2020年内蒙古鄂尔多斯一中高考数学模拟试卷(理科)

2020年内蒙古高考数学模拟试卷（理科）（3月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z=1-i，则（3+2）i=（）A. -2-5iB. -2+5iC. 2+5iD. 2-5i2.已知集合M={x|x2-2x-3＜0}，N={x|x2-mx＜0}，若M∩N={x|0＜x＜1}，则m的值为（）A. 1B. -1C. ±1D. 23.已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4=24，S9=99，则a7=（）A. 13B. 14C. 15D. 164.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A. 1-sin 2θB.C. 1-sinθD.5.函数f（x）=ln|x|+|sin x|（-π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A. B.C. D.6.从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A. 45种B. 120 种C. 30种D. 63种7.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A. B. 2 C. 4 D. 12π8.设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足|AF1|=3|F1B|，，则A点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. y轴上D. 都有可能9.已知函数，函数y=f（x）-a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最大值为（）A. 1+eB. 4+eC. 1-eD. 1+2e10.O为△ABC内一点，且，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A. B. C. D.11.已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A. （，+∞）B. （2，+∞）C. （，2）D. （1，2）12.定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A. B. 9f（3）＞f（1）C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足，则z=2x+y的最小值为______．14.在等比数列{a n}中，已知a2+a4=8，a6+a8=4，则a10+a12+a14+a16=______．15.“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%）．从2012-2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为______．16.在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知，2sin x），=（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=2，△ABC 的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．18.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，EDBF是矩形，DE=a，平面EDBF⊥平面ABCD．（1）若a=1，求证：AE⊥CF；（2）若二面角A-EF-B的余弦值为，求a的值．19.设动圆P（圆心为P）经过定点（0，2），被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线l：y=x+m（m∈R）与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB=-2，求m的值．20.质量指标值m m＜185185≤m＜205M≥205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取件，检测后得到如右的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N（216，139），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？21.已知函数f（x）=x-2+ae x（e为自然对数的底数）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞6．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）若a=1，求C与l交点的直角坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．23 已知函数f（x）=|x-1|-|x-a|．（1）当a=-2时，求不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）若a≤0，∃x∈（0，+∞）使f（x）≤a2-3成立，求a的取值范围．2020年内蒙古高考数学模拟试卷（理科）（3月份）答案和解析【答案】1. B2. A3. C4. A5. B6. A7. D8. C9. A10. D11. D12. D13. -614. 315.16.17. 解：（1）f（x）==2cos x sin（x-）+2sin x cos（x-）=2sin（2x-），由f（x）=0得2x-=kπ，k∈Z，得x=+，即函数的零点为x=+，k∈Z．（2）∵f（A）=2，∴f（A）=2sin（2A-）=2，得sin（2A-）=1，即2A-=2kπ+，即A=kπ+，在三角形中，当k=0时，A=，满足条件，∵△ABC的外接圆半径为，∴=2，即a=2×=3，由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc≥=（b+c）2-（b+c）2=（b+c）2，即（b+c）2≤4×9=36，即b+c≤6当且仅当b=c时取等号，则a+b+c≤9，即三角形周长的最大值为9．18. 解：（1）连接AC，在三角形ABD中AB=2，AD=1，∠BAD=60°，由余弦定理得BD=，AD2+BD2=AB2，故AD⊥BD，EDBF是矩形，DE=1，平面EDBF⊥平面ABCD，故BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF=，AE2+EF2=AF2，故AE⊥EF，由AC=，EC=，AE=，得AE2+EC2=AC2，故AE⊥EC，EC∩EF=E，所以AE⊥平面EFC，FC⊂平面EFC，所以AE⊥FC；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），E（0，0，a），F（0，），，设平面AEF的法向量为，由，得，平面DEFB的法向量为，由cos＜＞=，得a=．19. 解：（1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，被x轴截得的弦长为|AB|，依题意得：，化简整理得：x2=4y，∴曲线E的方程为：x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立方程，整理得：，∴△=16×2+4×4m=32+16m＞0，∴m＞-2，∴，x1x2=-4m，，∴，y3=4+m，∴线段AB的中点C的坐标为（2，4+m），又|AB|===4，∴|AC|=2，又AB的垂直平分线方程为：y-（4+m）=-，∴y0=6+m，∴|MC|=，∵CM垂直平分AB，∴∠AMB=2∠AMC，又tan∠AMB==-2，解得tan或-（舍去），∴在Rt△AMC中，tan∠AMC===，∴m=0，满足m＞-2，∴m的值为0．20. 解：（1）根据抽样调查数据，一等品所占比例的估计值为0.260+0.090+0.025=0.375．由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125．故在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中抽取4件，一、二、三等品都有的情形由2种．①一等品2件，二等品1件，三等品1件．②一等品1件，二等品2件，三等品1件．P=；（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为：170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4．“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），即质量指标的均值约为216．所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了15.6．21. 解：（1）f′（x）=1+ae x，当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，当a＜0时，令f′（x）=0可得x=ln（-），故函数的单调递增区间为（-），单调递减区间（ln（-），+∞），（2）证明：由f（x）=0可得a=，设g（x）=，则，当x＜3时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x＞3时，g′（x）＞0，函数单调递增，当x=3时，g（x）取得最小值g（3）=-，当x＞时，g（x）＜0，当x＜2时，g（x）＞0，不妨设x1＜x2，则x1∈（2，3），x2∈（3，+∞），所以6-x1＞3，且g（x）在（3，+∞）上单调递增，要证x1+x2＞6，只要证x2＞6-x1＞3，故只要证g（x2）＞g（6-x1），因为g（x1）=g（x2）=a，只要证g（x1））＞g（6-x1），即，即证（x1-4）+x-2＜0，令h（x）=e2x-6（x-4）+x-2，2＜x＜3，则h′（x）=e2x-6（2x-7）+1，令m（x）=h′（x），则m′（x）=4e2x-6（x-3）＜0，所以m（x）在（2，3）上单调及，h′（x）＞h′（3）=0，故h（x）在（2，3）上单调递增，h（x）＜h（3）=0，即e2x-6（x-4）+x-2＜0，从而：x1+x2＞6．22. 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴曲线C的普通方程为，∵直线l的参数方程为，∴当a=1时，直线l的普通方程为x+y-2=0．由解得或从而C与l的交点的直角坐标是．（2）直线l的普通方程是x+y-1-a=0，故C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，当a≥-1时，d的最大值为．由题设得，所以当a＜-1时，d的最大值为.由题设得，所以．综上，．23. 解：（1）当a=-2时，因为f（x）=|x-1|-|x+2|≤|（x-1）-（x+2）=3，|所以f（x）≤3的解集为R；由f（x）＞0，得|x-1|＞|x+2|，解得x＜-，故不等式0＜f（x）≤3的解集为（-∞，-）；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，f（x）=|x-1|-x+a=，则f（x）min=f（1）=a-1，故a2-3≥a-1，解得：a≥2或a≤-1，又a≤0，所以a≤-1．所以a的取值范围是（-∞，-1]．【解析】1. 解：由z=1-i，得（3+2）i=（3+2+2i）i=（5+2i）i=-2+5i．故选：B．把z=1-i代入（3+2）i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2. 解：∵M={x|-1＜x＜3}，N={x|x2-mx＜0}，M∩N={x|0＜x＜1}，∴N={x|0＜x＜m}，∴m=1．故选：A．可以求出M={x|-1＜x＜3}，从而可以根据M∩N={x|0＜x＜1}即可得出N={x|0＜x＜m}，从而得出m=1．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3. 