一元二次方程单元测试卷(解析版)

第21章一元二次方程单元测试一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝02．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣1 3．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0 4．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3＝24.2B．20（1﹣x）2＝24.2C．20+20（1+x）2＝24.2D．20（1+x）2＝24.25．（3分）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥16．（3分）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是（）A．1B．﹣1C．0D．以上答案都不是7．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的只有（）A．①②B．②③C．③④D．①④8．（3分）解方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法9．（3分）以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或23B．17C．23D．以上都不对10．（3分）已知（x+y）（x+y+2）﹣8＝0，则x+y的值是（）A．﹣4或2B．﹣2或4C．2或﹣3D．3或﹣2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．12．（3分）将方程x2﹣2x+1＝4﹣3x化为一般形式为．13．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x＝1，则b2﹣4ac＝．14．（3分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值．15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m 的值为．16．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（16分）用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．20．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？21．（7分）某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？22．（7分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？铅笔的零售价每支多少元？批发价每支应为多少元？（用含x、m的代数式表示）（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值．23．（7分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？24．（8分）已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1＝0，②x2+x﹣2＝0，③x2+2x﹣3＝0，④x2+3x﹣4＝0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①，②，③，④．（2）猜想：第n个方程为，其解为．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．25．（9分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝0解：A．x+2y＝0含有两个未知数，不合题意；B．x2﹣4y＝0含有两个未知数，不合题意；C．x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意；D．x+1＝0中未知数的最高次数不是2次，不合题意；故选：C．2．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣1解：∵（x﹣1）2＝0，∴x﹣1＝0，x＝1，即x1＝x2＝1，故选：C．3．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0解：∵方程的两根分别为2和3，∴2+3＝5，2×3＝6，∴方程为x2﹣5x+6＝0．故选：D．4．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3＝24.2B．20（1﹣x）2＝24.2C．20+20（1+x）2＝24.2D．20（1+x）2＝24.2解：设这个增长率为x，由题意得，20（1+x）2＝24.2．故选：D．5．（3分）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥1解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，∴△＝（﹣6）2﹣4×9k＞0，解得k＜1．故选：A．6．（3分）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是（）A．1B．﹣1C．0D．以上答案都不是解：∵方程x2+bx+a＝0有一个根是1，∴1+b+a＝0，∴a+b＝﹣1．故选：B．7．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的只有（）A．①②B．②③C．③④D．①④解：①因为a+c＝0，a≠0，所以①a、c异号，所以△＝b2﹣4ac＞0，所以方程有两个实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，所以方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；若c＝0，则方程cx2+bx+a＝0为一次，没有两个不等实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，当c＝0时，ac+b+1＝0不一定成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以有am2+bm+c＝0，即am2＝﹣（bm+c），而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2＝﹣4abm﹣4ac+4abm+b2＝b2﹣4ac．所以①④成立．故选：D．8．（3分）解方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法解：方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是直接开平方法．故选：A．9．（3分）以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或23B．17C．23D．以上都不对解：x2﹣14x+40＝0，（x﹣4）（x﹣10）＝0，x﹣4＝0或x﹣10＝0，所以x1＝4，x2＝10，因为4+4＜9，不符合三角形三边的关系，所以三角形的第三边长是10，所以三角形的周长＝4+9+10＝23．故选：C．10．（3分）已知（x+y）（x+y+2）﹣8＝0，则x+y的值是（）A．﹣4或2B．﹣2或4C．2或﹣3D．3或﹣2解：设x+y＝a，原方程可化为a（a+2）﹣8＝0即：a2+2a﹣8＝0解得a1＝2，a2＝﹣4∴x+y＝2或﹣4故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝﹣1．解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴|m|＝1，m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．（3分）将方程x2﹣2x+1＝4﹣3x化为一般形式为x2+x﹣3＝0．解：方程整理得：x2+x﹣3＝0，故答案为：x2+x﹣3＝013．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x＝1，则b2﹣4ac＝17．解：由原方程，得2x2﹣3x﹣1＝0，∴二次项系数a＝2，一次项系数b＝﹣3，常数项c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17；故答案是：17．14．（3分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值﹣1．解：把x＝2代入方程x2+px﹣2＝0得4+2p﹣2＝0，解得p＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m 的值为1．解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1．∵x1+x2＝1﹣x1x2，即2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），∴m1＝﹣2，m2＝1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，解得：m≥﹣1，∴m＝1．故答案为：1．16．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为x＝3或x＝﹣7．解：据题意得，∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52∴x2+4x﹣21＝0，∴（x﹣3）（x+7）＝0，∴x＝3或x＝﹣7．故答案为：x＝3或x＝﹣7三．解答题（共9小题，满分72分）17．（16分）用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，移项，得3（2x﹣1）2＝12，两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4，两边开平方，得2x﹣1＝±2，移项，得2x＝1±2，解得：x1＝，x2＝﹣；（2）2x2﹣4x﹣7＝0，两边都除以2，得x2﹣2x﹣＝0，移项，得x2﹣2x＝，配方，得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，解得：x﹣1＝±，即x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x2+x﹣1＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，∴x＝，解得：x1＝，x2＝；（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0，方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0，解得：x1＝，x2＝1．18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．解：（1）∵△＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，解得a＝，将a＝代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，即（x﹣1）（2x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣，∴该方程的另一个根﹣．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．解：（1）由题意有△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得，∴实数m的取值范围是；（2）由两根关系，得根x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1•x2＝m2，由x12﹣x22＝0得（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，若x1+x2＝0，即﹣（2m﹣1）＝0，解得，∵＞，∴不合题意，舍去，若x1﹣x2＝0，即x1＝x2∴△＝0，由（1）知，故当x12﹣x22＝0时，．20．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意得出：200（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣（200+50x）]＝1250，即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）＝1250，整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴10﹣1＝9．答：第二周的销售价格为9元．21．（7分）某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？解：（1）设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x＝16，整理得（1+x）2＝16，则x+1＝4或x+1＝﹣4，解得x1＝3，x2＝﹣5（舍去）．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑；（2）∵n轮后，有（1+x）n台电脑被感染，故（1+3）n＝4n，∵n＝3时，43＝64，n＝4时，44＝256．答：4轮感染后机房内所有电脑都被感染．22．（7分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？铅笔的零售价每支多少元？批发价每支应为多少元？（用含x、m的代数式表示）（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值．解：（1）由题意可得，，解得，241≤x≤300，即x的取值范围是：241≤x≤300（x为正整数）；铅笔的零售价每支应为：元；铅笔的批发价每支应为：元；（2）由题意可得，15×﹣15×＝1，化简，得x2+60x﹣900（m2﹣1）＝0，解得，x1＝30（m﹣1），x2＝﹣30（m+1）（舍去），∴241≤30（m﹣1）≤300，解得，≤m≤11，∴m＝10或m＝11，当m＝10时，m2﹣1＝99＜100，故m＝10不合题意，舍去，当m＝11时，m2﹣1＝120＞100，符合题意，∴m＝11，∴x＝30（m﹣1）＝300，经检验x＝300是原分式方程的解，答：初三年级共有300名学生，m的值是11．23．（7分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，∴（6﹣x）•2x＝××6×8，∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（2）设t秒后，△PBQ的面积为1①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时此时0＜t≤4由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+（不合题意，应舍去），t2＝5﹣，②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时此时4＜t≤6，由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时此时t＞6，由题意知：（t﹣6）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+，t2＝5﹣，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．24．（8分）已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1＝0，②x2+x﹣2＝0，③x2+2x﹣3＝0，④x2+3x﹣4＝0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①x1＝1，x2＝﹣1，②x1＝1，x2＝﹣2，③x1＝1，x2＝﹣3，④x1＝1，x2＝﹣4．（2）猜想：第n个方程为x2+（n﹣1）x﹣n＝0，其解为x1＝1，x2＝﹣n．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．解：（1）①（x+1）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣1．②（x+2）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2．③（x+3）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3．④（x+4）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣4．（2）由（1）找出规律，可写出第n个方程为：x2+（n﹣1）x﹣n＝0，（x﹣1）（x+n）＝0，解得x1＝1，x n＝﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c＝0；b2﹣4ac＝（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．故答案是：（1）①x1＝1，x2＝﹣1．②x1＝1，x2＝﹣2．③x1＝1，x2＝﹣3．④x1＝1，x2＝﹣4．（2）x2+（n﹣1）x﹣n＝0；x1＝1，x2＝﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c＝0；b2﹣4ac＝（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．25．（9分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∵﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．。

