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《一元二次方程的根与系数的关系》说课稿一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。
它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点。
教材的处理：一、教学目标：1、掌握一元二次方程的根与系数的关系的关系并会初步应用。
2、提高学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。
3、渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
4、通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合、判断的能力。
激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
二、教学重点难点及难点的突破重点：根与系数的关系。
难点：对根与系数的关系的理解和推导。
难点的突破方法：由已知两根构造新方程入手，由学生观察并发现一元二次方程根与系数的关系，用求根公式再严格加以证明，证明的过程是一个再熟悉和再理解的过程。
三、教学构想：在构思这节课时，感到教材中所提供的方法固然能更加直接的引出根与系数的关系，但忽略了定理最初形成的过程(即：为何要检验两根之和，两根之积?)。
因此我根据前面所学内容，从已知两根求作方程入手，引导学生观察并发现根与系数的关系。
此时所得出的恰好是二次项系数为1的方程，这种特殊的方程有这种规律，是不是对二次项系数不为1的方程也同样有这种规律呢?于是引出下文，并推及到韦达定理的出现与证明。
然后加入对数学家韦达的介绍，及我国古代数学家在根与系数关系上的贡献，激发学生的爱科学，用科学的情感，提高学生对学习的兴趣。
最后，再由学生自主小结，谈体会，给整节课画上圆满的句号。
四、教法、学法：为了体现二期课改中以学生为主体的教育理念，在课程的引入和新授中充分地考虑在学生已有知识与新知识间架起一座桥梁，通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
19.3一元二次方程的根的判别式19.4一元二次方程的根与系数的关系说课稿滁州五中杨成各位老师大家好！我今天说的课题是一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
下面我向大家汇报一下我是怎样分析教材和设计教学过程的，首先我说一下一元二次方程根的判别式。
一、教材分析1. 教材所处的地位和作用一元二次方程根的判别式是在学生已学习了一元二次方程的解法和对b2-4ac的作用有所了解的基础上，来进一步研究它的作用。
《新课程标准》中对一元二次方程根的判别式的要求不高，但它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以用它来判断一元二次方程根的情况，又可以为今后研究不等式、二次函数、二次曲线等知识奠定基础，并可用它来解决许多综合性问题，所以应给与重视。
2.教学目标根据《新课程标准》和本节课的教学内容我制定了如下教学目标：①了解一元二次方程的根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况；②能用判别式判定一元二次方程根的情况；③通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；④通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会数学学习中的转化和分类的思想方法.3.教学重点、难点本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点。
重点：根的判别式定理及其逆定理的理解和运用。
难点：根的判别式定理及其逆定理的运用。
二、学情分析进入了八年级下半学期，随着年龄的增长，学生的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在前面已学过一元二次方程的几种解法后，让学生自主探究学习根的判别式我认为是可行的，我在平时的教学中很重视培养学生的自主学习的能力，注重激发学生的求知欲。
下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：三、教法、学法数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，所以本节课我采用启发引导、讲练结合的教学方法，引导学生自主探究，着重引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维。
根与系数的关系说课稿一、说教材本文《根与系数的关系》在数学课程中占据着重要的地位，是代数学中的基础内容，同时也是解决多项式问题的重要工具。
本节内容主要围绕一元二次方程的根与系数之间的关系展开，通过探索根与系数之间的内在联系，使学生能够更好地理解和掌握一元二次方程的性质。
（1）作用与地位：本节课是初中数学课程的难点，对于学生来说，理解并掌握根与系数的关系对于提高数学思维能力具有重要意义。
