黑龙江哈三中2020届高三第二次模拟数学(理)试题

黑龙江省哈三中2020-2021学年高三下期第二次模拟考试数学理试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．10,3AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞2．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．123．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+4．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A BC ．2D5．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）6．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A．1322i-+B．3122i-+C．1322i--D．3122i--7．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则Vv=（）A．4 B．8 C．9 D．278．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足120AFB∠=︒，且||2||BF AF=，则双曲线C的离心率是（）.A．33B．72C．3D．79．已知复数z满足()1i+z=2i，则z=（）A．2B．1C．22D．1210．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n这2n个数填入n n⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n阶幻方．定义()f n为n阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f=，则(10)f=（）A．55 B．500 C．505 D．505011．若62axx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中6x的系数为150，则2a=（）A．20 B．15 C．10 D．2512．在ABC∆中，D为BC中点，且12AE ED=，若BE AB ACλμ=+，则λμ+=（）A．1B．23-C．13-D．34-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =U （ ） A. {0,1,2} B. {0,1,2,3} C. {0,1,2,4} D. {1,2,4}【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =r ，(1,3)b =-r ，若a r ，b r的夹角为钝角，则t 的范围是（ ）A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】 【分析】若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.【详解】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，230a b t =-+<vv n ，得23t <.向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（ ）A.5B.45C.25D.5【答案】A 【解析】 【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214xy-=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12 yx=±.双曲线2214xy-=的顶点到渐近线的距离等于25114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x y C. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ． 考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（ ） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】 【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=剟， 那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=.则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C.(,)2e-∞ D.(,]2e -∞ 【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立， 构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x -=，当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 2sin c A =，c =ABC ∆的面积为2，a b +的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由2sin c A=，结合正弦定理可得2sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=Q . 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =，则异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为__________．【答案】17 【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()(1317,0,0,0,23,2,1717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,231717SC ⎛=- ⎝u u u v ,()17,0AB =u u uv .于是,所求夹角的余弦值为17SC AB SC AB⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v . 1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n-1， 故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】 【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. 【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%； （i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=） 【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】 【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ， 根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i ii P Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ；（2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点， ∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ， 又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ，∴()2,0,2PB t u u u v =-，()0,1,1MN =u u u u v.∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，∴由PB MN PB MN⋅=u u u v u u u u v u u u v u u u u v 得2t =.设(),,m x y z =v为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-u u u u v ，()0,1,1MN =u u u u v . 由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u u v v 得()1,1,1m v =-，m =v， ∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =u u u v，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角，则cos AP m AP mθ⋅==u u u v v u u u v v ，∴sin 3θ=. 【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y6=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知D ，直线l：y kx =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DBλ=u u u r u u u r且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）k >k <【解析】 【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解.