高考数学总复习直线的一般式方程学案

直线的一般式方程一、【学习目标】：1.理解关于x,y 的二元一次方程与直线之间的关系.2.明确直线的一般式方程的特征,并能将一般式与其他形式的方程进行互化.3.能根据直线的一般式方程进行简单的应用(求斜率、截距等).直线的一般式方程： 1）B=0时，方程变形为 ,即表示斜率 的直线2）B ≠0时，方程变形为 ，即表示斜率 的直线 四、【典例分析】题型一：选择适当的形式写出直线方程 例1、已知直线经过点A （6，-4），斜率为-2，求直线的点斜式和一般式方程。

题型二：一般式方程转化为其他形式的方程例2、已知直线L 的方程x –2y +6= 0，1）求出直线L 的斜率2）它在x 轴与y 轴上的截距3）画出图像题型三：利用一般式解决平行于垂直问题 例3、已知点A(2,2)与直线l ：3x+4y-20=0,(1)过点A 且与直线l 平行的直线的方程为 . (2)过点A 且与直线l 垂直的直线的方程为 .【巩固训练】1、经过点A(-4,7),且倾斜角为45°的直线的一般式方程为（ ） A.x-y-11=0 B.x+y-11=0 C.x-y+11=0 D.x+y+11=02、直线x 3＋y4＝1，化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3) C ．4x ＋3y －12＝0 D ．4x ＋3y ＝123、如图，直线l 的一般式方程4、已知：直线:35150l x y +-=，1）它的斜率为 2）在x 轴上的截距为 3）y 轴上的截距为 4）与两坐标轴围成的三角形的面积为5、若直线-2x+ay+m=0的斜率为1,则a=___________.【课堂小结】例3．设直线22:(23)(21)260(1)l m m x m m y m m --++--+=≠-，根据下列条件分别确定m的值：（1）直线l在x轴上的截距为3-；（2）直线l的斜率为1．4、求斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线的一般式方程．（2）直线l过点(6,3)P-，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距相等，求直线l的方程．。

2019-2020学年高二数学《直线的一般式方程》学案教学目标：1．掌握一般式直线方程，能根据条件求出直线方程；2．了解直线方程的一般式与二元一次方程的对应关系.3．对直线的五种表达式的优缺点有一个全面的了解, 能够将直线方程的其它形式化为一般式教学重点：直线一般式的应用及与其他四种形式的互化教学难点：理解直线方程的一般式的含义教学过程: 课前检测：1． 已知点(0,4)A ，(4,0)B 在直线l ，则l 的方程为___________________2． 过两点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距为___________________3． 若直线20(0)ax my a a ++=≠过点(1,，则此直线的斜率为_______________4． 过点(3,4)M -，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________________一．问题情境通过前面的介绍，我们已经通过直线的两个要素得到了直线方程的几种特殊的形式，但是他们每个形式都有自己的缺陷，比如说斜率不存在时不能用他们来表示. 我们有没有什么方法能用统一的形式表示出所有的直线？探究：直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）都是关于x 、y 的二元一次方程，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程的图形是否都是直线？（1）平面直角坐标系中，若α为直线l 的倾斜角，那么当α≠90︒时，l ：y =kx +b 即kx −y +b =0；当α=90︒时，l ：x =x 0即x +0y −x 0 =0；即它们都可变形为Ax +By +C =0的形式，且A ，B 不同时为0，从而直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程．（2）关于x ，y 的二元一次方程的一般形式为Ax +By +C =0，（ A ，B 不同时为0）当B ≠0时，方程可化为A C y x B B =--，表示斜率为A B -，在y 轴上的截距为C B-的直线；特别地，当A =0时，表示垂直于y 轴的直线；当B =0时，由A ≠0，方程C x A=-，表示与x 轴垂直的直线. 因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x 、y 的二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不全为0）都表示一条直线。

2018级人教版数学必修2 编号：5 编制时间： 2018/10/9/ 编制人：3.2.3直线的一般式方程【学习目标】1.记住直线的一般式方程.2.知道关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．【重点难点】重点:会用直线的一般式方程解题难点:直线方程的五种形式之间的转化【预习案】【导学提示】一直线的一般式方程交流思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？思考2关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？思考3当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直线？B＝0呢？梳理直线的一般式方程二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系梳理【探究案】一 直线的一般式方程活动与探究例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是3，且经过点A (5,3)；(2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(3)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点；(4)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1.跟踪训练1 根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________； (2)经过点B (4,2)，且平行于x 轴的直线方程为________________；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________； (4)经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________．例2 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________；(2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.反思与感悟 (1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．跟踪训练2 若方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，则实数a 满足______．二 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直活动与探究例3 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？跟踪训练3已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.例4已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．反思与感悟一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪训练4已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．【训练案】1．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是()A．30°B．60°C．150°D．120°2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为()A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠03．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限4．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，(1)若l1∥l2，则m＝________；(2)若l1⊥l2，则m＝________.5．求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程．【自主区】【使用说明】教师书写二次备课，学生书写收获与总结.。

