高考数学总复习直线的一般式方程学案

直线的一般式方程一、【学习目标】：1.理解关于x,y 的二元一次方程与直线之间的关系.2.明确直线的一般式方程的特征,并能将一般式与其他形式的方程进行互化.3.能根据直线的一般式方程进行简单的应用(求斜率、截距等).直线的一般式方程： 1）B=0时，方程变形为 ,即表示斜率 的直线2）B ≠0时，方程变形为 ，即表示斜率 的直线 四、【典例分析】题型一：选择适当的形式写出直线方程 例1、已知直线经过点A （6，-4），斜率为-2，求直线的点斜式和一般式方程。

题型二：一般式方程转化为其他形式的方程例2、已知直线L 的方程x –2y +6= 0，1）求出直线L 的斜率2）它在x 轴与y 轴上的截距3）画出图像题型三：利用一般式解决平行于垂直问题 例3、已知点A(2,2)与直线l ：3x+4y-20=0,(1)过点A 且与直线l 平行的直线的方程为 . (2)过点A 且与直线l 垂直的直线的方程为 .【巩固训练】1、经过点A(-4,7),且倾斜角为45°的直线的一般式方程为（ ） A.x-y-11=0 B.x+y-11=0 C.x-y+11=0 D.x+y+11=02、直线x 3＋y4＝1，化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3) C ．4x ＋3y －12＝0 D ．4x ＋3y ＝123、如图，直线l 的一般式方程4、已知：直线:35150l x y +-=，1）它的斜率为 2）在x 轴上的截距为 3）y 轴上的截距为 4）与两坐标轴围成的三角形的面积为5、若直线-2x+ay+m=0的斜率为1,则a=___________.【课堂小结】例3．设直线22:(23)(21)260(1)l m m x m m y m m --++--+=≠-，根据下列条件分别确定m的值：（1）直线l在x轴上的截距为3-；（2）直线l的斜率为1．4、求斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线的一般式方程．（2）直线l过点(6,3)P-，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距相等，求直线l的方程．。

高考数学总复习 直线的一般式方程学案学习目标：（1）明确直线方程一般式的形式特征.（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距.（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.学习重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法.学习难点：平面上的直线与x 、y 的一次方程的一一对应关系.预习内容：复习回顾1.几种方程：①点斜式： . ②斜截式： .③两点式： . ④截距式： .2.写出下列直线方程① 过点A(2,-1)、B(0,3)； .② 在x 、y 轴上截距分别是－4、3； .③ 过点(－1, )，倾斜角是135°； .④ 斜率是 ，y 轴上截距是－2； .⑤ 过点(3,-5)，平行于x 轴； . 学习探究：直线方程的一般形式：讨论1：是否所有直线都可写成y ＝kx ＋b 的形式？α＝90°时直线方程是怎样的？两种形式与Ax ＋By ＋C ＝0有何联系？结论： 。

讨论2：Ax ＋By ＋C ＝0能否都化成y ＝kx ＋b 的形式？B ＝0时表示什么图形？结论： 。

新知：直线的一般式方程的定义：把关于x ，y 的二元一次方程 （ ）叫做 ，简称 。

思考：在方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示直线①平行于x 轴； 。

②平行于y 轴； 。

③与x 轴重合； 。

④与y 轴重合； 。

⑤过原点的直线； 。

例1、已知直线L 过点A(-6,4)，斜率为34 ，求直线的点斜式、一般式、截距式方程。

练习1、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： ⑴ 斜率是12-，经过点(8,2)A -； . ⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴； .⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-； . ⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --； .例2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。

直线方程的一般式教学目标：1、知识目标：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵理解直线方程五种形式之间的内在联系，掌握直线方程几种形式的互化，从整体上把握直线方程；2、能力目标：⑴通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析问题、讨论问题的能力。

⑵学会分类讨论思想解决数学问题。

3、情感目标：(1) 通过直线方程几种形式互化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点(2)体验数学发现和探索的历程，培养创新意识教学重点、难点：1、重点：(1)掌握直线方程的一般形式，以及点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化;(2)让学生明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线;2、难点：(1)对直线方程一般式的理解与应用,进一步体会解析几何学科的特点。

(2)理解直线方程几种形式之间的内在联系，能从整体上把握直线的方程．教学方法引导探究法、讨论法教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑。