解：因为S4=24，S9=99，，解可得，a1=3，d=2则a7=a1+6d=15．故选：C．由已知结合等差数列的求和公式可求d，a1，然后结合等差数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．4. 解：由题意可知，小正方形的边长为2（cosθ-sinθ），面积S1=4（cosθ-sinθ）2=4（1-sin2θ），大正方形的面积S=2×2=4，故镖落在小正方形内的概率P=（1-sin2θ）．故选：A．分别求出小正方形的面积及大正方形的面积，然后根据几何概率的求解公式即可．本题考查概率的计算，考查三角函数知识的运用，属于基础题．5. 【分析】本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力．利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f（π）的值，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln|x|+|sin x|（-π≤x≤π且x≠0）是偶函数排除A．当x＞0时，f（x）=ln x+sin x，可得：f′（x）=+cos x，令+cos x=0，作出y=与y=-cos x图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，故排除D.f（π）=lnπ＞1，故排除C.故选B．6. 解：6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．∴不同的抽取方法数=•=45．故选：A．6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．利用组合数的意义、乘法原理即可得出．本题考查了分层抽样、组合数的意义、乘法原理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R=，．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8. 解：设|BF1|=k，则|AF1|=3k由椭圆的定义可得：|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k，|AB|=4k，在△ABF2中，由余弦定理可得：|AB|2=|AF2|2+|BF-2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，即16k2=（2a-3k）2+（2a-k）2-2（2a-3k）（2a-k），整理可得a=3k，所以|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k，F1A⊥F2A，即△AF1F2为等腰直角三角形，所以A在y轴上，故选：C．设|BF2|=k，题意开发其他的焦半径的值，再由余弦定理可得a与k的关系，进而可得|AF2|=3k=|AF1|，可得A在y轴上．考查椭圆的性质，属于中档题．9. 解：若函数y=f（x）-a有四个不同的零点，则有a∈（1，e]，当x＞0时，f（x）=x+-3≥2-3=1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）=，x≤0，x＜-1时，f（x）递减；-1＜x＜0时，f（x）递增，可得x=-1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y=a，可得===，即有x1+1+x2+1=0，可得x1+x2=-2，x3，x4是方程-3=a的两根，即x2-（3+a）x+4=0的两个根，∴x3+x4=3+a，则x1+x2+x3+x4=-2+3+a=a+1≤e+1，故最大值为e+1，故选：A．作出函数f（x）的图象，结合题意，利用根与系数的关系利用函数的单调性得解．本题考查函数与方程的综合运用，考查函数的单调性及最值的求解，考查数形结合思想，转化思想及逻辑推理能力，属于中档题．10. 解：由得，，∴，∵B，O，D三点共线，∴可设，且，∴，∴，解得．故选：D．根据即可得出，而根据B，O，D三点共线，可设，从而可得出，这样根据平面向量基本定理即可得出，解出t即可．本题考查了共线向量基本定理，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．11. 解：设直线方程为y=（x-c），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，可得交点坐标为P（，-）∵F1（-c，0），F2（c，0），∴=（-，），=（，），由题意可得•＜0，即＜0，化简可得b2＜3a2，即c2-a2＜3a2，故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e=＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2故选：D．确定M，F1，F2的坐标，进而由•＜0，结合a、b、c的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围．本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属中档题．12. 解：令g（x）=x2f（x），当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0，则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x[2f（x）+f′（x）]＜0即g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为f（-x）=f（x），所以g（-x）=（-x）2f（-x）=x2f（x）=g（x）即g（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，g（x）在（-∞，0）上单调递增，g（e）＞g（3），所以=，故选：D．构造函数g（x）=x2f（x），结合已知条件及导数与单调性关系可判断g（x）的单调性及奇偶性，从而可求解．本题主要考查了利用奇偶性及单调性比较大小，解题的关键是函数性质的灵活应用．13. 解：由x，y满足作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=-2x+z，由图可知，当直线y=-2x+z过B（-2，-2）时直线在y轴上的截距最小，z最小z=-2×2-2=-6．故答案为：-6．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14. 解：设等比数列的公比为q，则，解可得q4=，所以a10+a12+a14+a16=+（a6+a8）q8=8×=3．故答案为：3．由已知结合等比数列的通项公式可求公比q，然后结合等比数列的性质即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及性质在求解数列的项中的应用，属于基础试题．15. 解：设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，有（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2012，2016），（2013，2014），（2013，2015），（2013，2016），（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率P（B）=，故答案为：．设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，利用列举法能出至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率．本题考查概率的求法，考查折线图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16. 解：如图，M，N是正方体中两条互为异面直线的棱的中点，直线MN与球O的表面交于E，F两点，连接MO，并延长交于P，则P为对棱的中点，取EF的中点G，则OG∥PN，且OG==．在Rt△OGE中，OE=，则EF=2EG=2．故答案为：．由题意画出图形，利用直线与圆的位置关系及垂径定理求解．本题考查多面体的内切球，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．17. （1）根据向量数量积的定义求出f（x），结合零点的定义进行求解即可．（2）根据条件先求出A和a的大小，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合向量数量积的定义以及余弦定理，利用基本不等式求最值是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度．18. （1）根据勾股定理判断AD⊥BD，AE⊥EF，AE⊥EC，得到AE⊥平面EFC，最后得出结论；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF 和平面DEFB的法向量，利用夹角公式列方程，求出a．考查线面垂直的判定定理，利用向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，中档题．19. （1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，根据题意列出方程组化简即可得到曲线E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理求出C的坐标为（2，4+m），利用弦长公式求出|AB|=4，所以|AC|=2，又y0=6+m，所以|MC|=，再利用二倍角的正切公式求出tan，所以tan∠AMC===，即可解出m的值．本题主要考查了动点轨迹，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．20. （1）根据抽样调查数据，求得一等品所占比例的估计值为0.375，由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率，求得在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，然后利用古典概型概率计算公式求解；（3）求出“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值，再由“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），得质量指标的均值约为216，作差得答案．本题考查频率分布直方图，考查古典概型概率的求法，考查学生读取图表的能力，是中档题．21. （1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论确定导数符号，即可求解函数单调性；（2）由零点存在的条件，结合函数的性质，把所要证明的不等式转换为函数的单调性与大小关系的比较．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，证明不等式，考查了学生分析问题，解决问题的能力．22. （1）求出曲线C的普通方程和当a=1时，直线l的普通方程，列方程组能求出C 与l的交点的直角坐标．（2）直线l的普通方程是x+y-1-a=0，C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，由此利用C上的点到l的距离的最大值为，能求出a．本题考查直线与曲线交点坐标的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23. （1）当a=-2时，利用绝对值不等式得f（x）=|x-1|-|x+2|≤|（x-1）-（x+2）|=3，即f （x）≤3的解集为R；再由f（x）＞0，得|x-1|＞|x+2|，解之，即可得到不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，可求得f（x）=|x-1|-x+a的最小值为f（1）=a-1，解不等式a2-3≥a-1即可得到答案．