直线的一般式方程优秀教案一、教学目标•理解什么是直线的一般式方程。

•学会通过给定的两点确定直线的一般式方程。

•掌握将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程。

•学会通过直线的一般式方程求直线的斜率和截距。

二、教学重点•理解直线的一般式方程的概念和意义。

•学会通过给定的两点确定直线的一般式方程。

•掌握将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程。

三、教学内容1. 直线的一般式方程的概念•直线的一般式方程是指形如Ax + By + C = 0的方程，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。

这样的方程描述着平面上的一条直线。

2. 给定两点确定直线的一般式方程•设直线上有两个不同的点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则直线的一般式方程可以通过以下步骤确定：–计算直线的斜率k：k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)；–计算直线方程的截距b：b = y₁ - kx₁；–根据斜率k和截距b得到直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A = -k, B = 1, C = -b。

3. 将一般式方程转化为斜截式或截距式方程•已知直线的一般式方程Ax + By + C = 0，可以通过以下步骤将其转化为斜截式或截距式方程：–斜截式方程：y = kx + b，其中斜率k = - A/B，截距b = - C/B；–截距式方程：x/a + y/b = 1，其中截距a = - C/A，截距b = - C/B。

4. 求直线的斜率和截距•已知直线的一般式方程Ax + By + C = 0，可以通过以下步骤求直线的斜率和截距：–斜率k = - A/B；–截距b = - C/B。

四、教学步骤1.引入直线的一般式方程的概念，讲解其定义和意义。

2.通过例题演示如何通过给定两点确定直线的一般式方程，并让学生进行跟随计算。

3.引导学生讨论如何将直线的一般式方程转化为斜截式方程或截距式方程，并通过例题进行演示。

直线的一般式方程教案一、引入：在前几节课中，我们学习了直线的斜截式方程和点斜式方程。

今天我们将学习直线的一般式方程。

直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，它的形式为：Ax + By + C = 0。

下面我们一起来学习一下直线的一般式方程的求解方法。

二、概念：直线的一般式方程表达形式为Ax + By + C = 0。

其中A、B、C是实数，且A和B不同时为0。

三、推导：推导一般式方程的方法有很多，下面我们以已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)为例，来推导一下一般式方程的求解过程。

1.根据已知点A和B，求直线的斜率k。

斜率k的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

将点A(x1, y1)和B(x2, y2)的坐标代入公式，求得斜率k的值。

2.代入斜率k和已知点A(x1, y1)的坐标到点斜式方程y - y1 =k(x - x1)中，得到直线的点斜式方程。

3.对点斜式方程进行展开和变形操作，化简得到一般式方程Ax + By + C = 0。

将点斜式方程中的k乘以x，并将常数项移至左边得到A、B和C的值。

最终得到直线的一般式方程。

四、实例演练：现在我们通过一个实例来练习一下求解直线的一般式方程的过程。

已知直线上两点A(2, 3)和B(-1, 4)，求直线的一般式方程。

1.计算斜率k：k = (4 - 3) / (-1 - 2) = -1/3。

2.代入斜率和已知点A的坐标到点斜式方程y - 3 = -1/3(x - 2)中，得到直线的点斜式方程为y - 3 = -1/3(x - 2)。

3.对点斜式方程进行展开和变形操作，得到一般式方程：3x + y - 9 = -x + 2。

化简得到直线的一般式方程：4x + y - 11 = 0。

五、总结：通过上述推导和实例演练，我们学习了直线的一般式方程的求解方法。

直线的一般式方程是一种利用直线上具体的两个点来表示直线的方程，形式为Ax + By + C = 0。

教学目的：(1) 知识与技能明确直线的一般式方程的特征；会把直线一般式方程转化为斜截式，进而求直线的斜率与截距；会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

〔2〕过程与方法通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察，分析、归纳、进而得出直线的一般式方程，培养了学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题。

〔3〕情感、态度与价值观通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣。

同时，让学生认识事物之间的普遍联络与互相转化教学重点与难点重点：直线的一般式方程难点：理解直线的一般式方程教学流程设计一、创设问题情境【师生活动】平面内的直线，它们的直线方程有几种表示形式？学生完成表格和练习生：填表过点 与x 轴垂直的直线可表示成2.根据以下条件，写出适宜的直线的方程(1) 斜率是21-，经过点〔-1，3〕 〔2〕经过点〔1，2〕，平行于x 轴 〔3〕经过点〔2，1〕，斜率不存在 〔4〕经过原点，斜率是21、从上述几种形式的直线方程中，分析这四种直线的局限性，引出问题。