第2章一元二次方程单元测试卷一．选择题（共10小题，3*10=30）1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．2．把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，3，23．下列方程中，一元二次方程共有（）个①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1B．2C．3D．44．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为（）A．0B．1C．3D．不确定5．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1B．x1=0，x2=5C．x1=﹣3，x2=5D．x1=﹣6，x2=26．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长7．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2D．2＜a＜38．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根9．已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定10．宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890二．填空题（共8小题，3*8=24）11．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=．12．方程3x2=5x+2的二次项系数为，一次项系数为．13．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=．14．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为．15．一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为．16．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为．17．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为．18．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x=．三．解答题（共7小题，46分）19．（6分）解方程（1）6x2﹣x﹣12=0（用配方法）（2）（x+4）2=5（x+4）20．（6分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程．21．（6分）一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．22．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．23．（6分）先阅读，再解题解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化y2﹣5y+4=0，解得y1=1；y2=4，当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2，当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所原方程的解为x1=2，x2=5请利用上述这种方法解方程：（3x﹣5）2﹣4（5﹣3x）+3=0．24．（8分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．25．（8分）如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ 的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．2．把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12 D．1，3，2【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得x2﹣3x+10=0，∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．下列方程中，一元二次方程共有（）个①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1B．2C．3D．4【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；③+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．一元二次方程共有2个．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．4．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为（）A．0B．1C．3D．不确定【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．【解答】解：把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，（a+b+c）（a2+a+1）=0，∵a2+a+1=（a+）2+＞0，∴a+b+c=0，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．5．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1B．x1=0，x2=5C．x1=﹣3，x2=5D．x1=﹣6，x2=2【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．【解答】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．6．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，整理得：x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2D．2＜a＜3【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．8．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴，∴b=a+1或b=﹣（a+1）．当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．9．已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定【分析】可令Q﹣P，将所得代数式配成完全平方式，再根据非负数的性质来判断所得代数式的符号，进而得出P、Q的大小关系．【解答】解：由题意，知：Q﹣P=m2﹣m﹣m+1=m2﹣m+1=m2﹣m++=（m﹣）2+；由于（m﹣）2≥0，所以（m﹣）2+＞0；因此Q﹣P＞0，即Q＞P．故选：C．【点评】熟练掌握完全平方公式，并能正确的对代数式进行配方是解答此类题的关键．10．宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．【解答】解：设房价定为x元，根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．故选：B．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．二．填空题（共8小题）11．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=1．【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2﹣1=0，∴a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．12．方程3x2=5x+2的二次项系数为3，一次项系数为﹣5．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：∵3x2=5x+2的一般形式为3x2﹣5x﹣2=0，∴二次项系数为3，一次项系数为﹣5．【点评】此题主要考查确定一元二次方程的各项系数的方法．要求一元二次方程的系数首先必须把方程化成一般形式，才能确定各项系数．13．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=4．【分析】利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m ﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．【解答】解：由题意两根不相等，∵x2=，∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax2=b的两个根分别是2与﹣2，∴=2，∴=4．故答案为：4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．14．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为1．【分析】根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．15．一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为2．【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12﹣4x1=﹣2、x1x2=2，将其代入x12﹣4x1+2x1x2中即可求出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1、x2，∴x12﹣4x1=﹣2，x1x2=2，∴x12﹣4x1+2x1x2=﹣2+2×2=2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．16．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为16．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．【解答】解：解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．17．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为x（x﹣1）=21．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为：x（x﹣1）=21．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．18．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x=﹣3．【分析】根据题意列出方程x2+6x+3=5，即x2+6x﹣2=0，公式法求解可得．【解答】解：根据题意，得：x2+6x+3=5，即x2+6x﹣2=0，∵a=1，b=6，c=﹣2，∴△=36﹣4×1×（﹣2）=44＞0，则x==﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．（1）6x2﹣x﹣12=0（用配方法）（2）（x+4）2=5（x+4）【分析】（1）先把二次系数化为1得到x2﹣x=2，两边加上的平方后得到（x﹣）2=，然后利用直接开平方法求解；（2）先移项得到（x+4）2﹣5（x+4）=0，方程左边分解得（x+4）（x+4﹣5）=0，原方程化为x+4=0或x+4﹣5=0，然后解一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣x=2，x2﹣x+（）2=2+（）2，∵（x﹣）2=，∴x﹣=±，∴x1=，x2=﹣；（2）∵（x+4）2﹣5（x+4）=0，∴（x+4）（x+4﹣5）=0，∴x+4=0或x+4﹣5=0，∴x1=﹣4，x2=1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．也考查了配方法解一元二次方程．20．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可；（2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可．【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，解得k＞﹣3；（2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．【分析】首先表示出无盖长方体盒子的底面长为（4﹣2x）dm，宽为（3﹣2x）dm再根据长方形的面积可得方程（4﹣2x）（3﹣2x）=4×3×．【解答】解：由题意得：无盖长方体盒子的底面长为（4﹣2x）dm，宽为（3﹣2x）dm，由题意得，（4﹣2x）（3﹣2x）=4×3×，整理得：2x2﹣7x+3=0，【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意表示出无盖长方体盒子的长与宽．22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．