此外，本节课还为后续学习一元二次方程的求根公式、根的判别式等内容打下基础。
（2）主要内容：本节课主要包括以下几个方面的内容：- 一元二次方程的根的定义及其性质；- 根与系数之间的关系，如韦达定理；- 通过具体例题，让学生掌握如何运用根与系数的关系解决实际问题。
二、说教学目标学习本课后，学生应达到以下教学目标：（1）理解一元二次方程的根的概念，掌握根与系数之间的关系；（2）能够运用根与系数的关系解决实际问题，提高分析和解决问题的能力；（3）培养学生观察、归纳、总结的数学思维能力，激发学生的学习兴趣。
三、说教学重难点（1）教学重点：- 根与系数之间的关系，特别是韦达定理的理解与应用；- 能够解决实际问题时运用根与系数的关系。
（2）教学难点：- 理解根与系数之间的内在联系，尤其是韦达定理的推导过程；- 学会将根与系数的关系应用于解决具体问题，提高解题能力。
在教学过程中，要注意针对重点和难点内容进行详细讲解和反复练习，确保学生能够真正理解和掌握本节课的知识点。
四、说教法为了让学生更好地理解和掌握根与系数的关系，我采用了以下几种教学方法，并在教学中突显自己的特色：1. 启发法：在引入根与系数的关系时，我通过提出问题，引导学生思考，激发学生的求知欲。
例如，我会先给出一个一元二次方程的例子，然后提问：“这个方程的根与系数之间有什么关系？”让学生尝试自己发现规律，从而引出韦达定理。
2. 问答法：在教学过程中，我注重与学生互动，通过问答的方式检验学生对知识点的掌握情况。
２０２３年９月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用◉云南省曲靖市马龙区第三中学㊀刘㊀陈㊀㊀摘要:结合五则典例,探讨一元二次方程根的判别式及根与系数的关系在判断三角形的形状㊁求代数式的值㊁构造倍根方程㊁求代数式的最值㊁求参数的值等方面的运用,帮助学生积累数学活动经验,发展学生核心素养．关键词:一元二次方程;判别式;数学活动经验;核心素养㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,可用来判断三角形的形状,求代数式的值,构造倍根方程,求代数式的最值,求参数的值等,这些应用一方面体现了根的判别式及根与系数关系的价值,另一方面也使学生体会到了不同数学知识之间的联系,有利于加深学生对这一部分数学知识的理解与掌握．１判断三角形的形状当一元二次方程的系数或它的两个根是三角形的边长时,一元二次方程和三角形之间就有了联系,利用一元二次方程根的情况可以判断三角形的形状[１]．例１㊀已知әA B C的三边长分别为a,b,c,方程(a＋c)x２＋２b x＋(a－c)＝０是关于x的一元二次方程．(１)当x＝－１时,你能确定әA B C的形状吗?为什么?(２)当方程有两个相等的实根时,你能确定әA B C的形状吗为什么?解析:(１)由题意,把x＝－１代入方程,得a＋c－２b＋a－c＝０,整理得a＝b．因为a,b,c分别为әA B C 三边的长,所以әA B C为等腰三角形．(２)由题意,Δ＝(２b)２－４(a＋c)(a－c)＝０,整得得b２＋c２＝a２．因为a,b,c分别为әA B C三边的长,所以由勾股定理的逆定理,得әA B C为直角三角形．评注:当三角形的三边为一元二次方程的系数时,三角形的形状与一元二次方程根的情况也有了联系,本题设置的两个问题对此做了很好的诠释．２求代数式的值当m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根时,根据韦达定理,得m＋n＝－ba,m n＝c a．根据方程根的定义,得a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０;反之,aʂ０时,当m,n满足等式a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０时,则m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根．例２㊀问题情境:小明在学习中遇到了这样一道题 已知字母a,b满足a２－２a－１＝０,b２－２b－１＝０,且aʂb,试求１a＋１b的值．小明的解答为:因为字母a,b满足的两个方程形式一致,所以a,b可以看作方程x２－２x－１＝０的两根,根据根与系数的关系,得a＋b＝２,a b＝－１,所以１a＋１b＝a＋b a b＝２－１＝－２．根据小明的解答过程,请解决下列问题:(１)已知不互为倒数的两个字母a,b分别满足２a２＋１１a＋１２＝０,１２b２＋１１b＋２＝０,求b a的值．(２)已知x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,且满足x２x１＋x１x２＋x１＋x２＝２．若a,b,c是әA B C的三边长,且c＝２３,m２＋a２m－８a＝０．m２＋b２m－８b＝０．试求m的值以及әA B C的面积．解析:(１)将１２b２＋１１b＋２＝０两边都除以b２,得２(１b)２＋１１ˑ１b＋１２＝０．又因为２a２＋１１a＋１２＝０,所以a与１b为方程２x２＋１１x＋１２＝０的两根,根据根与系数,得a１b＝６．故ba＝１６．(２)因为x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,所以x１＋x２＝－２m m－１,x１x２＝２m－１,１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月下半月㊀㊀㊀m ʂ１．