【详解】（1）解：M点的轨迹是以()，()-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由y kx =-得x =2219x y +=整理()222190k yk ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得12y y +=……③ 212219k y y k=-+……④由①③得()()12119k y k λ=-+，()()22119y k λ=--+代入④整理得()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k的取值范围是k >k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<， （i ）求参数m 的取值范围； （ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间； （2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+， 若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意， 此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数， 所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减； 当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增 （2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+， 记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0xf x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减； 当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022f e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-.. 所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->， 所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可； （2）设3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=-- 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ；（2）已知+∈R c b a ,,，且1abc =111a b c ≤++. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可；（2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c=++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥， 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立.（2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。

2020年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. A⊆BB. B⊆AC. A∪B=RD. A∩B=∅2.已知z-2=（z+2）i（i为虚数单位），则复数z=（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2iD. -2i3.过点P（0，1）的直线l与圆（x-1）2+（y-1）2=1相交于A，B两点，若|AB|=，则该直线的斜率为（）A. ±1B.C.D. ±24.将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，现采用随机模拟的方法估计p的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为f，则p，f分别为（）111 001 011 010 000 111 111 111 101 010000 101 011 010 001 011 100 101 001 011A. ，B.C.D. ，5.已知cos（）=，则sin（2）=（）A. B. C. D.6.已知函数f（x）=e x-e-x+，若f（lg m）=3，则f（lg）=（）A. -4B. -3C. -2D. -17.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，则直线PB与平面PAC所成角为（）A. B. C. D.8.将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（-x）=-g（x），则φ的一个可能值为（）A. B. C. D.9.双曲线C：=1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G满足GF1⊥GF2，线段GF1与另一条渐近线的交点为H，H恰好为线段GF1的中点，则双曲线C的离心率为（）A. B. 2 C. 3 D. 410.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF，则（）A. =B. =C. =D. =11.已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（）A. B. C. D. 8π12.已知直线y=2x+m与椭圆C：=1相交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，|AB|=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=，则f（f（-e））=______．14.（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是______．15.设△ABC的内角A，BC的对边分别为a，b，c，且b=6，c=4，A=2B，则a=______．16.以抛物线y2=2px（p＞0）焦点F为圆心，p为半径作圆交y轴于A，B两点，连结FA交抛物线于点D（D在线段FA上），延长FA交抛物线的准线于点C，若|AD|=m，且m∈[1，2]，则|FD|•|CD|的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=a n+n2-1，数列{b n}为等比数列，公比为q，且S5=qS2+3，a2=5b1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．18.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）若AB=AC=，BC=BB1=2，在棱AC上是否存在点M，使二面角B-A1D-M的大小为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19.椭圆C：=1，点A（2，0），动直线y=kx+m与椭圆C交于M，N两点（M、N是异于A的两个不同的点），已知直线AM的斜率为k1，直线AN的斜率为k2，且k1，k2的乘积为λ．（Ⅰ）若k=0，求实数λ的值；（Ⅱ）若，求证：直线MN过定点．20.一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252．（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率）：（1）写出四月后20天每天百合花需求量ξ的分布列；（2）若百合花进货价格与售价均不变，微店从四月十一日起，每天从云南固定空运x（235≤x≤265，x∈N）支百合花，当x为多少时，四月后20天每天百合花销售利润T（单位：元）的期望值最大？21.已知函数f（x）=x+x lnx，g（x）=ax2-2（a-1）x+a-1．（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）与y=g（x）在（1，1）处的切线重合；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）对任意x∈[1，+∞）恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：ln[（n+1）!•n!]＜（其中n∈N*）．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=，直线l与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求|AB|．23.（Ⅰ）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，求证：a4+b4≥2；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，求a3+b3+c3+（）3的最小值，并写出取最小值时a，b，c的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x＜0，或x＞2}，且；∴A∪B=R．故选：C．容易求出集合A={x|x＜0，或x＞2}，从而可判断集合A，B的关系．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及并集的概念．2.答案：C解析：解：∵z-2=（z+2）i，∴z（1-i）=2+2i，故z=．故选：C．先将式子化为z（1-i）=2+2i，再由复数的除法运算即可得出结果．本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型．3.答案：A解析：解：由题意设直线l的方程为y=kx+1，因为圆（x-1）2+（y-1）2=1的圆心为（1，1），半径为r=1，又弦长|AB|=，所以圆心到直线的距离为d===，所以有=，解得k=±1．故选：A．