高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.3.2函数的极值与导数

1.3.2　函数的极值与导数课时过关·能力提升基础巩固1设函数f (x )=x e x ,则( )A.x=1是f (x )的极大值点B.x=1是f (x )的极小值点C.x=-1是f (x )的极大值点D.x=-1是f (x )的极小值点答案D2当函数f (x )=-x 3+x 2+2x 取极小值时,x 的值是( )1312 A.2B.2,-1C.-1D.-3解析f'(x )=-x 2+x+2=-(x+1)(x-2),则在区间(-∞,-1)和(2,+∞)内,f'(x )<0,在区间(-1,2)内,f'(x )>0,故当x=-1时,f (x )取极小值.答案C3已知函数f (x )=x 3-3bx+3b 在区间(0,1)内有极小值,则( )A.0<b<1B.b<0C.b>0D.b<12解析f'(x )=3x 2-3b ,要使f (x )在区间(0,1)内有极小值,又f'(x )关于y 轴对称,则f'(x )在(0,1)内由负变正,即{f '(0)<0,f '(1)>0,即{-3b <0,3-3b >0,解得0<b<1.答案A4已知f (x )=x (ax 2+bx+c )(a ≠0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x 轴上的是( )A.(a ,b )B.(a ,c )C.(b ,c )D.(a+b ,c )解析f'(x )=3ax 2+2bx+c ,由题意知x=1和x=-1是方程3ax 2+2bx+c=0的两根,则1-1=-,得b=0.2b3a答案A5若函数f (x )=在x=1处取得极值,则a= .x 2+ax +1解析f'(x )=,2x (x +1)-(x 2+a )(x +1)2=x 2+2x -a(x +1)2由f'(1)==0,得a=3.3-a 4经检验,a=3满足题意.答案36函数y=ln x-x 2的极值点为 .解析函数y=ln x-x 2的定义域为(0,+∞),其导函数为y'=-2x=.1x 1-2x 2x 由y'==0,解得x=.1-2x 2x 22当x>时,y'<0,当0<x<时,y'>0,所以当x=时,函数y=ln x-x 2取得极大值,所以所求极值点为.22222222答案227若函数f (x )=a ln x+bx 2+3x 的极值点为x 1=1,x 2=2,则a= ,b= .解析f (x )的定义域为(0,+∞).f'(x )=+2bx+3=.a x 2bx 2+3x +ax 因为函数f (x )的极值点为x 1=1,x 2=2,所以x 1=1,x 2=2是方程f'(x )==0的两个根,即为方程2bx 2+3x+a=0的两根.2bx 2+3x +ax 所以由根与系数的关系知{-32b =1+2,a 2b =1×2.解得{a =-2,b =-12.答案-2　-128已知函数y=ax 3+bx 2,当x=1时,有极大值3.(1)求a ,b 的值;(2)求函数y 的极小值.分析解决本题的关键是运用待定系数法求得a ,b 的值,进而可求函数y 的极小值.解(1)y'=3ax 2+2bx.当x=1时,y'|x=1=3a+2b=0,由题意得a+b=3.故{3a +2b =0,a +b =3,解得a=-6,b=9.经检验知,符合题意.故a=-6,b=9.(2)由(1),得y=-6x 3+9x 2,则y'=-18x 2+18x.令y'=0,得x=0,或x=1.易知x=0是函数的极小值点,所以y 极小值=0.9求下列函数的极值:(1)f (x )=;x 3-22(x -1)2(2)f (x )=x 2e -x .分析首先确定函数的定义域,然后正确求导,解方程f'(x )=0.进而列表求极值.解(1)函数f (x )的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).f'(x )=,(x -2)2(x +1)2(x -1)3令f'(x )=0,得x 1=-1,x 2=2.当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)(1,2)2(2,+∞)f'(x )+0-+0+f (x )↗-38↘↗3↗故当x=-1时,函数f (x )有极大值,并且极大值为f (-1)=-,f (x )无极小值.38(2)函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=2x e -x +x 2·'=2x e -x -x 2e -x =x (2-x )e -x .(1e x )令f'(x )=0,得x=0或x=2.当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x )-0+0-f (x )↘0↗4e -2↘由上表可以看出,当x=0时,函数f (x )有极小值,且为f (0)=0;当x=2时,函数f (x )有极大值,且为f (2)=4e -2.能力提升1下列函数存在极值的是( )A.f (x )=1xB.f (x )=x-e xC.f (x )=x 3+x 2+2x-3D.f (x )=x 3解析A 项中,f'(x )=-,令f'(x )=0无解,故A 项中函数无极值.1x 2B 项中,f'(x )=1-e x ,令f'(x )=0可得x=0.当x<0时,f'(x )>0,当x>0时,f'(x )<0.故f (x )在x=0处取极大值,f (0)=-1.C 项中,f'(x )=3x 2+2x+2,Δ=4-24=-20<0,故y=f (x )无极值.同理D 项也无极值.故选B.答案B2已知函数f (x )=ax 3+bx 2+c ,其导函数图象如图所示,则函数f (x )的极小值是( )A.a+b+cB.8a+4b+cC.3a+2bD.c解析由题图可知函数f (x )在(-∞,0)内单调递减,在(0,2)内单调递增,所以函数f (x )在x=0处取得极小值c.答案D3已知函数f (x )=x (ln x-ax )有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,0)B.(0,12)C.(0,1)D.(0,+∞)解析f'(x )=ln x-ax+x =ln x-2ax+1,函数f (x )有两个极值点,即ln x-2ax+1=0有两个不同的根(在正实数集上),即函(1x -a )数g (x )=与函数y=2a 在(0,+∞)上有两个不同交点.lnx +1x 因为g'(x )=,所以g (x )在(0,1)内递增,在(1,+∞)上递减,所以g (x )max =g (1)=1,如图所示.-lnxx 2若g (x )与y=2a 有两个不同交点,须0<2a<1.即0<a<,故选B.12答案B ★4已知函数f (x )=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴相切于点(1,0),则极小值为( )A.0B.-C.-D.1427527解析f'(x )=3x 2-2px-q ,由题意知f'(1)=3-2p-q=0.又f (1)=1-p-q=0,联立方程组,解得p=2,q=-1.所以f (x )=x 3-2x 2+x ,f'(x )=3x 2-4x+1.由f'(x )=3x 2-4x+1=0,解得x=1或x=,13可知x=1是函数的极小值点.所以f (x )极小值=f (1)=0.答案A5设a ∈R ,若函数y=e x +ax (x ∈R )有大于零的极值点,则a 的取值范围为 .解析∵y=e x +ax ,∴y'=e x +a.由于y=e x +ax 有大于零的极值点,即方程e x +a=0有大于零的解,即a=-e x (x>0).∵当x>0时,-e x <-1,∴a<-1.答案(-∞,-1)6已知函数f (x )=x 3-3a 2x+a (a>0)的极大值与极小值的积小于0,则a 的取值范围是 .解析f'(x )=3x 2-3a 2=3(x-a )(x+a )(a>0),令f'(x )=0,得x=±a.当-a<x<a 时,f'(x )<0,函数递减;当x>a 或x<-a 时,f'(x )>0,函数递增,所以f (x )极大值=f (-a )=-a 3+3a 3+a=2a 3+a ,f (x )极小值=f (a )=a 3-3a 3+a=-2a 3+a ,且f (-a )>f (a ),故f (-a )>0,f (a )<0,解之,得a>.22答案a>227已知函数f (x )=(a>0,r>0).ax(x +r )2(1)求f (x )的定义域,并讨论f (x )的单调性;(2)若=400,求f (x )在(0,+∞)内的极值.ar 解(1)由题意知x ≠-r ,所求的定义域为(-∞,-r )∪(-r ,+∞).f (x )=,ax(x +r )2=ax x 2+2r x +r 2f'(x )=a (x 2+2rx +r 2)-ax (2x +2r )(x 2+2rx +r 2)2=,a (r -x )(x +r )(x +r )4所以当x<-r 或x>r 时,f'(x )<0.当-r<x<r 时,f'(x )>0.因此,f (x )的单调递减区间为(-∞,-r ),(r ,+∞);f (x )的单调递增区间为(-r ,r ).(2)由(1)的解答可知f'(r )=0,f (x )在(0,r )内单调递增,在(r ,+∞)内单调递减.因此,x=r 是f (x )的极大值点.所以f (x )在(0,+∞)内的极大值为f (r )==100,f (x )在(0,+∞)内没有极小值.ar(2r )2=a 4r =4004★8设f (x )=2x 3+ax 2+bx+1的导数为f'(x ),若函数y=f'(x )的图象关于直线x=-对称,且f'(1)=0.12(1)求实数a ,b 的值;(2)求函数f (x )的极值.解(1)因为f (x )=2x 3+ax 2+bx+1,所以f'(x )=6x 2+2ax+b.从而f'(x )=6+b-,(x +a 6)2a 26即y=f'(x )的图象关于直线x=-对称,从而由题设条件知-=-,解得a=3.a 6a 612又因为f'(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12.所以,实数a,b的值分别为3,-12.(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0.解得x1=-2,x2=1.当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)内为增函数;当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)内为减函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数;从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.。

