人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步测试及答案-最佳新修版

21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－p___，x 1x 2＝__q___． 2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－b a___，x 1x 2＝__c a___． 3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax 2＋bx ＋c ＝0___；(2)二次方程，即__a ≠0___；(3)有根，即__b 2－4ac ≥0___．知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( C )A ．0B ．2C ．－2D ．42．(2014·昆明)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于( C )A ．－4B ．－1C ．1D ．43．已知方程x 2－6x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( D )A ．－8B ．－4C ．8D ．44．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －4＝0的两个实数根，则(x 1－2)(x 2－2)＝__－6___．5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x 2＋3x ＋1＝0；解：x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1(2)2x 2－4x －1＝0；解：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－12(3)2x 2＋3＝5x 2＋x.解：x 1＋x 2＝－13，x 1x 2＝－1 6．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 12＋x 22； (2)1x 1＋1x 2. 解：(1)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝11(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－3知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根互为相反数，则( B )A ．b ＞0B ．b ＝0C ．b ＜0D ．c ＝08．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根和c 分别为( C )A ．1，2B ．2，4C ．4，8D ．8，169．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则b ＋c 的值是( A )A ．－10B ．10C ．－6D ．－110．(2014·烟台)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( D )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－111．若关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．解：由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4①，x 1x 2＝k －3②，又∵x 1＝3x 2③，联立①③，解方程组得⎩⎨⎧x 1＝3，x 2＝1，∴k ＝x 1x 2＋3＝3×1＋3＝6 12．已知一元二次方程x 2－2x ＋2＝0，则下列说法正确的是( D )A ．两根之和为2B ．两根之积为2C ．两根的平方和为0D ．没有实数根13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是( B )A ．x 2＋6x ＋8＝0B ．x 2－6x ＋8＝0C ．x 2－6x －8＝0D ．x 2＋6x －8＝014．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( B ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－115．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或216．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8___．17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x 2－9x ＋8＝0___．18．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，求(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)的值．解：由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，∴(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝419．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2＋2＝2(1－x)有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)方程整理为x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0，由题意得Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴k ≤12(2)由题意得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1，∵k ≤12，∴－2(k －1)＝k 2－1，整理得k 2＋2k －3＝0，解得k 1＝－3，k 2＝1(舍去)，∴k ＝－320．设x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，求x13＋2016x2－2015的值．解：x2－x－2015＝0，∴x2＝x＋2015，x＝x2－2015.又∵x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，∴x13＋2016x2－2015＝x1·x12＋2016x2－2015＝x1·(x1＋2015)＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1＋x2)＋2015－2015＝2016。

新人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步训练一、选择题1、关于的方程的两根同为负数，则（）。

A、且B、且C、且D、且2、若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足=，则的值为（）A、－1或B、－1C、D、不存在3、已知实数a、b满足等式，那么的值为（）A、－6B、2C、－6或2D、无法计算4、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A、B、3C、6D、95、已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则式子的值是（）A、B、C、D、6、已知为方程的两实根，则的值为（）A、B、－28C、20D、287、方程与方程的所有实数根的和为（）A、3B、5C、－2D、08、关于x的方程的两个实数根同号，则a的取值范围是（）A、B、a＞0C、a≥0D、a≤19、一元二次方程的两实数根相等，则的值为（）A、B、或C、D、或10、以3和－2为根的一元二次方程是（）A、B、C、D、11、设方程的两根分别为，且，那么m的值等于（）A、B、－2C、D、12、已知方程的两个根为、，那么的值（）A、3B、1C、－1D、－613、已知两根乊和等于两根乊积，则m的值为（）A、1B、－1C、2D、－214、设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A、－2014B、2014C、2013D、－201315、已知关于的一元二次方程有两个实数根和，当时，的值为（）A、2B、或C、D、二、填空题16、如果是一元二次方程的两个实数根，则________．17、一元二次方程两根的倒数和等于________．18、关于x的方程的根为，则p＝________，q＝________．19、若是方程的两根，那么________，________．20、已知方程的两根乊比为2，则k的值为________．三、解答题21、不解方程，求下列方程的两根的和与积．(1)(2)22、已知是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，求实数m的取值范围．