先由题意，设直线的方程为y=kx+1；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线的距离公式即可求出结果本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关的问题，属中档题．4.答案：B解析：解：事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，则p==，“恰有1次反面朝上”的频数为7，所以f=，故选：B．事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，可以根据计数原理处理．从模拟数据中数出“恰有1次反面朝上”的个数，除以20即可得到f，本题考查了古典概型的概率计算，随机模拟，属基础题．5.答案：B解析：解：∵cos（）=，则sin（2）=-cos（2α-+）=-cos（2α+）=1-2=1-2×=，故选：B．由则sin（2）=-cos（2α-+），利用二倍角公式可得结果．本题主要考查给值求值问题，熟记诱导公式与二倍角公式即可，属于基础题型．6.答案：C解析：解：根据题意，f（x）=e x-e-x+，则f（-x）=e-x-e x+，则f（x）+f（-x）=1，若f（lg m）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m）=1-3=-2；故选：C．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）+f（-x）=1，又由f（lg m）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m），计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．7.答案：A解析：解：连接AC交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA，PA AC=A，因此BD⊥平面PAC；故BO⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA=AB=2，所以PB=2，BO=．所以sin∠BPO==，所以∠BPO=．故选：A．连接AC交BD于点O，连接OP，证明BO⊥平面PAC，进而可得到∠BPO即是直线PB 与平面PAC所成角，根据题中数据即可求出结果．本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型．先由题意写出g（x）解析式，根据g（-x）=-g（x），可知g（x）为奇函数，进而可求出φ．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x-2φ+）的图象，又g（-x）=-g（x），所以g（x）为奇函数，∴-2φ+=kπ，k∈Z，∴可取φ=，故选：A．9.答案：B解析：解：由题意得双曲线C：=1（a＞0，b＞0），的渐近线方程为，焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），由GF1⊥GF2，得，即，解得x=a，所以G（a，b），又H恰好为线段GF1的中点，所以H（，），因H在y=-x上，所以，因此c=2a，故离心率为2．故选：B．根据题意得到双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），根据题意求出G点坐标，再得到H的坐标，将H坐标代入直线y=-，即可得出结果．本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型．10.答案：D解析：解：设DF=2AF=2，因此BD=AF=1，又由题意可得∠ADB=120°，所以AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cos∠ADB=32+12-6cos∠120°=13，因此AB=；延长AD交BC于M，记∠DAB=θ，∠AMB=α，则cos∠DAB===，所以sin∠DAB==；又由题意易知∠DAB=∠DBM，则α=120°-θ，在三角形DBM中，由正弦定理可得：=，即，因此BM====BC，DM===，所以AD=AM=AM，因为=，即=（），整理得=+，所以==（+）=+．故选：D．先设DF=2AF=2，根据题意可知∠ADB=120°，求出AB的长，延长AD交BC于M，求出BM，DM的长，再由平面向量基本定理即可得出结果．本题主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可，属于常考题型．11.答案：C解析：解：根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，且长方体的底面边长为2，高为；取AB中点为D，上底面中心为E，连接DE，EP，则DE=，EP=1，因为三角形ABC为直角三角形，所以D点为三角形ABC的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段DE上，记球心为O，设球的半径为R，则OB=OP=R，所以有OE==，OD==，因此，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为4πR2=．故选：C．先在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为R，列出方程即可求出结果．本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．12.答案：A解析：解：由，得21x2+20mx+5m2-5=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，==．又O到直线AB的距离，则△AOB的面积=≤=，当且仅当m2=21-m2，即时，△AOB的面积取得最大值．此时，．故选：A．先联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得到，，结合弦长公式表示出弦长|AB|，进而表示出三角形的面积，根据面积最大值，可求出m2，代入弦长的表达式，即可得出结果．本题主要考查椭圆中的弦长问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、以及弦长公式等求解，属于常考题型．13.答案：e解析：【分析】本题考查求函数值，分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出f（-e）的值，进而又由f（f（-e））=f（1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=，则f（-e）=ln e=1，则f（f（-e））=f（1）=e1=e；故答案为：e．14.答案：-16解析：解：因为（2x+y）4的展开式的通项公式为T r+1=24-r x4-r y r，则（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是1×21+（-1）×22=-16，故答案为：-16．由二项式定理及分类讨论思想得：因为（2x+y）4的展开式的通项公式为T r+1=24-r x4-r y r，则（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是1×21+（-1）×22=-16，得解本题考查了二项式定理及分类讨论思想，属中档题．15.答案：2解析：解：根据题意，在△ABC中，b=6，c=4，A=2B；由正弦定理可得=，即=，变形可得cos B=，又由余弦定理可得cos B==，则有=，解可得a=2，故答案为：2．根据题意，由正弦定理可得=，即=，变形可得cos B=，又由余弦定理可得cos B==，联立可得=，解可得a的值，即可得答案．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．16.答案：32解析：解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x=-，所以以F为圆心，p为半径的圆的方程为+y2=p2，因为A，B两点为圆+y2=p2与y轴的两个交点，不妨令A为y轴正半轴上的点，由x=0得，A（0，）；所以直线AF的斜率为k AF==-，因此直线AF的方程为y=-x+，由得C（-，p）；由得D（，），所以|FD|=+=，|CD|==p，|AD|==p，又|AD|=m，且m∈[1，2]，所以p∈[1，2]，即p∈[3，6]，因此|PD|•|CD|=p2≤32，当且仅当p=6时，取等号．故答案为：32．由题意得到以F为圆心，P为半径的圆的方程，再令A为y轴正半轴上的点，从而求出A点坐标，得到直线AF的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C、D 两点坐标，即可用p表示出|FD|•|CD|，再由|AD|=m，且m∈[1，2]，求出p的范围，即可得出结果．本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，是中档题．17.答案：解：（I）∵S n=a n+n2-1，S n+1=a n+1+（n+1）2-1，∴a n+1=S n+1-S n=a n+1-a n+2n+1，∴a n=2n+1．数列{b n}为等比数列，公比为q，a2=5b1．∵5b1=a2=5，解得b1=1．∵S5=qS2+3，=（3+5）q+3，解得q=4．∴b n=4n-1．（II）∵a n•b n=（2n+1）•4n-1．∴T n=3+5×4+7×42+……+（2n+1）•4n-1．4T n=3×4+5×42+7×43+……+（2n-1）•4n-1+（2n+1）•4n．∴-3T n=3+2（4+42+……+4n-1）-（2n+1）•4n=3+2×-（2n+1）•4n，∴T n=-+•4n．解析：（I）S n=a n+n2-1，S n+1=a n+1+（n+1）2-1，可得a n+1=S n+1-S n=a n+1-a n+2n+1，化简即可得出．数列{b n}为等比数列，公比为q，a2=5b1．解得b1=1．利用S5=qS2+3，=（3+5）q+3，解得q．可得b n．（II）∵a n•b n=（2n+1）•4n-1．