含附加信息时条件分位数的估计及其渐近性质

有关概率P(X＜Y＜Z)的估计问题于洋【摘要】给定随机变量X,Y,Z,针对它们之间可能出现的大小关系X＜Y＜Z,研究该情形发生概率的估计问题,即有关P(X＜Y＜Z)的估计.作了两方面工作;(1)当X,Y,Z 分布已知时,推导出P(X＜Y＜Z)的表达式,利用极大似然估计以及渐近分布的性质,得到P(X＜Y＜Z)的极大似然估计和区间估计;(2)当X,Y,Z分布未知时,利用经验似然比以及非参数Wilks定理,得到P(X＜Y＜Z)的极大经验似然估计和经验置信域.【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(028)002【总页数】6页(P34-39)【关键词】极大似然估计;区间估计;渐近分布;经验似然比【作者】于洋【作者单位】南京财经大学应用数学学院,江苏南京210046【正文语种】中文【中图分类】O212.1给定随机变量 X,Y,Z，它们之间的大小关系是不确定的随机事件，所以对于可能发生的事件：X<Y<Z即存在一定的发生概率，记为P(X<Y<Z).针对这一概率的估计问题，目前国内外尚未有人研究，但它作为一个较为基础的问题，又广泛地存在于各个研究领域中，例如，若X,Y,Z分别刻画三种不同药物的作用时长，则P(X<Y<Z)表示时长X<Y<Z的概率；又若X,Y,Z分别表示三种产品带给某一顾客的效用，则P(X<Y<Z)即为效用X<Y<Z的概率.所以在此我们希望针对P(X<Y<Z)，做出相应的估计推断.一般地，当X,Y,Z的联合密度函数f(X,Y,Z)已知时，由多重积分容易得到P(X<Y<Z)，但多数情况下f(X,Y,Z)未知，此时，在假设X,Y,Z相互独立的条件下，可以根据它们的边际分布已知和未知两种情况，分别得到相应的估计.当X,Y,Z的边际分布已知时，可以推导出P(X<Y<Z)的表达式，并对表达式中的参数作出相应估计；当X,Y,Z的边际分布未知时，对P(X<Y<Z)的估计将不再基于其表达式，而是将它视为X,Y,Z某一边际分布中的未知参数，并由经验似然比，推导出极大经验似然估计.1 文中引用的定理和性质1)连续映射定理[1] 假设{Xn}和X是定义在度量空间S上的随机变量，S′是另一度量空间，并有连续映射f∶S→S′，则a)如果那么b)如果那么2) Slutsky定理[1] 对于定义在度量空间S上的随机变量序列{Xn},{Yn}和随机变量X，如果(常数)，则3) 极大似然估计的渐近正态性[1] 设Y1,…,Yn是来自含参数θ0的总体分布中的样本，是参数θ0的极大似然估计，I0(θ0)是单样本的Fisher信息量，则有极大似然估计的不变性：若是θ的极大似然估计，g(.)是任意函数，则4) Delta法[1] 设{θn}是Rk上的k维随机向量序列，θ定义在Rk上，且映射φ∶Rk→R在点θ处连续可微，φ′(θ)≠0，Σ是k×k矩阵.则若有5)设X是定义在空间Rd上的随机变量，X1,X2,…,Xn独立同分布于X总体的样本，有E(X)=u,且协方差矩阵的秩r(Cov(X))=q∈(0,∞).有关总体期望μ的经验似然比则有非参数Wilks定其中要说明的是有关经验似然估计的部分，Owen第一次提出了经验似然比的概念，这一思想也在之后的几十年中被迅速推广到各个研究领域中[4].它的核心即求解经验似然比其中Fn是随机变量的经验分布函数，同时也是真实分布F0的非参数极大经验似然估计.L(Fn)表示来自Fn的似然函数，L(F;θ)表示样本的似然函数.对样本概率pi附加约束条件后，该求解过程即视为受约束的最优化问题.2 有关P(X<Y<Z)的估计2.1 参数估计假设随机变量X,Y,Z的分布已知，但分布中的具体参数未知.此时，为了得到P(X<Y<Z)的估计，我们希望推导出P(X<Y<Z)的表达式[5]，通过对表达式的处理得到最终结果.2.1.1 极大似然估计设随机变量X,Y,Z的总体分布为FX(x),FY(y),FZ(z).现抽取样本X=X1，…，Xn1～FX(x)，Y=Y1,…,Yn2～FY(y),Z=Z1,…,Zn3～Fz(z),且X,Y,Z相互独立.我们可以分别按X,Y,Z为离散或连续变量予以讨论，得到8种情况下P(X<Y<Z)的表达式，并对表达式中的参数作极大似然估计.