23、已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长．(1)k为何值时，方程有两个实数根；(2)当矩形的对角线长为时，求k ．24、已知关于x的一元二次方程有两个非零实数根．(1)求m的取值范围；(2)两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由．答案解析部分一、选择题1、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】根据根与系数的关系可知：关于的方程两根的和为－p ，积为q ，又∵两根同为负数，∴－p＜0，q＞0，∴p＞0，q＞0．【分析】对于一元二次方程的一般形式，方程两根乊和为，两根乊积为．2、【答案】C【考点】解一元二次方程-因式分解法，根与系数的关系【解析】【解答】根据根与系数的关系可知：，又∵，∴∴，∴，又∵当时，，∴舍去，∴．【分析】k的值不仅须满足，更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义，即k的值必须使得才可以．3、【答案】C【考点】完全平方公式，根与系数的关系【解析】【解答】∵a、b满足等式，∴a、b是方程的两个根或，当a、b是方程的两个根时，，∴；当时，，综上所述，的值为－6或2．【分析】关键在于理解：a、b满足等式即a、b是方程的两个根．4、【答案】B【考点】完全平方公式，根与系数的关系【解析】【解答】将方程的两根分别记为，那么，∴直角三角形的斜边长为．【分析】如果直接解方程，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长，但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解．5、【答案】C【考点】完全平方公式，根与系数的关系【解析】【解答】∵a、b是方程的两个根，∴，∴对所求式子进行变形有：．【分析】在利用根与系数的关系求代数式的值时，常常利用完全平方公式对所求代数式进行变形．6、【答案】D【考点】完全平方公式，根与系数的关系【解析】【解答】∵为方程的两实根，∴，∴对所求式子进行变形有：．【分析】利用根与系数的关系求代数式的值时关键在于对所求代数式的变形．7、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】设方程的两个根分别为，方程的两个根分别为，∴，，∴这两个方程的所有实数根的和．【分析】在计算前应根据根的判别判断方程根的存在情况．8、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】∵关于x的方程的两个实数根同号，∴且，∴．【分析】注意一元二次方程有两个同号的实数根必须同时满足△≥0．【考点】根与系数的关系【解析】【解答】∵一元二次方程的两实数根相等为x ，∴，∴，∴或．【分析】也可以用根的判别式解题：∵一元二次方程的两实数根相等，∴，∴或．10、【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】以3和－2为根的一元二次方程中，含x项系数为，常数项的系数为3－2＝－6，所以所求的方程为．【分析】逆用根与系数的关系可以不必解逐一解选项中的方程．11、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】∵方程的两根分别为，∴，又∵，∴，∴．【分析】根据根与系数的关系及求得，再由m与的关系求得m的值．12、【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】根据题意得，∴．【分析】利用根与系数的关系可以简化计算．13、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】∵方程两根乊和等于两根乊积，∴，∴．【分析】方程的两根乊和为，两根乊积为．【考点】根与系数的关系【解析】【解答】根据题意有α＋β＝－1，αβ＝2012，∴对所给代数式进行变形得：.【分析】根据α、β的关系对进行适当的变形．15、【答案】D【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【解答】当时，即,∴或.当时，依据一元二次方程根与系数的关系可得,∴,∴，又∵方程有两个实数根，∴△＝，∴,∴不成立,故无解；当时，,方程有两个相等的实数根,∴△＝,∴．【分析】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，注意所求的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义，这一点是同学们常常容易忽略出错的地方．二、填空题16、【答案】6【考点】根与系数的关系【解析】【解答】根据根与系数的关系可知：．【分析】对于一元二次方程的一般形式，根与系数的关系为．17、【答案】【考点】根与系数的关系【解析】【解答】将一元二次方程两根分别记为，那么，∴两根的倒数和为．【分析】对于所给的代数式进行变形，使其与两根的和与积有联系，再利用根与系数的关系进而求得代数式的值．18、【答案】－2；－1【考点】平方差公式，根与系数的关系【解析】【解答】根据根与系数的关系有：，，∴．【分析】对于一元二次方程的一般形式，根与系数的关系为．19、【答案】39；53【考点】完全平方公式，根与系数的关系【解析】【解答】根据题意有，，∴，∴．【分析】对于所给的代数式进行变形，使其与两根的和与积有联系，再利用根与系数的关系进而求得代数式的值．20、【答案】【考点】根与系数的关系【解析】【解答】记方程的两根分别为，根据题意有，根据根与系数的关系有，由，解得，∴．【分析】根据根与系数的关系可知k的值为两根的积，再利用两根和为1、比为2可以求得两根的值，进而可求k的值．三、解答题21、【答案】（1）根据根与系数的关系可得：，.（2）根据根与系数的关系可得：，．【考点】根与系数的关系【解析】【解答】(1)根据根与系数的关系可得：，.(2)根据根与系数的关系可得：，．【分析】对于一元二次方程的一般形式，根与系数的关系为．22、【答案】解：根据根与系数的关系可知：，，又∵，∴，∴．【考点】根与系数的关系，解一元一次不等式【解析】【解答】解：根据根与系数的关系可知：，，又∵，∴，∴．【分析】先根据根与系数的关系求得两根的积与两根和，再解所给不等式，进而可求m的取值范围．24、【答案】（1）解：方程有两个不相等的实数根，那么，解得，∴时方程有两个实数根；（2）解：记方程的两个实数根分别为，∴，∵呈矩形的对角线长为时，∴，∴，∴，∴，∴，又∵方程有两个实数根需满足，∴．【考点】完全平方公式，根的判别式，根与系数的关系【解析】【解答】（1）解：方程有两个实数根，那么，解得，∴时方程有两个实数根；（2）解：记方程的两个实数根分别为，∴，∵呈矩形的对角线长为时，∴，∴，∴，∴，∴，又∵方程有两个实数根需满足，∴．【分析】在根据根与系数的关系的时候，常常需要考虑根的判别式是否可以大于或等于0．25、【答案】（1）解：关于x的一元二次方程有两个非零实数根，∴且，∴；（2）解：假设两个非零的实数根同号，那么两根的积为正即，∴，又由（1）可知：，∴．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【解答】（1）解：关于x的一元二次方程有两个非零实数根，∴且，∴；（2）解：假设两个非零的实数根同号，那么两根的积为正即，∴，又由（1）可知：，∴．【分析】（1）的关键在于非零实数根即常数项不为0；（2）的关键在于务必结合（1）中的m的取值范围确定m的最终取值范围，因为只有这样才可以保证方程有两个实数根．。

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x －5＝0的两根，则x 1·x 2的值为( ) A ．－5B ．5C ．－4D ．4 2．一元二次方程3x 2－1＝2x ＋5的两实数根的和与积分别是( )A. 32，－2 B. 23，－2 C ．－23，2 D ．－32，2 3．不解方程，求下列方程两个根x 1，x 2的和与积：(1)x 2＋3x ＋1＝0; (2)3x 2－2x －1＝0；(3)－2x 2＋3＝0; (4)2x 2＋5x ＝0.4．若α，β是一元二次方程3x 2＋2x －9＝0的两根，则βα＋αβ的值是( ) A.427 B ．－427 C ．－5827 D.58275．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋3x －5＝0的两个根，则x 12x 2＋x 1x 22的值是________．6．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 1＋x 2; (2)x 1x 2；(3)x12＋x22; (4)1x1＋1x2.7．已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．8．阅读下面的材料：把方程x2－4x＋3＝0写成x2－4x＋4－4＋3＝0的形式，即(x－2)2－1＝0.因式分解，得(x－2＋1)(x－2－1)＝0，即(x－1)(x－3)＝0.发现：(－1)＋(－3)＝－4，(－1)×(－3)＝3.结论：关于x的方程x2－(p＋q)x＋pq＝0可变形为(x－p)(x－q)＝0.