【分析】设每件衬衫应降价x元，利润为w元，由于每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，所以降价x元后每天可以售出：（20+2x）件，此时每件盈利：（40﹣x）元，每天盈利w=（20+2x）（40﹣x），求出极值即可得出答案．【解答】解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，根据题意，商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数，则有w=（20+2x）（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250即当x=15时，w有最大值，为1250，答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为1250．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据降价后销量的变化得出等式方程是解题关键．23．先阅读，再解题解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化y2﹣5y+4=0，解得y1=1；y2=4，当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2，当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所原方程的解为x1=2，x2=5请利用上述这种方法解方程：（3x﹣5）2﹣4（5﹣3x）+3=0．【分析】把3x﹣5看作一个整体，设y=3x﹣5，把原方程转化为y2+4y+3=0，求得方程的解，进一步代入求得原方程的解．【解答】解：设y=3x﹣5，则原方程转化为y2+4y+3=0，解得：y1=﹣1；y2=﹣3，当y=﹣1时，即3x﹣5=﹣1，解得x=，当y=﹣3时，即3x﹣5=﹣3，解得x=，所以原方程的解为x1=，x2=．【点评】此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体代换的思想是解决问题的关键．24．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S=ab=1．△ABC【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．25．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ 的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB 上（x＞6）；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有（6﹣x）•2x=8，解得x1=2，x2=4，经检验，x1，x2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有△ABC的面积=×6×8=24，（6﹣y）•2y=12，y2﹣6y+12=0，∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），设经过m秒，依题意有（6﹣m）（8﹣2m）=1，m2﹣10m+23=0，解得m1=5+，m2=5﹣，经检验，m1=5+不符合题意，舍去，∴m=5﹣；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6），设经过n秒，依题意有（6﹣n）（2n﹣8）=1，n2﹣10n+25=0，解得n1=n2=5，经检验，n=5符合题意．③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），设经过k秒，依题意有（k﹣6）（2k﹣8）=1，k2﹣10k+23=0，解得k1=5+，k2=5﹣，经检验，k1=5﹣不符合题意，舍去，∴k=5+；综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．。

一元二次方程 单元测试总分：120分考生姓名：注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：第二章（一元二次方程）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

1．一元二次方程220x x --=的解是（ ）A ．11x =，22x =B ．11x =，22x =-C ．11x =-，22x =-D ．11x =-，22x =2．关于的一元二次方程2310x kx +-=A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．只有一个实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程解是解题的关键．先根据已知方程，求出根的判别式，然后根据判别式的正负，判断方程根的情况即可．【详解】解：在关于x 的一元二次方程22310x kx +-=中，2a =，3b k =，1c =-，22Δ498b ac k =-=+，因为20k ＞，所以22Δ4980b ac k =-=+＞，所以关于x 的一元二次方程22310x kx +-=根的情况是有两个不相等的实数根．故选A ．3．为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程（ ）A ．()245120x -=B ．()220145x -=C ．()245120x +=D ．()220145x +=【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出形如2(1+)m x n =的方程即可．【详解】根据题意，得220(1)45x +=．故选：D ．4．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．040x x +-=2021m m ++A ．2021B ．2023C ．2025D ．2029【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得240m m +-=，从而可得24m m +=，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值．【详解】解：∵x m =是方程240x x +-=的根，∴240m m +-=，∴24m m +=，∴22021420212025m m ++=+=．故选：C ．6．已知关于x 的方程()2120x m x +--=的两实数根为1x ，2x ，若12122x x x x --=，则m 的值为（ ）A ．1B ．5-C ．3D ．50x bx c ++=是（ ）x1 1.1 1.2 1.3x ²+bx +c -2-0.590.84 2.29A ．1 1.1x <<B ．1.1 1.2x <<C ．1.2 1.3x <<D ． 1.3x > 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用 1.1x =时，20ax bx c ++<，而 1.2x =时，20ax bx c ++>可判断当1.1 1.2x <<时，其中有一个x 的值满足20ax bx c ++=，即可得答案．【详解】解：∵ 1.1x =时， 20.590ax bx c ++=-<，1.2x =时，20.840ax bx c ++=>，∴当1.1 1.2x <<时，其中有一个x 的值满足20ax bx c ++=，即一元二次方程20ax bx c ++=其中一个解的取值范围是1.1 1.2x <<．故选：B ．8．如图，在长为32m ，宽为20m 的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为2100m ，设小路的宽为m x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．32203220100x x ´--=B ．23220100x x x +=+C ．()()23220100x x x --+=D ．()()3220100x x --=9．用换元法解方程()223121x x x x --=-时，设21x y x =-，则原方程化为y 的整式方程为（ ）A ．23610y y -+=B ．2230y y --=C ．22310y y -+=D ．2320y y --=【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技位置，连接C B¢，若2C B¢=，则AC的长为（ ）A．4B C-D由题意得：60BAB ¢Ð=∴ABB ¢V 为等边三角形，∴60ABB AB ¢Ð=°=，在ABC ¢△与B BC ¢¢V 中，AB B B AC B C =ìï=¢¢¢¢第Ⅱ卷二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11．方程23251x x x -=-的一次项是 ．【答案】7x-【分析】本题考查了一元二次方程的概念，以及一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将23251x x x -=-化为一般形式即可求得出其一次项．【详解】解：23251x x x -=-，移项并合并同类项得：23710x x -+=，\方程的一次项为7x -，故答案为：7x -．12．用公式法解方程2420x x --=，其中24b ac -的值是 ．【答案】24【分析】本题考查判别式的计算，由一般式得到a b c 、、的值，代入24b ac -计算即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键．【详解】解：Q 2420x x --=，\()()224441216824b ac =--´-=+=-´，故答案为：24．13．若一元二次方程220ax x c ++=的两个不相等的实数根分别为12,x x ，且1212x x x x +=，则a 的取值范围是 ．14．定义运算：21m n mn mn =--☆．例如：242424217=´-´-=☆，则方程的根的情况为 【答案】没有实数根【分析】本题主要考查了新定义和一元二次方程根的判别式，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后求出判别式24b ac -的值，再进行判断即可．【详解】解：∵21m n mn mn =--☆，且()10x -=☆∴()2110x x ---×-=∴210x x -+-=∵1,1,1a b c =-==-∴()()22414111430b ac -=-´-´-=-=-<，∴方程没有实数根，故答案为：没有实数根．15．如图，将边长为21x +的正方形沿两边剪去宽相同的矩形，剩下的部分是一个边长为4的正方形，已知剪去部分的面积为9，则x ＝ ．中有8个“●”和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第3个图形中有24个“●”和9个“★”，LL ，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的2倍．【答案】16【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，解一元二次方程，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律及掌握解一元二次方程．【详解】解：由第1个图形中有8个“●”和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第3个图形中有24个“●”和9个“★”，L ，∴第n 个图形中有8n 个“●”和2n 个“★”，∵图形中“★”的个数是“●”的个数的2倍，∴228n n =´，解得：116n =，20n =（舍去），故答案为：16．17．如果m n 、是两个不相等的实数，23m m -=，23n n -=，那么代数式2222021n mn m -++ ．故答案为：2032．18．如图，在矩形ABCD 中，10cm AB =，8cm AD =，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动，当t = 秒时，P ，D 两点之间的距离是P ，Q 两点之间距离的2倍．【答案】3【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，设s t 时，P ，D 两点之间的距离是P ，Q 两点之间距离的2倍，根据矩形的性质和勾股定理得到224PD PQ =，进而列出一元二次方程求解，即可解题．【详解】解：设s t 时，P ，D 两点之间的距离是P ，Q 两点之间距离的2倍，即2PD PQ =，又Q 四边形ABCD 是矩形，故90A B Ð=Ð=°，故222222PD AP AD PQ BP BQì=+í=+î，Q 2PD PQ =，\224PD PQ =，\22228(2)4(102)t t t éù+=-+ëû，解得13t =，27t =，当7t =时，1020t -<，故舍去，\3t =．故t 为3s 时，P ，D 两点之间的距离是P ，Q 两点之间的距离的2倍．故答案为：3．三、解答题：本题共8小题，共66分．19．解下列方程：(1)()()()1222x x x -+=+(2)23108x x +=20．已知：0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求代数式22121m m m --+的值．21．已知关于x 的一元二次方程．(1)求证：无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根1x 、2x 是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k 的值．22．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？【答案】6【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算．【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了x 个人，列方程得：()2149x +=，解得：16x =，28x =-（舍去），答：每轮传染巾平均一个人传染了6个人．23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．求：(1)若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利多少元？(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？110x \=应舍去，20x \=，答：若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元．24．“20a ³”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：()222817816141x x x x x -+=-++=-+，∵()240x -³，∴()2411x -+³，∴28171x x -+³，试利用“配方法”解决下列问题：(1)如果222461461461a a b c b b c a c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î，那么a b c ++的值为 ．(2)已知2282170x x y y ++++=，求x y +的值；方程为“差积方程”．例如：()1102x x æö--=ç÷èø是差积方程．(1)下列方程是“差积方程”的是 ；①26510x x -+=②23840x x ++=③240x x -=(2)若方程()2220x m x m -++=是“差积方程”，直接写出m 的值；(3)当方程()200ax bx c a ++=¹为“差积方程”时，写出a 、b 、c 满足的数量关系并证明．(1)求B 点的坐标；(2)如图2，点C 是x 轴正半轴上一点，横坐标为t ，ABC V 的面积为S ，试求S 与t 的函数关系式；(3)如图3，D 是EBC Ð的角平分线BM 上一点，BD 与CE 交于点F ，当BDC ECB FBC Ð=Ð-Ð时，2BE OC =，BD =，求点F 的坐标．，。

