（2）角 2终边的位置。 2 19. 如图 ，一条弦AB 的长等于它所在的圆的半径 A B R R O 且sin =——y （y 丰0），判断角 所在的象限，并求 cos 和tan 的值. 4 A.终边相同的角一定相等 B •第一象限的角是锐角 20.已知角 的顶点在原点，始边为 x 轴的非负半轴•若角 的终边过点P （- 3，y ），
1-1任意角与弧度制 知识梳理： 一'任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点0按一定的方向旋转到另一位置 OB，就形成了角，记作：角或可以简记成。 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、(1) A= ｛小于90°的角｝，B= ｛第一象限的角｝，则AnB=(填序号)・ ①｛小于90°的角｝②｛0。〜90°的角｝ ③｛第一象限的角｝④以上都不对 (2)已知A= ｛第一象限角｝，B= ｛锐角｝，C= ｛小于90。的角｝，那么A、B、C 矢系是() A・ B=ADC B ・ BUC=C C・ AC D ・ A=B=C 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： (1)终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k (kZ)个周角的和o ( 2)所有与终边相同的
角连同在内可以构成一个集合 k 360 ,k Z
即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和 1、kZ 2、是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360。的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、( 1 )若角的终边与8角的终边相同，则在0,2上终边与的角终边相54同的角为。 (2)若和是终边相同的角。那么在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： (1 ) 210 : (2) 1484 37 ・ 例3、求，使与900角的终边相同，且180，1260 2、终边在坐标轴上的点： 终边在X轴上的角的集合：| k 180 ,k Z 终边在y轴上的角的集合：| k 180 90 ,kZ 终边在坐标轴上的角的集合：| k 90 ,k Z 3、终边共线且反向的角： 终边在y=X轴上的角的集合：| k 180 45 ,k Z 终边在yx轴上的角的集合：|k 18045,kZ
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识梳理 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式 3.任意角的三角函数 (1)定义
(2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝ y r；cos α＝ x r，tan α＝ y x(x≠0). 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用. 3.象限角 4.轴线角 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.() (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()
(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，π2. (2)第一象限角不一定是锐角. 2.已知角θ的终边过点P (－12，m )，cos θ＝－12 13，则m 的值为( ) A.－5 B.5 C.±5 D.±8 答案 C 解析 由三角函数的定义可知cos θ＝ －12 （－12）2＋m 2 ＝－12 13，解得m ＝±5. 3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°} 解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°. 4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 答案 D 解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角 C.三角形的内角必是第一或第二象限角
《5.1 任意角和弧度制》考点讲解与同步练习【思维导图】 【常见考点】
考点一 基本概念的辨析 【例1】下列说法正确的个数是（ ） ①小于的角是锐角； ②钝角一定大于第一象限角； ③第二象限的角一定大于第一象限的角； ④始边与终边重合的角为. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【一隅三反】 1．下列说法正确的是（ ） A ．终边相同的角一定相等 B ．钝角一定是第二象限角 C ．第四象限角一定是负角 D ．小于的角都是锐角 2．下列命题中正确的是（ ）． A ．终边与始边重合的角是零角 B ．90°～180°间的角不一定是钝角 C ．终边和始边都相同的两个角相等 D ．第二象限的角大于第一象限的角 3．下列说法正确的是（ ） A ．第二象限角大于第一象限角 B ．不相等的角终边可以相同 C ．若是第二象限角，一定是第四象限角 D ．终边在轴正半轴上的角是零角 考点二 角度与弧度的转换 【例2】把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数. （1）； （2） ； （3）1125° ；（4）-225°. 【一隅三反】 1．把下列角度化成弧度： （1）； （2）； （3）； （4）. 2． ___________弧度, 弧度=________. 3．下列转化结果错误的是（ ） A ．化成弧度是 B ．化成度是 90︒0︒90︒α2αx 712π136 π-36︒150︒-1095︒1440︒315︒=7π12306π103 π-600-︒
C ．化成弧度是 D ． 化成度是 考点三 终边相同 【例3】（1）把－1480°写成的形式，其中； （2）在内找出与 角终边相同的角. 【一隅三反】 1．已知角. （1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角； （2）在区间上找出与角终边相同的角. 2．把下列各角度化为弧度,并写成的角加上的形式. (1); (2); (3) 3．用弧度制写出角的终边在下图中阴影区域内的角的集合. （1） （2） 考点四 象限的判断 【例4】已知下列各角：①②③④，其中第二象限角的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④ 【一隅三反】 1．角的终边所在的象限是（ ） 6730'︒27π85 π288︒()2k k Z απ+∈02απ≤≤[]0,720︒︒25π2025α=︒α2k βπ+k Z ∈02βπ≤<α[ )5,0π-α02π-2()k k π∈Z 64︒-400︒72230︒'-120-240-1804952912 π
第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念 (精讲+精练） 目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角 角度1:象限角角度2:区域角角度3角:终边相同的角 高频考点二：角度制与弧制度的相互转化 高频考点三：弧长公式与扇形面积公式 角度1：弧长的有关计算 角度2：与扇形面积有关的计算 角度3：题型归类练 角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用 高频考点四：任意角的三角函数 角度1：单位圆法与三角函数 角度2：终边上任意点法与三角函数 角度3：三角函数值符号的判定 高频考点五：三角函数线 高频考点六：解三角不等式 第四部分：高考真题感悟 第五部分：第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念（精练） 1、角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角． ③终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成360()k k Z βα=+⋅∈． 2、弧度制的定义和公式 ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||l r α=，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值 l r 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：3602rad π=；180rad π=． 若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则180 ( )rad απ =，180 n n rad π =⋅ ． 3、任意角的三角函数 3.1.单位圆定义法： 任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么 （1）点P 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin y α=； （2）点P 的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos x α=； （3）点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan y x α=（0x ≠）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数． 3.2.终边上任意点法： 设(,)P x y 是角α终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为r （0r >）那么： sin y r α= ；cos x r α=；tan y x α=（0x ≠）