1.3.2 函数的极值与导数课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧________．类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________．我们把点a叫做函数y＝f(x)的____________，f(a)叫做函数y＝f(x)的__________；点b叫做函数y＝f(x)的________________，f(b)叫做函数y＝f(x)的__________．极小值点、极大值点统称为__________，极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在____________的大小情况，刻画的是函数的________性质．2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点．3．一般地，求可导函数f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是__________；(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是__________；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)____________．一、选择题1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)( )A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0 B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0 3．函数f (x )＝x ＋1x在x >0时有( )A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在4．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <1 C ．b >0 D ．b <126．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <2 C ．a <－1或a >2 D ．a <－3或a >6 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______.8．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________. 9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________． 三、解答题10．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝x 2e －x.11．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．能力提升12．已知函数f(x)＝x e－x(x∈R)，求函数f(x)的单调区间和极值．13．已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a<b)．(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．答案知识梳理1．f ′(x )<0 f ′(x )>0 f ′(x )>0 f ′(x )<0 极小值点 极小值 极大值点 极大值 极值点 极值 某一点附近 局部 2．导数为零 不一定3．(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 极大值 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 极小值 (3)不是极值 作业设计 1．C2．C [∵f (x )在x ＝1处存在极小值，∴x <1时，f ′(x )<0，x >1时，f ′(x )>0，故选C.] 3．A [∵f ′(x )＝1－1x2，由f ′(x )>0，得x >1或x <－1，又∵x >0，∴x >1.由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >0.得0<x <1，即在(0,1)内f ′(x )<0，在(1，＋∞)内f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有极小值．]4．A [f (x )的极小值点左边有f ′(x )<0，极小值点右边有f ′(x )>0，因此由f ′(x )的图象知只有1个极小值点，故选A.]5．A [f ′(x )＝3x 2－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3b <03－3b >0，解得0<b <1.]6．D [∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∴f ′(x )的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0时，图象与x 轴的左交点两侧f ′(x )的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f ′(x )的值分别小于零、大于 零．所以才会有极大值和极小值． ∴4a 2－12(a ＋6)>0得a >6或a <－3.]解析 f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2.∵f ′(1)＝0，∴1＋2－a4＝0，∴a ＝3.8．1 －3解析 因为f ′(x )＝3ax 2＋b ， 所以f ′(1)＝3a ＋b ＝0.①又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2.② 由①②解得a ＝1，b ＝－3. 9.⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)，∴f ′(x )>0时得：x >a 或x <－a ，f ′(x )<0时，得－a <x <a .∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值． 由题意得：{ a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0.a >0解得a >22. 10．解 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞， －2) －2 (－2,2) 2 (2， ＋∞) f ′(x ) ＋－＋f (x )Z极大值]极小值]从表中可以看出，当x ＝－2时，函数f (x )有极大值，且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x ＝2时，函数f (x )有极小值， 且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2x e －x ＋x 2e －x (－x )′＝2x e －x －x 2e －x＝x (2－x )e －x.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞， 0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －＋－f (x )]极小值Z极大值]从表中可以看出，当x ＝0时，函数f (x )有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数f (x )有极大值，且f (2)＝4e 2.11．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6. 因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ， 即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m )≤0， 解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0； 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (2)>0或f (1)<0时，f (x )＝0仅有一个实根． 解得a <2或a >52.12．解 f ′(x )＝(1－x )e －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，1)1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋－f (x )Z极大值]所以f (x )在(－∞，1)内是增函数，在(1，＋∞)内是减函数． 函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)，且f (1)＝1e .13．(1)解 当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝(x －1)2(x －2)， 因为f ′(x )＝(x －1)(3x －5)，故f ′(2)＝1，又f (2)＝0，所以f (x )在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2. (2)证明 因为f ′(x )＝3(x －a )(x －a ＋2b3)，由于a <b ，故a <a ＋2b3，所以f (x )的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b3.不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b3，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f (x )的零点， 故x 3＝b . 又因为a ＋2b3－a ＝2(b －a ＋2b3)，x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3，此时a ，2a ＋b 3，a ＋2b 3，b 依次成等差数列，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b3.。