教学过程一、创设情境，引入新课练习：由下列条件，写出直线的方程：（1）经过点A （8,2），斜率是-2 Y-2=-2(x-8) ⇒ 2x+y-18=0 （2）经过点B （0,-2），倾角为4π； y=x-2 ⇒x-y-2=0 （3）经过点P 1（3,2），P 2（5,4） 242353--=--y x ⇒x-y-1=0 （4）在x 轴，y 轴上的截距分别为 2， 3.132=+yx ⇒2x+3y-6=0 师生活动：通过解题和讨论，总结前面学过的直线方程的几种特殊形式的条件、方程和使用范围如下：[设计意图]：由实例得出：直线方程的这几种特殊形式都具有局限性，我们需要找到一种形式的直线方程，能够表示坐标平面内的所有直线。

复习旧知识，为新知识的引入做好铺垫。

问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？ （这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程） 猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。

3.2.3直线的一般式方程学习要求1．了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系．2．能正确地进行一般式方程与特殊形式的方程的转化．3．能运用直线的一般式方程解决有关问题．核心扫描1．直线的一般式与特殊形式方程之间的转化．(重点)2．直线一般式方程的应用．(难点)新知探究新知导学1．直线的一般式方程关于x，y的二元一次方程(其中A，B)叫做直线的一般式方程，简称一般式．温馨提示(1)任何一条直线的方程都可以认为是关于x，y的二元一次方程．(2)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)，它都表示一条直线．2．直线方程的一般式与四种特殊形式之间的转化关系温馨提示直线x＝x0可理解为1·x＋0·y－x0＝0直线y＝y0可理解为0·x＋y－y0＝0互动探究探究点1 当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么图形？探究点2 任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？题型探究类型一求直线的一般式方程例1 根据下列条件求解直线的一般式方程：(1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)；(2)斜率为3，且在y轴上的截距为4；(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.[规律方法]本题旨在让我们体会直线方程的各种形式，以及特殊形式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点，一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项顺序排列，求直线方程的题目，结果一般写成一般式形式．活学活用1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)经过点B(4,2)，平行于x轴；(2)直线过(－2,1)，在x轴上的截距为1.类型二利用一般式解决平行与垂直问题例2 (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．[规律方法](1)过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．②可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.(2)利用一般式解决平行与垂直问题策略已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.活学活用2 (1)已知直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a 的值为________．(2)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为________．类型三利用直线的一般式方程判定直线的几何特征例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．[规律方法] (1)证直线一定经过某个象限，一般考虑直线过某个定点．(2)直线不经过某个象限问题一般从斜率和截距来考虑解决，但不能忽略考虑与坐标轴垂直的情况．活学活用3 (1)已知k ∈R ，直线kx －y ＋2＋2k ＝0恒过定点________．(2)设直线l 的方程为(a －1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．若直线l 不过第三象限，则a 的取值范围为________．易错辨析 因转化条件不等价而致错示例 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值． [错解] ∵l 2的斜率k 2＝－m －23，由l 1∥l 2知l 1的斜率存在，即m ≠0 又k 2＝－1m ，由k 1＝k 2，得－m －23＝－1m ，解得m ＝3，或m ＝－1.∴m 的值为3或－1.[错因分析] 因存在斜率的两直线平行的等价条件，为斜率相等且截距不等，上述解法忽略检验截距是否相等．[正解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，其斜率k 2＝－m －23，截距b 2＝－23m∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0，由l 1∥l 2得⎩⎨⎧－m －23＝－1m－23m ≠－6m解得m ＝－1，∴m ＝－1.[防范措施] 由两直线的一般式，解决平行、垂直问题时，一定要等价运用条件．(1)用斜率判定平行时，既要考虑斜率是否存在，又要截距不相等；用斜率判定垂直问题时，不能忽略斜率为0或不存在的情况．(2)可直接运用两直线一般式方程的系数解决平行或垂直问题，可避免分类讨论，减少失误.感悟提升课堂达标1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( )． A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件( )． A ．bc ＝0 B ．a ≠0C ．bc ＝0且a ≠0D ．a ≠0且b ＝c ＝03．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________． 4．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝________. 5．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求直线l ′的方程，l ′满足 (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．课堂小结1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得 简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为截距式有两种方法：一是令x ＝0，y ＝0，求得直线在y 轴上的截距－C B 和在x 轴上的截距－CA ；二是移常数项，得Ax ＋By ＝－C ，两边除以－C (C ≠0)，再整理即可.参考答案新知探究新知导学1．Ax ＋By ＋C ＝0 不同时为0 互动探究探究点1 提示 当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象．故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A 、B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0才代表直线．探究点2 提示 不是．当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式．但其他四种形式都可以化为一般式.题型探究类型一 求直线的一般式方程例1 【解】(1)因为k ＝2，且经过点A (1,3)，由直线的点斜式可得y －3＝2(x －1)，整理可得2x －y ＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x －y ＋1＝0.(2)由直线的斜率k ＝3，且在y 轴上的截距为4，故直线的斜截式为y ＝3x ＋4， 整理可得直线的一般式方程为3x －y ＋4＝0. (3)由直线的两点式可得y －(－3)－5－(－3)＝x －2－1－2，整理得直线的一般式方程为2x －3y －13＝0.(4)由直线的截距式可得x 2＋y－4＝1，整理得直线的一般式方程为2x －y －4＝0.活学活用1 【解】(1)由斜截式得y ＝2，即y －2＝0； (2)法一 k ＝1－0－2－1＝－13代入点斜式得y －1＝－13(x ＋2)，即x ＋3y －1＝0.法二 由两点式方程得y －01－0＝x －1－2－1，即x ＋3y －1＝0.类型二 利用一般式解决平行与垂直问题 例2 【解】(1)法一 设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.法二 设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一 设直线l 的斜率为k ， ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1，∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)．∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二 设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0，∴m ＝0. ∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0. 活学活用2 (1)1或－3 (2)－3或2【解析】(1)法一 当a ＝1时，l 1为x ＝3，l 2为y ＝25，故l 1⊥l 2，当a ＝－32时，l 1的方程为－32x ＋52y ＝3，l 2的方程为－52x ＝2，显然l 1，l 2不垂直．当a ≠1且a ≠－32时，由k 1·k 2＝－1，得a a －1·1－a2a ＋3＝－1，解得a ＝－3.综上所述，当a ＝1或a ＝－3时，l 1⊥l 2. 法二 因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0. 解得a ＝1或a ＝－3.故当a ＝1或a ＝－3时，l 1⊥l 2. (2)若l 1∥l 2，需2×3－m (m ＋1)＝0， 解向m ＝－3，或m ＝2.当m ＝－3或2时，A 1C 2－A 2C 1＝2×(－2)－m ×4＝－4－4m ≠0. 故m ＝－3，或m ＝2即为所求．类型三 利用直线的一般式方程判定直线 的几何特征例3 (1)【证明】法一 将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限． 法二 直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.由于上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，5y －3＝0，则有⎩⎨⎧x ＝15，y ＝35.即l 过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，以下同方法一． (2)【解】直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，故a ≥3.活学活用3 (1)(－2,2) (2)[1，＋∞)【解析】法一 直线kx －y ＋2＋2k ＝0可变为y －2＝k (x ＋2)，此为直线的点斜式方程，即直线的斜率为k ，恒过定点(－2,2)．法二 直线kx －y ＋2＋2k ＝0可变为k (x ＋2)－y ＋2＝0，由于上式对任意的k 都成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即直线过定点(－2,2)． (2)把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，a ＋2≥0，解得a ≥1.所以a 的取值范围为[1，＋∞)．感悟提升课堂达标 1．【答案】A【解析】由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 2．【答案】D【解析】y 轴方程表示为x ＝0，所以a ，b ，c 满足条件为b ＝c ＝0，a ≠0. 3．【答案】A 2＋B 2≠0【解析】由二元一次方程表示直线的条件知A 、B 至少有一个不为零即A 2＋B 2≠0. 4．【答案】－23【解析】由题意知k ＝－2a 2－7a ＋3a 2－9＝tan 45°＝1解之得a ＝－23或a ＝3(舍)．5．【解】法一 由题设l 的方程可化为：y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34，(1)由l ′与l 平行， ∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0. 法二 (1)由l ′与l 平行， 可设l ′方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设其方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线方程为4x －3y ＋13＝0.。