由x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２＝２,整理得m ２－３m ＋２＝０,解得m １＝２,m ２＝１(舍去)．因此可得a ２－４a ＋２＝０,b ２－４b ＋２＝０,则a ,b 为方程x ２－４x ＋２＝０的两根,于是a ＋b ＝４,a b ＝２,所以a ２＋b ２＝(a ＋b )２－２a b ＝１２＝c ２,根据勾股定理的逆定理,得әA B C 为直角三角形,故S әA B C ＝１２a b ＝１．所以m 的值为２,әA B C 的面积为１．评注:本题第(２)小题以m 作为联系的纽带,根据第一个方程中根与系数的关系求出m 的值,然后代入关于a ,b 的方程中消去m ,从而显现出a ,b 的本质,再与勾股定理的逆定理结合,使问题转化为几何问题[２]．３求代数式的最值利用一元二次方程根与系数的关系可以求与两根有关的代数式的值,也可以求代数式的最值．当一元二次方程有实数根时,根的判别式大于或等于０,可以据此求得字母的取值范围,当所求代数式化为含有该字母的代数式时,就可以求得它的最值．例３㊀一元二次方程根与系数的关系反映了一元二次方程两根之和㊁两根之积与系数之间的数量关系,相应的命题被称为韦达定理,根据韦达定理解决下面问题:(１)已知m ,n 是一元二次方程２x ２－３x ＋１＝０的两个根,试计算m ＋n 与m n 的值;(２)如果实数m ,n (m ʂn )分别满足方程m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０,求代数式１m ＋１n的值;(３)设方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根分别是x １,x ２,你能求出x ２１＋x ２２的最小值吗?解析:(１)由韦达定理,得m ＋n ＝３２,m n ＝１２．(２)因为实数m ,n 满足m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０且m ʂn ,所以m ,n 可看作方程x ２－x －１＝０的两根．根据韦达定理,得m ＋n ＝１,m n ＝－１．故１m ＋１n ＝m ＋nm n ＝－１．(３)因为x １,x ２是方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根,所以Δ＝４２－４ˑ２ˑm ȡ０,即m ɤ２．根据题意,可得x １＋x ２＝－２,x １x ２＝m ２,则x ２１＋x ２２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２＝４－m ．由m ɤ２,得４－m ȡ２,所以x ２１＋x ２２的最小值为２．评注:当a ȡb (b 为常数)时,a 有最小值,且最小值为b ;当a ɤb (b 为常数)时,a 有最大值,且最大值为b ．４探讨代数式的值能否为定值对于与一元二次方程的根有关的代数式的值能否为定值这类问题,应先假设这个代数式的值能为定值,从而建立方程求得字母的值,然后检验这个值能否满足原方程有实根,使原方程有实根的值就是符合题意的值．例４㊀已知关于x 的方程k x ２＋(１－k )x －１＝０．(１)若该方程有两个不等实根,求k 的取值范围．(２)设x １,x ２是方程k x ２＋(１－k )x －１＝０的两个根,记S ＝x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２,试问S 的值能为４吗?若能,求出此时k 的值,并说明理由．解:(１)根据一元二次方程的定义和判别式的意义,得k ʂ０且Δ＝(１－k )２－４k ˑ(－１)＞０,整理,得(１＋k )２＞０,解得k ʂ０且k ʂ－１．(２)根据题意,得x １＋x ２＝－１－k k ,x １x ２＝－１k．假设S ＝x ２１＋x ２２x １x ２＋x １＋x ２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２x １x ２＋x １＋x ２＝４,可得(x １＋x ２)２－６x １x ２＋x １x ２(x １＋x ２)＝０,即(１－k )２k２－６(－１k )＋(－１k ) (－１－kk )＝０,整理得k ２＋３k ＋２＝０,解得k １＝－１,k ２＝－２．因为k ʂ０且k ʂ－１,所以当k ＝－２时,S 的值能为４．评注:一元二次方程根与系数的关系是在方程有实根的情况下进行讨论的,所以利用根与系数关系得到的字母的值,一定要看这个值是否在方程有实根时求得的字母取值范围之内．只有在这个取值范围之内的值才是符合题意的值．积累数学活动经验是数学教学的目标之一．以上四种类型有关根的判别式及根与系数关系的应用,有利于学生明白二者之间的依存关系,以及如何利用这两个工具解答相关问题,也有利于学生积累解题经验,促进学生核心素养的发展．参考文献:[１]黄细把．一元二次方程 联姻 三角形[J ]．今日中学生,２０１５(Z ６):２５Ｇ２６．[２]朱亚邦．勾股定理(逆定理)应用的几种场景[J ]．中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),２０１７(３):１６Ｇ１７．Z ２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次方程根与系数的关系说课稿峨山县小街中学杨东笑尊敬的各位评委，各位老师，大家好！我叫杨东笑，来自峨山县小街中学。