本题考查不等式恒成立问题、考查分类讨论思想与等价转化思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020届高三数学第四次调研考试试题 理（时间：120分钟 分数：150分）一．选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}N n n n x x A ∈+==),1(|,{}020|2≤-=x x x B ,则=B A IA .{0,1,6,12,20}B .{0,2,6,12,20}C .{2,6,12,20}D .{6,12}2.复数z 满足i i z 43)1(+=-，则z =i A 2721.+-i B 2721.+ i C 2525.- i D 2525.+ 3.在4)2)(1(+-x i 的展开式中，含3x 项的系数为A .16 B.-16 C .8 D .-84.已知2,1==b a ，且)()25(b a b a -⊥+，则a 与b 的夹角为ο30.A ο60.B ο120.C ο150.D5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等和亮度满足2112lg 25E E m m =-，其中星等为k m 的星的亮度为)2,1(=k E k .已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为1.1010.A 1.10.B 1.10lg .C 1.1010.-D6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且33,41182==+S a a ，则=2020aA .2019B .2018C .2017D .20207.若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，给出下列结论： ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 其中正确结论的序号是A .②④⑤B .①②④⑤C .①③④D .②③④⑤8.已知奇函数),0,0)(cos()(πϕωϕω<<>+=x x f 且)21()23(--=-x f x f ，当ω取最小值时，在下列区间内，)(x f 单调递减的是15.[,]36A - 31.[,]23B - C. 5[,]36ππ D. [0,]3π9.已知点P 是抛物线y x 22=上的一点，在点P 处的切线恰好过点)21,0(-，则点P 到抛物线焦点的距离为21.A 1.B 23.C 2.D 10.如图，在三棱锥D －ABC 中，CD ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，若AE ∥CD ，AB ＝CD ＝AE ＝2，则三棱锥D －AB C 与三棱锥E －ABC 的公共部分构成的几何体的外接球的体积为A .1639π B .32327π C .203π D .2327π 11.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，过点1F 的直线分别交双曲线的左、右支于点M,N ,若以MN 为直径的圆过点2F ,且22NF MF =，则双曲线的离心率为6.A 5B 3.C 2.D12.已知函数)(x f 是定义在[100,100]-的偶函数，且)2()2(-=+x f x f .当[]2,0∈x 时，x e x x f )2()(-=，若方程[]01)()(2=+-x mf x f 有300个不同的实数根，则实数m 的取值范围为)25,1.(---e e A 15.[,]2B e e ---()2,.-∞-C D .1(,2)e e ---二．填空题（每小题5分，共20分）：13.高一新生健康检查的统计结果：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一人进行健康检查，已知此人超重，他血压异常的概率为__________. 14若31)6cos(=-x π，则=-)32sin(πx ______________. 15.已知函数()x x x x e e f x e e ---=+，若正实数a ,b 满足0)1()4(=-+b f a f ，则abba 24+的最小值为___________.16．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N +∀∈， 1n n a a +<恒成立，则m 的取值范围是__________．三．解答题（共70分）：17.（12分）在ABC ∆中，,31cos ,2==B AB 点D 在线段BC 上. (1)若π43=∠ADC ，求AD 的长； (2)若BD =2DC ,234=∆ADC S ,求CADBAD∠∠sin sin 的值.18.（12分）随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入，选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索，并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段，选修课的教学、管理还存在很多的问题，所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案，为学校选修课程的改革与创新、课程设置、考试考核、人才培养提供参考.某高校采用分层抽样法抽取了数学专业的50名参加选修课与不参加选修课的学生的成绩，统计数据如下表：成绩优秀 成绩不够优秀总计 参加选修课 16 9 25 不参加选修课8 17 25 总计242650(1)试运用独立性检验的思想方法分析：你能否有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”，并说明理由；(2)如果从数学专业随机抽取5名学生，求抽到参加选修课的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当做概率计算）.参考公式：.c b ,))()()(()(22d a n d b c a d c b a bc ad n K ++==++++-=其中 临界值表：)(02k K P ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（12分）如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形， 平面BDEF ⊥平面ABC ，∠FBD ＝60°，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2. (1)若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； (2)求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20．（12分）已知1m >，直线l ：202m x my --=，椭圆C ：2221,x y m+=12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点． (1)当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，12AF F ∆，12BF F ∆的重心分别为G H ，．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．21.（12分）已知函数()()()()2ln ln 1.f x ax xx x a R =--+∈(1)若2ln ax x >，求证：()2ln 1f x ax x ≥-+；(2)若()()2000000,,1ln ln x f x x x x ∃∈+∞=+-，求a 的最大值； (3)求证：当12x <<时，()()2f x ax ax >-.选考题：共10分。

绝密★启用前2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试（4月）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =+-<，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭则A B =I （ ）A ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{|3}x x >-C ．1|32x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭答案:A解一元二次不等式求得集合A ，由此求得A B I . 解：由(3)(1)0x x +-<解得31x -<<，所以{}|31A x x =-<<，所以A B =I 1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：A 点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）A ．2BC D 答案:B利用复数乘法运算化简z ，由此求得z . 解：依题意2223z i i i i =+--=-，所以z ==故选：B 点评：本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题. 3．已知向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r，且a b ⊥r r，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．2答案:A根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 解：由于向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r ，且a b ⊥r r，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A 点评：本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.4．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP B ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβP C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥ 答案:B根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 解：A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故D 错； 故选B 点评：本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.5．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 答案:D根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项. 解：对于A 选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A 选项叙述正确.对于B 选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B 选项叙述正确. 对于C 选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C 选项叙述正确.对于D 选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D 选项叙述错误. 故选：D 点评：本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A ．12- B ．15-C ．16-D ．18-答案:C根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.解：依题意11237217a da d+=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d=-=，所以29na n=-.