直线的一般式方程优秀教案一、教学目标•理解什么是直线的一般式方程。

•学会通过给定的两点确定直线的一般式方程。

•掌握将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程。

•学会通过直线的一般式方程求直线的斜率和截距。

二、教学重点•理解直线的一般式方程的概念和意义。

•学会通过给定的两点确定直线的一般式方程。

•掌握将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程。

三、教学内容1. 直线的一般式方程的概念•直线的一般式方程是指形如Ax + By + C = 0的方程，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。

这样的方程描述着平面上的一条直线。

2. 给定两点确定直线的一般式方程•设直线上有两个不同的点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则直线的一般式方程可以通过以下步骤确定：–计算直线的斜率k：k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)；–计算直线方程的截距b：b = y₁ - kx₁；–根据斜率k和截距b得到直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A = -k, B = 1, C = -b。

3. 将一般式方程转化为斜截式或截距式方程•已知直线的一般式方程Ax + By + C = 0，可以通过以下步骤将其转化为斜截式或截距式方程：–斜截式方程：y = kx + b，其中斜率k = - A/B，截距b = - C/B；–截距式方程：x/a + y/b = 1，其中截距a = - C/A，截距b = - C/B。

4. 求直线的斜率和截距•已知直线的一般式方程Ax + By + C = 0，可以通过以下步骤求直线的斜率和截距：–斜率k = - A/B；–截距b = - C/B。

四、教学步骤1.引入直线的一般式方程的概念，讲解其定义和意义。

2.通过例题演示如何通过给定两点确定直线的一般式方程，并让学生进行跟随计算。

3.引导学生讨论如何将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程，并通过例题进行演示。

直线的一般式方程教案一、引入：在前几节课中，我们学习了直线的斜截式方程和点斜式方程。

今天我们将学习直线的一般式方程。

直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，它的形式为：Ax + By + C = 0。

下面我们一起来学习一下直线的一般式方程的求解方法。

二、概念：直线的一般式方程表达形式为Ax + By + C = 0。

其中A、B、C是实数，且A和B不同时为0。

三、推导：推导一般式方程的方法有很多，下面我们以已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)为例，来推导一下一般式方程的求解过程。

1.根据已知点A和B，求直线的斜率k。

斜率k的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

将点A(x1, y1)和B(x2, y2)的坐标代入公式，求得斜率k的值。

2.代入斜率k和已知点A(x1, y1)的坐标到点斜式方程y - y1 =k(x - x1)中，得到直线的点斜式方程。

3.对点斜式方程进行展开和变形操作，化简得到一般式方程Ax + By + C = 0。

将点斜式方程中的k乘以x，并将常数项移至左边得到A、B和C的值。

最终得到直线的一般式方程。

四、实例演练：现在我们通过一个实例来练习一下求解直线的一般式方程的过程。

已知直线上两点A(2, 3)和B(-1, 4)，求直线的一般式方程。

1.计算斜率k：k = (4 - 3) / (-1 - 2) = -1/3。

2.代入斜率和已知点A的坐标到点斜式方程y - 3 = -1/3(x - 2)中，得到直线的点斜式方程为y - 3 = -1/3(x - 2)。

3.对点斜式方程进行展开和变形操作，得到一般式方程：3x + y - 9 = -x + 2。

化简得到直线的一般式方程：4x + y - 11 = 0。

五、总结：通过上述推导和实例演练，我们学习了直线的一般式方程的求解方法。

直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，形式为Ax + By + C = 0。

直线方程的一般式学案⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧截距式方程两点式方程斜截式方程点斜式方程一般式方程直线方程斜率公式倾斜角与斜率的关系斜率倾斜角范围直线直线与方程 知识网络结构一、 学习要求：1、学习直线的一般式方程，掌握它的引入；2、能根据条件熟练地求出直线的一般式方程。