一、选择题1．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ）A ．10%B ．29%C ．81%D ．14.5% 2．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ）A ．()50166x +=B ．()250166x +=C ．()2501266x +=D ．()()5011266x x ++=3．x=－2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．1或4 B ．－1或－4 C ．－1或4D ．1或－4 4．方程22x x =的解是（ ） A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x =D ．10x =，22x = 5．小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是xD ．有两个相等的实数根 6．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2104x x -+=B ．2390x x ++=C ．2250x x -+=D ．25130x x -= 7．用配方法解方程23620x x -+=时，方程可变形为（ ）A ．21(3)3x -=B ．21(1)33x -=C ．21(1)3-=xD ．2(31)1x -=8．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．x 2+65x-350=0B ．x 2+130x-1400=0C ．x 2-130x-1400=0D ．x 2-65x-350=0 9．关于x 的方程()---=2a 3x 4x 10有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥-且3a ≠B ．1a >-且3a ≠C ．1a ≥-D ．1a >- 10．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，则ab ﹣mn 的值为（ ）A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1 11．已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx （k ≠1），则方程根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两不等实数根C ．有两相等实数根D ．无法确定 12．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为（ ）A 31B ．31C 31或31D ．无法确定二、填空题13．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．14．已知方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，则方程2(3)2(3)30x x +++-=的解是_____．15．关于x 的方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根，则k =_______． 16．一元二次方程x 2-10x+25＝2（x ﹣5）的解为____________．17．设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则m+n ＝_____．18．一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为______．19．若t 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根，则判别式24b ac =-△与完全平方式()22M at b =+的大小关系为___________20．函数()2835m y m x -=+-是一次函数，则m =______．三、解答题21．已知关于x 的方程()2222x kx x k +=--，当k 取何值时，此方程（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．22．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm =？（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC Scm =？（3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？23．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，我市一家“大学生自主创业”的快递公司，今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别是10万件和12.1万件，现假设该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的22名快递业务员能否完成今年10月份的快递投递任务？请说明理由．24．计算题（1）解方程：2690x x ++= （2）解不等式组：3152(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩ 25．若关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +1=0的两根是x 1，x 2，且x 12+x 22=24，求m 的值． 26．用一块边长为70cm 的正方形薄钢片制作一个长方体盒子．（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．当做成的盒子的底面积为2900cm 时，求该盒子的容积；（2）如果要做成一个有盖的长方体盒子，制作方案要求同时符合下列两个条件： ①必须在薄钢片的四个角上截去一个四边形（如图③阴影部分），②沿虚线折合后薄钢片即无空隙又不重叠地围成各盒面，求当底面积为2800cm 时，该盒子的高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ，根据题意得，()2100181x -=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．D解析：D【分析】根据2月份的营业额=1月份的营业额×（1+x ），3月份的营业额=2月份的营业额×（1+2x ），把相关数值代入即可得到相应方程．【详解】解：∵1月份的营业额为50万元，2月份的营业额比1月份增加x ，∴2月份的营业额=50×（1+x ），∴3月份的营业额=50×（1+x ）×（1+2x ），∴可列方程为：50（1+x ）（1+2x ）=66．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．注意先求得2月份的营业额．3．D解析：D【分析】根据一元二次方程的解的定义知，x=－2满足关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，可得出关于a 的方程，通过解方程即可求得a 的值．【详解】解：将x=－2代入一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，得：()()222-23-2-20a a ⨯+⋅=，化简得：2+340a a -=，解得：a=1或a=-4．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该一元二次方程的关系式．4．C解析：C【分析】移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．【详解】解：移项，得220x x -=，因式分解，得()20x x -=，∴0x =或20x -=，解得10x =，22x =，故选：C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 5．A解析：A【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再利用根的判别式求出答案．【详解】∵小刚在解关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-，∴()()21410c -+⨯-+=， 解得：3c =，∵核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，故原方程中5c =，则224441540b ac =-=-⨯⨯=-<，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，正确利用方程的解得出c 的值是解题关键．6．D解析：D【分析】先把各方程化为一般式，再分别计算方程根的判别式，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】A 、()221414104b ac =-=--⨯⨯=，方程有两个相等的两个实数根；B 、2243419270b ac =-=-⨯⨯=-<，方程没有实数根；C 、()2242415160b ac =-=--⨯⨯=-<，方程没有实数根；D 、()224134501690b ac =-=--⨯⨯=>，方程有两个不相等的两个实数根； 故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 7．C解析：C【分析】先移项得到2362x x -=-，再把方程两边都除以3，然后把方程两边加上1即可得到()2113x -=． 【详解】移项得：2362x x -=-，二次系数化为1得：2223x x -=-， 方程两边加上1得：222113x x -+=-+， 所以()2113x -=． 故选：C ．【点睛】 本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 8．A解析：A【分析】本题可设长为（80+2x ），宽为（50+2x ），再根据面积公式列出方程，化简即可．【详解】解：依题意得：（80+2x ）（50+2x ）=5400，即4000+260x+4x 2=5400，化简为：4x 2+260x-1400=0，即x 2+65x-350=0．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．9．B解析：B【分析】方程有两个不相等的实数根，显然原方程应该是关于x的一元二次方程，因此得到二次项系数不为0即当a-3≠0时，且判别式0∆>即可得到答案．【详解】∵关于x的方程()32a x4x10---=有两个不相等的实数根∴a-3≠0，且2=(4)4(3)(1)440a a∆--⨯-⨯-=+>解得：1a≥-且a≠3故选B．【点睛】本题主要考查方程的解，一元二次方程的根的判别式，根据判别式，列出关于参数a的不等式，是解题的关键．10．C解析：C【分析】先把已知条件变形得到a2+(m+n) a+mn﹣2＝0，b2+( m+n) b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作方程x2+( m+n) x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的值．【详解】解：∵(a+m)( a+n)＝2，(b+m)( b+n)＝2，∴a2+( m+n)a+mn﹣2＝0，b2+( m+n)b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n为互不相等的实数，∴可以把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两个实数根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法，理解代数思想，把“a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根”是解题关键．11．B解析：B【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△21432k⎛⎫=-+⎪⎝⎭＞0，由此即可得出：无论k（k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【详解】在方程()21210--+=k x kx 中， ∵1a k =-，2b k =-，1c =，∴()()224241b ac k k =-=--- 214302k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， ∴无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”． 12．C解析：C【分析】先根据数值运算程序可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解方程即可得．【详解】由题意得：()2319x --=-， ()213x -=，1-=x ，1x =±即1x =或1x =，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据数值运算程序正确建立方程是解题关键．二、填空题13．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．14．【分析】把（x+3）看成一个整体另一个方程和已知方程的结构形式完全相同所以x+3与已知方程的解也相同根据此题意解题即可【详解】解：∵是已知方程的解由于另一个方程与已知方程的形式完全相同∴x+3=1或解析：122,6x x =-=-【分析】把（x+3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以x+3与已知方程的解也相同，根据此题意解题即可．【详解】解：∵ 1213x x ==-，是已知方程2230x x +-=的解，由于另一个方程()()232330x x +++-=与已知方程的形式完全相同，∴x+3=1或x+3=﹣3，解得：1226x x =-=-，．故答案为：1226x x =-=-，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1和x+3=-3是解此题的关键，此题属于换元法解方程． 15．-1【分析】根据方程有两个相等的实数根可得判别式△=0可得关于k 的一元二次方程解方程求出k 值即可得答案【详解】∵方程有两个相等的实数根∴解得：k1=k2=-1故答案为：-1【点睛】此题主要考查了根的解析：-1【分析】根据方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根可得判别式△=0，可得关于k 的一元二次方程，解方程求出k 值即可得答案．【详解】∵方程()221(1)0x k x x x k x k -++=---=有两个相等的实数根， ∴()2140k k =-+=， 解得：k 1=k 2=-1，故答案为：-1．【点睛】此题主要考查了根的判别式，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），根的判别式△=b 2-4ac，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；熟练掌握相关知识是解题关键．16．x1＝5x2＝7【分析】移项后分解因式即可得出两个一元一次方程求出方程的解即可；【详解】解：∵（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0∴（x﹣5）（x﹣7）＝0则x﹣5＝0或x﹣7＝0解得x1＝5x2＝7故答解析：x1＝5，x2＝7【分析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可；【详解】解：∵（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（x﹣7）＝0，则x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得x1＝5，x2＝7，故答案为：x1＝5，x2＝7．