由290na n=-≤解得92n≤，所以前n项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d=+=-+=-.故选：C点评：本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式的基本量计算，考查等差数列前n项和最值的求法，属于基础题.7．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB AC、，已知以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，记ABCα∠=，则2cos sin2αα+=（）A．35B．45C．1 D．85答案:D根据以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比求得12ACAB=，即tanα的值，由此求得sinα和cosα的值，进而求得所求表达式的值.解：由于直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，所以12ACAB=，即1tan2α=，所以sin55αα==2cos sin2αα+=4825555+=.故选：D点评：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.8．已知抛物线2:6C y x=的焦点为F，准线为l，A是l上一点，B是直线AF与抛物线C的一个交点，若3FA FB=u u u r u u u r，则||BF=（）A ．72B ．3C ．52D ．2答案:D根据抛物线的定义求得6AF =，由此求得BF 的长. 解：过B 作BC l ⊥，垂足为C ，设l 与x 轴的交点为D .根据抛物线的定义可知BF BC =.由于3FA FB =u u u r u u u r，所以2AB BC =，所以6CAB π∠=，所以26AF FD ==，所以123BF AF ==. 故选：D点评：本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 9．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.8答案:B利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 解：从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为510.5102==. 故选：B 点评：本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题. 10．函数1ln ||y x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案:B根据函数图象上的特殊点，判断出正确选项. 解：当1x =时，111ln1y ==-，所以D 选项错误.当1x =-时，1101ln1y ==-<--，所以A 选项错误. 当12x =-时，11121111ln ln 2ln 2222y e ==>=----，所以C 选项错误. 所以正确的函数图象为B. 故选：B 点评：本小题主要考查函数图象的判断，属于基础题.。

2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−3<x<1}，B={x|x<−1或x>2}，则A∩B=()A. {x|−3<x<−1}B. {x|−3<x<2}C. {x|−1<x<1}D. {x|1<x<2}2.若复数z满足(1−i)z=3+i，则|z|=()A. 5B. √5C. 2D. √33.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，若(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则λ=()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是()A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nB. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//βC. 若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//βD. m、n是两异面直线，若m//α，m//β，且n//α，n//β，则α//β5.图1为某省2018年1∼4月快递业务量统计图，图2为该省2018年1∼4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是()A. 2018年1∼4月快递业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1∼4月快递业务量同比增长率均超过50%，其中3月最高C. 2018年1∼4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从2018年1∼4月来看，该省快递业务收入同比增长率逐月增大6.若等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6=3，a4=2，则a5等于()A. 5B. 6C. 7D. 87. 若tanα=34，则cos 2α+2sin2α=( )A. 6425B. 4825C. 1D. 16258. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|QF|=( )A. 3B. 52C. 72D. 329. 我国古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相克的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 1510. 函数f (x)=ln|x|+x 2−x 的图象大致为( )A.B.C.D.11. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F(−c,0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. √5B. √52C. √5+1D. √5+1212. 已知函数f(x)={(12)x−1 , x ≤1log 3(x +1) , x >1，不等式f(x +1)−1>0的解集是( )A. {x|x <0或x >1}B. {x|x <1或x >2}C. {x|x <2或x >3}D. {x|x <0或x >3}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某种牛肉干每袋的质量m(kg)服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为N(2,σ2)，P(1.9≤m ≤2.1)=0.98.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于1.9kg 的袋数大约是 袋．14. 已知函数f (x )=ax −log 2(2x +1)+cosx (a ∈R )为偶函数，则a =________．15. 三棱锥P −ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中ΔABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，PA =2AB =6，则该球的表面积为______ ．16. 已知|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，(a ⃗ −2b ⃗⃗⃗⃗ )⋅(2a ⃗⃗⃗⃗ +b ⃗ )=−1，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/ℎ的有20人，不超过100km/ℎ的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/ℎ的有5人，不超过100km/ℎ的有15人．(Ⅰ)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/ℎ的人与性别有关；(Ⅱ)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/ℎ的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(K2≥k0)0.1500.1000.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82818.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a−c．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b=√3，求2a+c的最大值．19.在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，AE>1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．(1)若AE=2，求证：AC//平面BDE；(2)若二面角A−DE−B为60°，求AE的长．20.已知动点M到定点F1(−2,0)、F2(2,0)的距离之和为2√6．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过x轴正．半．轴．上一点(m,0)，且倾斜角为150∘的直线l交曲线C于A、B两点.问：是否存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好经过点F2(2,0)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21.已知函数g(x)=e x−2ax−b，a，b∈R．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)求函数g(x)在[0,1]上的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是曲线C 1：{x =t +1ty =2(t −1t )(t 为参数)上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为：ρ=2sinθ−3cosθ． (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标下普通方程；(2)已知点Q 在曲线C 2上，求|PQ|的最小值以及取得最小值时P 点坐标．23. 已知函数f(x)=|x|+|x +1|．(Ⅰ)解关于x 的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a ，b ，c ∈R +，函数f(x)的最小值为m ，若a +b +c =m ，求证：ab +bc +ac ≤13．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合A={x|−3<x<1}，B={x|x<−1或x>2}，则A∩B={x|−3<x<−1}．故选：A．根据交集的定义计算A∩B．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．解：由(1−i)z=3+i，得z=3+i1−i =(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i2=1+2i，∴|z|=√12+22=√5．故选B．3.答案：B解析：解：a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，λb⃗ −a⃗=(λ−2,λ)，∵(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，∴(λb⃗ −a⃗ )⋅a⃗=0，即2(λ−2)=0，∴λ=2．故答案为：2．利用已知条件求出λb⃗ −a⃗，利用向量的垂直，求出λ即可．本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．4.答案：D解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．在A中，m与n平行或异面；在B中，α与β平行或相交；在C中，α与β平行或相交；在D中，由面面平行的判定定理得α//β．解：由m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，知：在A中，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，当m//n时，则α与β有可能相交，故B错误；在C中，若m⊂α，n⊂β，m//n，则α与β平行或相交，故C错误；在D中，m、n是两异面直线，若m//α，m//β，且n//α，n//β，则由面面平行的判定定理得α//β，故D正确．故选：D．5.答案：D解析：本题主要考查频率分布折线图以及合情推理的应用，结合统计数据进行判断是解决本题的关键，属于基础题．根据统计图，结合对应数据分别进行判断即可．解：由统计图可以看出选项A,B显然正确；对于选项C，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误，故选D．6.答案：A解析：。