3、掌握直线方程的各种形式，并会灵活的应用于求直线的方程。

4、会用数形结合方法和分类讨论思想解决相关问题。

二、 学习重点、难点、疑点：1．重点：直线方程的一般式的引入；已知条件求直线的一般式方程。

2. 难点：掌握直线方程的一般式的导入过程。

3. 疑点：一般式方程能不能表示所有的直线。

三、课前预习（一）、预复习要求：1． 倾斜角和斜率：k= (≠α )2．直线的点斜式方程、两点式方程、斜截式方程、截距式方程分别是（斜率为k ）： 。

（二）、预复习练习：（每题2分）1．已知直线的倾斜角为150º，则斜率k= ，若k=3则倾斜角α=2．已知直线经过)3,5(),0,2(21--p p ，则斜率k=3．若直线上有两点（-121，-4），（-121，6）则k= ，α=4．通过点A （2，1）且倾斜角为135的直线方程是 四、新知探究：探究：直线的一般式方程已知直线 经过点),(),,(222111y x P y x P ，且斜率为k ，在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，则直线的方程为________ ______(点斜式)、 （两点式）、（斜截式）、 （截距式）。

思考：四个方程有什么特点？直线有什么特点？（为二元一次方程）五、典型例题：动动手：（1）求下列直线的点斜式、斜截式、截距式和两点式方程：①经过点P （-2,3），斜率为2； ②与y 轴交于点B （0，-3），且倾斜角为6π。

（2）已知三角形的顶点为A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求①这个三角形三边所在的直线所有形式的方程；②AB 边上中线CD 所在的直线所有形式的方程。