这里只取其中两种情况予以介绍.1)当 X,Y,Z全部为连续变量时，P(X<Y<Z)=P(X<Y<z,z=Z)dz=pz(z)dzpY(y)FX(y)dy=pY(y)FX(y)dypz(z)dz=pY(y)FX(y)(1-Fz(y))dy=EY(FX(Y)(1-FZ(Y)))(1)所以，(2)例1 设是未知参数.是样本均值，是样本方差.则由极大似然估计的不变性，得到例2 设X～Exp(λ1),Y～Exp(λ2),Z～U(a,b).λ1,λ2,a,b是未知参数.是样本均值，Z(1),…,Z(n3)是样本的次序统计量.则其中，则由极大似然估计的不变性，得其中，2)当X,Y是连续变量，Z是离散变量时(3)所以，(4)例3 设X～exp(λ1),Y～EXP(λ2),Z～pois(θ).是样本均值.则有2.1.2 区间估计对P(X<Y<Z)的区间估计，同样先得到其表达式，并利用极大似然估计的渐近正态性以及Delta法和Slutsky定理，推导出P(X<Y<Z)的渐近正态分布，进而得到区间估计.举简例予以说明.设相互独立的样本组X～Exp(λ1),Y～Exp(λ2),Z～Exp(λ3).λ1,λ2,λ3是未知参数.分别是X,Y,Z 的样本均值，分别是X,Y,Z的样本方差.则有令λ=(λ1,λ2,λ3)T.设g(λ)=P(X<Y<Z)，由X,Y,Z全部连续时P(X<Y<Z)的表达式，得到(5)则由极大似然估计的不变性，(6)又由极大似然估计的渐近正态性，得(7)其中，所以得到，同样地，因为样本组X,Y,Z相互独立，所以因此，(8)其中，又因为所以由g(λ)对参数λ1,λ2,λ3分别求导，得其中，所以，即将g′(λ)表达式中的λi分别用替换.又因为(9)所以由Delta法，(10)而由连续映射定理，所以，(11)最后，由Slustsky定理得到，(12)则P(X<Y<Z)的1-α置信区间为其中2.2 经验似然估计以上所作的参数估计都是基于P(X<Y<Z)表达式已知的情况，而当其表达式未知时，参数估计便受到限制.因此，考虑从经验似然估计的角度解决此问题.在这一部分中，假设X,Y,Z的分布未知，并将P(X<Y<Z)视为其分布中的参数，利用经验似然比，求解受约束的最优化问题，得到参数P(X<Y<Z)的估计.我们将尝试得到极大经验似然估计以及经验置信区间.令参数θ=P(X<Y<Z)，样本用b1,…,bm2表示Y中所有取值不同的样本，并以样本组Y为基准，设pi=p(Y=bi),i=1,…,m2.在求解经验似然比时，需要知道针对pi的约束条件，所以首先研究pi与参数θ的关系.因为θ=P(X<Y<Z)，按Y的所有不同样本对P(X<Y<Z)进行全概率分解：(13)其中，I(.)为指示函数，当Xj<bi<Zk时取1，否则取0. 因此，得经验似然比：(14)其中，则(15)所以，为了得到ln(R(θ))，必须先求出其中pi满足以下约束条件：因为所以引入拉格朗日函数：(16)则由于所以得即γ=m2.因此(17)其中，所以(18)其中，由此可以得到：1)极大经验似然估计设W=L(R(θ)).因为而θ∈(0,1)，所以即其中，所以解得2)经验置信域由非参数Wilks定理，则由可以得到θ的1-α置信域3 结束语本文研究了有关P(X<Y<Z)的估计问题，当X,Y,Z的边际分布已知时，由P(X<Y<Z)的表达式，对其中的参数作相应估计，得到极大似然估计及区间估计；当X,Y,Z的边际分布未知时，将P(X<Y<Z)视为X,Y,Z某一边际分布中的未知参数，并由经验似然比，推导出极大经验似然估计.但对于该经验似然估计，不易得到其解析解，此时可以通过计算机编程得到数值解，或者利用Monte Carlo模拟做仿真试验以逼近其真实解，这将在以后的工作中作进一步的完善.参考文献【相关文献】[1] 苏良军，高等数理统计[M]. 北京：北京大学出版社，2007:58-61.[2] Owen A. Empirical likelihood ratio confidence regions[J].Annals of Statistics， 1990,18: 90-120.[3] Owen A.Empirical likelihood ratio confidence intervals for a singlefunctional[J].Biometrika 1988,75:237-249.[4] 王启华，经验似然统计推断方法发展综述[J].数学进展，2004,33(2):142-144.[5] 张杰恒，概率P(X>E(X))的估计问题[J].湖南大学学报，1993,20(4):1-4.。