2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试（4月）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =+-<，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭则A B =I （ ）A ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{|3}x x >-C ．1|32x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得A B I . 【详解】由(3)(1)0x x +-<解得31x -<<，所以{}|31A x x =-<<，所以A B =I 1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：A 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）A ．2BC D 【答案】B【解析】利用复数乘法运算化简z ，由此求得z . 【详解】依题意2223z i i i i =+--=-，所以z ==故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.3．已知向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r ，且a b ⊥r r，则λ=（ ）A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】A【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 【详解】由于向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r ，且a b ⊥r r，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.4．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβPB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβPC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】B【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故D 错； 故选B 【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.5．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 【答案】D【解析】根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项. 【详解】对于A 选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A 选项叙述正确.对于B 选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B 选项叙述正确.对于C 选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C 选项叙述正确.对于D 选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D 选项叙述错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A ．12- B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C【解析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.【详解】 依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.7．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．85【答案】D【解析】根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值. 【详解】由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2α=，所以sin 55αα==2cos sin 2αα+=4825555+=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.8．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =u u u r u u u r，则||BF =（ ）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】D【解析】根据抛物线的定义求得6AF =，由此求得BF 的长. 【详解】过B 作BC l ⊥，垂足为C ，设l 与x 轴的交点为D .根据抛物线的定义可知BF BC =.由于3FA FB =u u u r u u u r，所以2AB BC =，所以6CAB π∠=，所以26AF FD ==，所以123BF AF ==. 故选：D【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.8【答案】B【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为510.5102==. 故选：B 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题. 10．函数1ln ||y x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数图象上的特殊点，判断出正确选项. 【详解】当1x =时，111ln1y ==-，所以D 选项错误.当1x =-时，1101ln1y ==-<--，所以A 选项错误. 当12x =-时，11121111ln ln 2ln 2222y e ==>=----，所以C 选项错误. 所以正确的函数图象为B. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数图象的判断，属于基础题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ．21+ D ．221+【答案】C【解析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ==⨯=，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222c a ==+-. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ）参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12BC．2log D【答案】A【解析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212xh x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20xh x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题13．某种牛肉干每袋的质量()m kg 服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为()22,N σ，(1.9 2.1)0.98P m=剟.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于1.9kg 的袋数大约是_____袋. 【答案】1【解析】根据正态分布对称性，求得质量低于1.9kg 的袋数的估计值. 【详解】由于2μ=，所以()10.981.90.012P m -<==，所以100袋牛肉干中，质量低于1.9kg 的袋数大约是1000.011⨯=袋. 故答案为：1 【点睛】本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题.14．已知函数()2()cos log 21()xf x x ax a R =-++∈为偶函数，则a =_____. 【答案】12【解析】根据偶函数的定义列方程，化简求得a 的值. 【详解】由于()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=， 即()()()22cos log 2cos l 1og 21x xx ax x ax ----+++-=，即()()22cos log 21cos log 21x xx a x x x a --+-=-++，即()()22l log 21012og 2xxax -+-+-=，即221log 2021xxax -+-=+，即()()2212log 20212xx xxax -+⋅-=+⋅，即()2212log 2021xxx ax +⋅-=+，即()2log 222120xax x ax a x -=-=-=，所以1120,2a a -==. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.15．已知A B C P 、、、是同一球面上的四个点，其中PA ⊥平面ABC ，ABC V 是正三角形，3PA AB ==，则该球的表面积为______. 【答案】21π【解析】求得等边三角形ABC 的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥P ABCD -外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设1O 是等边三角形的外心，则球心O 在其正上方12PA 处.设1O C r =，由正弦定理得32sin3r r π====所以得三棱锥P ABCD -外接球的半径R ====积为22144214R πππ=⨯=. 故答案为：21π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.三、双空题16．设函数2()2x x f x =，点()*(,())n A n f n n N ∈，0A 为坐标原点，向量01121n n n a A A A A A A -=+++u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r L ，设(1,0)i =r ，且n θ是n a u u r 与i r的夹角，记n S 为数列{}tan n θ的前n 项和，则3tan θ=_____；n S =_____.【答案】38 222n n +-【解析】求得n a u u r的坐标，由此求得cos tan n n θθ⇒，进而利用错位相减求和法求得n S .