应用上面总结的解题方法解下列方程：(1)x2＋5x＋6＝0；(2)x2－7x＋10＝0；(3)x2＋3x－4＝0.答案1．A2．B [分析] 设这个一元二次方程的两个实数根分别为x 1，x 2.一元二次方程3x 2－1＝2x ＋5化为一般形式为3x 2－2x －6＝0.∵a ＝3，b ＝－2，c ＝－6，∴x 1＋x 2＝－b a ＝－－23＝23，x 1x 2＝c a ＝－63＝－2.故选B. 3．解：(1)x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1.(2)x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－13. (3)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－32. (4)x 1＋x 2＝－52，x 1x 2＝0. 4．C [分析] ∵α，β是一元二次方程3x 2＋2x －9＝0的两根，∴α＋β＝－23，αβ＝－3. ∴βα＋αβ＝（α＋β）2－2αβαβ＝（－23）2－2×（－3）－3＝－5827. 故选C.5．15 [分析] 由题意得x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝－5.原式＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝－5×(－3)＝15.6．解：(1)x 1＋x 2＝3.(2)x 1x 2＝－1.(3)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1)＝11.(4)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3. 7．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2， ∴Δ＝b 2－4ac≥0，即32－4(m －1)≥0，解得m≤134. (2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝m －1.∵2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，∴2×(－3)＋m －1＋10＝0.解得m ＝－3.8．解：(1)x 2＋5x ＋254－254＋6＝0， 即(x ＋52)2－14＝0. 因式分解，得(x ＋52＋12)(x ＋52－12)＝0， 即(x ＋3)(x ＋2)＝0，∴x 1＝－3，x 2＝－2.(2)x 2－7x ＋494－494＋10＝0， 即(x －72)2－94＝0. 因式分解，得(x －72－32)(x －72＋32)＝0， 即(x －5)(x －2)＝0，∴x 1＝5，x 2＝2.(3)x 2＋3x ＋94－94－4＝0， 即(x ＋32)2－254＝0. 因式分解，得(x ＋32＋52)(x ＋32－52)＝0， 即(x ＋4)(x －1)＝0，∴x 1＝－4，x 2＝1.。

21.2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习（一）一、单选题1、一元二次方程x 2-2x =0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2为（ ）A. -2B. 1C. 2D. 02、若关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有一个解为x =-1，则另一个解为（ ）A. 1B. -3C. 3D. 43、已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误的是（ ）A. 12x x ≠B. 21120x x -=C. 122x x +=D. 122x x ⋅= 4、已知α，β是一元二次方程x 2+x -2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是（ ）A. 3B. 1C. -1D. -35、已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为-2，则另一个根为（ ）A. 5B. -1C. 2D. -56、若α，β是方程2x 2x 20180+-=的两个实数根，则2α3αβ++的值为（ ）A. 2015B. 2016-C. 2016D. 20197、若2x 2-4x +c =0的一个根，则c 的值是（ ）A. 1B. 3C.D. 8、若a ≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A. 14 B. 1 C. .4D. 3 9、关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（ ）A. 0或2B. -2或2C. -2D. 210、关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是（ ）A. -1或5B. 1C. 5D. -1二、填空题11、一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ，2x ，则2111242x x x x -+的值为______．12、已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为______．13、设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为______．14、关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12-x1x2+x22的值是______．15、如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式2n2-mn+2m+2015=______．三、解答题16、已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+k-1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．17、已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．（1）求m的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m的值为多少？答案第1页，共6页参考答案1、【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】∵一元二次方程x 2-2x =0的两根分别为x 1和x 2，∵x 1x 2=0．选D ．2、【答案】C【分析】设方程的另一个解为x 1，根据两根之和等于-b a，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】设方程的另一个解为x 1，根据题意得：-1+x 1=2，解得：x 1=3，选C ．3、【答案】D【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行提示即可．【解答】x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x =0的两个实数根，这里a =1，b =-2，c =0，b 2-4ac =（-2）2-4×1×0=4＞0，∵方程有两个不相等的实数根，即12x x ≠，故A 选项正确，不符合题意； 21120x x -=，故B 选项正确，不符合题意；12221b x x a -+=-=-=，故C 选项正确，不符合题意； 120c x x a⋅==，故D 选项错误，符合题意， 选D ． 4、【答案】B【分析】根据根与系数的关系得α+β=-1，αβ=-2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【解答】∵α，β是方程x 2+x -2=0的两个实数根，∵α+β=-1，αβ=-2，∵α+β-αβ=-1-（-2）=-1+2=1，选B ．5、【答案】B【分析】根据关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】∵关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为-2，设另一个根为m ，∵-2+m =−31， 解得，m =-1，选B ．6、【答案】C【分析】根据方程的解得概念可得222018αα+=，由根与系数的关系可得2αβ+=-，再代入2232ααβαααβ++=+++即可得出结论．【解答】αβ，是方程2220180x x +-=的两个实数根，2220180αα∴+-=，即2220182αααβ+=+=-，，则2232201822016ααβαααβ++=+++=-=．选C ．7、【答案】A【分析】把2x 2-4x +c =0就得到关于c 的方程，就可以解得c 的值．【解答】把2x 2-4x +c =0，得（22-4（2+c =0，解得：c =1． 选A ．