1.1.3 导数的几何意义明目标、知重点1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．1．导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.情境导学]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容． 探究点一 导数的几何意义思考1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n的变化趋势是什么？答当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，该切线的斜率为limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)．思考2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l2.思考3 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．小结曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，欲求斜率，先找切点P(x0，f(x0))．思考4 如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？答先确定切点P(x0，f(x0)) ，再求出切线的斜率k＝f′(x0)，最后由点斜式可写出切线方程．例1 已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．解(1)设切点为(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0x20＋2x0·Δx＋(Δx)2－x20Δx＝2x0，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20，②联立①，②得，x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.小结(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．跟踪训练1 已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0.(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.跟踪训练2 若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．解∵y＝x3＋3ax.∴y′＝limΔx→0(x＋Δx)3＋3a(x＋Δx)－x3－3axΔx＝limΔx→03x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋3aΔxΔx＝limΔx→03x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x20＋3a＝3，x30＋3ax0＝y0＝3x0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1－322，x0＝－342.∴a＝1－322.探究点二导数与函数的单调性思考1 观察下边两个图形，在曲线的切点附近(Δx→0时)曲线与那一小段线段有何关系？答能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．思考2 按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？答在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．思考3 如上右图，当t在(t0，t2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？答会．当t变化时h′(t)便是t的一个函数，我们称它为h(t)的导函数．例2 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．并讨论在(t0，t1)和(t1，t2)两个区间上函数的单调性．解用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴．所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．(4)从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．在(t0，t1)和(t1，t2)上各个切点处的斜率均为负，故函数在这两个区间上均为减函数，在(t1，t2)上函数下降的更快．反思与感悟 1.导数与函数图象升降的关系：(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．(2)导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．2．导数与函数单调性的关系：(1) 若函数y＝f(x)在区间a，b]恒有f′(x) >0，则y＝f(x)在区间a，b]上是增函数；若恒有f′(x) <0，则y＝f(x)在区间a，b]上是减函数．(2)若函数y＝f(x)在区间a，b]是增函数，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间a，b]是减函数，则f′(x)≤0.跟踪训练3 (1)根据例2图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．解函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，t＝t4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快．(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间a，b]上的图象可能是( )答案 A解析依题意，y＝f′(x)在a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( )A．4 B．16 C．8 D．2答案 C解析f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→02(2＋Δx)2－8Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8，即k＝8.2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1答案 A解析由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→0(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．答案(3,30)解析设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→02(Δx)2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．呈重点、现规律]1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础过关1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝(12)2＝14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1答案 A解析 ∵y ′＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴可令2a ＝2，∴a ＝1.5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件li m x →0f (1)－f (1－x )2x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________．答案 －4 解析 由li m x →0f (1)－f (1－x )2x ＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4.6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝li m Δx →0 12(1＋Δx )＋2－12－2Δx ＝li m Δx →0 12Δx Δx ＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.二、能力提升7．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－x )x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．－2答案 B 解析 ∵lim x →0 f (1)－f (1－x )x＝－1，∴lim x →0f (1－x )－f (1)－x＝－1，∴f ′(1)＝－1.8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 易得切点P (5,3)， ∴f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2. 由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时， Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9 ∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－a 23＝－12.解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.三、探究与拓展13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，∴a＋b＋c＝1.①∵y′＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0a(x＋Δx)2＋b(x＋Δx)＋c－(ax2＋bx＋c)Δx＝limΔx→0(2ax＋b)Δx＋a(Δx)2Δx＝limΔx→0(2ax＋b＋aΔx)＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1.②又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1，③联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.。