【详解】依题意()22n n f n =，即2,2n n n A n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且n A 在第一象限，n θ为锐角.所以0112210,2n n n n n a A A A A A A A A n n -=+++==⎛⎫ ⎪⎝⎭u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u u r L .所以42cos 4n n n n a i a i n n θ⋅==⋅+u u r r u u r r ，所以2222sin 1cos 1cos 1tan 1cos cos cos n θθθθθθθ--====-42224142nn nn n n n n +=-==. 所以3333tan 28θ==.212222n n n S =+++L ①，2311122222n n nS +=+++L ②，两式相减得21111122222n n n n S +=+++-L 1111111222111222212n n n n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=--， 所以222n n n S +=-. 故答案为：(1). 38 (2). 222n n +- 【点睛】本小题主要考查向量线性运算，考查同角三角函数的基本关系式，考查错位相减求和法，属于中档题.四、解答题17．交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90/km h 的有30人，不超过90/km h 的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h 的有5人，不超过90/km h 的有15人.（1）完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h 与驾驶员的性别有关；（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h 的人数为ξ，假定抽取的结果相互独立，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++临界值表：【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关（2）详见解析【解析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关. （2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望. 【详解】 （1）因为2260(3015510)61613.71402035257K ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯，13.7110.828>，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.（2）ξ服从153,60B ⎛⎫⎪⎝⎭，即13,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3033127(0)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21133127(1)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1223319(2)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0333311(3)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列如下ξ的期望2727913()0123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.18．设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B ；（2）若ABC V 为锐角三角形，求ca的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得cos B 的值，进而求得B 的大小. （2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得c a 的表达式，进而求得ca的取值范围. 【详解】（1）由题设知，2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+， 即2sin cos sin()B B A C =+， 所以2sin cos sin B B B=， 即1cos 2B =，又0B Q π<< 所以3B π=.（2）由题设知，()1sin sin 120sin 22sin sin sin A A A c C a A A A︒+-===，即112tan 2c a A =⋅+，又ABC V 为锐角三角形，所以3090A ︒<<︒，即3tan 3>A 所以103tan A <<，即131122tan 2A <⋅+<， 所以c a 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.19．已知六面体ABCDEF 如图所示，BE ⊥平面ABCD ，//BE AF ，//AD BC ，1BC =，5CD =，2AB AF AD ===，M 是棱FD 上的点，且满足12FM MD =.（1）求证：直线//BF 平面MAC ； （2）求二面角A MC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2318【解析】（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO .通过证明//MO BF ，证得直线//BF 平面MAC .（2）建立空间直角坐标系，利用平面MAC 和平面MCD 的法向量，计算出二面角A MC D --的正弦值.【详解】（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO ， 因为AD BC ∥，所以BOC DOA △∽△，所以21DO AD OB BC ==， 在FBD V 中，因为21MD DOMF OB==，所以MO BF P ，且MO ⊂平面MAC ， 故BF ∥平面MAC.（2）因为AD BC ∥，2AB =，1BC =，2AD =，5CD AB AD ⊥， 因为BE AF P ，BE ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD ， 所以AF AB ⊥，AF AD ⊥，取AB 所在直线为x 轴，取AD 所在直线为y 轴，取AF 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，(2,0,3)E ，(0,0,2)F所以(0,2,2)DF =-u u u r，因为12FM MD =， 所以2440,,333DM DF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，所以点M 的坐标为240,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以(2,1,0)AC =u u u r ，240,,33AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，设(,,)m x y z =u r为平面MAC 的法向量，则200240033x y m AM y z m AC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩u u u u v v u u u v v ，令1x =，解得2y =-，1z =， 所以(1,2,1)m =-u r ，即(1,2,1)m =-u r为平面MAC 的一个法向量.142,,33CM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，(2,1,0)CD =-u u ur同理可求得平面MCD 的一个法向量为,,(1)22n =r所以cos ,6336m n 〈〉==⨯u r r所以二面角A MC D --的正弦值为31818【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．在直角坐标系xOy 中，长为3的线段的两端点A B 、分别在x 轴、y 轴上滑动，点P 为线段AB 上的点，且满足||2||AP PB =.记点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）若点M N 、为曲线E 上的两个动点，记OM ON m ⋅=u u u u r u u u r，判断是否存在常数m 使得点O 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出常数m 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214y x +=（2）存在；常数0m =25【解析】（1）设出,,P A B 的坐标，利用2AP PB =u u u r u u u r以及3AB =，求得曲线E 的方程. （2）当直线MN 的斜率存在时，设出直线MN 的方程，求得O 到直线MN 的距离d .联立直线MN 的方程和曲线E 的方程，写出根与系数关系，结合OM ON m ⋅=u u u u r u u u r以及d为定值，求得m 的值.当直线MN 的斜率不存在时，验证,d m .由此得到存在常数0m =，且定值25d =. 【详解】（1）解析：（1）设(,)P x y ，()0,0A x ，()00,B y 由题可得2AP PB =u u u r u u u r()0022x x x y y y -=-⎧∴⎨=-⎩，解得00332x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩又||3AB =Q ，即22009x y +=，∴消去00,x y 得：2214y x +=（2）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx b =+ 设()11,M x y ，()22,N x y由=OM ON m ⋅u u u u r u u u r可得：1212x x y y m +=由点O 到MN的距离为定值可得d =d 为常数）即2221b d k =+ 2214y kx by x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩Q 得：()2224240k x kbx b +++-= ()()222244440k b k b ∴∆=-+->即2240k b -+>12224kb x x k -∴+=+，212244b x x k -=+ 又()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++Q22121225444b k m x x y y k --∴+==+ ()()2225414b k m k ∴=+++ ()222245411m k b k k +∴=+++ ()2224541m k d k +∴=++d ∴为定值时，0m =，此时d =，且符合>0∆ 当直线MN 的斜率不存在时，设直线方程为x n =由题可得254n m =+，0m ∴=时，5n =±，经检验，符合条件 综上可知，存在常数0m =，且定值d = 【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题. 21．已知函数()sin ax f x e x =.（1）若()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，对0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒有()f x bx …成立，求实数b 的最小值. 