2、平面直角坐标系中的任何一条直线l 能不能用一种自然优美的“万能〞形式的方程来表示？【设计意图】-老师让学生回忆，观察，发表自己的见解。

学生可以积极主动地投入到课堂中，充分调动他们思维的活泼性。

二、探究新知【师生活动】老师给出问题，引导学生分析，师生共同完成讨论.【设计说明】学生对分类讨论思想还不能纯熟应用，所以老师引导学生考虑问题，给出必须讨论的理由及讨论的分类根据，逐步引导学生进展正确的分类讨论，掌握这种数学思想.问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x 、的二元一次方程表示吗？【设计意图】讨论每条直线是否对应一个二元一次方程.师：我们要求一条直线的方程可以利用直线上的一点和它的斜率来表示，那么需要注意什么问题？生：直线的斜率可能不存在.师：那么我们就需要分情况来讨论，分几种情况？哪几种？生：分成直线的斜率存在和不存在两种情况讨论.学生讨论完成两种情况的讨论，老师提问学生结果，并板书.生：假设直线l 的斜率存在，设直线l 上在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，那么直线l 的方程为b kx y +=.假设直线l 的斜率不存在，设直线l 上的一点),(x y P ，那么直线l 的方程为0x -x = 师：这两个方程是不是关于y x ,的二元一次方程？）（,y x生：是的.第二种情况可以看作是方程中y 的系数为0.问题2 每一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线吗？【设计意图】讨论每个二元一次方程是否对应一条直线.师：我们最熟悉的直线方程形式是哪一种？生：斜截式.师：那我们来讨论一个二元一次方程能不能化成直线的斜截式方程?转化过程中需要注意什么问题？学生讨论变化方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 为斜截式方程，老师最后纠错并板书讨论过程.生：方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 可以变形为BC x B A --y =,所以它表示过点)(0,-B C ，斜率为BA -的直线. 师：变形过程中系数B 一定不为0吗？你的结论严谨吗？ 生：不一定.系数B 为0时，A 一定不为0，方程可以变形为AC -x =.，可以表示一条斜率不存在的直线. 三、理解新知1.结论：(1)平面直角坐标系内的所有直线的方程都是一个二元一次方程.我们把关于y x ,的二元一次方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 叫做直线的一般式方程，简称一般式.(2)一个二元一次方程就是直角坐标平面上的一条确定的直线.二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成了一条直线.【设计意图】整理思路，得出结论，完善分类讨论思想的应用.2.考虑：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？【设计意图】理解一般式的特征，使学生理解一般式与其他形式的区别.3.探究：在方程)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax 中，C A ，，B 为何值时，方程表示的直线：①平行于x 轴；②平行于y 轴；③与x 轴重合；④与y 轴重合；⑤经过原点；⑥与两坐标轴都相交【设计意图】熟悉一般式与斜截式的互相转化，加强对二元一次方程的几何意义的理解.四、运用新知1、根据以下各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－21，经过点A 〔８，－2〕； (2)经过点B (４，2〕，平行于x 轴； 〔3〕在x 轴和y 轴上的截距分别是23,－3； (4)经过两点1P 〔3，－2〕、2P 〔5，－４〕. 【设计说明】本例题由学生自主完成，让学生对一般式方程有更深入的理解.2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。

直线的一般式方程（教案）教学目标：1、知识与能力：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。

⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。

教学方法：引导探究法、讨论法教学过程：创设情境，引入新课：1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：名称几何条件方程局限性点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线斜截式斜率k,y轴上的截距b y=kx+b 斜率存在的直线两点式P1(x1,y1),P2(x2,y2)不垂直于x、y轴的直线截距式在x轴上的截距a,在y轴上的截距b不垂直于x、y轴的直线，不过原点的直线过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成 y=y0。

2、问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程）猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。

新课探究：问题：（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2),（2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1,（3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,思考1 ：以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示？答： 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。

直线的一般方程教学设计
一、教学目标
1. 掌握直线的一般方程的形式及其特点。

2. 学会根据已知条件求解直线方程。

3. 培养学生的数学思维能力和分析解决问题的能力。

二、教学内容
1. 直线的一般方程形式：Ax + By + C = 0 (A, B不同时为0)。

2. 直线一般方程的特点：常数项C为0时，表示的是平行于y轴的直线；B 为0时，表示的是平行于x轴的直线。

3. 根据已知条件求解直线方程的方法：代入法、消元法等。

三、教学难点与重点
难点：理解直线的一般方程的形式及其特点，掌握根据已知条件求解直线方程的方法。

重点：直线的一般方程及其应用。

四、教具和多媒体资源
1. 黑板和粉笔。

2. 投影仪和PPT。

3. 教学软件：几何画板。

五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾直线方程的几种形式，引出一般方程的概念。

2. 教学策略：采用讲解、示范、小组讨论和案例分析相结合的方法，引导学生理解直线的一般方程及其应用。

3. 学生活动：组织学生进行小组讨论，探究直线一般方程的应用，并安排适当的练习题进行巩固。

六、教学过程
1. 导入：通过展示实际生活中的一些直线图片，引导学生思考直线的表示方法，从而引出直线的一般方程。

2. 讲授新课：详细讲解直线的一般方程形式，特点以及求解方法，结合实例进行说明。

3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用所学知识求解直线的方程，加深对直线一般方程的理解。

4. 归纳小结：总结本节课的主要内容，强调直线一般方程的重要性以及应用价值。

直线的一般式方程【教材分析】直线方程一般式是在学生学习直线方程的点斜式，斜截式，两点式，截距式的基础上，进一步研究直线方程.我们知道直线方程的点斜式，斜截式，两点式截距式是有限制条件的．此外直线方程一般式要涉及二元一次方程．通过公式的选择与互换，可以培养学生分析问题、解决问题的能力．【教学目标】（1）掌握直线方程一般式的形式；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式化为一般式。