新课程数学选修2（一）—2第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升.练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9） 函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=.车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-； （6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+. 3、3213()34r V Vπ'=.4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x -+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()82f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P .x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增；当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-.注：图象形状不唯一.令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54； 当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-； 当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-； 当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-； 又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-； 当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<； 当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >. . 综上，ln x x x e <<，0x >图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+ 由2V R h π=，得2V h Rπ=. （第2题）因此，2222()222V V S R R R R R Rππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b-=-+⨯=--，54b a x <<. 令845()0c ac bc L x x b b+'=-+=，解得458a bx +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n '∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑ 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50）1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而 11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得10133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx-⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）； 不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰； 49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n l l n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55） （1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-；（4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =.2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m πππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58）（1）323； （2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、42403(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）. 习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 424(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则 2(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时，物体A 离出发地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60）1、（1）22a aa x dx --⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此2222aaa a x dx π--=⎰（2）120[1(1)]x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，2120111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b =.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b b h h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.y xO1（第1（2）题）yxh b O （第2题）4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x xy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+. 3、32GMm F r '=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >.由于 所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a--=--，即1()1y x a a =--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去. 由于 所以，当2a =，即直线的倾斜角为时，的面积最小，最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3.11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<. 令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰.15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章 复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4lr =是函数()S r 在(0,)2l 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h =.容易知道，h =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x > 令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点.当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x=++⨯，50100x ≤≤令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元） 容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xxx x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x=⎧⎨=-⎩ 得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得11200()2k k Sx x dx kxdx --=--⎰⎰31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=.于是1k =说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.新课程数学选修2—2第二章课后习题解答第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ， 若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；……………………大前提 又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq++==；……………………………小前提 所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论 3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+.3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形.因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略.2．2直接证明与间接证明 练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证. 2>，只需证22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===， 从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.（第6练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2成等差数列，则=所以22=，化简得5=225=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则1ax b =①2ax b =②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为(1tan )(1tan )2A B ++=展开得1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=.