函数型数据下条件分位数的经验似然推断熊贤祝;周培钦【摘要】针对函数型数据下条件分位数的区间估计问题提出应用经验似然方法来构造条件分位数的置信区间,并在适当的条件下得到了经验似然比统计量渐近服从χ2(1).%For the interval estimation of a conditional quantile with functional data, this paper employs the empirical likelihood method to construct confidence intervals for a conditional quantile. It is proved that the empirical likelihood ratio statistic is asymptotically chi-square distributed with one degree of freedom under some mild conditions.【期刊名称】《福州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(045)006【总页数】6页(P775-780)【关键词】经验似然;条件分位数;函数型数据;置信区间【作者】熊贤祝;周培钦【作者单位】福州大学数学与计算机科学学院,福建福州 350116;福州大学数学与计算机科学学院,福建福州 350116【正文语种】中文【中图分类】O212.70 引言函数型数据分析的基本思想, 是把观测到的数据看成一个整体也就是将数据看作无穷维函数空间中的元素来进行处理和分析. 随着测量技术的发展, 在诸如医学诊断、气象预报、心理学、经济学以及生命科学等领域中都出现了函数型数据的统计问题, 函数型数据的分析方法在科学研究中显得越来越重要. 关于函数型数据的分析方法和最新进展可参考文献[1-3], 本研究主要考虑条件分位数. 众所周知, 对于重尾的误差分布以及异常值而言, 条件分位数是稳健的. 当数据是有限维时, 条件分位数的统计问题已经被很多文献所研究, 而在函数型数据下却较少研究. Ferraty 等[4]考虑了条件分布函数的NW估计, 建立了估计的完全收敛性并将结果应用到条件分位数.在独立和相依函数型数据下, 文献[5-6]均得到了条件分位数的核估计的渐近正态性并构造了正态逼近的置信区间.就构造置信区间而言, 经验似然方法得到了很多的应用, 该方法由文献[7-8]提出, 与正态逼近方法相比有许多的优点(见文献[9]). 比如, 由数据来决定置信区间的形状, 而用正态逼近方法时, 其置信区间是对称的, 需要特别指出的是, 该方法不用估计渐近方差. 所以经验似然方法被广泛地用来构造各种未知参数的置信区间(见文献[10]). 在有限维数据下, 秦永松等[11]在有附加信息及没有附加信息时应用经验似然方法分别研究了条件分位数置信区间的构造, 随后Liang [12]把文献[11]的结果延伸到左截断模型.本研究将文献[11]的结果延伸到函数型数据情形即在函数型数据下应用经验似然方法来考虑条件分位数的置信区间. 在适当的条件下得到了经验似然比统计量渐近服从χ2(1).1 方法和主要结果为了方便起见, 本研究考虑与文献[5]一样的函数型数据情形, 即考虑某个赋范空间下的独立函数型数据. 设{(Xi, Yi)|i≥1}是一个独立同分布随机向量序列, 其中Yi是实值随机变量； Xi是取值于某个赋范空间(比如Hilbert和Banach空间)的随机变量(此时称Xi为函数型数据). 给定X1=x条件下Y1的分布函数为∀y∈,对固定的p∈(0, 1), 给定X1=x条件下Y1的p分位数θp(x)为如果F(y|x)关于y连续, 那么F(θp(x)|x)=p.在后面的条件A1)、A2)和A3)下, 由文献[5]的引理2可知这里的φ(·)、K(·)、g(·)见条件A1)、A2)、A3); H(·)是一分布函数, {hn|n≥1}是一个正数序列, 满足另外α1见文献[5]的引理3.1. 又φ(hn)→0, 所以由此可设经验似然的得分函数经验似然比定义为R(θp(x))=npi, pi≥0, pi=1(6)经验似然比统计量为l (θp(x))=-2log R(θp(x))=2log{1+λ(θp(x))ωni(θp(x))}(7)其中: λ(θp(x))满足为方便叙述先引进一些记号. 设).下面列出后面结果要用到的假设条件.A1) 存在三个函数g(·)、φ(·)(设单调不降, 且φ(hn)→0)和ζ0(·)使得Ⅰ) Fx(hn)=g(x)φ(hn)+o(φ(hn)), 其中g(x)>0.