8、【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】解：由22410,410a a b b -+=-+=得：2214,14a a b b ++== ∴22111111444a b a b a b ab++=+=++ 又由22410,410a a b b -+=-+=可以将a ，b 看做是方程2410x x -+=的两个根 ∴a +b =4，ab =1 ∴4=144a b ab +=⨯1故答案为B ．9、【答案】D答案第3页，共6页 【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()21212124423x x x x x x +-+=-－，利用根与系数的关系，()2142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0，可得k ＝2符合题意．【解答】解：由根与系数的关系，得：12x x +＝k -1，122x x k +＝－，由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：()21212423x x x x --+=-，即()21212124423x x x x x x +-+=-－，∴，()2142(2)3k k ----+=-，化简，得：24k =，解得：k ＝±2，∵关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根，∴，△＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0，k ＝-2不符合，∴，k ＝2选：D ．10、【答案】D【分析】设方程的两根为1x 、2x ，根据根与系数的关系得到12x x a +=，122x x a ⋅=，由于22125x x =+，变形得到()2121225x x x x +-⋅=，则2450a a --=，然后解方程，满足0≥的a 的值为所求．【解答】设方程的两根为1x 、2x ，则12x x a +=，122x x a ⋅=，22215x x +=，∴()2121225x x x x +-⋅=，∴2450a a --=，∴15a =，21a =-，280a a =-≥，∴1a =-．选：D ．11、【答案】2【分析】根据一元二次方程根的意义可得2114x x -+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得12x x =2，把相关数值代入所求的代数式即可得．【解答】由题意得：2114x x -+2=0，12x x =2，∴2114x x -=-2，122x x =4，∴2111242x x x x -+=-2+4=2，故答案为：2．12、【答案】1【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】设x +1=t ，方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2+bt +1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2，∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3故答案为：113、【答案】-2017【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【解答】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为：-2017．14、【答案】4【分析】根据根与系数的关系结合x 1+x 2=x 1•x 2可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，从而可确定k 的值．【解答】∵x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2-k，∵x12+x22=4，∴（x1+x2）2-2x1x2=4，（2k）2-2（k2-k）=4，2k2+2k-4=0，k2+k-2=0，k=-2或1，∵△=（-2k）2-4×1×（k2-k）≥0，k≥0，∴k=1，∴x1•x2=k2-k=0，∴x12-x1x2+x22=4-0=4，故答案为：4．15、【答案】2026【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，∴m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，又n2=n+3，则2n2-mn+2m+2015=2（n+3）-mn+2m+2015=2n+6-mn+2m+2015=2（m+n）-mn+2021=2×1-（-3）+2021=2+3+2021=2026．16、【答案】（1）k≤58；（2）k=-1．【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+k-1）=-8k+5≥0，解之可得；（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方答案第5页，共6页程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+k-1=0有实数根，∴△≥0，即[-（2k-1）]2-4×1×（k2+k-1）=-8k+5≥0，解得k≤58；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k-1，x1x2=k2+k-1，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2k-1）2-2（k2+k-1）=2k2-6k+3，∵x12+x22=11，∴2k2-6k+3=11，解得k=4，或k=-1，∵k≤58，∴k=4（舍去），∴k=-1．17、【答案】（1）34m≥-；（2）m的值为3．【分析】（1）根据△≥0即可求解，（2）化简11αβ+，利用根与系数的关系求出α+β，αβ，代入解方程即可．【解答】解：（1）由题意知，（2m+3）2-4×1×m2≥0，解得：m≥-34；（2）由根与系数的关系得：α+β=-（2m+3），αβ=m2，∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1，∴2m3 m2+﹣（）=-1，整理得m2-2m-3=0解得：m1=-1，m1=3，由（1）知m≥-34，∴m1=-1应舍去，∴m的值为3．。

一元二次方程的根与系数的关系■A且础逃标 *1已知X i, X2是一元二次方程x2— 2x= 0的两根，贝U X1 + X2的值是（B ）A . 0 B. 2 C. - 2 D . 42. [2013 湘潭]一元二次方程x2 + x— 2= 0 的解为Xi, X2,则Xi - X2= （ D ）A. 1B. - 1C. 2D. — 23. [2013包头]已知方程x2— 2x— 1= 0,则此方程（C ）A. 无实数根B. 两根之和为一2C. 两根之积为—1D. 有一根为一1 +艘4. 已知一元二次方程x2— 6x + c= 0有一个根为2,则另一根为（C ）A. 2B. 3C. 4D. 85. 已知方程x2— 5x+ 2 = 0的两个解分别为x1, x2,则X1 + x2— X1x2的值为（D ）A. - 7B. - 3C. 7D. 3【解析】由根与系数的关系得X1+ X2= 5 , X1 X2= 2,所以X1+ X2 —X1X2= 5—2 = 3.6. [2012攀枝花]已知一元二次方程x2— 3x— 1= 0的两个根分别是x〔，X2,贝U X12X2 + xg2的值为（A ）A. - 3B. 3C. - 6D. 6【解析】一元二次方程X2— 3x— 1 = 0的两个根分别是x1, x2, •■- X1 + x2= 3, x1x2= — 1 ,. 2 , 2X1 X2+ X1X2 = X1X2（X〔+ X2） = —1 >3= — 3.7. 设X1, X2是方程x2 + 3x— 3= 0的两个实数根，贝U癸+ "的值为（B .）X1 X2A. 5B. -5C. 1 D . - 18. 若X1, X2是方程X2 + x- 1 = 0的两个根，贝U X12+ X22= 3 .【解析】由根与系数的关系得X1 + X2 = —1 , X〔X2= —1,所以x/ + *2 =（X1 + X?）2 —2x〔X2=（一1）2— 2X（- 1） = 3.2 1 1 59 .已知m和n是方程2x — 5x — 3= 0的两根，贝U + = __々.m n _3—【解析】m和n是方程2x2— 5x-3= 0的两根，5. .m+n=== 5, mn— 3, ..【+ 1 = * = -22 2 2 m n mnX2⑶(X〔+〔)(X2+ 1) .解：由根与系数的关系得x1 + x2= — 6, x1x2= 3.(1)X12+ 展=(X1 + X2)2— 2x1X2= (—6)2— 2X3 5 3.10.已知X1, X2是方程X2+ 6x+ 3= 0的两实数根,试求下列代数式的值: (1)x12+ X22；⑵富 +=36 — 6= 30;2 , 2 __ x 2 , x 〔 x 2 + x 1 30(2)—-1 -- .. ----------- -- —= 10； x 1 x 2 x 1x 2 3 x 的一元二次方程x 1 2 3— 4x+ C= 0的一个根，求方程的另一个根. x 〔，由 x 〔 + 2—寸5 = 4,得 x 〔 = 2 + 寸5. x 2— mx-3 = 0的两实数根为x 〔，x 2,若x 1 + x 2= 2,求x 1, x 2的值.