【教学重点】直线方程的一般式及各种形式的互化.【教学难点】在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键还是直线方程各种形式的互化.【教学过程】一． 复习回顾1. 点斜式：y-y 1=k(x-x 1) （k 存在）2. 斜截式：y=kx+b （k 存在）3. 两点式：121121x x x x y y y y --=-- （）4. 截距式：by a x +=1 （） 发现：他们都是关于x,y 的二元一次方程思考：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于下x,y 的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线吗？结论：（1）平面上的任意一条直线都可以用一个 关于x,y 的二元一次方程表示。

（2）关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线。

二．新课1.定义：关于,x y 的二元一次方程:0Ax By C ++=(,A B 不全为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.2.二元一次方程的系数和常数对项对直线位置的影响在方程0Ax By C ++=(,A B 不全为0)中x 1≠x 2 y 1≠y 2a,b ≠0例题 1. 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6). 化成一般式，得4x+3y-12=0.2. 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x ＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2通过例题1，2（1）求直线方程注意选合适的形式（2）直线的五种表示方法在一定条件下可以相互转化，一般情况下，最后保留一般式方程（3）画直线时一般找出直线与坐标轴的截距，利用两点决定一条直线完成作图（4）直线与二元一次方程之间的联系，体现出数形结合的思想【板书设计】（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；【作业】99页练习1,2,3题。

直线的一般式方程教案教案标题：直线的一般式方程教案教学目标：1. 理解直线的一般式方程的概念和含义。

2. 掌握如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。

3. 能够将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程。

教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、直尺、教学投影仪（可选）。

2. 学生准备：铅笔、直尺、作业本。

教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 教师通过引导问题或展示实际生活中的直线图像，引起学生对直线的兴趣和思考。

2. 教师简要介绍直线的一般式方程的概念，并与学生分享直线方程的重要性和应用。

步骤二：讲解直线的一般式方程（15分钟）1. 教师通过示意图和实例，解释直线的一般式方程y = mx + c 中 m 和 c 的含义。

2. 教师详细讲解如何根据直线上的已知点和斜率来确定直线的一般式方程。

3. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。

步骤三：练习与巩固（15分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些基础练习题，以巩固直线的一般式方程的求解方法。

2. 教师提供反馈和指导，纠正学生可能存在的错误和困惑。

步骤四：转化为斜截式方程和截距式方程（15分钟）1. 教师讲解如何将直线的一般式方程转化为斜截式方程和截距式方程，并解释它们的含义和应用。

2. 教师提供多个实例，引导学生进行实际操作和练习。

步骤五：拓展与应用（10分钟）1. 学生个人或小组合作完成一些拓展练习题，以应用直线的一般式方程解决实际问题。

2. 教师鼓励学生分享解题思路和答案，并提供反馈和指导。

步骤六：总结与评价（5分钟）1. 教师与学生共同总结直线的一般式方程的求解方法和转化方法。

2. 学生回答教师提出的评价问题，以检查他们对所学内容的理解程度。

拓展活动：1. 学生可通过互动游戏或小组竞赛的形式，进一步巩固和应用所学内容。

2. 学生可自主探究其他类型的直线方程，并与同学分享他们的发现和思考。

教学反思：本教案通过引导学生理解直线的一般式方程的概念和求解方法，以及转化为斜截式方程和截距式方程的过程，培养了学生的数学思维和解决实际问题的能力。

3.2.3直线的一般式方程1．知识与技能：（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2．过程与方法： 学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3．情感态度与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；1．重点：直线方程的一般式。

请写出直线的方程1.点斜式方程：2.斜截式方程：3.两点式方程：4.截距式方程：问题1：观察直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程．观察这些方程都有什么共同的特点？问题2：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）都表示一条直线吗？问题3．直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4．在方程0=++C By Ax 中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线（1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 重合。