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．17．﹣2【分析】直接根据根与系数的关系求解即【详解】解：∵mn是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根∴m+n＝﹣2故答案为﹣2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系是重要考点难度较易掌握相关知识是解析：﹣2．【分析】直接根据根与系数的关系求解，即bm na +=-．【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，∴m+n＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．10【分析】设这个百分率为x然后根据题意列出一元二次方程最后求解即可【详解】解：设这个百分率为x由题意得：300（1-x）2=243解得x=10或x=190（舍）故答案为10【点睛】本题主要考查了一解析：10%【分析】设这个百分率为x%，然后根据题意列出一元二次方程，最后求解即可．【详解】解：设这个百分率为x%，由题意得：300（1-x%）2=243，解得x=10或x=190（舍）．故答案为10%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—百分率问题，弄清题意、设出未知数、列出一元二次方程成为解答本题的关键．19．相等【分析】由t 是一元二次方程()的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值将其代入完全平方式中即可得出M 的值由此即可得出结论【详解】∵t 是一元二次方程()的根∴或当时则；当时则；∴故答案为：相等【解析：相等【分析】由t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值，将其代入完全平方式()22M at b =+中即可得出M 的值，由此即可得出结论．【详解】∵t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根，∴t =t =当t =()224M b b b ac =-=-；当t =时，则()224M b b b ac =-=-； ∴24b ac M =-=．故答案为：相等．【点睛】本题考查了根的判别式、完全平方式以及利用公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程求出t 值是解题的关键．20．3；【分析】根据一次函数的定义得到m2-8=1且m+3≠0据此求得m 的值【详解】解：依题意得：m2-8=1且m +3≠0 解得m=3 故答案是：3【点睛】本题考查了一次函数的定义一般地形如y=kx+b解析：3；【分析】根据一次函数的定义得到m 2-8=1且m+3≠0，据此求得m 的值．【详解】解：依题意得：m 2-8=1且m+3≠0，解得m=3．故答案是：3．【点睛】本题考查了一次函数的定义．一般地，形如y=kx+b （k≠0，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数．会利用x 的指数构造方程，会解方程，会利用k 限定字母的值是解题关键三、解答题21．（1）54k >； （2）54k <． 【分析】先化方程为一般形式，它是关于x 一元二次方程，据一元二次方程判别式和根的情况列出关于k 的不等式求解．【详解】方程化为：22(21)(2)0x k x k +-+-=， ∴∆22(21)4(2)1215k k k =--⨯-=-．（1）当12150k ->，54k >时，方程有两个不相等的实数根； （2）当12150k -<，54k <时，方程没有实数根． 【点睛】此题考查一元二次方程的判别式，其关键是撑握判别式与一元二次方程根情况的关系，并据此和题意列出不等式．22．（1）2或4；（2）2；（3）10-+【分析】本题可设P 出发x 秒后，QPC S 符合已知条件：在（1）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，2QC xcm =，根据题意列方程求解即可； 在（2）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，()22QC x cm =-，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -，利用勾股定理和PQ BQ =列出方程，即可求出答案．【详解】（1）P 、Q 同时出发，经过x 秒钟，28QPC Scm =， 由题意得：()16282x x -⋅= ∴2680x x -+=，解得：12x =，24x =．经2秒点P 到离A 点1×2＝2cm 处，点Q 离C 点2×2＝4cm 处，经4秒点P 到离A 点1×4＝4cm 处，点Q 到离C 点2×4＝8cm 处，经验证，它们都符合要求．答：P 、Q 同时出发，经过2秒或4秒，28QPC S cm =．（2）设P 出发t 秒时24QPC S cm =，则Q 运动的时间为()2t -秒，由题意得： ()()162242t t -⋅-=， ∴28160t t -+=，解得：124t t ==．因此经4秒点P 离A 点1×4＝4cm ，点Q 离C 点2×（4﹣2）＝4cm ，符合题意． 答：P 先出发2秒，Q 再从C 出发，经过2秒后24QPC S cm =．（3）设经过x 秒钟后PQ ＝BQ ，则()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -， ()()()2226282x x x -+=-，解得：110x =-+210x =--答：经过10-+PQ ＝BQ ．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．23．（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）不能，理由见解析【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据“今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年10月份的快递投递任务，再求出22名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年10月份的快递投递任务．【详解】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意得：210(1)12.1x +=，解得：10.1x =，2 2.1x =-（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年10月份的快递投递任务是12.1(110%)13.31⨯+=（万件）．平均每人每月最多可投递0.6万件， 22∴名快递投递员能完成的快递投递任务是：0.62213.213.31⨯=<，∴该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年10月份的快递投递任务．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率一般公式列出方程即可解决问题． 24．（1）123x x ==-； （2）23x <<【分析】（1）利用因式分解法求解即可．（2）分别求出两个不等式的解集，最后找出公共部分即可．【详解】解：（1）2690x x ++=因式分解得：()230x +=解得：123x x ==-． （2）()31512272x x x ->⎧⎨+<+⎩ 解不等式1得：2x >解不等式2得：3x <∴不等式组的解集是23x <<．【点睛】本题考察解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是：（1）用因式分解法求解一元二次方程（2）不等式组解集的确定，原则是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．25．m =5．【分析】先根据根与系数的关系求得x 1+x 2=6、x 1x 2=m +1，再对x 12+x 22=24变形，然后将x 1+x 2=6、x 1x 2=m +1代入得到关于m 的方程，最后求解即可．【详解】解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +1=0的两根，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=m +1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=24，∴62-2（m +1）=24，解得：m=5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的应用，正确应用完全平方公式成为解答本题的关键．26．（1）18000cm 3；（2）15cm【分析】（1）根据图中给出的信息，设四个相同的小正方形边长为x ，先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据底面积=900即可得到方程，求解即可；（2）该盒子的高为y ，根据底面积为800列出方程，解之即可．【详解】解：（1）设四个相同的小正方形边长为x ，由题意可得：（70-2x ）2=900，解得：x 1=20，x 2=50（舍），∴该盒子的容积为900×20=18000cm 3；（2）设该盒子的高为y ，根据题意得：()7027028002y y -⨯-=， 解得：y 1=15，y 2=55（舍）， 因此当底面积是800平方厘米时，盒子的高是15厘米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，只要搞清楚盒子底面各边的长和盒子的高的关系即可作出正确解答．。

人教版九年级数学上册 一元二次方程单元测试卷（含答案解析）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ．（1）如图①，①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值；（2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3883a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析【解析】【分析】（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；【详解】解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①5 1.54t at -=-②由①②可得 1.1a =， 2.5t =．当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③54t at -=-④，由③④可得0.5a =，2t =．综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与PCN △全等；②AP BD ⊥，90BEP ∴∠=︒，90APB CBD ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90APB BAP ∴∠+∠=︒，BAP CBD ∴∠=∠，在ABP △和BCD 中，BAP CBD AB BCABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，BP CD ∴=，即54t -=，1t ∴=；（2）当38a =，83t =时，1DN at ==，而4CD =， DN CD ∴<，∴点N 在点C 、D 之间，1.54AM t ==，4CD =，AM CD ∴=，如图②中，连接AC 交MD 于O ，90ABC BCD ∠=∠=︒，180ABC BCD ∴∠+∠=︒，//AB BC ∴，AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠，在AOM 和COD △中，AMD CDM AM CDBAC DCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOM COD ASA ∴≅△△，OA OC ∴=，ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=，ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-，ADF CDF S S ∆∆∴=．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．3．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7213,k =±详见解析 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=1472k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17.3+-∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．4．已知二次函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a 的值；②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值；【答案】①a 的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9【解析】【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值；②根据a ≤x ≤b ，b ＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y ＝﹣4x ﹣3，根据函数的性质当x ＝﹣4时，函数取得最大值，x ＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.【详解】解：①∵y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a ×（﹣1）+a 2+3，解得，a 1＝﹣2，a 2＝﹣4，∴a 的值是﹣2或﹣4；②∵a ≤x ≤b ，b ＝﹣3∴a ＝﹣2舍去，∴a ＝﹣4，∴﹣4≤x ≤﹣3，∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.【点睛】此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.5．阅读以下材料，并解决相应问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在求解某些特殊方程时，利用换元法常常可以达到转化的目的，例如在求解一元四次方程42210x x -+=，就可以令21x =，则原方程就被换元成2210t t -+=，解得 t = 1，即21x =，从而得到原方程的解是 x = ±1材料二：杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现，它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列，下图为杨辉三角形：……………………………………（1）利用换元法解方程：()()222312313+-++-=x x x x（2）在杨辉三角形中，按照自上而下、从左往右的顺序观察， an 表示第 n 行第 2 个数（其中 n≥4），bn 表示第 n 行第 3 个数，n c 表示第(n )1-行第 3 个数，请用换元法因式分解：()41-⋅+n n n b a c【答案】（1）x =或x = 或x=-1或x=-2；（2）()41-⋅+n n n b a c =（n 2-5n+5）2【解析】【分析】（1）设t=x 2+3x-1，则原方程可化为：t 2+2t=3，求得t 的值再代回可求得方程的解； （2）根据杨辉三角形的特点得出a n ，b n ，c n ，然后代入4（b n -a n ）•c n +1再因式分解即可．