解：x 〔 + x2= 2, ■- m = 2. .■.原方程为 x — 2x — 3= 0,即(x — 3)(x+ 1) = 0,解得 x 〔 = 3, 乂2=— 1 或 x 〔=— 1, x ?= 3.13. 关于x 的一元二次方程 x 2— mx+ 2m — 1 = 0的两个实数根分别是 x 〔，x ?,且x 〔2+ x ?2=乙 则(x 〔一 x 2)2的值是(C )A. 1 B . 12C. 13D. 25【解析】 由根与系数的关系知：x 1 + x 2= m, x 1x 2 = 2m —1,x/ + x^ = (x 〔 + x z)? — 2x 1x 2= m^ — 2(2 m — 1) = m? — 4m + 2,m 2— 4m+ 2 = 7, m 2— 4m — 5 = 0,解得m = 5或m= — 1.当m = 5时，原方程为 x 2— 5x+ 9 = 0,△ = (- 5)2 — 4X 1 X 9 = 25- 36= - 11<0,此时方程无实根.当m = — 1时，原方程为 x + x — 3= 0,方程有实根，.■.当 m = — 1 时，x 〔 + x 2= — 1, x 〔x 2= — 3,2 2• (x 1- x 2) = (x 1 + x 2) — 4x 1x 2=(—1)2—4X(— 3) = 1 + 12= 13,故选 C.14. 设 a,A. 2 011C. 2 013 【解析】 17.设 【解析】 —3, a 一4 4. x 〔 + 乂2 = — =, m m x 2 c 4 . 八 --—2= , • .m = — 2. m 3是一元二次方程 x 2 + 3x-7= 0的两个根，则 因为 a, 3是一兀二次方程 x 2 + 3x — 7= 0的两个根，贝U / + 3 a — 7= 0 , a + 6= 2+ 4 a+ 片 a 2 + 3 a+ a+ 片 4. 元二次方程 x 2+ 3x+ m-1 = 0的两个实数根分别为 x 1, x 2. a, 18 .关于x 的a 2+ 4 a+ A _________ 4 _ ⑶(x i+ 1)(x2+ 1) =xi x 2 + (玉 + 乂2)+ 1 =3 — 6+ 1=— 2.11. 已知2 一寸5是关于 解：设方程的另一个根为 12. 已知关于x 的方程 b 是方程x 2 + x- 2 012 = 0的两个实数根，贝U a 2+ 2a+ b 的值为(A )B. 2 012D. 2 014••• a 是方程 x 2 + x-2 012= 0 的根，a 2+ a — 2 012= 0, a 2+ a= 2 012.又由根与a + b=- 1, ..a 2+ 2a+b = a 2 + a+ (a + b)= 2 012- 1= 2 011,故选 A.n 是方程x 2 + 2*x+ 1 = 0的两根，则代.数式^m 2+ n 2+ 3mn 的值为(C )C. 3D. 5x 的一元二次方程mx2— 4x+ 6= 0的两根为 x 1, x 2，且 x 1 + x 2= — 2,贝U m=(1)求m的取值范围；⑵若2(X1 + X2)+ X1X2 + 10 = 0,求m 的值.解：(1)：原方程有两个实数根，13. . △ = 9— 4(m— 1) >Q 解碍m^4，⑵由根与系数的关系，得X1 + x2=—3, X1X2= m—4 5 ,2 x (— 3) + (m — 1) + 10 = 0,解得m= — 3,符合题意.而履削新【解析】系数的关系得15. 已知m,A . 9B . 416. 已知关于(2) 若此方程有两个实数根X1, X2,且|X〔一X2 1=2,求k的值.解：(1)证明：△ = [ —(3k— 1)]2— 4k 2(k — 1) = k2+ 2k+ 1 = (k+ 1)2>0, 所以无论k为何实数，方程总有实数根；k(2)由根与系数关系，得X1+ X2=丝m, X1X一， 2 2• • (X1 —X2) = 4,即(X1 + X2) — 4X1X2= 4,整理，得3k2—2k—1 = 0. k ' k故(冷)2— (1)解碍k〔 = 1, k2 = 一三.3经检验，k〔= 1, k2= —1都是原分式方程的解，3. 」. 1• k1 = 1, k2= 一19.已知：关于X 的方程kX2- (3k- 1)X+ 2(k- 1)= 0.5 求证：无论k为何实数，方程总有实数根；。

一元二次方程的根与系数的关一、选择题1．[一元二次方程x 2－2x ＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．02．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个解为x ＝－1，则另一个解为 ( )A ．1B ．－3C ．3D ．43．若α，β是一元二次方程3x 2＋2x －9＝0的两个根，则βα＋αβ的值是 ( ) A.427 B ．－427 C ．－5827 D.58274．已知一元二次方程2x 2＋2x －1＝0的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，下列结论正确的是( )A ．x 1＋x 2＝1B ．x 1·x 2＝－1C ．|x 1|＜|x 2|D ．x 12＋x 1＝125．若关于x 的方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或26．若关于x 的方程x 2－(m 2－4)x ＋m ＝0的两个根互为相反数，则m 等于( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4二、填空题7．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝________．8．写出以3，－5为根且二次项系数为1的关于x 的一元二次方程是____________________．9．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－mx －6＝0的两个根，且x 1<x 2，x 1＋x 2＝1，则x 1＝________，x 2＝________．10．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则12x 1＋1＋12x 2＋1的值是________.11．一元二次方程x 2－4x ＋2＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12－4x 1＋2x 1x 2的值为________．12．若关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－1＝0的两实数根分别为x 1，x 2，且x 12＋x 22＝3，则m ＝________．三、解答题13．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两个实数根x1，x2满足x1x2＋x1＋x2＞0，求a的取值范围.14．已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝10，求m的值．15．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．(1)求证：无论p取何值，此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两个根x1，x2满足x12＋x22－x1x2＝3p2＋1，求p的值．16．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两个实数根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1x2，求k的值．17．若关于x 的一元二次方程x 2＋(k ＋3)x ＋k ＝0的一个根是－2，求k 的值与方程的另一个根．18．已知关于x 的方程x 2＋2x －k ＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若α，β是这个方程的两个实数根，求α1＋α＋β1＋β的值．18 已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0.(1)求证：无论k 取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当Rt △ABC 的斜边长a ＝31，且两条直角边长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．答案1．D.2．C.3．C.4．D.5．C.6．A.7．－3.8．x2＋2x－15＝09．x1＝－2，x2＝3.10．6.11．2.12．[0.13．解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×a＝4－4a≥0，解得a≤1.由韦达定理可得x1x2＝a，x1＋x2＝2.∵x1x2＋x1＋x2＞0，∴a＋2＞0，解得a＞－2，∴－2＜a≤1.14．解：(1)证明：∵b2－4ac＝[－(2m－2)]2－4(m2－2m)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2－2m，x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴(2m－2)2－2(m2－2m)＝10，∴m2－2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3.15．