2.2.3直线的一般方程导学案【学习目标】1.掌握直线的一般式方程2.理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线3.会进行直线方程的五种形式之间的转化【自主学习】知识点一 直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．(3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－C B＝b (y 轴上的截距)； ②当B ＝0，A ≠0时，则－C A＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率． 知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系一般式Ax＋By＋C＝0无【合作探究】探究一 求直线的一般方程【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是3，且经过点A (5,3)；(2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(3)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点；(4)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1.解 (1)由直线方程的点斜式得y －3＝3(x －5)， 即3x －y －53＋3＝0.(2)由斜截式得直线方程为y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(3)由两点式得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)， 即2x ＋y －3＝0.(4)由截距式得直线方程为x －3＋y －1＝1， 即x ＋3y ＋3＝0.归纳总结：(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，C B的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． (2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．【练习1】根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________；(2)经过点B (4,2)，且平行于x 轴的直线方程为________________；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________； (4)经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________．【答案】 (1)x ＋2y ＋4＝0 (2)y －2＝0 (3)2x －y －3＝0 (4)x ＋y －1＝0探究二 由含参数的一般式求参数【例2】设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________；(2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.【答案】 (1)－53(2)－2 解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3， ∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)． ∴m ＝－53. (2)由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1， 则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2.归纳总结：(1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．【练习2】若方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，则实数a 满足______．【答案】 a ≠－2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋5a ＋6＝0，a 2＋2a ＝0，得a ＝－2， ∵方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，∴a ≠－2.探究三 利用两直线的位置关系求参数【例3】(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.归纳总结：对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l 1与l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2∥⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0. l 1∥l 2∥A 1A 2＋B 1B 2＝0.【练习3】已知直线l 1：ax ＋2y －3＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y －a ＝0，求满足下列条件的a 的值．(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解 (1)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＋1)－3×2＝0，2×(－a )－(－3)(a ＋1)≠0， 解得a ＝2.(2)a ×3＋2×(a ＋1)＝0，得a ＝－25. 探究四 求平行、垂直的直线方程【例4】已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解 方法一 (1)l 的方程可化为y ＝－34x ＋3， ∴l 的斜率为－34. ∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34. 又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0. (2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43， 又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0. 方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠－12)．将(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.归纳总结：一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧．【练习4】已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．解(1)将与直线l平行的直线方程设为3x＋4y＋C1＝0，又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以直线方程为4x－3y－2＝0.课后作业A 组 基础题一、选择题1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3【答案】 D解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1， 解得m ＝3或m ＝2(舍去)．2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A ．C ＝0，B >0B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝0【答案】 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断．3．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1B.3，－1 C ．－3，1D ．－3，－1【答案】 D解析 原方程化为x 1a ＋y 1b＝1， ∴1b ＝－1，∴b ＝－1. 又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan 120°，∴a ＝－3，故选D.4．两条直线mx ＋y －n ＝0和x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( )A ．m ＝1B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ≠1【答案】 D解析 令m ×m ＝1×1，得m ＝±1.当m ＝1时，要使x ＋y －n ＝0与x ＋y ＋1＝0平行，需n ≠－1.当m ＝－1时，要使－x ＋y －n ＝0与x －y ＋1＝0平行，需n ≠1.5．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是() A ．y ＝－3x B ．y ＝3xC ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0【答案】 B解析 如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°.∴l 的斜率k ＝tan α＝tan 60°＝3，∴l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .6．在同一直角坐标系中表示直线ax －y ＝0与x －y ＋a ＝0(a ≠0)正确的是( )【答案】 C解析 若a >0，直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点在y 轴正半轴上，直线x －y ＋a ＝0过第一、二、三象限，而直线ax －y ＝0过定点(0,0)，倾斜角为锐角，此时各选项都不正确；若a <0，则直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点在y 轴负半轴上，直线过第一、三、四象限，而直线y ＝ax 过定点(0,0)，且倾斜角为钝角，故C 正确．