又因为0A B π<+<，所以4A B π+=. 说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=.另一方面，要证3sin 24cos2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证. 说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边）， 从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得2b ac =①2x a b =+，2y b c =+②要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++，24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由tan()2tan αβα+=得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证3sin sin(2)βαβ=+即证3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法 练习（P95）1、先证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. （1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝11(11)a d a +-=， 因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)k a a k d =+-. 那么，11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立.再证明：该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. （1）当1n =时，左边＝11S a =，右边＝111(11)12a d a ⨯-⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立.（2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)2k k k S ka d -=+.那么，1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++-1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.。

课时作业6 函数的极值与导数时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是(B)①f(x)在(－3,1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③ B ．②③C．③④D．①③④解析：当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，x＝－1是f(x)的极小值点；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，所以f(x)在(2,4)上为减函数，x＝2是f(x)的极大值点．故②③正确．2．函数y＝2x3－3x2(C)A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1D．以上都不对解析：y′＝6x(x－1)，令y′＝0，得x＝0，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增0单调递减－1单调递增所以当x ＝0时有极大值f (0)＝0，当x ＝1时有极小值f (1)＝－1. 3．函数f (x )＝32x 2－ln x 的极值点为( B )A ．0,1，－1B .33C ．－33D ．33，－33解析：由已知，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x，令f ′(x )＝0，得x ＝33(x ＝－33舍去)．当x >33时，f ′(x )>0；当0<x <33时，f ′(x )<0，所以当x ＝33时，f (x )取得极小值．从而f (x )的极小值点为x ＝33，无极大值点，选B ． 4．若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝22处取得极值，则实数a 的值为( A ) A ． 2 B .22C ．2D ．12解析：f ′(x )＝a －1x ，令f ′⎝⎛⎭⎫22＝0，即a －122＝0，解得a ＝ 2.5.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( D )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：由图可得函数y ＝(1－x )f ′(x )的零点为－2,1,2，则当x <1时，1－x >0，此时在(－∞，－2)上y >0，f ′(x )>0，在(－2,1)上y <0，f ′(x )<0；当x >1时，1－x <0，此时在(1,2)上y >0，f ′(x )<0，在(2，＋∞)上y <0，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－2)为增函数，在(－2,2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此f (x )有极大值f (－2)，极小值f (2)，故选D ．6．三次函数当x ＝1时，有极大值4，当x ＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数可能是( B )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x解析：三次函数过原点，且四个选项中函数的最高次项系数均为1， ∴此函数可设为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， 则f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋C ．由题设知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2b ＋c ＝0，f ′(3)＝27＋6b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x .∴f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)．可以验证当x ＝1时，函数取得极大值4；当x ＝3时，函数取得极小值0，满足条件． 7．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( C ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值解析：当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，0,1是函数f (x )的零点，当0<x <1时，f (x )＝(e x－1)(x －1)<0，当x >1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)>0，由极值的概念知1不是极值点．当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2,0,1是函数f (x )的零点，当0<x <1或x >1时，f (x )>0，由极值的概念知1是极小值点．8．函数f (x )＝13x 3－2ax 2＋3a 2x 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值X 围是( C )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，3)C ．⎝⎛⎭⎫0，13 D ．⎝⎛⎭⎫0，32 解析：由f (x )＝13x 3－2ax 2＋3a 2x ，得f ′(x )＝x 2－4ax ＋3a 2，显然a ≠0，由于f ′(0)＝3a 2>0，Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，依题意，得0<3a <1，f ′(1)>0，即0<a <13，且1－4a ＋3a 2>0，解得0<a <13.二、填空题9．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝3.解析：f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，由题意得f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3.经检验，a ＝3符合题意．10．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值X 围是⎭⎫2，＋∞. 解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2，令f ′(x )＝0， 即x 2－a 2＝0.∴x ＝±A ．∵a >0，∴当x <－a ，或x >a 时，y ′>0； 当－a <x <a 时，y ′<0.∴f (－a )＝2a 3＋a 是极大值，f (a )＝－2a 3＋a 是极小值． 依题意得－2a 3＋a <0,2a 3＋a >0， 由a >0得a >22. 11．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值X 围是a >2，或a <－1.解析：∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2，或a <－1.三、解答题12．求下列函数的极值： (1)f (x )＝－x 3＋12x ＋6； (2)f (x )＝2xx 2＋1－2.解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋12＝－3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：极小值当x ＝2时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (2)＝22. (2)f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：极小值当x＝1时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(1)＝－1.13．