【答案】（1）[)+∞（2）22e ππ【解析】（1）求得()'fx ，根据已知条件得到()0f x '≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，由此得到sin cos 0a x x +≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，利用分离常数法求得a 的取值范围.（2）构造函数设()()g x f x bx =-，利用求二阶导数的方法，结合()0g x ≤恒成立，求得b 的取值范围，由此求得b 的最小值. 【详解】（1）()sin cos (sin cos )ax ax axf x ae x e x e a x x '=+=+因为()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()0f x '≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即sin cos 0a x x +≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，当0x =时，上式成立，a R ∈ 当0,6x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，有cos 1sin tan x a x x≥-=-，需max 1tan a x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，而06x π<≤，0tan 3x <≤，1tan x ≥1tan x -≤，故a ≥综上，实数a 的取值范围是[)+∞（2）设()()sin xg x f x bx e x bx =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()(sin cos )x g x e x x b '=+-，令()(sin cos )xh x e x x b =+-，()(2cos )0x h x e x '=≥，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，也就是()g x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以2()1,g x b e b π⎡⎤'∈--⎢⎥⎣⎦. 当10b -≥即1b ≤时，()(0)0g x g ≥=，不符合； 当20e b π-≤即2b e π≥时，()(0)0g x g ≤=，符合当210b e b π-<<-即21b e π<<时，根据零点存在定理，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()00g x '=，有()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在[)00,x 单调递减，0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，(0)0g =成立，故只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可，有202e bππ-≤，得222e b e πππ≤<，符合综上得，22b e ππ≥，实数b 的最小值为22e ππ【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ++=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【答案】（1）2213x y +=；40x y ++=（2，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】（1）消去曲线1C 参数方程的参数，求得曲线1C 的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线2C 的直角坐标方程.（2）设出P 的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【详解】（1）消去α得，曲线1C 的普通方程是：2213x y +=； 把cos x ρα=，sin y ρα=代入得，曲线2C 的直角坐标方程是40x y ++= （2）设,sin )P αα，||PQ 的最小值就是点P 到直线2C 的最小距离.设d == 在56πα=-时，sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，d =32α=-，1sin 2α=-，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题.23．已知函数()|21||1|f x x x =-++（1）解不等式()3f x ≥；（2）若a b c 、、均为正实数，且满足a b c m ++=，m 为()f x 的最小值，求证：22232b c a a b c ++≥.【答案】（1）{|1x x -„或1}x …（2）证明见解析 【解析】（1）将()f x 写成分段函数的形式，由此求得不等式()3f x ≥的解集. （2）由（1）求得()f x 最小值m ，由此利用基本不等式，证得不等式成立.【详解】（1）3,1,1()2,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当1x <-时，()3f x …恒成立，解得1x <-； 当112x -剟时，由()3f x …，解得1x =-； 当12x >时，由()3f x …解得1x … 所以()3f x …的解集为{|1x x -„或1}x … （2）由（1）可求得()f x 最小值为32，即32a b c m ++== 因为,,a b c 均为正实数，且32a b c ++= 222222b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()a b c ≥++=++（当且仅当12a b c ===时，取“=”） 所以222b c a a b c a b c++≥++，即22232b c a a b c ++≥. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的求法，考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题.。

2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.复数，则A. 2B.C. 10D.3.已知向量，，且，则A. B. C. 1 D. 24.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是A. 若，，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则5.如图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格单位：元，以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 天津的往返机票平均价格变化最大C. 上海和广州的往返机票平均价格基本相当D. 相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加6.设为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为A. B. C. D.7.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC，已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为，记，则A. B. C. 1 D.8.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，A是l上一点，B是直线AF与抛物线C的一个交点，若，则A. B. 3 C. D. 29.在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类別，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金．从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是A. B. C. D.10.函数的图象大致是A. B.C. D.11.已知双曲线C：的焦距为2c，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线C的右支于点P，若线段的中点在圆O：上，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.12.已知函数若，则ab的最小值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某种牛肉干每袋的质量服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为，某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于的袋数大约是______袋．14.已知函数为偶函数，则______．15.已知A、B、C、P是同一球面上的四个点，其中平面ABC，是正三角形，，则该球的表面积为______．16.设函数，点，为坐标原点，若向量，设，且是与的夹角，记为数列的前n项和，则______，______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过的有30人，不超过的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人．Ⅰ完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员女性驾驶员合计Ⅱ根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相独立，求的分布列和数学期望．参考公式：，其中．临界值表：18.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．Ⅰ求B；Ⅱ若为锐角三角形，求的取值范围．19.已知六面体ABCDEF如图所示，平面ABCD，，，，，，M是棱FD上的点，且满足．Ⅰ求证：直线平面MAC；Ⅱ求二面角的正弦值．20.在直角坐标系xOy中，长为3的线段的两端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点P为线段AB上的点，且满足记点P的轨迹为曲线E．Ⅰ求曲线E的方程；Ⅱ若点M、N为曲线E上的两个动点，记，判断是否存在常数m，使得点O 到直线MN的距离为定值？若存在，求出常数m的值和这个定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数．若在上单调递增，求实数a的取值范围；若，对，恒有成立，求实数b的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ若点P在曲线上，点Q在曲线上，求的最小值及此时P点的坐标．23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ若a、b、c均为正实数，且满足，m为的最小值，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合，，故选：A．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：，．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：解：向量，，且，，解得．故选：A．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知：在A中，若，，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，，则由面面平行的判定定理得，故B正确；在C中，若，，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，，则与相交或平行，故D错误．故选：B．在A中，与相交或平行；在B中，由面面平行的判定定理得；在C中，与相交或平行；在D中，与相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．