Ⅱ) 对(u).A2) 核函数K是一密度函数, 其紧支撑为[0, 1]且在[0, 1)上一阶导数连续. 其中，K(0)>0, K(1)>0, 且对∀t∈[0, 1], K′(t)存在且K′(t)<0.A3) Ⅰ) 存在两个正数β和ν使得, ∀(y1, y2)∈2, ∀(x1, x2)∈U(x)×U(x), 有其中U(x)是x的某个领域, Cx是与x有关的一个正常数.Ⅱ) ∀t∈, H′(t)存在且有界,∞.A4) 窗宽hn满足Ⅰφ(hn)→∞, Ⅱφ3(hn)→0.注1 这里的条件A1)～A4)与文[5]中的A1)～A4)完全一样. 条件A1)中 I)反映了函数型随机变量Xi分布的集中程度, 在函数型数据下的非参数回归分析中起着重要的作用. 另外, 文献[13]列举了一些满足条件A1)的例子. 条件A2)和A4)是关于核函数和窗宽的条件, 在函数型数据下的非参数回归分析是常见的.文献[4]用到了条件A3)的 I), 另外由常见的核函数所得到的分布函数会满足条件A3)的II).主要结果如下.定理1 如果条件A1)～A4)成立. 那么注2 设zα满足P(χ2(1)≤zα)=1-α, 0<α<1. 由式子(9)可知θp(x)的名义置信水平为1-α的渐近经验似然置信区间：2 定理的证明首先引进一些引理.引理1 1) 设条件A1)～A4)成立. 则对∀y∈, 有(Fn(y|x)-F(y|x))N(0, σ2(x, y))(11)其中及αl=Kl(1)-(Kl(u))(u)du (l=1, 2)2) 设条件A1)～A4)成立. 则注3 式(11)成立可由文献[5]中定理1推得, 而式(12)成立则由文献[5]中的引理2和引理3推得.引理2 设条件A1)～A4)成立. 则证明 1) 由式子(11)和F(θp(x)|x)=p可推得由式子 (12)、(16)和Slutsky定理可得即式子(13)成立.2) 分解式子(14)的左边项设对∀u∈, Q(u)=, 其中则(u)du=1. 因此函数Q(·)也是核函数, 且Q满足核函数K 的条件A2), 所以由引理2可得:即同理由引理1中1)可得其中=又H2也是分布函数且满足分布函数H的条件A3)中的Ⅱ), 所以由引理1可得由式子(19)～(20)可得也就是由条件A4)中I)可推出nφ(hn)→∞, 所以,再由式子 (17)～(22)可得Sn1(x)pα2g(x), Sn2(x)-2p2α2g(x), Sn3(x)p2α2g(x)(23)最后由式子(17)、(23)可推得式子(14)成立.3) 对∀ε>0,类似于文献[5]中引理1的证明可得其中:(u)du. 最后由式子(24)、(25)和nφ(hn)→∞可推得式子(15)成立. 定理1的证明记n.1) 先证设由式子(8)可得那么由式子(13)可得1n(θp(x))=ωni(θp(x))=OP()(28)由式子 (14)～(15)以及式子(27)～(28)可得|λ(θp(x))|[nφ(hn)α2g(x)p(1-p)+nφ(hn)oP(1)-oP()OP()]≤OP()故有λ(θp(x))=OP(1/)2) 证明λ(θp(x))=ωni(θp(x))+oP(1/)(29)由式子 (8)可得设Ui=λ(θp(x))ωni(θp(x)), 1≤i≤n. 由式子(15)和(26)可得由式子 (14)、(15)、(26)和(31)可推出式子(30)右边第三项的上界为因此, 由式子(14)、(30)和(32)可推得式子(29)成立.3) 由式子(31)可得这里ηi满足: 存在C>0使得由式子 (14)、(15)和(26)可得注意到Ui=λ(θp(x))ωni(θp(x)), 1≤i≤n, 由式子(7)、 (26)、 (28)、 (29)以及式子(33)～(35)有最后, 由式子 (13)、(14)和(36)推得定理1.参考文献：[1] RAMSAY J, SILVERMAN B W. 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Pareto风险模型中分位数保费的贝叶斯估计魏斯怡;章溢;温利民【摘要】分位数保费原理是非寿险精算中的一种重要的保费原理,在保险中有重要的应用.建立分位数保费原理的Pareto风险模型,通过引入损失函数,结合一些统计技巧,给出了分位数保费原理下风险保费的贝叶斯保费、贝叶斯估计、极大似然估计以及分位数估计.进而,讨论了这些估计的统计性质.最后,利用数值模拟的方法比较了这些估计的平均误差.