设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋A．(1)求f(x)的极值；(2)当a为何值时，函数y＝f(x)恰好有两个零点？解：(1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1.又因为x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；x∈(－1,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.(2)因为f(x)在x∈(－∞，－1)内是减函数，且当x趋近于－∞时，f(x)趋近于＋∞，f(x)在x∈(1，＋∞)内是减函数，且当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于－∞.而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0或极小值等于0时曲线y＝f(x)与x轴恰好有两个交点，即函数y＝f(x)恰好有两个零点，所以a＋2＝0，a＝－2或a－2＝0，a＝2.综上所述，当a＝±2时，函数y＝f(x)恰好有两个零点．——能力提升类——14．下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是(B)①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.A．①② B ．②③C．③④D．①③解析：由极值的定义，可得②③正确．15．已知函数f(x)＝ax－3(a∈R)，g(x)＝－x－2，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一解，求a的取值X围．解：由f(x)＝g(x)，得ax－3＝－x－2，可化为a＝3x－1－x－3.令x－1＝t，则由题意可得，a＝3t－t3在(0，＋∞)上有唯一解．令h(t)＝3t－t3(t>0)，由h′(t)＝3－3t2＝0，可得t＝1，所以当0<t<1时，h′(t)>0，h(t)在(0,1)上为增函数；当t>1时，h′(t)<0，h(t)在(1，＋∞)上为减函数；故当t＝1时，h(t)取得极大值h(1)＝2.由函数h(t)的图象(如图)可知，当a＝2或a≤0时，方程f(x)＝g(x)有且只有一个正实数解，故所求a的取值X围为(－∞，0]∪{2}．。

1.3.3 函数的最大(小)值与导数明目标、知重点1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．1．函数f(x)在闭区间a，b]上的最值函数f(x)在闭区间a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．求函数y＝f(x)在a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．4．极值与最值的意义：(1)最值是在区间a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．情境导学]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．探究点一求函数的最值思考1 如图，观察区间a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．思考2 观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a ，b )，f (x )在(a ，b )上还有最值吗？由此你得到什么结论？答 函数y ＝f (x )在区间a ，b ]上的最大值是f (a )，最小值是f (x 3)．若区间改为(a ，b )，则f (x )有最小值f (x 3)，无最大值．小结 一般地，如果在区间a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得． 思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系？答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a ，b )上若存在最值，则必是极值． 小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤： 1．求导，确定函数在闭区间上的极值点． 2．求出函数的各个极值和端点处的函数值． 3．比较大小，确定结论． 例1 求下列函数的最值： (1)f (x )＝2x 3－12x ，x ∈－2,3]； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈0,2π]．解 (1)f (x )＝2x 3－12x ，∴f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝ 2. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增因为f (－2)＝8，f (3)＝18，f (2)＝－82，f (－2)＝82；所以当x ＝2时，f (x )取得最小值－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值18.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈0,2π]，解得x ＝23π或x ＝43π.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (23π)＝π3＋32，f (43π)＝23π－32. ∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得． ①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 跟踪训练1 求下列函数的最值： (1)f (x )＝13x 3－4x ＋4，x ∈0,3]；(2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈2,5]． 解 (1)∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4.令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. ∵f (2)＝－43，f (0)＝4，f (3)＝1，∴函数f (x )在0,3]上的最大值为4，最小值为－43.(2)∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)，∵在区间2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)<0， 即函数f (x )在区间2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.探究点二 含参数的函数的最值问题 例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)求f (x )在区间0,2]上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax . 因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ， 0<a ≤2，0， 2<a <3，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0， a >2.反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． 跟踪训练2 在本例中，区间0,2]改为－1,0]结果如何？ 解 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0上单调递减， 则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－427a 3.综上所述：f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.探究点三 函数最值的应用思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题． 如f (x )>0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可． 如f (x )<0恒成立，只要f (x )的最大值小于0即可．以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．例3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，(1)若对任意的x ∈0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． (2)若对任意的x ∈(0,3)，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解 (1)∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，∴x ∈0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ∵对任意的x ∈0,3]，有f (x )<c 2恒成立， ∴9＋8c <c 2，即c <－1或c >9.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (2)由(1)知f (x )<f (3)＝9＋8c ， ∴9＋8c ≤c 2即c ≤－1或c ≥9，∴c 的取值范围为(－∞，－1]∪9，＋∞)．反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪训练3 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1 (x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)． 当t 变化时g ′(t )、g (t )的变化情况如下表：t (0,1) 1 (1,2) g ′(t ) ＋ 0 － g (t )单调递增1－m单调递减∴对t ∈(0,2)，当t max ∵h (t )<－2t －m 对t ∈(0,2)恒成立， 也就是g (t )<0，对t ∈(0,2)恒成立， ∴只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. 