问题5、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？题型一：直线的其他方程化为直线的一般式方程.例1：把下列方程化为直线的一般式方程.（1）632+-=x y （2）)6(322--=-x y （3）3622--=-x y （4）169=+y x变式1：根据下列条件，写出直线的方程并把它化成一般式.（1） 经过点），（2-8A ，斜率是21-. （2）经过点），（24B ，再平行于x 轴. （3）经过点），，，45()23(21--P P . （4）在x 轴，y 轴上的截距分别是323-，.题型二：由直线的一般式方程求直线的斜率和截距.例2：求下列直线的斜率以及在y 轴上的截距，并画出图形.（1）053=-+y x （2）154=-y x （3）02=+y x （4）0467=+-y x题型三：直线方程的x 、y 的系数对直线的影响．例3：已知直线l 的方程是0=++C By Ax ．（1） 当0≠B 时，直线l 的斜率是多少？，当0=B 时呢？（2） 系数C B A ，，取什么值时，方程0=++C By Ax 表示通过原点的直线？总结：1．如果直线0=++C By Ax 的倾斜角为045，则有关系式（ ）B A A =． 0=+B A B ． 1=ABC ． ．D 以上均不可能 2．已知00><bc ab ，，则直线c by ax =+通过（ ）．A 第一、二、三象限 ．B 第一、二、四象限 ．C 第一、三、四象限 ．D 第二、三、四象限 3．直线022=+-k y x 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k 的范围是（ ）1-≥k A ． 1≤k B ． 011≠≤≤-k k C 且．11≥-≤k k D 或． 4．已知直线12++ny mx 在x 轴，y 轴上的截距分别是-3,和4，求n m ，．5．过点P （2，1）作直线l 交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点，当4=⋅PB PA 时，求直线l 的方程．。

3.2.3直线的一般式方程一．教材分析1.本节的作用和地位本节是在学习直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式的基础上引导学生认识他们的实质，即都是二元一次方程，从而对直线与二元一次方程的关系进行探究，进而得出直线的一般方程，这也为下节课的学习做好准备。

2.重点难点分析重点：理解直线与二元一次方程的关系，直线的一般方程式难点：理解直线的一般方程及直线与二元一次方程一一对应的关系。

3.课时要求：一课时二．学情分析高中学生抽象思维的能力比较欠缺，本节课对学生的分析能力和分类讨论能力有一定要求，特别是用分类讨论思想来解决问题的能力，学生学习起来有一定难度，所以需要老师逐渐的引导。

三．教学目标知识与技能目标：通过本堂课的学习，明白直线与二元一次方程之间额关系，掌握直线的一般式方程以及明确它的形式特征。

过程与方法目标：通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察，分析、归纳、进而得出直线的一般式方程，培养了学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题。

情感态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣。

同时，让学生认识事物之间的普遍联系与互相转化。

四．课标要求根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式，两点式及一般式），体会直线与二元一次方程的关系五．教学过程1.回顾（1）复习：引导学生回顾前面学过的直线方程的几种不同形式。

提问：从上述几种形式的直线方程中，大家能否找到它们的共同特点呢？（都是关于x，y的二元一次方程）2．探索新知问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？在平面直角坐标系中，每一条直线在斜率k存在和k不存在两种情况下，直线方程可分别写为y=kx+b和x=x1两种形式。

，我们来判断它是不是一个关于x，y的二元一次方程，即：直线Ax+By+C=0（A、B不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示。

高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案新人教A版必修23.2.3直线的一般式方程学案一．学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1. 一般式（general form ）：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B-，y 轴上截距为C B-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=；经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与的斜率为34-， 又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=. 点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.【例4】直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征.解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交.（2）当A ≠0，B=0时，直线只与x 轴相交.（3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线.（5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.五．目标检测（一）基础达标1．如果直线0Ax By C++=的倾斜角为45︒，则有关系式（）.A. A B=B. 0A B+= C. 1AB= D. 以上均不可能2．若0a b c-+=，则直线0ax by c++=必经过一个定点是（）.A. (1,1)B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)--3．直线1(0)ax by ab+=≠与两坐标轴围成的面积是（）.A．12ab B．1||2ab C．12abD．12||ab4．（2019京皖春）直线（32-）x+y=3和直线x+（23-）y=2的位置关系是（）.A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D. 重合5．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为13，则m，n的值分别为（）.A. 4和 3B. －4和 3C. －4和－3D. 4和－36．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= . 7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若点（a ，12）在此直线上，则a ＝ ．（二）能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－12，经过点A （8，－2）； （2）经过点B(4，2)，平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3； （4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.9．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），且12120A A B B +=. 求证12l l ⊥.（三）探究创新10．已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得：（1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.。