利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1中点，连接OD，又D是棱B1C1的中点，∴OD∥AC1，∵OD⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，∴AC1∥平面A1BD．解：（Ⅱ）由已知AB⊥AC，则AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则B（），A1（0，0，2），D（，2），C（0，，0），设M（0，a，0），（0），则=（-），=（，0），=（0，a，-2），设平面BA1D的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（，1）．设平面A1DM的法向量为=（x，y，z），则，x=-2，得=（-2，2，a）．∵二面角B-A1D-M的大小为45°，∴cos45°=|cos＜＞|===，∴3a2+16-24=0，解得a=-6或a=，∵0，∴a=，∴存在点M，此时=，使二面角B-A1D-M的大小为45°．解析：（Ⅰ）先连接AB1，交A1B于点O，再由线面平行的判定定理，即可证明AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）先由题意得AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设M（0，a，0），（0），求出两平面的法向量，根据法向量夹角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出a，进而可得出结果．本题主要考查线面平行、以及已知二面角求其它量的问题，通常需要熟记线面平行的判定定理来证明平行；另外，向量法求二面角是最实用的一种做法，属于常考题型．19.答案：（Ⅰ）解：不妨设M（-2，m），N（2，m），k1=，k2=，∴k1k2=-=，∴λ=．（Ⅱ）证明：联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，=16（4k2+1-m2）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=，∵k1k2=•==-，∴4（kx1+m）（kx2+m）+3（x1-2）（x2-2）=0，∴（4k2+3）x1x2+（4km-6）（x1+x2）+4m2+12=0，∴（4k2+3）•+（4km-6）（-）+4m2+12=0，∴2k2+m2+3km=0，∴m=-k或m=-2k，均符合＞0．若m=-2k，直线MN：y=k（x-2）过A（2，0），与已知矛盾．∴m=-k，直线MN：y=k（x-1）过定点（1，0）．解析：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆中直线过定点的问题，属于中档题．（Ⅰ）先由k=0，设M（-2，m），N（2，m），表示出k1，k2，进而可求出结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到k，m 的关系式，进而可得出直线所过的定点．20.答案：解：（I）四月前10天订单中百合需求量众数为255，平均数==250．频率分布直方图补充如下：（II）（1）由（I）频率分布直方图知，ξ 235245255265P0.10.30.40.2（）①＜，∈ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x-1.8（245-x）=0.2x+49，ξ=255，Y=255×2-1.6x-1.8（255-x）=0.2x+51，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（0.2x+49）+0.4×（0.2x+51）+0.2×（0.2x+53）=0.2x+92.7 ②245≤x＜255，x∈N，ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x=490-1.6x，ξ=255，Y=255×2-1.6x-1.8（255-x）=0.2x+51，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（490-1.6x）+0.4×（0.2x+51）+0.2×（0.2x+53）=-0.52x+225 ③255≤x≤265，x∈N，ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x=490-1.6x，ξ=255，Y=255×2-1.6x=510-1.6x，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（490-1.6x）+0.4×（510-1.6x）+0.2×（0.2x+53）=-1.24x+408.6 ∴x=245时，E（Y）max=97.6（元）．故每天空运245支百合，四月后20天每天百合销售利润Y的期望值最大．解析：（I）根据题意完善频率分布直方图，平均数等于每组的中间值乘以该组频率再求和；众数为频率最大的一组的中间值；（Ⅱ）（1）由（I）中频率分组直方图可直接得到分布列；（2）分别计算235≤x＜245、245≤x＜255、以及255≤x≤265时的利润期望，比较大小即可得出结果．本题主要考查频率分布直方图，以及离散型随机分布列与期望等，结合相关知识点求解即可，属于常考中档题型．21.答案：解：（Ⅰ）证明：f′（x）=2+ln x，f′（1）=2，f（1）=1y=f（x）在（1，2）处的切线方程为y=2x-1．g′（x）=2a-2（a-1），g′（1）=2，g（1）=1y=g（x）在（1，1）处的切线方程为y=2x-1．所以切线重合．（Ⅱ）（1）令F（x）=g（x）-f（x）=ax2-2（a-1）x+a-1-x-x lnx（x≥1），则F′（x）=2a（x-1）-ln x，①当a≤0时，F′（x）≤0当且仅当x=1时，取等号，F（x）在[1，+∞）递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不成立．②当a＞0时，，（i）当0＜a＜时，时，F″（x）＜0，F′（x）递减，F′（x）＜F′（1）=0，F（x）在递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不恒成立．（ii）当a时，F″（x）≥0，F′（x）在[1，+∞）递增，F′（x）≥F′（1）=0，f（）x在[1，+∞）递增，F（x）≥F（1）=0，f（x）≤g（x）恒成立．综上实数a的取值范围为．（2）证明：由（1）知当a=时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立．得，令x=1，2，…，n得n个不等式相加得，∴，∴∴．下面只要证明，即，再由不等式得，令得，取k=1，2，3，…，n得n个不等式累加得证明成立．故原不等式成立．解析：（Ⅰ）先对函数f（x）求导，得到f′（1）=2，再由f（1）=1，根据直线的点斜式方程即可求出y=f（x）在点（1，1）处的切线方程；另外同理求出y=g（x）在（1，1）处的切线方程，即可得出结论成立；（Ⅱ）（1）先令F（x）=g（x）-f（x），对函数F（x）求导，通过讨论a≤0与、研究函数F（x）的单调性，即可得出结果；（2）先由（1）得到当时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立，得，分别令x=1，2，…，n得个不等式相加得，整理化简得到只要证明即可得出结论成立．本题主要考查导数的几何意义以及导数的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数单调等来处理，属于较难题目．22.答案：解：（Ⅰ）易知直线l的方程为y=x+1，曲线C的方程为+=1．（Ⅱ）将（t参数），代入+=1中得7t2-6-18=0，△＞0设AB所对应的参数分别为t1，t2，t1+t2=，t1t2=-，|AB|=|t1-t2|==．解析：（Ⅰ）由参数方程消去参数，可直接得出直线的普通方程；根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，可直接得出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将代入+=1得到关于t的一元二次方程，由韦达定理以及|AB|=|t1-t2|即可求出结果本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式以及弦长公式等即可，属中档题．23.答案：证明：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，∴a4+b4≥≥[]2=×4解（II）a＞0，b＞0，c＞0，∴a3+b3+c3+（）3≥3+（3）3≥2=18当且仅当a=b=c=时，原式取最小值18．解析：（Ⅰ）由基本不等式可得，进而可证明出结论；（Ⅱ）由基本不等式可得，进而可得出结果．本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型．。