今天我说课的课题是“一元二次方程根与系数的关系”。
现代数学教育观认为：教学活动是师生积极参与，交往互动，共同发展的过程。
有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是组织者、引导者与合作者。
在此理念的指导下，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学方法、教学过程等几个方面向各位评委介绍我对本节课的教学设计。
一、教材分析“一元二次方程根与系数的关系”是人教版数学九年级上册第二十一章2.4节的内容。
此内容为选学内容。
一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理）是在学习了一元二次方程的解法及根的判别式之后来进一步揭示根与系数的关系，是对前面知识的巩固与深化，又为今后继续研究一元二次方程根的情况作下一个铺垫，因此虽为选学内容，但却起着承上启下的重要作用。
同时，在教学内容中体现的数学方法和数学思想对学生数学能力的培养起到非常重要的作用。
二、学情分析本节课的教学对象是九年级学生，在此之前，他们已经学习了一元二次方程的解法及根的判别式，虽然学生的学习能力有差异，但大部分学生已经会解一元二次方程。
同时，这一年龄阶段学生的思维正从形象思维向抽象思维过渡，已经具备一定的归纳推理能力和团结协作意识，相信在教师的引导下应该能很好地完成本节教学内容。
三、教学目标根据《课程标准》的要求，结合九年级学生的年龄特征，我将教学目标制定如下：1.知识与能力（1）掌握一元二次方程根与系数的关系；（2）会利用定理求解已知一元二次方程的两根之和及两根之积；2.过程与方法（1）经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察、猜想、证明、归纳概括能力；（2）在运用一元二次方程根与系数关系解决数学问题的过程中，培养学生解决问题的能力，渗透特殊到一般的数学思想。
3.情感态度与价值观（1）通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的自信心；（2）让学生感受到数学有很多有价值的规律等待我们去探索，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
一元二次方程的根与系数的关系说课讲稿.doc一、教材分析本节课是高中数学一元二次方程的根与系数的关系的内容。
根据教材《高中数学》第二册，这一内容属于高中数学二次函数的章节。
在高中数学的课程中，二次函数是一个重要的内容，也是学生较难掌握的知识点之一。
本节课主要通过一元二次方程的根与系数的关系来帮助学生更好地理解和掌握二次函数的性质和特点。
二、教学目标1. 知识与能力目标：(1) 理解一元二次方程根与系数的关系；(2) 掌握求一元二次方程的根的方法；(3) 理解二次函数的顶点、对称轴等概念。
2. 过程与方法目标：(1) 通过示例引入，激发学生的学习兴趣；(2) 通过引导让学生独立思考，培养学生的解决问题的能力；(3) 通过讲解和实例演练，帮助学生掌握解一元二次方程的方法。
3. 情感态度与价值观目标：(1) 培养学生对数学的兴趣和自信心；(2) 培养学生解决问题的积极态度。
三、教学重点1. 理解一元二次方程根与系数的关系；2. 掌握求一元二次方程的根的方法。
四、教学难点1. 理解二次函数的顶点、对称轴等概念；2. 运用根与系数的关系解决问题。
五、教学过程1. 导入新课通过一个实际问题引入，如：小明想给自己的房间铺地板，他的房间是一个长方形，长是x+3米，宽是x米，地板的面积是（2x+5）平方米，如果地板上面积的长宽相等，求小明房间的长和宽各是多少米？让学生思考并给出答案。
2. 学习新课引入一元二次方程的概念，让学生回顾已学内容，并复习解一元二次方程的方法。
解释一元二次方程的根与系数的关系，介绍根与系数之间的关系式。
讲解二次函数的顶点、对称轴等概念，并通过实例演示如何求解。
3. 巩固练习让学生通过练习题独立解题，巩固所学内容。
4. 拓展延伸引导学生思考一元二次方程的根与系数的关系在实际问题中的应用，如物理问题、几何问题等。
六、板书设计一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的解法根与系数之间的关系式二次函数的顶点、对称轴七、教学反思通过本节课的教学，学生可以更好地理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x>，120x x+>时，两根同为正数；当△≥0且120x x>，120x x+<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x<时，两根异号．当△＞0且120x x<，120x x+>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x<，120x x+<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a a a，b为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1.