2.2.3 直线的一般式方程 学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线的一般式方程．(重点)2.理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线．(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是Ax ＋By ＋C ＝0，前面我们又学习了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，斜截式：y ＝kx ＋b ，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和截距式：x a ＋y b ＝1.它们都可以化成为二元一次方程的这种形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)叫做直线的一般式，下面进入今天的学习．直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．(3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－C B＝b (y 轴上的截距)； ②当B ＝0，A ≠0时，则－C A＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率． 思考：当A ＝0或B ＝0或C ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0分别表示什么样的直线？初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．( )(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式．( )(3)关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线．( )2．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A ，B 应满足的条件为( )A ． A ≠0B ． B ≠0C ． A ·B ≠0D ． A 2＋B 2≠03．已知直线2x ＋ay ＋b ＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为－1，2，则a ，b 的值分别为( )A ．－1,2B ．－2,2C ．2，－2D ．－2，－24．直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角为________．5．直线x 2－y 3＝1的一般式方程是________． 题型探究题型一 直线的一般式方程与其他形式的互化【例1】 (1)已知直线l 的一般式方程为2x －3y ＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．(2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．①斜率是－12，经过点A (8，－2)； ②经过点B (4,2)，平行于x 轴；③在x 轴和y 轴上的截距分别是32，－3； ④经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)．规律方法1．求直线一般式方程的方法2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件．[跟进训练]1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3且经过点A (5,3)；(2)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点；(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.题型二直线的平行与垂直【例2】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直．规律方法1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.[跟进训练]2．已知直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.求m的值，使得l1和l2：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.题型三含参数的直线一般式方程问题[探究问题]1．直线kx－y＋1－3k＝0是否过定点？若过定点，求出定点坐标．2．若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，k，b应满足什么条件？【例3】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．1．本例中若直线在y轴的截距为2，求字母a的值，这时直线的一般式方程是什么？2．本例中，a为何值时，已知直线与2x－y＋3＝0平行？垂直？3．本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？.直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；(2)将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点．课堂小结1．直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化一般式斜截式截距式Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0)y＝－AB x－CB(B≠0)x－CA＋y－CB＝1(A、B、C≠0)结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A 、B 不同时为零)来表示．结论2：任何关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线．3．根据两直线的一般式方程判定两直线平行和垂直的方法一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0A 1C 2－A 2C 1≠0或B 1C 2－B 2C 1≠0 (2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.当堂检测1．如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件( )A ．bc ＝0B ．a ≠0C ．bc ＝0且a ≠0D ．a ≠0且b ＝c ＝02．直线x －y －1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A ．14B ．2C ．1D ．123．斜率为2，且经过点P (1,3)的直线的一般式方程为________．4．直线x －3y ＋4＝0与直线mx ＋4y －1＝0互相垂直，则实数m 的值为________．5．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求直线l ′的一般式方程，l ′满足(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直．参考答案新知初探(1)Ax ＋By ＋C ＝0思考： [提示] (1)若A ＝0，则y ＝－C B，表示与y 轴垂直的一条直线． (2)若B ＝0，则x ＝－C A，表示与x 轴垂直的一条直线． (3)若C ＝0，则Ax ＋By ＝0，表示过原点的一条直线．初试身手1． (1)√ (2)√ (3)√2．D【解析】方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A ，B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 故选D.3．A【解析】y ＝0时，x ＝－b 2＝－1，解得b ＝2，当x ＝0时，y ＝－b a ＝－2a＝2，解得a ＝－1. 4． 60°【解析】把3x －3y ＋1＝0化成斜截式得y ＝3x ＋33， ∴k ＝3，倾斜角为60°.5． 3x －2y －6＝0 【解析】由x 2－y 3＝1得3x －2y －6＝0. 题型探究题型一 直线的一般式方程与其他形式的互化【例1】 [解] (1)由l 的一般式方程2x －3y ＋6＝0得斜截式方程为：y ＝23x ＋2. 截距式方程为：x －3＋y 2＝1. 由此可知，直线的斜率为23，在x 轴、y 轴上的截距分别为－3,2. (2)①由点斜式得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0. ②由斜截式得y ＝2，即y －2＝0.③由截距式得x 32＋y －3＝1，即2x －y －3＝0.④由两点式得y －(－2)－4－(－2)＝x －35－3，即x ＋y －1＝0. [跟进训练]1．[解] (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y －3＝3(x －5)，化为一般式方程为3x －y ＋3－53＝0.(2)由两点式方程可知，所求直线方程为y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，化为一般式方程为2x ＋y －3＝0. (3)由截距式方程可得，所求直线方程x －3＋y －1＝1，化为一般式方程为x ＋3y ＋3＝0. 题型二 直线的平行与垂直【例2】 [解] 法一：(1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，要使l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二：(1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. [跟进训练] 2．[解] (1)由1×3－m (m －2)＝0得，m ＝－1或m ＝3.当m ＝－1时，l 1：x －y ＋6＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0.两直线显然不重合，即l 1∥l 2.当m ＝3时，l 1：x ＋3y ＋6＝0，l 2：x ＋3y ＋6＝0.两直线重合．故l 1∥l 2时，m 的值为－1.(2)由1×(m －2)＋m ×3＝0得m ＝12，故l 1⊥l 2时m 的值为12. 题型三 含参数的直线一般式方程问题[探究问题]1． [提示] kx －y ＋1－3k ＝0可化为y －1＝k (x －3)，由点斜式方程可知该直线过定点(3,1)．2．[提示] 若直线y ＝kx ＋b (k ≠0)不经过第四象限，则应满足k >0且b ≥0.【例3】 [解] (1)证明：法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， ∴直线l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限内，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －1＝0，5y －3＝0，即⎩⎨⎧ x ＝15，y ＝35.即l 过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35. 以下同法一．(2)直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3. 如图所示，要使l 不经过第二象限，需斜率a ≥k OA ＝3，∴a ≥3.1． [解] 把方程5ax －5y －a ＋3＝0化成斜截式方程为y ＝ax ＋3－a 5. 由条件可知3－a 5＝2解得a ＝－7， 这时直线方程的一般式为：7x ＋y －2＝0.2． [解] 若两直线平行时，则5a 2＝－5－1≠－a ＋33解得a ＝2，若两直线垂直时，则5a ×2＋(－5)×(－1)＝0，解得a ＝－12， 故a ＝2时，两直线平行；a ＝－12时两直线垂直． 3． [解] (1)当a －1＝0，即a ＝1时，直线为x ＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．(2)当a －1≠0，即a ≠1时，直线化为斜截式方程为y ＝1a －1x －a ＋2a －1，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y 轴的截距小于等于零，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a －1≥0，a ＋2a －1≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1a ≤－2或a ＞1，所以a >1.综上可知a ≥1.当堂检测1． D【解析】y 轴方程表示为x ＝0，所以a ，b ，c 满足条件为b ＝c ＝0，a ≠0.2．D【解析】由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为12. 2． 2x －y ＋1＝0【解析】由点斜式的y －3＝2(x －1)，整理得2x －y ＋1＝03． 12【解析】因为两条直线垂直，∴1×m －3×4＝0，解得m ＝12.5．[解] 法一：(1)由题设l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34. 由l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34. 又∵l ′过(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0. (2)由l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43， 又∵l ′过(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)， 即4x －3y ＋13＝0.法二：(1)由l ′与l 平行，可设l ′方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设其方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线方程为4x －3y ＋13＝0.。