故实数m 的取值范围是(1，＋∞)1．函数y ＝f (x )在a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值 答案 D解析 由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在a ，b ]上的最大值一定大于极小值． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D．π＋1答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________． 答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71. 呈重点、现规律]1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．一、基础过关1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3)答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)． 2．函数y ＝x e －x，x ∈0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2答案 B解析 y ′＝e －x －x ·e －x ＝e －x(1－x )， 令y ′＝0，∴x ＝1，∴f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值，故选B.3．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103答案 A解析 令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2＝0. 解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e .4．函数y ＝4xx 2＋1在定义域内( ) A ．有最大值2，无最小值 B ．无最大值，有最小值－2 C ．有最大值2，最小值－2 D ．无最值 答案 C解析 令y ′＝4(x 2＋1)－4x ·2x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝0，得x ＝±1.单调递减单调递增单调递减5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32答案 C解析 当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是______．答案π6＋ 3 解析 y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝y ＝|x ＝π6＝π6＋ 3.7．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________． 答案 －4，－2]解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈－2，－1]，故m ∈－4，－2]．二、能力提升8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22答案 D解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t＝2(t ＋22)(t －22)t.当0<t <22时，y ′<0，可知y 在此区间内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在此区间内单调递增．故当t ＝22时，|MN |有最小值． 9．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，因而g (x )＝2x －e x的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．10．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在－2,2]上的最大值．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减min 当x ＝0时，f (x )的最大值为3.11．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：单调递增单调递减单调递增而f(∴当x∈－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.∴参数c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在－1,2]上单调递增．又由于f(x)在－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间－2,2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解(1)因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，所以b＝d＝2；因为f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4；g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)＝k e x(2x＋2)－x2－4x－2，则F′(x)＝(k e x－1)(2x＋4)，由题设可得F(0)≥0，故k≥1，令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，①若1≤k<e2，则－2<x1≤0，从而当x∈－2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0，即F(x)在－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；②若k＝e2，F′(x)＝(e x＋2－1)(2x＋4)≥0在－2，＋∞)上恒成立，故F(x)在－2，＋∞)上单调递增，因为F(x)min＝F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；③若k>e2，则F(x)min＝F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0，从而当x∈－2，＋∞)时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述k的取值范围为1，e2]．。

1.3.2 函数的极值与导数一、选择题1．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点2．函数y ＝f (x )＝(x 2－1)3＋1在x ＝－1处( )A ．有极大值B ．有极小值C ．无极值D ．无法判断极值情况3．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极小值为－427，极大值为0D ．极大值为－427，极小值为04．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是()A ．b ＜1B ．b ＞1C ．0＜b ＜1D ．b ＜125．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点二、填空题6．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________. 7．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是__________．8．已知函数f (x )＝x 4＋9x ＋5，则f (x )的图象在(－1，3)内与x 轴的交点的个数为________．三、解答题9．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．10．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．——★ 参 考 答 案 ★——1．[解析]函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2， 当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为函数f (x )的极小值点．[答案]D2．[解析]f ′(x )＝6x (x 2－1)2＝6x (x －1)2(x ＋1)2，虽然f ′(－1)＝0，但f ′(x )在x ＝－1的左右(附近)不变号，∴函数f (x )在x ＝－1处没有极值．[答案]C3．[解析]∵f ′(x )＝3x 2－2px －q ，∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0.①又∵f (1)＝1－p －q ＝0，②由①②解得p ＝2，q ＝－1，即f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1， 从而当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫13，1时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13，(1，＋∞)上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减．∴当x ＝13时，f (x )有极大值427， 当x ＝1时，f (x )有极小值0.[答案]A4．[解析]f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值，则有0＜b ＜1.当0＜x ＜b 时，f ′(x )＜0；当b ＜x ＜1时，f ′(x )＞0，符合题意，所以实数b 的取值范围是0＜b ＜1.[答案]C5．[解析]f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )＝0，得x ＝3，当0＜x ＜3时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在区间(0,3)上为减函数．