【详解】（1）解：令t=x 2+3x-1则原方程为：t 2+2t=3解得：t=1 或者 t=-3当t=1时，x 2+3x-1=1解得：x =或x =当t=-3时，x 2+3x-1=-3解得：x=-1或x=-2∴方程的解为：x =或x =或x=-1或x=-2 （2）解：根据杨辉三角形的特点得出：a n =n-1(1)(2)2n n n b --= (2)(3)2n n n c --= ∴4（b n -a n ）•c n +1=（n-1）（n-4）（n-2）（n-3）+1=（n 2-5n+4）（n 2-5n+6）+1=（n 2-5n+4）2+2（n 2-5n+4）+1=（n 2-5n+5）2【点睛】本题主要考查因式分解的应用．解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．6．问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=︒，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高．问题探究（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积问题解决（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．【答案】（1）4；（2）203；（3）存在，最小值为16216- 【解析】【分析】 （1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据S △ABE =1AE BH 2即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=1AE BH 2得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，∵S △ABC =1BC AM=82∴82AM==44⨯ 即BC 边上的高为4；（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，∵AD BC ∥，90D ∠=︒∴∠BCD=∠D=90°=∠F∴四边形BCDF 为矩形，又∵BC=CD=4∴四边形BCDF 为正方形，∴DF=BF=BC=4，又∵AD ∥BC∴∠FAB=∠CBA又∵∠EAB=∠CBA∴∠FAB=∠EAB∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE∴BH=BF=4，在Rt △BCE 和Rt △BHE 中，∵BE=BE ，BH=BC=4∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ）∴EH=CE=2同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ）∴AF=AH设AD=a ，则AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()22226+=-a a 解得8=3a ∴AE=6-a=103 S △ABE =111020AE BH=4=2233⨯⨯ （3）存在，如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()22244+-=-+a m a m整理得8=4+m a m ∴AE=AH+HE=2816444+-+=++m m m m m 设△ABE 的面积为y ，则y=()222161116AE BH=42244++=++m m m m ∴()()24216+=+y m m 整理得：223240++-=m ym y∵方程必有实数根∴()2=423240∆-⨯⨯-≥y y 整理得2322560+-≥y y∴()()16216162160⎡⎤⎡⎤---≥⎣⎦⎣⎦y y （注：利用求根公式进行因式分解） 又∵面积y ≥0∴216≥y即△ABE 的面积最小值为16216．【点睛】本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．7．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（4，7）（2）y=3944x （3）详见解析【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE≌△ABO（AAS），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D（4，7）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C（7，3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，解得，∴y=x﹣；（3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数9．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；（2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．（2）∵篱笆长11m，∴y ＝（11﹣2x ）m ．依题意，得：xy ＝12，即x （11﹣2x ）＝12，解得：x 1＝1.5，x 2＝4（舍去），∴y ＝11﹣2x ＝8．答：矩形园子的长为8m ，宽为1.5m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y 关于x 的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．10．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF .（1）当32BG = 时，求AE 的长；（2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.【答案】（1）92AE =；（2）62EF =3）185BG =. 【解析】【分析】 （1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得；（2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得．【详解】（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，由勾股定理，得()(222632x x =-+，解得92x =，即92AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合，此时四边形AEGF 是正方形，∴折痕226662EF =+=（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①当FG=FC时，如图2，过F作FH⊥CG于H，则有：AF=FG=FC，CH=DF=GH设AF=FG=FC=x，则DF=10-x=CH=GH在Rt△CFH中∵CF2=CH2+FH2∴x2=62+（10-x）2解得：x=345，∴DF=CH=GH=10-165，即BG=10-165×2=185，②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；∴GH=x-（10-x）=2x-10，在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，化简得：3x2-40x+136=0，∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，∴此方程没有实数根．综上可知：BG=185．【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．。

九年级数学阶段质量监测题（一）（一元二次方程）测试时间：90分钟第Ⅰ卷 [基础测试卷]一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.下列方程是一元二次方程的是 （ ）A.y x =-12B.562=xC.xx 12=D.2)2)(1(x x x =++ 2.一元二次方程122=-x x 的常数项为 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.1± 3.若方程013)2(=+++mx xm m是关于x 的一元二次方程,则 ( )A.2±=mB.2=mC.2-=mD.2±≠m4.在方程)0(02≠=++a c bx ax 中，若有0=+-c b a ，则方程必有一根为 （ ）A.1B.1-C.1±D.05.一元二次方程032=+x x 的根为 （ ） A.-3 B.0，3 C.0，－3 D.36.将方程0462=+-x x 配方，其正确的结果是 （ ）A.9)3(2=-xB.5)3(2=-xC.13)3(2=-xD.5)3(2=+x7.已知关于x 的一元二次方程0122=++x mx 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ( ) A.1-<m B.1>m C.1<m 且0≠m D.1->m 且0≠m8.若方程0132=--x x 的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为 ( ) A.3 B.－3 C.13D.13-9. 已知一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程0862=+-x x 的一个根,则这个三角形的周长是 ( ) A.11 B.13 C.11或13 D.11和1310.关于x 的方程0)2(222=+++k x k x 的两实数根之和不小于-4,则k 的取值范围是( )A.1->kB.0<kC.01<<-kD.01≤≤-k 二、填空题（每小题2分，共20分） 1.关于x 的方程03)3(12=+---x x m m是一元二次方程，则=m .2.一元二次方程x x 6122=-的一般式是 ，其中一项系数是 . 3.方程032=-x x 的根是 ，方程0)2)(1(=-+x x 的是 . 4. 关于x 的一元二次方程02=+-k x x 的一个根是2，则k = ，另一个根为 . 5.已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是 ． 6.关于x 的一元二次方程032=--m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______________．7.小华在解一元二次方程042=-x x 时，只得出一个根是x ＝4，则被他漏掉的另一个根是x ＝ ．8.如果21x x 、是方程0482=-+x x 的两个根，那么21x x += ，2221x x += . 9.直角三角形两条直角边长分别为1+x ，3+x ，斜边长为x 2，那么x = . 10.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22b a b a -=*，根据这个规则，方程05)2(=*+x 的解是 ．三．按指定的方法解方程（每小题4分，共16分）1.4)1(2=-x （直接开平方法）； 2.0542=-+x x （配方法）；3.0652=+-x x （因式分解法）；4.012222=+-x x （公式法）.四.用适当的方法解方程（每小题4分，共8分）1.x x x =-）3(；2.06)32(2=++-x x .五.解答题（每小题6分，共18分）1.已知2+3是方程042=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 的值.2.若关于x 的方程0342=+-+a x x 有实数根. （1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根.3.设a 、b 、c 是△ABC 的三条边，关于x 的方程021212=-++a c x b x 有两个相等的实数根，方程a b cx 223=+的根为0=x ．（1）试判断△ABC 的形状；（2）若a 、b 为方程032=-+m mx x 的两个根，求m 的值．六、应用题（每小题6分，共18分）1.某城2014年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2016年底增加到363公顷，求平均每年的增长率.2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？3.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当点P 运动到点B停止时，点Q也随之停止运动．问几秒时点P和点Q的距离是10 cm?第Ⅱ卷[实践操作卷]一、猜一猜，算一算（10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？二、想一想，试一试（10分）今要对一块长60m、宽40m的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化，设计方案如图所示，已知矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等．若使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的14，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．九年级数学阶段质量监测题（一）参考答案第Ⅰ卷一、选择题：二、填空题：1. 3-；2.01622=--x x ，-6；3.0或3，－1或2；4.-2，-1；5.062=-+x x ；6. 41->m ；7.0； 8.8-，72； 9.5；10.-7或3. 三、1.3或-1；2.1或－5；3.2或3；4.2221==x x . 四、1.0，4；2.2，3.五、1.1=c ，另一根为32-；2.（1）1-≥a ，（2）221-==x x ；3.（1）△ABC 是等边三角形，（2）12-=m .六、1.10%；2.每件衬衫应降价20元．3.85s 或245s . 第Ⅱ卷一、m 20==BC AB .二、两块绿地周围的硬化路面的宽都为10m.。