7．若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或1 D ．－1或2【答案】 D解析 当直线ax ＋y －2－a ＝0过原点时，可得a ＝－2. 当直线ax ＋y －2－a ＝0不过原点时，由题意知，当a ＝0时，直线l 与x 轴无交点，当a ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为2＋aa ，与在y 轴上的截距2＋a 相等，可得2＋aa ＝2＋a ，解得a ＝1，或a ＝－2. 综上知，a ＝－2或1. 所以直线l 的斜率为－1或2. 二、填空题8．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．【答案】 －415解析 把(3,0)代入已知方程，得(a ＋2)×3－2a ＝0， ∴a ＝－6，∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0， 令x ＝0，得y ＝－415.9．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l 的方程为________．【答案】 4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0解析 由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0， 令y ＝0，得x ＝－c4，令x ＝0，得y ＝－c3，则S △＝12|－c 4·(－c3)|＝6，得c 2＝122，c ＝±12，∴直线l 的方程为4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0.10．若直线mx －y ＋(2m ＋1)＝0恒过定点，则此定点是________． 【答案】 (－2,1)解析 由y ＝mx ＋2m ＋1，得y －1＝m (x ＋2)，所以直线恒过定点(－2,1)．11．直角坐标平面上一机器人在行进中始终保持到两点A (a,0)(其中a ∈R )和B (0,1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l ：y ＝x ＋1，则a 的值为________． 【答案】 1解析 根据题意可知机器人在线段AB 的中垂线上运动，且轨迹与直线l ：y ＝x ＋1平行，由此可得AB ⊥l ，因此k AB ·k l ＝－1，即1－00－a×1＝－1，解得a ＝1.三、解答题12.已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求直线l ′的一般式方程，l ′满足 (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．[解] 法一：(1)由题设l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∥l 的斜率为－34.由l ′与l 平行，∥l ′的斜率为－34.又∥l ′过(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，∥l ′的斜率为43，又∥l ′过(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二：(1)由l ′与l 平行，可设l ′方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∥所求直线方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设其方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∥所求直线方程为4x －3y ＋13＝0.13．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2.(2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0.14．(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0. ①若这两条直线垂直，求k 的值； ②若这两条直线平行，求k 的值．解 ①根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52.∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52. ②根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0， 解得k ＝3或k ＝5. 经检验，均符合题意．∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.(2)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为9的直线方程． 解 设直线方程为2x －y ＋c ＝0，设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为－c2和c ，∴S △＝12×|－c2|×|c |＝9，解得c ＝±6.∴所求直线方程为2x －y －6＝0或2x －y ＋6＝0.B 组 能力提升一、选择题1．直线l ：mx ＋(2m －1)y －6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m 的值为( ) A ．2 B ．－32 C ．3 D ．2或－32【答案】D[在mx ＋(2m －1)y －6＝0中令x ＝0，得y ＝62m －1，令y ＝0，得x ＝6m ，即交点分别为⎝⎛⎭⎫6m ，0，⎝⎛⎭⎫0，62m －1，据题意：12×⎪⎪⎪⎪6m ×⎪⎪⎪⎪62m －1＝3，解得m ＝2或m ＝－32.]2．(多选题)下列命题正确的是( )A ．当B ≠0时，直线一般式方程可化为斜截式方程 B ．当C ≠0时，直线的一般式方程可化为截距式方程C ．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ≠1D ．直线ax ＋(1－a )y ＝3与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直的条件是a ＝1或a ＝－3. 【答案】ACD[A 中，B ≠0时，Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －CB ，故A 正确；B 中，C ≠0时，Ax ＋By ＋C＝0可化为x －C A ＋y－C B ＝1，但A 、B ≠0时是不可能的，故B 错误；C 中，若mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0平行，则m 2＝1即m ＝±1，而m ＝1时n ≠－1，否则重合；m ＝－1时n ≠1，否则也重合，故C 正确；D 中，由垂直条件可知，a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0 解得a ＝1或a ＝－3.故D 正确．故ACD 正确．] 二、填空题3．已知坐标平面内两点A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是_____． 【答案】 3解析 由题可知直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，若P 点坐标为(x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，故xy 的最大值为3.4．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是________． 【答案】15x －3y －7＝0[因为直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，所以B ≠0，且－AB ＝5，即A ＝－5B ，又A －2B ＋3C＝0，所以－5B －2B ＋3C ＝0，即C ＝73B .此时直线的方程化为－5Bx ＋By ＋73B ＝0.即－5x ＋y ＋73＝0，故所求直线的方程为15x －3y －7＝0.]5．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |＝|PB |，若直线P A 的斜率为12，那么直线PB 的斜率为________；若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为________． 【答案】－12x ＋y －5＝0[由条件可知P A 与PB 两直线的倾斜角互补，故k PB ＝－k P A ＝－12；又因为P A 的直线为x －y＋1＝0，∥k PB ＝－1，由x ＝2时，y ＝3，即直线PB 过(2,3)，故PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.] 三、解答题6．经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ， 又直线过点A (1,2)，则得斜率k ＝2，即y ＝2x ；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a ＝1.∵直线过点A (1,2)，则得a ＝3或a ＝－1. 即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.这样的直线有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.7．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？[解] 如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)， 故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。