解：(1)证明：原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.∵b 2－4ac ＝(－5)2－4(6－p 2－p)＝25－24＋4p 2＋4p ＝4p 2＋4p ＋1＝(2p ＋1)2≥0， ∴无论p 取何值，此方程总有两个实数根．(2)∵原方程的两个根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－p 2－p.又∵x 12＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝3p 2＋1，∴52－3(6－p 2－p)＝3p 2＋1，∴25－18＋3p 2＋3p ＝3p 2＋1，∴3p ＝－6，∴p ＝－2.16．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4＝4k －3＞0，解得k ＞34. (2)∵k ＞34，∴x 1＋x 2＝－(2k ＋1)＜0. 又∵x 1x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0，∴|x 1|＋|x 2|＝－x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)＝2k ＋1.∵|x 1|＋|x 2|＝x 1x 2，∴2k ＋1＝k 2＋1，解得k 1＝0，k 2＝2.又∵k ＞34，∴k ＝2. 17．解：将x ＝－2代入原方程中，得4－2(k ＋3)＋k ＝0，解得k ＝－2.∵两根之积为k ，∴方程的另一个根为k －2＝－2－2＝1. 即k 的值为－2，方程的另一个根为1.18．解：(1)b 2－4ac ＝4＋4k.∵方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＞0，即4＋4k ＞0，∴k ＞－1.(2)由根与系数的关系可知α＋β＝－2，αβ＝－k ，∴α1＋α＋β1＋β＝α（1＋β）＋β（1＋α）（1＋α）（1＋β）＝α＋β＋2αβ1＋α＋β＋αβ＝－2－2k 1－2－k＝2. 17 解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4(4k －3)＝4k 2－12k ＋13＝4(k －32)2＋4＞0恒成立， ∴无论k 取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根．(2)根据勾股定理，得b 2＋c 2＝a 2＝31.∵两条直角边长b 和c 恰好是这个方程的两个根，∴b ＋c ＝2k ＋1，bc ＝4k －3.∵(b ＋c)2－2bc ＝b 2＋c 2＝31，∴(2k ＋1)2－2(4k －3)＝31，整理，得4k 2＋4k ＋1－8k ＋6－31＝0，即k 2－k －6＝0，解得k 1＝3，k 2＝－2(舍去)．∵b ＋c ＝2k ＋1＝7，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝31＋7.。

21.2.4一元二次方程根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系：如果方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根1x ，2x ，那么12x x +=a b -，12x x ⋅=ac 2.一元二次方程的根与系数的关系的重要变形公式（1）()2221212122x x x x x x +=+-； （2）()()221212124x x x x x x -=+-；（3）12121211x x x x x x ++=； （4）()212121221122x x x x x x x x x x +-+=一、单选题1．若方程3x 2-4x -4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=A ．-4B ．3C ．34-D ．34 2．如果关于x 的方程20x px q ++=的两根分别为13x =，21x =，那么p 、q 的值是（ ）. A ．3p =，4q = B ．4p =-，3q = C ．4p =，3q =- D ．3p =-，4q =-3．若关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=的两个实数根，.则k 的取值范围为（ ）A ．14k -＞B ．14k ≥-－1C ．104k k -≠＞且34D ．104k k ≥-≠且 4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1•x 2的值是（ ）A.3B.﹣3C.2D.﹣25．设x 1、x 2是一元二次方程x 2+x-3=0的两根，则x 13-4x 22+15等于（ ）A.8B.-4C.6D.0 6．已知关于x 的方程230x x a ++=有一个根为2-，则它的两根之积为( ) A ．3 B ．2 C ．2- D ．3-7．方程22m 1x mx 04--+=的大根与小根之差是 ( ） A ．0 B ．1 C ．m D ．m+1 8．一元二次方程2430x x +-=的两根为1x ，2x ，则12x x 的值是（ ） A ．4 B ．4- C ．3 D ．3- 9．已知12x x 、是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的两个实数根，且123x x +=，121=x x ，则a b 、的值分别是（ ）A ．-3，1B ．3，1C ．32-，-1D ．32-，1 10．已知方程 x 2-2x -3=0 的两个实数根为12,x x ，则代数式1212x x x x +-的值为（ ） A ．-5B ．5C ．-1D ．1二、填空题11．若x =x 的方程20x m -+=的一个根，则方程的另一个根是_________. 12．一元二次方程250x x a ++=的两根为m ，n ，若2mn =，则26m m n ++=______. 13．已知方程x 2+2x -2 = 0 ,则它的两根的倒数和为_________.14．设m ，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋n 2＝__________．三、解答题15．已知关于x 的方程()2110mx m x +++=（m 为常数） （1）求证：不论m 为何值，该方程总有实数根；（2）若该方程有一个根是1m，求m 的值。

人教版九年级上册数学21.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步练习一、单选题1．已知m ，n 是方程230x x +-=的两个实数根，则22022m n -+的值是（ ） A ．2026 B ．2025 C ．2024 D ．2023 2．设方程2840x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．2 3．设x 1，x 2是方程x 2﹣3x ＋3＝0的两个实数根，则x 12x 2＋x 1x 22的值为（ ） A ．9 B ．﹣9 C ．1 D ．﹣1 4．下列一元二次方程两实数根和等于-4的是（ ）A ．2340x x +-=B ．2440x x -+=C ．2450x x ++=D ．2440x x ++= 5．若关于x 的方程220x x a ++=两根异号，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．1a > C ．0a < D ．01a << 6．已知方程220x mx ++=的一个根是1，则它的另一个根是（ ） A ．1 B ．2 C ．2- D ．3 7．一元二次方程220x x --=的两个实数根为12x x ，，则21212x x x x ++的值是（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1 8．设α，β是一元二次方程2210x x +-=的两个根，则22αβ+的值是（ ） A ．－2 B ．2 C ．4 D ．6二、填空题9．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x 1＝－3，x 2＝5，则b ＋c ＝________．10．已知实数m ，n 分别满足等式2m 2+4m +1=0，2n 2+4n +1=0，则n m m n +=________． 11．设x 1，x 2是方程x 2﹣mx +m ﹣1＝0的两个根．若x 1+x 2＝3，则x 1x 2＝_____． 12．若一元二次方程2210x x --=的两根分别为12x x ，，则1212x x x x --的值为________．13．若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ＋2＝0的两个根，则x 12＋x 22＝________．14．已知关于x 的方程x 2+kx +4＝0的一个根为﹣3，则k ＝_____，另一个根为 _____．15．