【期刊名称】《华东师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(000)004【总页数】10页(P60-69)【关键词】分位数保费原理;Pareto风险模型;相合性;渐近正态性【作者】魏斯怡;章溢;温利民【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院,南昌330022;江西师范大学数学与信息科学学院,南昌330022;江西师范大学计算机信息工程学院,南昌330022;江西师范大学数学与信息科学学院,南昌330022【正文语种】中文【中图分类】O211在非寿险精算中，如何为一种保险制定合适的保费是精算师的主要任务之一.在制定保费的过程中，保险公司有两个最为关心的问题，一是如何使征收的保费足够理赔，二是在保费足够理赔的基础上，如何增强保险产品的竞争力.第一个问题是要求保费尽量地高，以使得总的保费收入减去索赔及相关费用后有剩余，保证保险公司的正常利润；而第二个问题则是要求保费尽量低，以使得保险公司有充足的竞争力，在市场竞争中赢得更多的保单.因此，合理的保费定价就显得非常关键.保险公司在厘定费率时，既要考灿总的保费收入，又要考灿投保人的预期保费，以使保费在投保人之间公平分摊.分位数保费原理是一种重要的保费原理，它要求给出的保费小于风险损失随机变量的概率最多不超过某个给定的小概率α.这种保费原理在直观上容易理解，又能满足一些重要的性质，因此在保险精算中经常使用，相关的文献包括Asimit等[1]、欧阳资生[2]、谢佳利等[3].注意到分位数保费原理实际上就是随机变量分布函数的逆分位数，在风险管理中又称为在险价值(Value at Risk，简记为VaR)，是度量风险的一种重要方法.相关的研究包括Gelman等[4]、Szego[5]、Denuit等[6].在非寿险精算中，Pareto分布是刻画具有免赔额保险或再保险最有效的风险模型，可参考Ramsay[7]、Albrecher and Kortschak[8]、Brazauskas and Kleefeld[9]等的研究. Pareto分布是意大利经济学家Vilfredo Pareto在研究经济统计资料时提出来的.随着数学和相关学科的发展，Pareto分布不仅仅应用到经济收入模型中，也应用生物科学、可靠性理论，医学统计等其他模型中.相关研究包括He等[10]、Tudor[11]、Fahidy[12]、Dixit和Nooghabi[13]等的文献.由于Pareto分布具有递减的失效率函数，故常常用来描述个人收入、某种药理过程后病人的存活时间、股票价格波动、保险风险、商业失效等模型. Harris[14]和Arnold[15]对Pareto分布进行了详细的介绍. Pareto分布或与其相近的分布被经济学家Steindl[16]和Hagstroem[17]用来解释一些常见的经济现象.由于风险的非齐次性，Pareto风险模型中的风险参数是不可观测的随机变量.本文把在分位数保费原理下求得的保费称之为分位数保费，由于分位数保费依赖于风险参数，因此风险的分位数保费也是未知的，本文称分位数保费为分位数保费原理下的风险保费.然后需要根据已有信息对之进行估计.在估计风险保费的过程中，有两类信息可用：一类是样本信息，根据风险在若干年的索赔记录得到风险X的样本；另一类风险参数的先验信息，是根据以往的历史资料和先验分布整理得到的.本文主要的目的是建立分位数保费原理的Pareto风险模型，给出风险参数的Jeffrey先验分布，并得到分位数保单原理下风险保费的若干估计，并讨论这些估计的统计性质.本文章节安排如下.第1节给出分位数保费原理的Pareto风险模型；第2节给出分位数保费原理下的贝叶斯保费；第3节得到分位数保费的贝叶斯估计、极大似然估计和分位数估计等其他估计，并证明这些估计的大样本性质；第4节利用数值模拟的方法比较这些估计的均方误差和平均期望损失，并验证估计的收敛速度等. 在保险精算中，常用非负随机变量X表示保单可能导致的索赔.保费定价就是对保单X制定一个合理的价格的过程.定义1.1设X是取值非负的风险随机变量，其分布函数为F(x)，保费原理就是给风险X分配一个实值泛函P(·)，记为：X→P(X)，或F→P(F).对给定的风险X，保险公司自然希望风险总是比保费小，即X≤P.由于X是随机变量，因此在给定的小概率α>0，要求给出的保费满足Pr(X≤P)≥1 -α.(1)然而，在实际中越低的保费就更有竞争力，因此定义风险X的保费P满足称由方程(2)定义保费的方法称为分位数保费原理，而该保费P称为分位数保费，定义分布函数F(x)的广义逆为F-1(u)= inf{x：F(x)≥u}.(3)则分位数保费P是随机变量X在1 -α处的分位数F-1(1 -α)，这正是分位数保费名称的由来.注意到分位数保费(2)是在损失函数下风险X的最优估计.