下列四个结论中，正确的是（）A．方程12xx+=-有两个不相等的实数根 B．方程11xx+=有两个不相等的实数根C．方程12xx+=有两个不相等的实数根 D．方程1x ax+=（其中a为常数，且2a>）有两个不相等的实数根【思路点拨】考查方程的实数根的问题，把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，用根的判别式去判断方程解的个数即可．【答案】D；【解析】A、整理得：x2+2x+1=0，△=0，∴原方程有2个相等的实数根，故错误，不合题意；B、整理得：x2-x+1=0，△＜0，∴原方程没有实数根，故错误，不合题意；C、整理得：x2-2x+1=0，△=0，∴原方程有2个相等的实数根，故错误，不合题意；D、整理得：x2-ax+1=0，△＞0，∴原方程有2个不相等的实数根，故正确，符合题意．故选D．【点评】此类问题用到的知识点为：一元二次方程根的判别式大于0，方程有2个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有2个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．举一反三：【高清ID号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（2）】【变式】不解方程，判别方程根的情况：2-30 x x k+=【答案】当94k＜时，方程有两个不等实根；当9=4k时，方程有两个相等实根；当94k ＞时，方程无实根.2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且m ≠1 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且m ≠1． 【点评】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m ≠1． 举一反三：【高清ID 号：388522关联的位置名称（播放点名称）：利用根的判别式求字母范围---例4（1）】【变式】已知：关于x 的方程2(1)04kkx k x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】102k k ≠＞－且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. 设x 1、x 2是方程2210x -=的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2212x x +； (2)212()x x -； (3)122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】由一元二次方程根与系数的关系，易得12x x +=1212x x =-，要求2212x x +，212()x x -，122211x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．【答案与解析】由一元二次方程根与系数的关系知122x x +=1212x x =-，所以（1）222121212()2x x x x x x +=+-213521222⎛⎫=-⨯-=+= ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）22121212()()4x x x x x x -=+-213742222⎛⎫=-⨯-=+= ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）121221121112x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112122=-++-112222=-+-=-． 【点评】解此类问题关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21.举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】 【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和． 【答案】（1）134； （2）3．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【点评】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x 积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．。