2.2.3 直线的一般式方程教学设计一、教学目标1.理解直线的一般式方程的含义和构成；2.掌握直线的一般式方程的求解方法；3.能够将直线的一般式方程转化为斜截式和截距式方程；4.能够应用直线的一般式方程解决实际问题。

二、教学内容1.直线的一般式方程的概念和表示形式；2.直线的一般式方程的求解方法；3.直线的一般式方程与斜截式方程和截距式方程的关系；4.应用直线的一般式方程解决实际问题。

三、教学重点1.理解直线的一般式方程的构成和含义；2.掌握直线的一般式方程的求解方法；3.能够将直线的一般式方程转化为斜截式和截距式方程。

四、教学方法1.讲授与示范相结合的方法，先讲解直线的一般式方程的概念和构成，然后通过示例演示具体的求解方法；2.提问与解答相结合的方法，鼓励学生积极参与互动，激发学生思考能力，及时纠正错误。

3.练习与实践相结合的方法，让学生进行一些练习题，加深对直线的一般式方程的理解和掌握。

五、教学步骤步骤一：引入通过引入一个具体问题，例如：小明要修建一条直线公路穿过两个村庄A和B，村庄A的坐标是(1,2)，村庄B的坐标是(3,4)，请问直线公路的方程是什么？带领学生思考和探讨。

步骤二：讲解直线的一般式方程1.定义直线的一般式方程的含义和构成；2.分析直线的一般式方程的形式、需要知道的变量和系数；3.通过具体的例子演示如何求解直线的一般式方程。

步骤三：与斜截式和截距式方程的关系1.回顾斜截式方程和截距式方程的概念和表达形式；2.分析直线的一般式方程与斜截式和截距式方程的关系；3.通过具体的例子演示如何将直线的一般式方程转化为斜截式和截距式方程。

步骤四：应用实际问题1.提供一些实际问题，让学生尝试应用直线的一般式方程进行解答；2.引导学生分析问题、列出方程、求解方程，得出最终答案。

六、教学评价1.实时观察学生对直线的一般式方程的理解和掌握程度；2.统计学生的练习成绩和解决实际问题的能力，评估教学效果；3.收集学生的问题和反馈，及时调整教学方法和内容。

3.2.3直线的一般式方程【学习目标】1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.【重点】直线方程的一般式。

【难点】对直线方程一般式的理解与应用一、自主学习复习1：⑴已知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程 .⑵在x轴上截距为1-，在y轴上的截距为3的直线方程 .⑶已知点(1,2),(3,1)A B，则线段AB的垂直平分线方程是 .复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y的二元一次方程表示吗（二）学习探究新知：关于,x y的二元一次方程叫做直线的一般式方程，简称一般式．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点问题2：在方程0A B C为何值时，方程表示的直线⑴平行于x轴；⑵Ax By C++=中，,,平行于y轴；⑶与x轴重合；⑷与y重合.二、典型例题例1．已知直线经过点(6,4)A -，斜率为34-，求直线的点斜式和一般式方程.变式：求下列直线的斜率和在y 轴上的截距，并画出图形⑴350x y +-=；⑵145x y -=；⑶20x y +=；⑷7640x y -+=；⑸270y -=.例2．把直线l 的一般式方程260x y -+=化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.（拓展）例3.已知直线1l ：053=-+y x ，2l ：013=+-y kx ，试问：k 为何值时，1l ，2l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆。