命题1.1若取损失函数(式(4)，下同)，则使期望损失E[L(X，P)]达到最小的估计为F-1(1 -α)，即风险X的最佳估计为分位数保费(2).证明根据最小化问题关于P求极值即可解得.在具有免赔额保险或再保险中，常用Pareto风险模型来刻画保险损失的分布. Pareto风险模型定义为这里d恰为保险的免赔额，一般是已知的.容易得到风险X的密度函数进一步地，令，解得x = dα-1θ，即风险X的分位数保费为P = dα-1θ.在Pareto风险模型中，参数θ刻画了风险X的非齐次性，一般假设为不可观测的随机变量.这时风险X的分位数保费P也是未知的，需要根据已有的信息来估计.为了书写的方便，将分位数保费记为P(θ)表示依赖于风险参数θ，称之为分位数保费原理下的风险保费.一般地，为了估计风险保费P(θ)，假设我们已经对风险X有了若干年的索赔样本X1，X2，···，Xn.另一方面，由于风险的非齐次性，假设已经有风险参数的若干经验资料和经验信息，这些资料形成了θ的某个先验分布π(θ).我们的目标是根据这些信息对分位数风险保费P(θ)进行估计.注意到在Pareto分布中，风险参数θ的信息为则θ的Jeffrey无信息先验分布可取为π(θ)∝[I(θ)]12=1θ.若取θ的先验分布为Γ(β，λ)分布，则Jeffrey无信息先验分布是Gamma分布当β→0后λ→0时的近似；另外，在后面的推导中可以发现，Gamma分布正是帖累托分布的共轭先验分布，这使得风险参数估计有较好的统计性质.关于先验分布的选择问题可参考茆诗松等[18]、Walker[19]等的研究.因此，在下面的讨论中，我们取θ的先验分布为其中，λ>0，β>0为结构参数.为方便，记Xn=(X1，X2，···，Xn)T表示所有的样本信息.我们的目标是根据先验信息和样本信息对分位数保费P(θ)进行估计.为此，定义样本的可测函数类Γ=?g(X1，···，Xn)：其中g(X1，···，Xn)是Xn的可测函数?.若在可测函数类Γ中求解未来一年的索赔Xn+1的最优预测，即求解得到的解称为分位数保费原理下的贝叶斯保费.关于贝叶斯保费的相关的定义及研究可参考B¨uhlmann and Gisler[20]、温利民[21]等的研究.进一步地，若将估计限定在样本的线性函数类中，在损失函数下求解得到的估计称为分位数保费原理下的信度保费，关于信度保费的研究可参考文献[22-24].我们先给出下面的引理，其证明可参考茆诗松等人的研究[18].引理2.1在贝叶斯模型的假设下，最小化问题式(8)的解与的解是等价的.根据引理，容易得到下面的定理.定理2.1在Pareto风险模型中，分位数保费原理下的贝叶斯保费为证明记Π?x|Xn?为给定样本Xn= xn=(x1，x2，···，xn)T下Xn+1的预测分布函数.则在损失函数下，我们求解最小化问题令由于在Xn给定下，gXn是一个固定的常数，记为g.则有对G关于g求导并令导数为0，得到下面的正规方程解得g = g?Xn?=Π-1?1 -α|Xn.由于(X1，X2，···，Xn，Xn+1)的边际分布为则根据条件分布密度公式有因此预测分布函数为令解得因此证明了定理.贝叶斯保费是Xn+1在损失函数下的最优预测，而风险保费P(θ)是在θ给定下Xn+1的估计.但由于风险参数θ是未知的，显然用作为P(θ)的估计是恰当的.我们能证明下面的统计性质.命题2.2贝叶斯保费是风险保费P(θ)的强相合估计，且当n→∞时有证明记容易证明Yi，i = 1，2，···，xn，相互独立同分布服从于指数分布exp(θ).注意到再根据极限的海莱定理及洛比达法则，可得根据连续性定理有因此证明了的强相合性.另一方面，根据独立同分布的中心极限定理，有注意到则根据Slustky定理，有为了符号的方便，记再由Slustky定理可得注意到则令u(x)= dexp(x)是x的可导函数，则根据Cramer定理可得即证明了贝叶斯保费的渐近正态性.在上一节中，我们根据损失函数得到贝叶斯保费作为风险保费的一个估计，显然这个估计满足某种最优性.然而，我们还可以找到一些其他较好的估计.首先，我们给出风险保费的极大似然估计.命题3.3风险保费P(θ)的极大似然估计为其中因此似然函数与对数似然函数分别为证明由于在给定θ下，Xi的密度函数为和因此容易得到θ的极大似然估计为由极大似然估计的不变性可知P(θ)的极大似然估计为命题3.4风险保费P(θ)的极大似然估计MLE是强相合的，且有证明由强大数定律以及连续性定理得令v(x)= dα-x，则v′(x)= -dα-xlnα，因此根据式(17)以及Cramer定理有由风险保费P(θ)的表达式，我们还可以先求出θ的贝叶斯估计︿θB，代入后可得到风险保费的估计P我们称之为P(θ)的贝叶斯估计.