一元二次方程（2）★★知识点精讲1. 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为△= . （1）△＞0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即=2,1x .（2）△ = 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即==21x x .（3）△＜0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）△ ≥ 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系（1）如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .（2）如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两个根是1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3. 不解方程，求二次方程的根x 1,x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ； ②12121211x x x x x x ++= ； ③22121212()()4x x x x x x -=+- ； ④2121212||()4x x x x x x -=+-.★★典例讲解及思维拓展 ●例1．不解方程，判定方程根的情况（1）x 2-7x-18=0 ； （2）9x 2+6x+1=0；（3）2x 2=9x-8 ； （4）16x 2+8x=-3 .★刘老点津★ 1.使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2.按照“一求二判”的思路来完成。
“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。
●例2．求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.练习和拓展及思维能力提升1 1、（1）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2x -2x-1=0 B. 2x -2x+3=0 C. 2x =23x-3 D. 2x -4x+4=0（2）关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0B ．8C ．42±D ．0或8（3）关于x 的一元二次方程2x -mx+(m-2)=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D.无法确定 （4）如果关于x 的一元二次方程2k 2x -(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A.k>-14 B.k>-14且k ≠0 C.k<-14 D.k ≥-14且k ≠0 2、 m 为何值时，方程0m x 10x 32=+- ①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根.●例3．已知x x 21,是方程01322=-+x x的两个根，不解方程，求下列代数式的值.xx 2122)1(+ ； xx2111)2(+ ；)3)(321)(3(--x x ；))(4(212x x - ；x x x x 212122)5(⋅+⋅ ； xxx x 2112)6(+ .★刘老点津★ 1.运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x 1+x 2和x 1x 2表示的代数式．2.求关于一元二次方程的根的代数式的值的方法：遇平方，先配方；遇括号，先展开；遇分式，先通分；遇公因式，先提出；遇两根差，先平方，再开方。
19.3一元二次方程的根的判别式19.4一元二次方程的根与系数的关系说课稿滁州五中杨成各位老师大家好！我今天说的课题是一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
下面我向大家汇报一下我是怎样分析教材和设计教学过程的，首先我说一下一元二次方程根的判别式。
一、教材分析1. 教材所处的地位和作用一元二次方程根的判别式是在学生已学习了一元二次方程的解法和对b2-4ac的作用有所了解的基础上，来进一步研究它的作用。
《新课程标准》中对一元二次方程根的判别式的要求不高，但它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以用它来判断一元二次方程根的情况，又可以为今后研究不等式、二次函数、二次曲线等知识奠定基础，并可用它来解决许多综合性问题，所以应给与重视。
2.教学目标根据《新课程标准》和本节课的教学内容我制定了如下教学目标：①了解一元二次方程的根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况；②能用判别式判定一元二次方程根的情况；③通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；④通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会数学学习中的转化和分类的思想方法.3.教学重点、难点本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点。
重点：根的判别式定理及其逆定理的理解和运用。
难点：根的判别式定理及其逆定理的运用。
二、学情分析进入了八年级下半学期，随着年龄的增长，学生的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在前面已学过一元二次方程的几种解法后，让学生自主探究学习根的判别式我认为是可行的，我在平时的教学中很重视培养学生的自主学习的能力，注重激发学生的求知欲。