湘教版九年级上册数学第二章一元二次方程单元测试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.方程x2+ax+7=0和x2−7x−a=0有一个公共根，则a的值是( )A. 9B. 8C. 7D. 62.已知x=1是一元二次方程(m−2)x2+4x−m2=0的一个根，则m的值为【】A. −1或2B. −1C. 2D. 03.方程x(x−5)=x−5的根是( )A. x=5B. x=0C. x1=5，x2=0D. x1=5，x2=14.定义新运算“Θ”如下：mΘn=−m2+4m−n，当xΘ2=1时，x的值为( )A. 1B. −1C. −1或3D. 1或35.若三角形三边的长均能使代数式(x−6)(x−3)的值为零，则此三角形的周长是( )A. 9或18B. 12或15C. 9或15或18D. 9或12或156.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A. x2+1=0B. x2−2x+1=0C. x2+2x+4=0D. x2−x−3=07.已知关于x的方程x2+(k+3)x+k+2=0，则下列说法正确的是( )A. 不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解B. 至少存在一个k的值，使得方程没有实数解C. 无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根D. 无论k为何值，方程有两个不相等的实数根8.已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x=m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2=0，则称函数y1和y2具有性质P.以下函数y1和y2具有性质P的是( )A. y1=x2+2x和y2=−x−1B. y1=x2+2x和y2=−x+1C. y1=−1和y2=−x−1 D. y1=−1x和y2=−x+1x9.已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程x2−2ax+c2−b2=0有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形10.某商品经过两次降价后每件的售价由原来的70元降到了56.7元．则平均每次降价的百分率为( )A. 10%B. 20%C. 90%D. 110%11.某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程( )A. 150(1−x)×2=96B. 150(1−x)2=96C. 150(x−1)×2=96D. 150(1−x2)=9612.对于一元二次方程，古代数学家研究过其几何解法.以方程x2+2x=34为例，三国时期的数学家赵爽(约公元3−4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的矩形加中间小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x，参考此法，则图中正方形ABCD的面积为( )A. 144B. 140C. 137D. 136第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.关于x的方程(m2−1)x2+(m+1)x+3=0．(1)当m=时，是一元一次方程;(2)当m≠时，是一元二次方程．14.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2−2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为______．15.关于x的一元二次方程kx2+3x−1=0有实数根，则k的取值范围是______．16.《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，且周长为120步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了______步．三、解答题（本大题共9小题，共72分。

第17章一元二次方程单元测试卷参考答案与试题解析一、单选题（共10题；共40分）1.把方程的左边配方后可得方程（）A. B. C. D.解：，，，.故答案为：.2.若关于x的方程x2＋2x＋ a ＝0不存在实数根，则 a 的取值范围是（）A. B. C. D.解：∵方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，∴，解得：a ＞1 ，故答案为：B3.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长是（）A.11B.11或13C.13D.以上选项都不正确解：∵方程的两根为：∵三角形的两边长分别为3和6，第三边不能取2，只能取4，则这个三角形的周长为：13，故答案为：C4.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )A. B.且 C. D.且解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴【-（2K+1）】2-4k2=0且k2≠0，∴k＞且k≠0。

故答案为：B。

5.设，是方程x2+ x﹣2018=0的两个实数根，则的值为（）A.0B.1C.4036D.2018解：由题意可知，再由韦达定理可知ab=-2018，故原式=2018-2018=0，故答案为：A.6.关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（）A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根解：，，，，一元二次方程有两个不相等的实数根，故答案为：C7.下列一元二次方程中，两根之和为-1的是（）A.x2+x+2=0B.x2－x－5=0C.x2+x－3=0D.2 x2－x－1=0解：对于一元二次方程的两根为和，则；本题中A选项的方程没有实数根.故答案为：C8.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B. C. 且 D. 且解：∵△=b2-4ac=22-4×k×（-1）≥0，解上式得，k≥-1，∵二次项系数k≠0，∴k≥-1且k≠0．故答案为：D．9.已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（）A. B. C. 或 D. 或解：根据条件知：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴=﹣1，即m2﹣2m﹣3=0，所以，得：，解得：m=3．故答案为：A．10.某市体育局要组织一次篮球邀请赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,设应邀请x个球队参加比赛,则可列方程为（）A. (x−1)x=28B. (x+1)x=28C. (x−1)x=28D. =28解：应邀请x个球队参加比赛，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，则有：=28，故答案为：C.二、填空题（共4题；共20分）11.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________解：一元二次方程有两个相等的实数根，∴故答案为：-312.已知是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1，x2，且，则。

初中数学 人教版 九年级上册 第21章 一元二次方程 单元考试测试卷（含解析答案）1 / 6第21章 一元二次方程 单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.下列方程是关于 的一元二次方程的是 A.B.C.D.2.将一元二次方程x 2-6x+5=0配方后，原方程变形为（ ）A. （x-3）2=5 B. （x-6）2=5 C. （x-6）2=4 D. （x-3）2=4 3.已知点A （m 2-2，5m+4）在第一象限角平分线上，则m 的值是（ ）A. 6B. -1C. 2或3D. -1或64.若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx ﹣k 的大致图象是（ ）A.B.C.D.5.如果关于 的方程 有两个实数根，则 满足的条件是（ ）A.B.C.且D.且6.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x 2﹣3x ＝4（x ﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（ ）A. 3B. 4C. 6D. 2.58.若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1 ， x 2 ， 则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣29.王叔叔从市场上买了一块长80cm ，宽70cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm 2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）A. （80﹣x ）（70﹣x ）=3000B. 80×70﹣4x 2=3000C. （80﹣2x ）（70﹣2x ）=3000D. 80×70﹣4x 2﹣（70+80）x=300010.如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）A. B. C. 2﹣ D. 4﹣2二、填空题（共6题；共18分）11.方程 转化为一元二次方程的一般形式是________．12.一元二次方程的根是________.13.关于x 的一元二次方程（m ﹣3）x 2+x+（m 2﹣9）＝0的一个根是0，则m 的值是________． 14.若一元二次方程x 2+2kx+k 2-2k+1=0的两个根分别为x 1 ， x 2 ， 满足x 12+x 22=4，则k 的值=________。

2020年人教版九年级数学上册单元测试:第21章一元二次方程一、选择题1．关于x的一元二次方程(a2﹣1)x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足()A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数2．若关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m等于()A．1 B．2 C．1或﹣1 D．03．已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是()A．﹣3 B．3 C．0 D．0或34．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2020﹣a﹣b的值是()A．2020 B．2020 C．2020 D．20205．关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，则整数a的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．46．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为()A．(x+2)2=1 B．(x﹣2)2=1 C．(x+2)2=9 D．(x﹣2)2=97．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是()A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定8．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是()A．x(x﹣1)=10 B．=10 C．x(x+1)=10 D．=109．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程()A．x(x﹣10)=375 B．x(x+10)=375 C．2x(2x﹣10)=375 D．2x(2x+10)=37510．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20201，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为()A．32 B．126 C．135 D．144二、填空题11．一元二次方程x2﹣3=0的根为．12．如果(x2+y2)(x2+y2﹣2)=3，则x2+y2的值是．13．已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则的值为．14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则+等于．15．若x1，x2是方程3x2﹣|x|﹣4=0的两根，则=．16．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为%．三、解答题(共52分)17．解下列方程:(1)2x2﹣4x﹣5=0．(2)x2﹣4x+1=0．(3)(y﹣1)2+2y(1﹣y)=0．18．试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．19．已知实数，满足a2+a﹣2=0，求的值．2020实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为:a△b=a2﹣b2，根据这个规则:(1)求4△3的值；(2)求(x+2)△5=0中x的值．21．已知关于x的方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两根x1，x2，且x12+x22=，试求m的值．22．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．23．某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下．若每千克涨价1元，日销售量将减少2020．(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？(2)每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？2020年人教版九年级数学上册单元测试:第21章一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1．关于x的一元二次方程(a2﹣1)x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足()A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件:(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解:由题意得:a2﹣1≠0，解得a≠±1．故选C．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．若关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m等于()A．1 B．2 C．1或﹣1 D．0【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】根据常数项为0列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解:∵x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，∴m2﹣1=0，解得:m=1或﹣1．故选C【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是()A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3【考点】一元二次方程的解．【分析】直接把x=1代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．【解答】解:∵x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，∴1+m+2=0，∴m=﹣3．故选A．【点评】此题比较简单，利用方程的解的定义即可确定待定系数．4．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2020﹣a﹣b的值是()A．2020 B．2020 C．2020 D．2020【考点】一元二次方程的解．【分析】将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．【解答】解:∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，∴a•12+b•1+5=0，∴a+b=﹣5，∴2020﹣a﹣b=2020﹣(a+b)=2020﹣(﹣5)=2020．