绝密★启用前黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三毕业班下学期网络在线模拟考试数学(理)试题(解析版)2020年3月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，则1i i +=( ) A. 0B. 1-C. 1i -D. 1i +【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简即可得解.【详解】由复数的除法运算,化简可得 ()()()111i i i i i i i +⋅-+==-⋅-, 故选：C.【点睛】本题考查了复数的除法运算,属于基础题.2.设{1,2,3}A =,2{|10}B x x x =--<,则A B =( )A. {1,2}B. {1,2,3}C. {2,3}D. {1}【答案】D【解析】【分析】解不等式可得集合B,再由交集运算即可求解.【详解】2{|10}B x x x =--<,解不等式可得1515|B x x ⎧⎫-+⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 所以由交集运算可得{}{}1,2,31515|1A B x x ⎧⎫-+⎪⎪=<<=⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合交集的简单运算,属于基础题.3.某校为了研究a ,b 两个班的化学成绩,各选了10人的成绩,绘制了如下茎叶图,则根据茎叶图可知,a 班10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是( )A. 83,aB. 82.5,bC. 82.5,aD. 82,b【答案】C【解析】【分析】 根据茎叶图,可求得a 班化学成绩的中位数；由数据分布情况,即可判断化学成绩更稳定的班级.【详解】由茎叶图可知,a 班10人化学成绩从低到高排列,第五个人的成绩为82,第6个人的成绩为83,所以a 班化学成绩的中位数为828382.52+=； 由茎叶图中的叶的分布可知,a 班化学成绩分布较为集中,且低成绩和高成绩人数较少,因而a 班化学成绩更稳定.故选：C .【点睛】本题考查了茎叶图的简单应用,由茎叶图的数据求中位数并由数据分布判断稳定性,属于基础题.4.已知向量(1,3),(,1)a b x ==且a 与b 的夹角为60︒,则||b =( )。

2020年哈三中高三学年第二次模拟考试理科综合试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5 Fe-56 Ni-59 Ga-70 Ba-137一、选择题:本题共13个小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.下列关于硝化细菌与小球藻的叙述中，错误的是A.都可以将CO2和H2O合成糖类B.均含有光合色素中的叶绿素C.都有由核酸和蛋白质组成的结构D.细胞中都含有DNA和RNA.2.关于细胞生命历程的叙述中，错误的是A.被病原体感染的细胞的清除可通过细胞调亡完成B.同种生物不同细胞细胞周期持续时间可能不同C.同一个体不同细胞的功能差异是在细胞分裂过程中形成的D.致癌因子会损伤细胞中的DNA,:使原癌基因和抑癌基因突变3.下列有关生物学实验和方法的叙述，错误的是A.观察有丝分裂实验，装片的制作过程中根尖解离后要用清水漂洗B.用高倍镜观察黑藻细胞叶绿体，要向装片滴加生理盐水C.黑光灯诱捕法属于物理信息在生产中的应用D.生态缸应置于室内通风、光线良好且避免阳光直射的地方4.下列关于人体基因表达的叙述，正确的是.A.基因表达可发生在细胞核、线粒体和叶绿体中B.通过碱基互补配对原则，DNA.上碱基序列可决定mRNA的序列C.翻译时，一种tRNA可能转运多种氨基酸D.转录和翻译时的碱基互补配对方式完全相同5.下列有关人体免疫调节的相关叙述中，正确的是A.健康人的T细胞直接移植给艾滋病患者可提高患者的免疫力B.当麻风杆菌寄生于宿主细胞内，需要抗体进入细胞内将其消灭C.免疫活性物质是由免疫细胞或其他细胞产生的发挥免疫作用的物质D.自身免疫病具有发作迅速、反应强烈、消退较快等特点6.生长素能促进细胞伸长生长的机理指出:生长素与细胞膜_上的受体结合，从而激活了细胞膜上转运氢离子的载体，将氢离子向膜外运输，进而激活细胞壁上酶X，最终导致细胞壁松散，细胞因吸水伸长。

2020年黑龙江高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数 的实部为，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）．A. B. C. D.3.已知双曲线则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）．A. B. C. D.4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：，，，，，其中，．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭．塔共层，若，，则这五层正六边形的周长总和为（ ）．A.B.C.D.5.对于直线，和平面，，，有如下四个命题：（）若，，则； （）若，，，则；（）若，，，则； （）若，，则．其中真命题的个数是A.B.C.D.6.已知正方体，为底面的中心，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．A.B.C.D.7.函数，若要得到奇函数的图象，可以将函数的图象（ ）．A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位8.一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，表为各个学段每个内容主题所包含的条目数，图是将表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图．由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是：学段内容主题第一学段（年级）第二学段（年级）第三学段（年级）合计数与代数图形与几何统计与概率综合与实践合计表第一学段第二学段第三学段综合与实践统计与概率图形与几何数与代数图A.除了"综合与实践"外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其"图形与几何"在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍．B.在所有内容领域中，"图形与几何"内容最多，占，"综合与实践"内容最少，约占．C.第一、二学段"数与代数"内容最多，第三学段"图形与几何"内容最多．D."数与代数"内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，"图形与几何"内容条目数，百分比都随学段的增长而增长．9.定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（ ）．A.B.C.D.10.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心为半径的圆弧上运动，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.12.设椭圆的两焦点为，，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点．若，且，则椭圆的离心率为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，满足约束条件，则的最大值是 ．14.甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 ．15.数列是等差数列，前项和为，，，且，则实数．16.在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.在中，角，，所对的边分别为，，，且．求的值．若为锐角三角形，求的最小值．（1）（2）18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课不选修生涯规划课总计根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由．如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）．参考附表：参考公式，其中．19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面．（1）（2）证明：平面平面．若与底面所成的角为，求二面角的余弦值．（1）（2）20.已知点，为抛物线上任意一点，且为的中点．设动点的轨迹为曲线．求曲线的方程．关于的对称点为．是否存在斜率为的直线交曲线于，两点，使得为以为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数，．讨论函数在上的单调性．判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．求曲线的参数方程与直线的普通方程．设点为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且，求面积的取值范围．（1）（2）23.已知函数，，．当时，有，求实数的取值范围．若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．【答案】解析:集合，集合，∴．故选项．解析:∵ 复数，∵ 实数部为，即，∴ 复数，故复数的虚部为．故选．解析:由题意得：，，∴，故双曲线的焦点坐标为和，令，则，即双曲线的渐近线方程为：，∴双曲线焦点到其渐近线的距离为：．故选．解析:五层：，，，，，∴周长和．故选．D 1.A 2.B 3.C 4.解析:（）∵，∴（设面），又∵，∴，又∵，∴，（）∵，又∵，∴，又∵，∴，（）∵，，∴，又∵，∴，（）时，不平行于，∴（）（）（）正确，∴选．解析:C 5.C 6.以正方体，为坐标原点，边为轴，为轴，为轴作空间坐标系，设，则，，，，，，，，则，，，，则异面直线与所成角的余弦值为．故选．解析:∵函数，要得到有函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位．故正确．故选．D 7.解析:∵，时，，∴在单调递减，∵为偶函数，∴在单调递增，∵，∴，∵，∵，，∴，∴．故选．解析:，∵设，则，且，∴，∵，即，∴，∴．故选：．D 8.D 9.B 10.解析:由题意知，即，则，，逐项累加得：，又∵，∴，∴，则，，，，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为．故选．解析:如图所示：由椭圆定义知，，∵，∴．∵，A 11.C 12.∴，∴．在，由余弦定理知：，在，由余弦定理知：．∵，∴，∴，即，∴，∴，故选．13.解析:如图所示阴影部分为约束条件表示的可行域，目标函数可化为，其中表示直线的纵截距，平移直线至点时，纵截距最大，即最大．∵,∴．14.