下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：三、教法、学法数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，所以本节课我采用启发引导、讲练结合的教学方法，引导学生自主探究，着重引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维。
逐步培养学生学会自主学习，提高学生学习数学的积极性和兴趣，培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力。
下面我来具体谈一谈这一堂课的教学程序和设想：四、教学程序及设想1．复习提问，导入新课：（1）平方根的性质是什么？（2）用公式法解下列方程：①；②；③。
解完后有哪位同学能总结一下一元二次方程的根有几种情况？教学设想：问题（1）是为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用，问题（2）这三道题代表着一元二次方程根的三种情况。
我设计问题（2）是想让学生通过用公式法解这三道题，自己亲身感受方程根的情况与b2-4ac的关系，对本节课结论的得出起到了一个推波助澜的作用。
2.启发引导，得出结论：在学生解得答案，总结出根的三种情况后提出问题：除了像刚刚同学们把方程解出来我们知道根的情况之外，有时我们不需要知道方程根的准确的值，而只想了解一下方程根的大致情况，同学们能不能帮老师想个简便的方法呢？教学设想：这个问题设计主要是为了引导学生积极思考、讨论、探究，进而得出结论。
3.引导学生，理论论证通过上面特殊的例题先让学生得出一般的规律，再引导学生思考怎么来用数学方法来论证这个规律呢？让学生合作交流总结出以下本节课的重要内容。
任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。
①当时，方程有两个不相等的实数根。
即②当时，方程有两个相等的实数根，即③当时，方程没有实数根。
④当 b2-4ac≥0时，方程有两个实数根。
教学设想：第④条是第①、②的结合，补充的目的是以后解题中会经常用到。
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？生：。
师生共同小结：①定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。
读作“delta”.②一元二次方程。
当⊿＞0时，有两个不相等的实数根；当⊿=0时，有两个相等的实数根；当⊿＜0时，没有实数根；当⊿≥0时，有两个实数根；反之也是正确的。
教学设想：①这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。
正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。
在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。
②当 ，说“方程 没有实数根”比较好。
有时，也说“方程无解”。
这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。
强调的目的是让学生体会数学逻辑思维的严密性。
4．例题讲解例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）225320x x --=;(2) 225420y y +=;(3) 2210x +=；（4）x 2+(2k-1)x-k=0教学设想：让学生利用所推导出的结论自己动手做，通过课本上的这三道例题，巩固学生对根的判别式的理解和学会运用，第(2)题目的是为了强调学生要把方程化成一般形式，要注意a 、b 、c 的符号。
第（4）题我补充一道系数是字母的方程，一是为开拓学生的思维，二是因为今后会遇到系数是字母的方程。
5.课堂练习，巩固新知：课后练习1目的是为了及时巩固所得结论例2： 说明不论m 取何值，关于x 的方程（x-1）(x-2)= 2m 总有两个不相等的实数根。
例3： m 取何值时，关于x 的方程（m+2）2x +2x-1=0有两个实数根？ 教学设想：补充例2的目的是使学生加深对根的判别式的逆定理的理解和运用。
再次强调要先把方程化成一般形式，要注意符号。
例3方程从形式上看像一元二次方程，但未指明m+2≠0,而方程要有两个实数根，应该有240-≥，这也是根的第四种情况，这道题把b ac新旧知识有机的结合在一起。
特别是a≠0 这个条件，今后题目中会经常出现而学生又很容易忽视。
课本上只有一道例题，我补充例2、例3的目的既是因为这两种题型比较常见和重要，也是为了发展学生的思维。
在平时的教学中我特别注重引导学生加强新旧知识的联系，培养学生用以前学过的知识来解决新问题的能力。
6．师生共同小结一元二次方程。
当⊿＞0时，有两个不相等的实数根；当⊿=0时，有两个相等的实数根；当⊿＜0时，没有实数根；当⊿≥0时，有两个实数根；反之也是正确的。
7．布置作业19.4一元二次方程的根与系数的关系一、教材分析1.教材所处的地位和作用：一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的，它深化了两根与系数之间的关系。