命题3.5风险保费P(θ)的贝叶斯估计为︿θB?，其中为θ在平方损失函数下的贝叶斯估计.证明根据贝叶斯定理，在平方损失函数下风险参数θ的贝叶斯估计为后验均值︿θB= E(θ|Xn)；而θ的后验分布π?θ|xn?为因此，θ的后验分布为Γ?λ+ n，β+ nY?.则θ的贝叶斯估计为风险保费P(θ)的贝叶斯估计为命题3.6分位数保费原理下风险保费P(θ)的贝叶斯估计BE是强相合的，且证明根据强大数定律容易得到因此根据连续性定理有即证明了贝叶斯估计的强相合性.另外，根据中心极限定理，有注意到则根据Slustky定理，有令r(x)= dα-x，再次运用Cramer定理得上面两个命题说明风险保费的极大似然估计MLE与贝叶斯估计BE都是强相合的，且满足渐近正态性.更加巧合的是，这两个估计与贝叶斯保费具有相同的渐近方差d2ln2α，在这个意义上说，这3个估计是渐近等价的.这3种估计的大样本性质等结论具有合理的一致性，我们认为所得结论是令人满意的，也侧面说明本文假定的分位数保费原理的Pareto风险模型是比较合理的.在统计学中，若利用经验分布函数Fn(x)估计分布函数F(x)，由于P(θ)是F(x)在1 -α处的分位数，则容易得到P(θ)的分位数估计为根θ2α2θ据茆诗松等的研究[18]，得到下面的渐近正态性上面两节分别给出了分位数保费原理下风险保费的几个估计：贝叶斯保费；极大似然估计MLE；贝叶斯估计BE；分位数估计X[n(1-α)]+1.并且证明了这些估计都是强相合并且渐近正态的.注意到贝叶斯保费的渐近方差与分位数估计的渐近方差之比为对α∈(0，1]，定义函数g(α)=αln2α-(1 -α).由于g′(α)= ln2α+ 2lnα+ 1 =(lnα+ 1)2≥0，则g(α)是α的增函数，因此有g(α)<g(1)= 0，即对不同的α值，计算两者的渐近方差得到表1.式(29)及表1说明，分位数估计的渐近方差总是比贝叶斯保费的方差大.因此从这个意义上说，分位数估计相对其他估计是较差的估计.注意到贝叶斯保费、极大似然估计MLE、贝叶斯估计BE的渐近方差是相等的.为了进一步说明这3个估计的好坏以及收敛速度的快慢，我们采用数值模拟的方法进行比较.在下面的数值模拟中，取λ= 1，β= 1/3，d = 1，对不同的样本容量n与α值，在5 000次重复下计算各个估计期望平方损失ESL(Expected Square Loss)和期望损失EL(Expected Loss)，得到表2和表3.从表2和表3中可以看出，在平方损失函数下，贝叶斯估计BE有相对较快的收敛速度，而在损失函数下，贝叶斯保费相对较好一些.但由于3个估计的的平方误差相差较小，特别样本容量较大(n = 100)时，3个估计的收敛性基本达到一致.【相关文献】[1]ASIMIT V A，BADESCU A，VERDONCK T. 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江苏省苏州十中2024年高三年级二轮复习数学试题导引卷（二）含附加题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．193．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)-D ．1(,1)24．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A 10B ．3C 5D ．26．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦7．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B．⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D．⎣⎦8．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．49．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 10．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞， B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，11．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π12．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