若x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个实数根，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝_____． 16．一元二次方程2x 2﹣x ﹣1＝0与2x 2﹣x +1＝0的所有实数根的和等于_____．三、解答题17．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋m ﹣1＝0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)设方程的两个根为x 1，x 2，且221210x x +=，求212()x x -．18．已知关于x 的方程x 2﹣4x ＋m ＝0的一个根为2(1)求m 的值及方程的另一个根．(2)设方程的两个根为x 1，x 2，求20212022121x x x +的值．19．已知关于x 的方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣2＝0．(1)若方程有两个实数根，求a 的取值范围；(2)若x ＝2是方程的一个根，求另一个根．20．已知关于x 的一元二次方程()2120x t x t --+-=． (1)求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；(2)当t 为何值时，方程的两个根互为倒数．参考答案：1．A2．A3．A4．D5．D6．B7．D8．D9．17-10．2或611．212．3-13．514．13343-15．116．117．(2)4或1618．(1)m＝1，另一个根为2(2)419．(1)112a≥-且0a≠(2)4a=，另一个根为14 x=20．(2)3t=。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系01 基础题知识点1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．(钦州中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋16＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是(A)A ．－10B ．10C ．－16D ．162．(怀化中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1x 2的值是(D)A ．2B ．－2C ．4D ．－33．(凉山中考)已知x 1，x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是(D)A ．－43 B.83 C ．－83 D.434．(眉山中考)已知一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)的值是－4．5．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 1＋x 2；解：x 1＋x 2＝3.(2)x 1x 2；解：x 1x 2＝－1.(3)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1)＝11.(4)1x 1＋1x 2； 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.(5)(x 1－1)(x 2－1)；解：(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－1－3＋1＝－3.(6)x 2x 1＋x 1x 2. 解：x 2x 1＋x 1x 2＝x 21＋x 22x 1x 2＝11－1＝－11.知识点2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值6．(雅安中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －k －1＝0的两根，且x 1x 2＝－3，则k 的值为(B)A ．1B ．2C ．3D ．47．(新疆中考)已知关于x 的方程x 2＋x －a ＝0的一个根为2，则另一个根是(A)A ．－3B ．－2C ．3D ．68．已知关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为－3和－1，则p ，q 的值分别为4，3．9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0.(1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2＝－12，求m 的值． 解：(1)证明：∵a ＝1，b ＝4m ＋1，c ＝2m －1，∴Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋8m ＋1－8m ＋4＝16m 2＋5.∵16m 2≥0，∴Δ＞0.∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)根据题意，得x 1＋x 2＝－(4m ＋1)，x 1x 2＝2m －1，∵1x 1＋1x 2＝－12，∴x 1＋x 2x 1x 2＝－12. ∴－（4m ＋1）2m －1＝－12， ∴m ＝－12.易错点 忽视隐含条件10．若关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0的两个根互为倒数，求a 的值．解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1．由根与系数的关系，得a 2＝1．解得a ＝±1．当a ＝1时，原方程化为x 2＋1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去a ＝1．所以a ＝－1．02 中档题11．(易错题)下列一元二次方程两实数根和为－4的是(D)A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝012．(烟台中考)若x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0的两个根，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为(D)A ．－1或2B ．1或－2C ．－2D ．113．(达州中考)设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝2__016．14．在解某个关于x 的一元二次方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，2，则这个方程为x 2－10x ＋9＝0．15．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，且m ≠n ，则n m ＋m n ＝－225． 16．(十堰中考)已知关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22＝16＋x 1x 2，求实数k 的值．解：(1)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(2k －1)2－4(k 2－1)＝－4k ＋5≥0，解得k ≤54. ∴实数k 的取值范围为k ≤54. (2)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2－1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16＋x 1x 2，∴(1－2k)2－2(k 2－1)＝16＋(k 2－1)，即k 2－4k －12＝0，解得k ＝－2或k ＝6(不符合题意，舍去)．∴实数k 的值为－2.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0.(1)求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当Rt △ABC 的斜边长a 为31，且两条直角边的长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．解：(1)证明：Δ＝[－(2k ＋1)]2－4(4k －3)＝4k 2－12k ＋13＝(2k －3)2＋4.∵(2k －3)2≥0，∴(2k －3)2＋4＞0，即Δ＞0，∴无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)∵b ，c 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0的两个根，∴b ＋c ＝2k ＋1，bc ＝4k －3.∵a 2＝b 2＋c 2，a ＝31，∴k 2－k －6＝0.∴k 1＝3，k 2＝－2.∵b ，c 均为正数，∴4k －3＞0.∴k ＝3.此时原方程为x 2－7x ＋9＝0，∴b ＋c ＝7.∴△ABC 的周长为7＋31.03 综合题18．