《新课程标准》中对一元二次方程根与系数关系没有做明确的要求，只要求学生了解这个关系，不要求应用这个关系解决其他问题。
但考虑到在今后学习中用处很大，所以我认为也应给予必要的重视。
2.教学目标根据《新课程标准》和本节课的教学内容我制定了如下教学目标：①了解一元二次方程的根与系数的关系；②能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根，并且能已知一根求另一根及系数。
③通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力。
④渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
3. 教学重点、难点依据课程标准和在吃透教材基础上，本节课我确立了如下的教学重点、难点：重点：根与系数的关系理解和运用。
难点：根与系数的关系的理解和推导。
二、教法、学法为了体现“以学生为主体”的教育理念，在课程的引入和新课讲授中，充分地考虑在学生已有知识与新知识间架起一座桥梁，通过创设一定的问题情境，引导学生自己探究，让学生参与韦达定理的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
引导学生通过对所提问题的求解，在观察、归纳中发现一元二次方程的根与系数间的关系。
三、教具的选择采用多媒体辅助教学，增大了教学的容量和直观性，提高教学效率和教学质量。
下面我就来具体谈一谈这节课的教学程序和策略：四、教学程序及设想1．复习提问，导入新课：①. 请同学们写出一元二次方程的一般形式和求根公式；教学设想：提这个问题目的既是复习了前面学习过的知识，也为本节课学习做个铺垫。
②知识初探比一比：看谁算得快？请学生求解表格内的方程探究：通过观察计算x x 以及12.x x的值，同学们发现了什么规律？122.启发引导，得出结论：引导学生自主总结出：两根之和就等于一次项系数的相反数，两根之积就等于常数项。
③知识再探接着提出问题：能不能说所有的一元二次方程根与系数都符合这个规律呢？让学生分组讨论交流，很快就有学生提出质疑：因为这三个方程的二次项的系数都是1，如果二次项的系数不是1时，情况又如何呢？刚刚得出的规律还适用吗？从而激发学生的求知欲，引导学生继续探究。
请学生接着求解课本中表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习。
引导学生积极思考、讨论、大胆猜测，请学生根据以上的观察发现，进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1，x2与a、b、c之间的关系。
3.引导学生，理论论证最后再引导学生用求根公式进行验证所得规律，使学生体会从特殊到一般的认知规律。
教学设想：课本上是直接给出二次项系数不为1的一元二次方程让学生通过计算观察得出规律，我认为这样的话，学生探究起来会有一定的困难。
为了降低难度分层推进，我是将二次项系数为1、不为1的一元二次方程分两次出现，分别放置在知识初探和再探两个环节，这样设计的原因有：一是学生的认知能力总是有所差异的，如果将这些方程合二为一加以研究的话，一部分同学对别人获得的正确猜想是瞬间接受，缺乏思维的主动参与。
研究事物应该从简单到复杂，在这里，当a=1 时，易找规律，当 a ≠1后造成的认知冲突，更是激发了这一猜想的完善。
其实这一串， 由实验——猜想——再实验——再猜想的思维过程，既符合认知规律，也是一种研究性学习的示范，一种创造性能力的培养。
为了让每一个学生都亲身参与其中，真正感受由“实践——认识——再实践——再认识” 这一客观认知世界的基本规律。
师生共同小结：如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根是x 1，x 2，那么x 1+x 2= b a -，x 1x 2= c a由此得出一元二次方程的根与系数的关系，并向学生介绍这个关系是由被称为欧洲“代数学之父”的16世纪法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。
前面学习配方法时已知道任意一个一元二次方程二次项的系数我们都可以把它转化成1，方程都可以转化成20b c x x a a ++=，引导学生观察发现得出21212()0x x x x x x -++⋅=，由这个公式我们就可以知道方程的两根写出一个二次项系数为1的一元二次方程了。
教学设想：补充21212()0x x x x x x -++⋅=这个公式的目的是因为课后习题和今后学习中会经常会用到这个知识点。
4.课堂练习，巩固新知试一试：根据刚刚总结出来的根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x 1，x 2）（1）2x 2-3x+1=0 x 1+x 2= ________ x 1x 2= _________（2）3x 2+5x=0 x 1+x 2= ________ x 1x 2= __________（3）5x 2+x-2=0 x 1+x 2= _________ x 1x 2= __________ 教学设想：设计这一题既是为了巩固知识，也是让学生体会成功的喜悦，学生根据刚刚得到的规律很容易得出正确答案，从而激发学习的兴趣，继续探究。