解析:由题意可知：三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为：,故答案为：．15.解析:，则，∵，∴，，，∴，．16.解析:，交于点，过点作面，四棱锥球心在直线上，（1）设球心为，过点作面的垂线，交面于点，取中点为，连接，，，∵为等边三角形，，∴，设，，在中，，在中，，即，解得，∴，，过点作交于点，，设，在中，，即①，在中，，即②，①②联立可得，∴四棱锥外接球表面积为．解析:在中，，由正弦定理，得，故，（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，，则．由得，，∵，由均值不等式得，，当且仅当时，等号成立，解得，∴的最小值为．解析:由题意知，的观测值，所以有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”．由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取名学生成绩优秀的概率为，成绩不优秀的概率为，可取值为，，，，，，，，所以的分布列为：∵，（1）有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”，证明见解析．（2）．18.（1）（2）∴．解析:∵，∴四边形是平行四边形，∴．又∵，∴．又∵面面，面面，面，∴面，且面，∴平面平面．连结，∵，为中点，∴又平面，平面平面，平面平面，∴底面，又，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，取平面的法向量，，，∴，，∴，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）∴，，设平面的法向量，∴，令，∴，，设二面角的平面角为，∴，又为钝角，∴，即二面角的余弦值为．解析:设，，∵是的中点，则，∵在上，∴，∴，∴，故曲线的方程为．由题意得，设，，，将代入得，∴，∴的中点，∵，∴，∴符合，∴存在，∴化为，∴，，∴．（1）．（2）存在，．20.（1）（2）解析:，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，由得：，由得：，所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增．函数在点处的切线方程为，即，函数在点处的切线方程为，即，若与的图象有公切线，则，由①得代入②整理得：，③由题意只需判断关于的方程在上解的个数，令，，令，解得，单调递减极小值单调递增∴，∵，，∴，（1）函数在上单调递减，函数在上单调递增．（2）与的图象有两条公切线，证明见解析．21.①②（1）（2）（1），且图象在不连续不断，∴方程在及上各有一个根，即与的图象有两条公切线．解析:由题意：，∴，∴，∴，∴曲线的参数方程为（为参数），由直线的参数方程得代入，得，∴，∴直线的普通方程为．设到直线的距离为，，，∴，∴面积的取值范围是．解析:∵在上恒成立，∴，∴，又∵，（1）（为参数）；．（2）．22.（1）．（2）．23.（2）当且仅当，即时等号成立，∴，即．令，∴，①若时，∴解集为，不符合题意，②若时，解集为，不符合题意，③若时，∴，∴，又∵，∴，综上所述，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，此时，∴当，时，．。

黑龙江省哈三中20xx届高三下学期第二次高考模拟数学（理）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第1I卷（非选择题）两部分，满分1 50分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证弓‘码填。

与清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，小得折替、小要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题EI要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，定义集合，则集合S中元素的个数是A．5 B．6 C．8 D．92．设i为虚数单位，则复数31izi=-在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第_象限C．第三象限D．第四象限3．幂函数1()(2,),()278f x f x x--=的图象经过点则满足的的值是A．12B．13C．14D．154．如果执行右面的程序框图，那么输出的S为A．96 B．768C．1 536 D．7685．已知a ，b ，l ，表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，有下列四个命题：A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6．已知二项等差数列{}n a ，若存在常数t ，使得2n n a ta =对一切*n N ∈成立，则t 的集合是A ．{1}B ．{1，2}C ．{2}D ．{1,22}7．已知二项式(2nx-展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 A ．1 B ．32 C ．64 D ．1288．一只蚂蚁从正方体ABCD —A 1B 2C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 。

处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）9．在△ABC中，内角A,B,C的对边长分别为a，b，c，且22tan2,3,tanAa c bC-==则b等于A．3 B．4 C．6 D．710．11．对实数a和b，定义运算“*”：a*b=,1,1a a bb a b-≤⎧⎨->⎩，设函数f（x）=（21x+）*（x+2），若函数y=f（x）一c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是A．（2，4]（5，+∞）B．（1,2] （4,5]C．（一∞，1）（4,5] D．[1，2]第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．设x ，y 满足约束条件11,(2,)(1,1),//,2210x y x a y x m b a b x y ≥⎧⎪⎪≥=-=-⎨⎪+≤⎪⎩向量且则m 的最小值为 .14．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的概率为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 已知（I ）求f （x ）的最大值及取到最大值时相应的x 的集合；-（II ）若函数()[0,]2y f x m π==-在区间上恰好有两个零点，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分） 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE=BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，动点F 在校CE 上，无论点F 运动到何处时，总有BF ⊥AE ． （I ）试判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并证明你的结论； （II ）求二面角D —CE —A 的余弦值的大小。

2020年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知z+5−6i=3+4i，则复数z为()A. −4+20iB. −2+10iC. −8+20iD. −2+20i2.已知集合U={1,2，3，4，5，6，7}，A={2,3，4，5}，B={2,3，6，7}，则A∩∁U B=()A. {1,4}B. {1,4，5}C. {4,5}D. {6,7}3.设x，y满足约束条件{x−y+1≤0x+y−3≥0y≤4，则z=2x+y的最大值是()A. 10B. 5C. 4D. 24.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α//β，则l⊥m；②若α⊥β，则l//m；③若l//m，则α⊥β；④若l⊥m，则α//β．其中正确的两个命题是()A. ①与②B. ①与③C. ②与④D. ③与④5.甲、乙、丙、丁四人，只有一人是说谎者．甲说：乙丙说真话；乙说：甲丁有一人说假话；丙说：我说真话；丁说：我说真话．判定四人中，说谎者是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6. 已知正项等比数列{a n }，若向量a ⃗ =(8,a 2)，b ⃗ =(a 8,2),a ⃗ //b ⃗ ，则log 2 a 1+log 2 a 2+⋯+log 2 a 9=( )A. 12B. 8+log 25C. 5D. 187. 现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒．若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为A. 36πB. 72πC. 81πD. 216π8. 已知函数f (x )=4cos 2x ，则下列说法中正确的是( )A. f (x )为奇函数B. f (x )的最小正周期为π2 C. f (x )的图象关于直线x =π4对称D. f (x )的值域为[0,4]9. 已知tan(π4−α)=43，则sin 2(π4+α)=( )A. 725B. 925C. 1625D. 242510. 已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A. √2B. √22 C. 3√32D. 2√211. 过双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 做圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为M ，切线交y 轴于点P ，且FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √512. 