(换元思想)阅读材料：材料1 若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 材料2 已知实数m 、n 满足m 2－m －1＝0，n 2－n －1＝0，且m ≠n ，求n m ＋m n的值． 解：由题知m ，n 是方程x 2－x －1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m ＋n ＝1，mn ＝－1.∴n m ＋m n ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn ＝1＋2－1＝－3. 根据上述材料解决下面的问题：(1)一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－3；(2)已知实数m ，n 满足2m 2－2m －1＝0，2n 2－2n －1＝0，且m ≠n ，求m 2n ＋mn 2的值；(3)已知实数p ，q 满足p 2＝3p ＋2，2q 2＝3q ＋1，且p ≠2q ，求p 2＋4q 2的值．解：(2)∵m ，n 满足2m 2－2m －1＝0，2n 2－2n －1＝0，∴m ，n 可看作方程2x 2－2x －1＝0的两实数根．∴m ＋n ＝1，mn ＝－12. ∴m 2n ＋mn 2＝mn(m ＋n)＝－12×1＝－12. (3)设t ＝2q ，代入2q 2＝3q ＋1化简为t 2＝3t ＋2，则p 与t(即2q)为方程x 2－3x －2＝0的两实数根，∴p ＋2q ＝3，p·2q ＝－2，∴p 2＋4q 2＝(p ＋2q)2－2p·2q ＝32－2×(－2)＝13.。

第二十一章一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜02．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是A．2 B．﹣1C．2或﹣1 D．不存在3．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为A．﹣2 B．1C．2 D．04．已知关于x的一元二次方程kx2−2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是A．k<1 B．k≤1C．k≤1且k≠0 D．k<1且k≠05．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足= −1，则m 的值是A．3或−1 B．3C．−1 D．−3 或16．关于x的方程的两根互为相反数，则k的值是A．2 B．±2C．−2 D．−3二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．一元二次方程的两根为,则的值为__________．8．设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________．9．方程的两个根为、，则的值等于__________．10．若是一元二次方程x²−6x−2=0的两个实数根，则=__________．11．已知方程x2−mx−3m＝0的两根是x1、x2，若x1＋x2＝1，则x1x2＝__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．已知关于的一元二次方程.（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根，满足，求的值.13．已知关于x的一元二次方程x2＋（m−1）x−2m2＋m＝0（m为实数）有两个实数根x1，x2．（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x12＋x22＝2，求m的值．第二十一章一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【答案】AC、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1，x2异号，结论D错误．故选A．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是A．2 B．﹣1C．2或﹣1 D．不存在【答案】A∴x1+x2=，x1x2=，∵=4m，∴=4m，∴m=2或﹣1，∵m＞﹣1，∴m=2，故选A．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式 ＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于﹣、两根之积等于．3．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为A．﹣2 B．1C．2 D．0【答案】D【解析】∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0．故选D．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．4．已知关于x 的一元二次方程kx 2−2x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是 A ．k <1B ．k ≤1C ．k ≤1且k ≠0D ．k <1且k ≠0【答案】C【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+ (2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足= −1，则m的值是A ．3或 −1B ．3C ．−1D ．−3 或 1【答案】B【解析】∵α、β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根； ∴α+β=−2m −3,α⋅β=m 2， ∴==223m m --=−1， ∴m 2−2m −3=0， 解得m =3或m =−1.∵一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0有两个不相等的实数根， ∴∆=(2m +3)2−4×1×m 2=12m +9>0， ∴m >−，∴m =−1不合题意舍去， ∴m =3.【名师点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，根据根与系数的关系结合=1，找出关于m的方程是解题的关键.6．关于x的方程的两根互为相反数，则k的值是A．2 B．±2C．−2 D．−3【答案】C【名师点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解决本题的关键.二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．一元二次方程的两根为,则的值为__________．【答案】2【解析】由题意得：+2=0，=2，∴=−2，=4，∴=−2+4=2，故答案为：2.【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.8．设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________．【答案】，【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，=−，=.9．方程的两个根为、，则的值等于__________．【答案】3【解析】根据题意得，，所以===3．故答案为3．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．10．若是一元二次方程x²−6x−2=0的两个实数根，则=__________．【答案】6【解析】∵x1+x2=﹣，∴x1+x2=6．故答案为：6．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．11．已知方程x2−mx−3m＝0的两根是x1、x2，若x1＋x2＝1，则x1x2＝__________．【答案】−3【解析】∵，∴．【名师点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题型．理解根与系数的关系的公式是解决这个问题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．已知关于的一元二次方程.（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根，满足，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）−2.【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当 ≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22−x1x2=3p2+1，求出p值．13．已知关于x的一元二次方程x2＋（m−1）x−2m2＋m＝0（m为实数）有两个实数根x1，x2．（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x12＋x22＝2，求m的值．【答案】（1）;（2），.【名师点睛】本题是常见的根的判别式、根与系数关系的结合试题.把求未知系数m的问题转化为解方程问题是解决本题的关键.。