又因为f (1)＝13＞0，f (e)＝e 3－1＜0，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1＞0， 所以y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．[答案]D6．[解析]f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2， 由题意得f ′(1)＝3－a 4＝0，解得a ＝3.经检验，a ＝3符合题意． [答案]37．[解析]f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.因为函数f (x )有极大值和极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1.[答案](－∞，－1)∪(2，＋∞)8．[解析]因为f ′(x )＝4x 3＋9，当x ∈(－1,3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1,3)上单调递增．又因为f (－1)＝－3＜0，f (0)＝5＞0，所以f (x )在(－1，3)内与x 轴只有一个交点．[答案]19．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而得a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4()1－e－2.10．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )．当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，由f ′(x )>0解得x <－a 或x >a ，由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1，∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知m的取值范围是(－3,1)．。

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)明目标、知重点1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．1．概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．探究点一复合函数的定义思考1 观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答A⊆B.小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例1 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y ＝ln x ；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝cos (3x ＋1)．解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ；(2)y ＝e u ，u ＝sin x ；(3)y ＝cos u ，u ＝3x ＋1.探究点二 复合函数的导数思考 如何求复合函数的导数？答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝1(1－2x )1－2x； (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3)． (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)3；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)．解 (1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π＝π cos(πx ＋φ)．探究点三 导数的应用例3 求曲线y ＝e2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程． 解 ∵y ′＝e2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1， ∴y ′|12x ＝2，∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为 y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．跟踪训练3 曲线y ＝esin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解 设u ＝sin x ，则y ′＝(esin x )′＝(e u )′(sin x )′. ＝cos x e sin x .y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1. 故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝(3x －2)2的导数为( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2) 答案 D解析 y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝6(3x －2)．2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x 答案 A解析 y ′＝2sin x ·(sin x )′＝2sin x ·cos x ＝sin 2x .3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2) 答案 A解析 设x 2＝u ，则y ′＝f ′(u )·u x ′＝f ′(x 2)·(x 2)′＝2xf ′(x 2)．4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.呈重点、现规律]求简单复合函数f (ax ＋b )的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.一、基础过关1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos(x ＋π4) C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4 答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝1(3x －1)2的导数是( ) A.6(3x －1)3 B.6(3x －1)2 C ．－6(3x －1)3 D ．－6(3x －1)2 答案 C 解析 y ′＝1(3x －1)2]′＝－2(3x －1)3·(3x －1)′＝－6(3x －1)3，故选C. 3．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.答案 1ln 3解析 f ′(x )＝log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln 3， ∴f ′(2)＝1ln 3. 4．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2·(－2sin 2x )＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .5．函数y ＝(2 015－8x )3的导数y ′＝________.答案 －24(2 015－8x )2解析 y ′＝3(2 015－8x )2×(2 015－8x )′＝3(2 015－8x )2×(－8)＝－24(2 015－8x )2.6．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为______． 答案 －2解析 ∵y ′＝－2sin(2x ＋π6)， ∴切线的斜率k ＝－2sin(2×π6＋π6)＝－2. 7．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．答案 1解析 y ′＝(1－ax )2＋x (1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x 2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )．由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.二、能力提升8．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案 B解析 设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1， 即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.9．曲线y ＝12e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2 答案 D解析 ∵y ′＝12e x ·12，∴y ′|x ＝4＝12e 2. ∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积 S ＝12|－e 2||2|＝e 2.10．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1， f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为s ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715s 时的导数，并解释它的实际意义． 解 函数s ＝5－25－9t 2可以看作函数s ＝5－x 和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得s x ′＝－1212x -，x t ′＝－18t . 故由复合函数求导法则得s t ′＝s x ′·x t ′＝(－1212x -)·(－18t )＝9t 25－9t2， 将t ＝715代入s ′(t )，得s ′(715)＝0.875 (m/s)． 它表示当t ＝715s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 三、探究与拓展13．曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，∴b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。