三、总结提升（一）学习小结1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式： ；2．点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔(二) 课堂检测1 斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.A ．360x y ++=B ．320x y -+=C ．360x y +-=D ．320x y --=2. 若方程0Ax By C ++=表示一条直线，则（ ）.A ．1A ≠B ．0B ≠C ．0AB ≠D ．220A B +≠3. 已知直线1l 和2l 的夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程为（ ）.A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+=4. 直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a b += .5. 直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y +20-=平行，则m = .。

直线的一般式方程教学目标：（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）的对应关系及其证明．教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：（一）引入的设计前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点P （2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？ 答：直线方程是()221-=-x y ，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：问：求出过点()12-，P ，()13，Q 的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是()221-=+x y （或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”． 启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”（二）本节主体内容教学的设计这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案： 思路一：…思路二：………教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：按斜率是否存在，任意直线l 的位置有两种可能，即斜率k 存在或不存在．当k 存在时，直线l 的截距b 也一定存在，直线l 的方程可表示为b kx y +=，它是二元一次方程．当k 不存在时，直线l 的方程可表示为1x x =形式的方程，它是二元一次方程吗？ 学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：平面直角坐标系中直线1x x =上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程1x x =解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如10x y x =+的二元一次方程是合理的．综合两种情况，我们得出如下结论：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于x 、y 的二元一次方程．至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成b kx y +=或1x x =的形式，准确地说应该是“要么形如b kx y +=这样，要么形如1x x =这样的方程”．同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．这样上边的结论可以表述如下：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如0=++C Bx Ax （其中A 、B 不同时为0）的二元一次方程．启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？【问题2】任何形如0=++C Bx Ax （其中A 、B 不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程0=++C Bx Ax （其中A 、B 不同时为0）系数B 是否为0恰好对应斜率k 是否存在，即（1）当0≠B 时，方程可化为-=y B A -x BC 这是表示斜率为B A -、在y 轴上的截距为BC -的直线． （2）当0=B 时，由于A 、B 不同时为0，必有0≠A ，方程可化为-=x AC 这表示一条与x 轴垂直的直线．因此，得到结论：在平面直角坐标系中，任何形如0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．为方便，我们把0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．【动画演示】演示“直线各参数．gsp ”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系．（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略。

2.2.3 直线的一般式方程【学习目标】1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程.2.能讨论特殊形式与一般式的关系,并能熟练地进行互化.◆ 知识点一 直线的一般式方程1.关于x ,y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x ,y 的二元一次方程 (其中A ,B 不同时为0)叫作直线的 ,简称一般式.2.直线的一般式方程与直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程之间的互化:【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)将直线方程x=-23化为一般式为3x+2=0. ( )(2)将直线方程ax+(a+1)y=a (a+1)化为截距式为x a+1+y a =1. ( )(3)与x 轴或y 轴平行的直线的方程不能写成截距式.( ) (4)经过原点的直线的方程都能写成斜截式. ( )(5)斜率为0的直线的方程没有点斜式. ( ) ◆ 知识点二 二元一次方程与直线在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程都表示一条直线;反之,任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.例:点集{(x ,y )|x+y-1=0}表示的图形是直线x+y-1=0.◆ 探究点一 求直线的一般式方程例1 写出下列直线的方程,并化成一般式.(1)斜率是-12,经过点A (8,―2);(2)经过点B(4,2),平行于x轴;,―3;(3)在x轴和y轴上的截距分别是32(4)经过两点P1(3,―2),P2(5,―4).变式写出下列直线的方程,并化成一般式.(1)经过点A(3,-1),斜率是√2;(2)经过点B(-√2,2),倾斜角是30°;;(3)经过点C(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的13(4)经过点D(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍;(5)经过P(2,1),Q(m,3)两点.◆探究点二利用一般式解决直线的平行和垂直问题例2已知两条直线l1:mx+y=m+1,l2:x+my=2m,m∈R,判断两条直线的位置关系.变式求满足下列条件的直线方程.(1) 过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0;(2)经过点M(2,4),且与直线x-2y+4=0垂直.[素养小结](1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为0.(2)求直线的一般式方程时,可先求出其他形式的方程,再化为一般式.◆探究点三含参数的直线的一般式方程的有关问题例3 (1)已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,则m等于( )A.-10B.-85D.10C.85(2)已知直线l:ax-2y-a+4=0.①求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;②要使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.变式 (1)已知直线l:kx-y+1=3k,当k变化时,直线l恒过定点的坐标为( )A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)(2)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的位置可能是( )A B C D[素养小结](1)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.①l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).②l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.拓展已知直线l:Ax+By+C=0.(1)当A,B,C满足什么条件时,直线l与两坐标轴都相交?(2)当A,B,C满足什么条件时,直线l只与x轴相交?(3)设P(x0,y0)为直线l:Ax+By+C=0上一点,证明:直线l的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.。