已知函数，若方程f(x)=ax 恰有两个不同的实根时，则实数a 的取值范围是( )A. (0,e)B. (1e ,4]C. (e,4]D. (0,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某学校为了解全校三个年级学生对安全常识掌握的情况，采用分层抽样的方法从全校3500名学生中抽取一个容量为50的样本，其中高一年级抽取16人，若高三年级有1120名学生，则从高二年级抽取的人数为________．14. 某校选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是______．15.设△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，cos(A−C)+cosB=3，b2=ac，则B=2 ______ ．16.点P是抛物线y2=x上的动点，点Q的坐标为(3,0)，则|PQ|的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，a3=5，a5=9．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和为T n，求T n.(2)若数列{1a n a n+118.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=π，△ADP为等边三角形．3(1)求证：AD⊥PB；(2)若AB=2，BP=√6，求二面角D−PC−B的余弦值．19. 已知函数f(x)=x 2−ax +lnx(a ∈R)．(1)若函数f(x)在x =1处取得极小值，求函数f(x)的极大值； (2)若x ∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，求a 的取值范围．20. 灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X ，已知X ～N(1000,302).要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为99.7%，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？21. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得，△PF 1F 为正三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若AC 的斜率为√3，求四边形ABCD 的面积．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,(t为参数).以坐标原点为极点，y=tsinα以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知a、b、c∈R+且a+b+c=1，求√4a+1+√4b+1+√4c+1的最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵z +5−6i =3+4i ， ∴z =3+4i −5+6i =−2+10i ． 故选：B ．直接利用复数的代数形式的混合运算，求出复数z 即可． 本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2.答案：C解析：本题主要考查集合的交集及补集运算，属基础题． 由交集、补集的定义直接求解即可．解：因为集合U ={1,2，3，4，5，6，7}，A ={2,3，4，5}， B ={2,3，6，7}， 则∁U B ={1,4，5}， 所以A ∩∁U B ={4,5}． 故选C ．3.答案：A解析：解：由约束条件{x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4作出可行域如图，联立{y =4x −y +1=0，解得A(3,4)，化z=2x+y为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+4=10．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4.答案：B解析：解：①根据面面平行的性质可知，若α//β，当l⊥α时，有l⊥β，因为m⊂β，所以l⊥m成立，所以①正确．②若α⊥β，当l⊥α时，有l//β或l⊂β，无法判断，l与m的位置关系，所以②错误．③若l//m，当l⊥α时，则m⊥α，因为m⊂β，所以α⊥β，所以③正确．④若l⊥m，m⊂β，则l和β关系不确定，所以α//β不一定成立，所以④错误．故选B．①根据面面平行的性质判断．②利用面面垂直的性质判断．③利用面面垂直的判定定理判断．④利用面面平行的判定定理判断．本题主要考查空间平面平行和垂直的判定和性质，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5.答案：D解析：本题考查合情推理中的归纳推理，属于基础题．经过推理即可得结果．解：(1)若丙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符，故丙说真话；(2)若乙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符，故乙说真话；(3)由(1)(2)知：甲说真话；(4)故丁说谎话．故选D．6.答案：D解析：解：由题意，向量a⃗=(8,a2),b⃗ =(a8,2),a⃗//b⃗ ，则8⋅2−a2⋅a8=0，即a2⋅a8=16，根据等比中项的知识，可得a2⋅a8=a52=16，∵a5>0，∴a5=4，∴log2a1+log2a2+⋯+log2a9=log2(a1a2 (9)=log2[(a1a9)⋅(a2a8)⋅(a3a7)⋅(a4a6)⋅a5]=log2a59=9log24=18．故选：D．本题先根据平行向量的坐标运算可得a2⋅a8=16，再根据等比中项的知识，可计算出a5=4，在求和时根据对数的运算及等比中项可得到正确选项．本题主要考查等比数列的性质应用，向量共线的充要条件，属中档题．7.答案：B解析：本题考查圆锥体积的求解及利用基本不等式求最值，同时考查两角和与差的三角函数，画出轴截面，然后设角，将体积表示为三角函数，利用基本不等式求解即可，属于中档题．解：由已知球为圆锥的内切球，画出轴截面如下图，)，设∠OCB=α，α∈(0,π4∵由已知OB=3，∴BC=3 tanα,AB=BC×tan2α=3tan2αtanα=61−tan2α，∴圆锥的体积 V=13π×(3tanα)2×61−tan2α，=18π×1tan2α(1−tan2α)，≥18π×1(tan2α+1−tan2α)24=72π，当tanα=√22时，取等号，∴其包装盒的体积的最小值为72π．故选B．8.答案：D解析：本题考查余弦函数的图象与性质，考查二倍角公式及其应用，属于基础题．由二倍角公式可得f(x)=4cos2 x=2cos 2x+2，根据余弦函数的图象与性质逐项判断即可．解：∵f(x)=4cos2x=2cos2x+2，该函数的定义域为R．对于A选项，f(−x)=2cos(−2x)+2=2cos2x+2=f(x)，函数y=f(x)为偶函数，A选项错误；对于B选项，函数y=f(x)的最小正周期为T=2π2=π，B选项错误；对于C选项，∵f(π4)=2cos(2×π4)+2=2，所以f(π4)既不是函数y=f(x)的最大值，也不是该函数的最小值，C选项错误；对于D选项，∵−1≤cos2x≤1，∴f(x)=2cos2x+2∈[0,4]，D选项正确．故选D．9.答案：B解析：本题考查了三角函数的综合运用，属于基础题．利用两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数公式进行计算即可． 解：由题意得tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=43， 解得tanα=−17，而sin 2(π4+α)=(√22sinα+√22cosα)2=1+sin2α2=12+sinαcosαsin 2α+cos 2α=12+tanα1+tan 2α=925，故选B ．10.答案：A解析：解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 可得|AC|=√2，并且B ，D 在以BC 为直径的圆上， 显然|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为圆的直径，√2． 故选：A ．利用已知条件分析判断然后求解BD 的最大值．本题考查向量在几何中的应用，向量的模的最大值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．11.答案：B解析：解：设P(0,3y)，则M(13c,2y)， 则∵OM ⊥PF ，∴2y13c ⋅3y−c =−1，取y =√c 18，M 的坐标代入圆x 2+y 2=a 2，即圆19c 2+418c 2=a 2，∴e =√3，故选：B ．求出M 的坐标，代入圆的方程求得离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出M 的坐标是解题的关键．12.答案：C解析：本题考查方程根的个数的判断，体现了数形结合及转化的数学思想，属于中档题． 方程f(x)=ax 恰有两个不同的实根，即与函数y =ax 的图象有且只有两个交点，在同一坐标系中画出两个函数的图象，数形结合可得实数a 的取值范围． 解：函数f(x)={4(x −1),x ≤0e x ,x >0的图象如下图所示：设y =ax 与y =e x 相切于点(x 0,y 0)，y =e x 的导数为y ′=e x ， 则有{a =y 0x 0=e x 0,y 0=e x 0，解得x 0=1，a =e ．由图象可得：当a <e 时，两个函数的图象无交点; 当a =e 时，两个函数的图象有一个交点; 当e <a ≤4时，两个函数的图象有两个交点; 当a >4时，两个函数的图象有三个交点． 综上所述：实数a 的取值范围是(e,4]． 