5.答案：D解析：解：对于A，由六个城市春运往返机票平均价格和增幅折线图得深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高，故A正确；对于B，由六个城市春运往返机票的平均价格和增幅折线图得天津的往返机票平均价格变化最大，故B正确；对于C，由六个城市春运往返机票的平均价格和增幅折线图得上海和广州的往返机票平均价格基本相当，故C正确；对于D，由六个城市春运往返机票的平均价格和增幅折线图得到：比于上一年同期，其中北京、上海、广州、天津、重庆五个城市的往返机票平均价格在增加，故D 错误．故选：D．由六个城市春运往返机票平均价格和增幅折线图得深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高，天津的往返机票平均价格变化最大，上海和广州的往返机票平均价格基本相当，比于上一年同期，其中北京、上海、广州、天津、重庆五个城市的往返机票平均价格在增加．本题考查命题真假的判断，考查六个城市春运往返机票平均价格和增幅折线图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：C解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，联立解得：，，，令，解得．则的最小值为．故选：C．设等差数列的公差为d，由，，可得，，联立解得：，d，可得：，令，解得即可得出的最小值．本题考查了等差数列的通项公式求和公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：以直角边AC，AB为直径的半圆的面积分别为：，，由面积之比为得：，即，在中，，故可得，．则故选：D．根据两半圆的面积比，可求出AC，AB之比，从而求出，再进一步借助于三角公式求解即可．本题考查三角函数的公式变换，以及给值求值问题解法，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．8.答案：D解析：解：由题可知，，如图所示，过点B作于点C，准线l与x轴交于点E，设，则，由抛物线的定义可知，，，，．故选：D．过点B作于点C，准线l与x轴交于点E，设，由于，则，再结合抛物线的定义，可推出，于是，进而得解．本题考查抛物线的定义，平面向量的线性运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类別，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金．从五行中任取两个，基本事件总数，这二者具有相生关系包含的基本事件个数，这二者具有相生关系的概率是．故选：B．从五行中任取两个，基本事件总数，这二者具有相生关系包含的基本事件个数，由此能求出这二者具有相生关系的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：，故排除选项C；，故排除选项A；，故排除选项D．故选：B．直接利用特殊点的函数值，结合选项运用排除法得解．本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．11.答案：C解析：解：如图，设线段的中点为Q，连接OQ，由题意可得，又直线的斜率为1，则轴，得，则，由OQ为的中位线，可得，则，得．故选：C．由题意画出图形，结合已知可得轴，分别求得与，再由双曲线的定义列式求解离心率．本题考查圆与双曲线的综合、三角形中位线定理，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线定义的应用，是中档题．12.答案：B解析：解：画出函数的图象，如图所示；由，且，设，则；所以，；当时，；考虑，在同一坐标系中画出函数和的图象，其中，如图所示；则函数的图象总在的图象上方，所以，即ab的最小值为．故选：B．画出函数的图象，由题意得出，则；可求得a、b的表达式，计算时；再求恒成立即可．本题考查了分段函数的应用问题，正确画出函数图象和熟练掌握函数的性质是解题的关键．13.答案：1解析：解：由题意，正态曲线关于对称，．故购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于的袋数大约为袋．故答案为：1．由已知结合正态分布曲线的对称性求出，乘以100得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．14.答案：解析：解：根据题意，函数为偶函数，则有，即，变形可得，则有；故答案为：根据题意，由函数奇偶性的定义可得，即，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的判断以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．15.答案：解析：解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，，，是正三角形，．．所求球的表面积为：．故答案为：．由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积．本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．16.答案：解析：解：由函数，点，向量，所以；．故答案为：，．利用向量的加法，结合函数解析式，即可得出结论本题考查了平面向量的综合应用问题，也考查了等比数列的求和运算问题，是中档题．17.平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员 30 10 40女性驾驶员 5 15 20合计 35 25 60计算的观测值，故有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关Ⅱ在这3辆车中任意抽取1辆，驾驶员为女性且平均车速不超过的概率为，随机变量，；；；．的分布列如下0 1 2 3P数学期望．解析：本题考查独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．Ⅰ先补充完整列联表，再根据的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值对比即可作出判断；Ⅱ在这3辆车中任意抽取1辆，驾驶员为女性且平均车速不超过的概率为，故随机变量，然后根据二项分布求概率的方法逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．18.答案：解：Ⅰ，由正弦定理可得：，，，，．Ⅱ由题意，，可得，又为锐角三角形，，可得，，可得，的取值范围是．解析：Ⅰ根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可得解．Ⅱ由题意，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得，又可求范围，可得，即可计算求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正切函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ证明：连结BD，设，连结MO，，∽，，在中，，，且平面MAC，平面MAC，平面MAC．Ⅱ，，，，，，，平面ABCD，平面ABCD，，，取AB所在直线为x轴，取AD所在直线为y轴，取AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得0，，1，，2，，0，，0，，，，，，1，，，设y，为平面的法向量，则，取，得，，1，，同理求得平面MCD的法向量2，，，二面角的正弦值为：．解析：Ⅰ连结BD，设，连结MO，推导出，由此能证明平面MAC．Ⅱ推导出，从而平面ABCD，，，取AB所在直线为x轴，取AD所在直线为y轴，取AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：Ⅰ设，，，因为，所以，所以，解得，，又因为，即，所以；Ⅱ当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，设，，由，可得，由O到MN的距离为定值可得为常数，即，可得，，即，，，又，所以，所以，所以，所以，所以d为定值时，此时d为，且符合，；当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为，由题意可得，所以时，，经检验，符合条件，综上所述，存在常数，使得点O到直线MN的距离为定值．解析：Ⅰ设P的坐标，设A，B的坐标，因为，所以，可得P点的坐标与A，B的坐标的关系，再由的长度，可得P的坐标的关系，即求出P的轨迹方程；Ⅱ分直线MN的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出数量积，由题意，可得M，N的坐标之间的关系，求出O到直线MN的距离，要使O到直线MN的距离为定值，可得m的值和定值．本题考查求轨迹方程的方法及直线与椭圆的综合，及点到直线的距离为定值的性质，属于中档题．21.答案：解：函数，，在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，当时，上式成立，，当时，有，需，而，，则，故，综上实数a的取值范围是．设，，则．设，则，在上单调递增，即在上单调递增，，当即时，，不符合题意，当，即，，符合题意，当时，即，根据函数零点存在定理，，使，有时，，在上单调递减，有时，，在上单调递增，成立，故只需要即可，有，可得符合，综上可得，实数b的最小值为．解析：根据导数和函数单调性的关系即可求出a的取值范围；设，，再求导，再构造函数设，再利用导数求出函数的最值即可求出b的最值．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为由于，转换为直角坐标方程为．Ⅱ设点到直线的距离，当时，，即，点P坐标为解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ，当时，恒成立，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；综上，不等式的解集为；Ⅱ证明：由Ⅰ可知，，当时取得最小值m，又a，b，c为正实数，且，，当且仅当“”时取等号，．解析：Ⅰ将函数化为分段函数的形式，再分别求解，最后取并集得答案；Ⅱ利用Ⅰ，再利用基本不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。

内蒙古2020年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M∪N ＝（ ）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）2. 若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（ ）A. 3B.C.D. ﹣33．若，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f = （ ）。

A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球面面积为（ ） A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π6是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,8B ．()1,+∞C ．()4,8D ．[)4,87. 已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α= ( ) A．B．CD8. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）A. 24B. 48C. 96D. 1209. 定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（ ）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B. （0，+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。