直线的一般式方程（教案）教学目标：1、知识与能力：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。

⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。

教学方法：引导探究法、讨论法教学过程：创设情境，引入新课：1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：名称几何条件方程局限性点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线斜截式斜率k,y轴上的截距b y=kx+b 斜率存在的直线两点式P1(x1,y1),P2(x2,y2)不垂直于x、y轴的直线截距式在x轴上的截距a,在y轴上的截距b不垂直于x、y轴的直线，不过原点的直线过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成 y=y0。

2、问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程）猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。

新课探究：问题：（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2),（2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1,（3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,思考1 ：以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示？答： 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。

直线的一般式方程【教材分析】直线方程一般式是在学生学习直线方程的点斜式，斜截式，两点式，截距式的基础上，进一步研究直线方程.我们知道直线方程的点斜式，斜截式，两点式截距式是有限制条件的．此外直线方程一般式要涉及二元一次方程．通过公式的选择与互换，可以培养学生分析问题、解决问题的能力．【教学目标】（1）掌握直线方程一般式的形式；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式化为一般式。

【教学重点】直线方程的一般式及各种形式的互化.【教学难点】在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键还是直线方程各种形式的互化.【教学过程】一． 复习回顾1. 点斜式：y-y 1=k(x-x 1) （k 存在）2. 斜截式：y=kx+b （k 存在）3. 两点式：121121x x x x y y y y --=-- （）4. 截距式：by a x +=1 （） 发现：他们都是关于x,y 的二元一次方程思考：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于下x,y 的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线吗？结论：（1）平面上的任意一条直线都可以用一个 关于x,y 的二元一次方程表示。

（2）关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线。

二．新课1.定义：关于,x y 的二元一次方程:0Ax By C ++=(,A B 不全为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.2.二元一次方程的系数和常数对项对直线位置的影响在方程0Ax By C ++=(,A B 不全为0)中x 1≠x 2 y 1≠y 2a,b ≠0例题 1. 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6). 化成一般式，得4x+3y-12=0.2. 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x ＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2通过例题1，2（1）求直线方程注意选合适的形式（2）直线的五种表示方法在一定条件下可以相互转化，一般情况下，最后保留一般式方程（3）画直线时一般找出直线与坐标轴的截距，利用两点决定一条直线完成作图（4）直线与二元一次方程之间的联系，体现出数形结合的思想【板书设计】（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；【作业】99页练习1,2,3题。