故选：C ．13.答案：18解析：本题考查分层抽样，考查考生的数据处理能力和运动求解能力，属基础题，难度不大．由题意知抽样比为503500=170，所以从高三年级抽取的人数为1120×170=16，进而知从高二年级抽取的人数为50−16−16=18．解：由题意知抽样比为503500=170，所以从高三年级抽取的人数为1120×170=16，所以从高二年级抽取的人数为50−16−16=18．14.答案：56解析：本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 基本事件总数n =C 42C 21C 11A 22⋅A 33=36，甲、乙两人在同一边远地区包含的基本事件个数m =C 22A 33=6，由此能求出甲、乙两人不在同一边远地区的概率．解：某校选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)， 基本事件总数n =C 42C 21C 11A 22⋅A 33=36，甲、乙两人在同一边远地区包含的基本事件个数m =C 22A 33=6，∴甲、乙两人不在同一边远地区的概率是p =1−m n=1−636=56．故答案为：56．15.答案：π3解析：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．将B =π−(A +C)代入已知等式左边第二项，左边两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出sin A sin C 的值，利用正弦定理化简b 2=ac ，将sin A sin C 的值代入求出sin B 的值，即可确定出B 的度数．解：∵B =π−(A +C)，∴已知等式变形得：cos(A −C)−cos(A +C)=32，即cosAcosC +sinAsinC −cosAcosC +sinAsinC =2sinAsinC =32，∴sinAsinC =34，将b 2=ac 利用正弦定理化简得：sin 2B =sinAsinC =34， ∴sinB =√32或sinB =−√32(舍去)， ∴B =π3或B =2π3，∵b 2=ac ，∴b ≤a 或b ≤c ， 则B =π3． 故答案为：π316.答案：√112解析：解：∵点P 是抛物线y 2=x 上的动点， ∴设P(x,√x)， ∵点Q 的坐标为(3,0)，∴|PQ|=√(x −3)2+(√x −0)2 =√=√(x −52)2+114，∴当x =52，即P(52,√104)时， |PQ|取最小值√112．故答案为：√112．由已知条件，设P(x,√x)，利用两点间距离公式，求出|PQ|，由此利用配方法能求出|PQ|的最小值． 本题考查线段长的最小值的求法，中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．17.答案：解：设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，(1)由a 3=5，a 5=9得： a 1+2d =5，a 1+4d =9； 解得a 1=1，d =2； ∴a n =2n −1；(2)∵1a n⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)，∴T n=11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1) =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查了等差数列的通项公式的求法及裂项求和法的应用，属于中档题．(1)利用等差数列通项公式求解即可．(2)利用裂项相消求和．18.答案：(1)证明：取AD中点E，连结PE，BE∵ABCD为菱形，∠DAB=60∘，∴ΔABD为等边三角形，∴BE⊥AD,∵ΔADP为等边三角形，∴PE⊥AD，∵PE∩BE=E∴AD⊥平面PBE，∵PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB;解：(2)∵ΔPAD,ΔBAD为等边三角形，边长为2，∴PE=BE=√3,∵PB=√6，∴PE2+BE2=PB2，∴PE⊥EB，∵PE⊥AD,AD∩BE=E，∴PE⊥平面ABCD，如图，以EA，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∴P(0,0,√3),D(−1,0,0),B(0,√3,0),C(−2,√3,0)，设平面PCD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， {m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，{(x,y,z)⋅(−1,0,−√3)=0(x,y,z)⋅(−1,√3,0)=0,{−x −√3z =0−x +√3y =0，取z =1，则x =−√3,y =−1,m ⃗⃗⃗ =(−√3,−1,1) ， 设平面PCB 的法向量为n⃗ =(a,b,c) {n →⋅PB →=0n →⋅BC →=0，{(a,b,c)⋅(0,√3,−√3)=0(a,b,c)⋅(−2,0,0)=0,{−2a =0√3b −√3c =0， 取c =−1，则a =0,b =−1,n ⃗ =(0,−1,−1) ， 设二面角D −PC −B 的平面角为θ ∴，cosθ=cos <m →,n →>=m →·n→|m →||n →|=√3,−1,1)·(0,−1,−1)√5×√2=0，二面角D −PC −B 的余弦值等于0．解析：本题主要考查空间线面垂直的性质，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．(1)根据线面垂直的性质定理即可证明AD ⊥PB ．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求半平面APB 和PBC 的法向量，求法向量夹角的余弦值，即可求二面角D −PC −B 的余弦值．19.答案：解：(1)∵f(x)=x 2−ax +lnx(a ∈R)在x =1时取得极值，f′(x)=2x −a +1x ，∴f′(1)=0， ∴2−a +1=0，解得a =3，经过验证满足条件．(2)∵x ∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，∴a ≥x +lnx x−1x =ℎ(x)．ℎ′(x)=1+1x 2+1−lnx x 2=x 2+2−lnxx 2>0，∴函数ℎ(x)在x ∈(0,e]单调递增，∴x =e 时，ℎ(x)取得最大值，ℎ(e)=e +1e −1e =e ． ∴a ≥e ．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值与最值，考查了等价转化方法、推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由f(x)=x 2−ax +lnx(a ∈R)在x =1时取得极值，可得f′(1)=0，解出a 即可得出． (2)x ∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，可得a ≥x +lnx x−1x=ℎ(x).利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．20.答案：解：∵灯泡的寿命为X ，X ～N(1000,302).∴X 在(1000−3×30,1000+3×30)的概率为99.7%， ∴X 在(910,1090)内的取值的概率为99.7%，解析：由于灯泡的寿命为X ，X ～N(1000,302).可得X 在(1000−3×30,1000+3×30)的概率为99.7%，即可得出．本题考查了正态分布的“3σ原则”，属于基础题．21.答案：解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：{2a +2c =6a =2c ，解得{a =2c =1，∴b 2=a 2−c 2=3． 故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．(2)解：由AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33． 则AC ：y =√3(x +1)，BD ：y =−√33(x +1)．联立{x 24+y 23=1y =√3(x +1)，得5x 2+8x =0，∴x =0或x =−85，∴|AC|=√1+(√3)2|0−(−85)|=165．联立{x 24+y 23=1y =−√33(x +1)，得13x 2+8x −32=0，∴x =−4±12√313， ∴|BD|=√33)−4+12√313−−4−12√313|=4813． ∴S ABCD =12|AC|×|BD|=12×165×4813=38465，故四边形ABCD 面积为38465．解析：(1)由题意列关于a ，c 的方程组，求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)由已知向量等式可得AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33.分别写出AC 、BD 所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由(1)可知t 1+t 2=2cosα，t 1t 2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t 1+t 2|=2|cosα|=1， ∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由柯西不等式得(√4a +1+√4b +1+√4c +1)2≤(12+12+12)(4a +1+4b +1+4c +1)=3[4(a +b +c)+3]=21， 当且仅当a =b =c =13时等号成立，故√4a+1+√4b+1+√4c+1的最大值为√21．解析：本题考查柯西不等式．利用柯西不等式得(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)≥(am+bn+cp)2进行求解即可．。