conditional条件法、lr偏似然估计法、wald瓦尔德法条件法、偏似然估计法和瓦尔德法是统计学中经常使用的三种方法，用于估计参数和进行假设检验。

本文将逐步解释这三种方法的原理和应用，并讨论它们的优缺点。

条件法(Method of Moments) 是一种基于样本矩的估计方法。

其核心思想是将理论矩和样本矩之间的差异最小化，从而得到参数的估计值。

具体步骤如下：步骤1：确定估计量的数量首先，根据需要估计的参数的数量，确定需要计算的矩数量。

例如，如果需要估计一个参数，那么只需要计算一个矩；如果需要估计两个参数，那么需要计算两个矩。

步骤2：计算样本矩从样本中计算所需的矩。

常见的矩包括样本均值、方差和偏度。

步骤3：建立理论矩对所需的参数建立理论矩的表达式。

这些表达式是参数的函数。

步骤4：求解方程组将样本矩和理论矩相等，得到参数的估计值。

这可以通过求解一个由样本矩和理论矩的方程组获得。

条件法的优点是简单易用，特别适用于参数估计问题。

然而，它的缺点是对于非线性模型或者高阶矩的估计问题存在较大的不确定性。

偏似然估计法(Maximum Likelihood Estimation, MLE) 是一种基于似然函数的估计方法。

它假设观测数据来自于已知的概率分布，然后通过最大化似然函数来估计参数。

具体步骤如下：步骤1：建立似然函数根据数据的概率分布函数，建立参数的似然函数。

似然函数是参数的函数，表示给定参数情况下观测数据出现的可能性。

步骤2：对似然函数取对数将似然函数取对数，得到对数似然函数。

这样做的好处是可以简化计算。

步骤3：求对数似然函数的导数对对数似然函数求导，得到参数的似然方程。

解这个方程可以求得参数的估计值。

步骤4：计算似然函数的二阶导数对对数似然函数再次求导，得到似然函数的二阶导数。

这个二阶导数称为观测信息矩阵。

步骤5：计算标准误差和置信区间根据观测信息矩阵，计算参数的标准误差，并利用标准误差构建置信区间。

样本分位数的一些渐近性质样本分位数是指统计样本中某一分位数（如中位数，四分位数等）的值。

一般来说，当样本数量足够大时，样本分位数的分布会趋于正态分布，即满足大数定理。

这意味着，当样本数量足够大时，样本分位数的取值概率分布会趋近于正态分布，其中均值等于总体分位数的真值，标准差为总体标准差除以样本数量的平方根。

此外，样本分位数也可以用来估计总体分位数的置信区间。

例如，如果我们想要确定总体中位数的置信区间，我们可以计算样本中位数的置信区间。

这个置信区间的宽度取决于样本数量的大小。

通常，当样本数量足够大时，这个置信区间会较窄，这意味着我们可以很确定地确定总体中位数的值。

假设我们有一个总体，其中位数为100。

我们从总体中随机抽取了1000 个样本，并计算了样本中位数。

根据大数定理，我们知道样本中位数的分布大概会趋近于正态分布，其中均值为100，标准差为总体标准差除以样本数量的平方根。

假设总体标准差为10，则样本中位数的标准差为10/sqrt(1000) = 0.1。

这意味着，样本中位数的取值概率分布大概会趋近于正态分布，其中均值为100，标准差为0.1。

如果我们想要确定总体中位数的置信区间，我们可以计算样本中位数的置信区间。

例如，如果我们想要确定总体中位数的95% 置信区间，我们可以计算样本中位数的95% 置信区间。

这个置信区间的宽度取决于样本数量的大小。

通常，当样本数量足够大时，这个置信区间会较窄，这意味着我们可以很确定地确定总体中位数的值。

总之，样本分位数具有较强的渐近性质，当样本数量足够大时，它的分布会趋于正态分布，并且可以用来估计总体分位数的置信区间。