故选:A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．5．关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，则整数a的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的判别式；一元一次不等式组的整数解．【分析】由于关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，分情况讨论:①当2﹣a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2﹣a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a的最大值．【解答】解:∵关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根，∴①当2﹣a=0即a=2时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根；②当2﹣a≠0即a≠2时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，∴△=25+12(2﹣a)≥0，解之得a≤，∴整数a的最大值是4．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．注意次方程应分是一元二次方程与不是一元二次方程两种情况进行讨论．6．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为()A．(x+2)2=1 B．(x﹣2)2=1 C．(x+2)2=9 D．(x﹣2)2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解:∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴(x﹣2)2=9．故选D．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．7．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是()A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【考点】根的判别式；一次函数图象与系数的关系．【分析】先根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，再根据一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×(k ﹣1)=5﹣4k＞0，即可得出答案．【解答】解:根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×(k﹣1)=5﹣4k＞0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，故选:C．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点是一次函数图象的性质，关键是根据函数图象判断出△的符号．8．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是()A．x(x﹣1)=10 B．=10 C．x(x+1)=10 D．=10【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】其他问题；压轴题．【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手(x﹣1)次，x人共需握手x(x﹣1)次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手:次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．【解答】解:设x人参加这次聚会，则每个人需握手:x﹣1(次)；依题意，可列方程为:=10；故选B．【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．9．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程()A．x(x﹣10)=375 B．x(x+10)=375 C．2x(2x﹣10)=375 D．2x(2x+10)=375【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】如果设游泳池的长为xm，那么宽可表示为(x﹣10)m，根据面积为375，即可列出方程．【解答】解:设游泳池的长为xm，那么宽可表示为(x﹣10)m；则根据矩形的面积公式:x(x﹣10)=375；故选A．【点评】本题可根据矩形面积=长×宽，找出关键语来列出方程．10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20201，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为()A．32 B．126 C．135 D．144【考点】一元二次方程的应用．【专题】压轴题．【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．【解答】解:根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为:x，则最大数为x+16，根据题意得出:x(x+16)=192，解得:x1=8，x2=﹣24，(不合题意舍去)，故最小的三个数为:8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为:15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为:22，23，24，故这9个数的和为:8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故选:D．【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．二、填空题11．一元二次方程x2﹣3=0的根为x1=，x2=﹣．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】直接解方程得出答案，注意用直接开平方法．【解答】解:x2﹣3=0，x2=3，x=，x1=，x2=﹣．故答案为:x1=，x2=﹣．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，题目比较典型，是中考中的热点问题．12．如果(x2+y2)(x2+y2﹣2)=3，则x2+y2的值是3．【考点】换元法解一元二次方程．【专题】换元法．【分析】先设x2+y2=t，则方程即可变形为t(t﹣2)=3，解方程即可求得t即x2+y2的值．【解答】解:设x2+y2=t(t≥0)．则原方程可化为:t(t﹣2)=3，即(t﹣3)(t+1)=0，∴t﹣3=0或t+1=0，解得t=3，或t=﹣1(不合题意，舍去)；故答案是:3．【点评】本题考查了换元法﹣﹣解一元二次方程．解答该题时需注意条件:x2+y2=t且t≥0．13．已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0两个实数根，则的值为10．【考点】根与系数的关系．【分析】根据===，根据一元二次方程根与系数的关系可得:两根之积与两根之和的值，代入上式计算即可．【解答】解:∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣6，x1•x2=3．又∵===，将x1+x2=﹣6，x1•x2=3代入上式得原式==10．故填空答案为10．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则+等于﹣2．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=1，然后变形+得，再把x1+x2=2，x1•x2=﹣1整体代入计算即可．【解答】解:∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣1，∴+==﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．15．若x1，x2是方程3x2﹣|x|﹣4=0的两根，则=．【考点】根与系数的关系．【分析】首先假设x＞0或x＜0分别讨论，再利用所求根代入得出即可．【解答】解:当x＞0，则3x2﹣|x|﹣4=0，可变形为:3x2﹣x﹣4=0，解得:x1=，x2=﹣1(不合题意舍去)，当x＜0，则3x2﹣|x|﹣4=0，可变形为:3x2+x﹣4=0，解得:x1=﹣，x2=1(不合题意舍去)，则=，故答案为:．【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及一元二次方程的解法，根据已知利用分类讨论得出是解题关键．16．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为10%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】降低后的价格=降低前的价格×(1﹣降低率)，如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是60(1﹣x)，那么第二次后的价格是60(1﹣x)2，即可列出方程求解．【解答】解:设平均每次降价的百分率为x，依题意列方程:60(1﹣x)2=48.6，解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去)．故平均每次降价的百分率为10%．【点评】本题比较简单，考查的是一元二次方程在实际生活中的运用，属较简单题目．三、解答题(共52分)17．解下列方程:(1)2x2﹣4x﹣5=0．(2)x2﹣4x+1=0．(3)(y﹣1)2+2y(1﹣y)=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】(1)先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程；(2)先利用配方法得到(x﹣2)2=3，然后利用直接开平方法解方程；(3)先变形得到(y﹣1)2﹣2y(y﹣1)=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解:(1)△=(﹣4)2﹣4×2×(﹣5)=56，x==，所以x1=，x2=；(2)x2﹣4x+4=3，(x﹣2)2=3，x﹣2=±，所以x1=2+，x2=2﹣；(3)(y﹣1)2﹣2y(y﹣1)=0，(y﹣1)(y﹣1﹣2y)=0，y﹣1=0或y﹣1﹣2y=0，所以y1=1，y2=﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．也考查了配方法和公式法解一元二次方程．18．试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．【考点】配方法的应用；非负数的性质:偶次方．【分析】此题考查了配方法求最值，此题可化为2个完全平方式与一个常数的和的形式．【解答】解:将原式配方得，(x﹣2)2+(y+3)2+2，∵它的值总不小于2；∴代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．【点评】此题考查了配方法的应用，解题的关键是认真审题，准确配方．19．已知实数，满足a2+a﹣2=0，求的值．【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先解关于a的一元二次方程，求出a的值，并把所给的分式化简，然后把a的值代入化简后的式子计算就可以了．【解答】解:原式===，∵a2+a﹣2=0，∴a1=1，a2=﹣2，∵a1=1时，分母=0，∴a1=1(舍去)，当a2=﹣2，原式==2．【点评】这是关于分式化简求值的问题，注意解出a的值必须保证分式有意义，才能代入计算．2020实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为:a△b=a2﹣b2，根据这个规则:(1)求4△3的值；(2)求(x+2)△5=0中x的值．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】新定义．【分析】(1)根据规则为:a△b=a2﹣b2，代入相应数据可得答案；(2)根据公式可得(x+2)△5=(x+2)2﹣52=0，再利用直接开平方法解一元二次方程即可．【解答】解:(1)4△3=42﹣32=16﹣9=7；(2)由题意得(x+2)△5=(x+2)2﹣52=0，(x+2)2=25，两边直接开平方得:x+2=±5，x+2=5，x+2=﹣5，解得:x1=3，x2=﹣7．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．21．已知关于x的方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两根x1，x2，且x12+x22=，试求m的值．【考点】根与系数的关系．【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为(x1+x2)2﹣2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．【解答】解:∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=(﹣2m+1)，∵x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=，∴m2﹣2×(﹣2m+1)=，解得:m1=3，m2=﹣11，又∵方程x2﹣mx+2m﹣1=0有两个实数根，∴△=m2﹣4×2×(﹣2m+1)≥0，∴当m=﹣11时，△=﹣73＜0，舍去；故符合条件的m的值为m=3．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过变形可以得到关于待定系数的方程解决问题．22．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】(1)边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．(2)依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．【解答】解:(1)ab﹣4x2；(2)依题意有:ab﹣4x2=4x2，将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，解得x1=，x2=﹣(舍去)．即正方形的边长为【点评】本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性．依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解．23．某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下．若每千克涨价1元，日销售量将减少2020．(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？(2)每千克水果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】(1)关键是根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．(2)根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值．【解答】解:(1)设每千克应涨价x元，由题意，得(10+x)(500﹣2020=6000，整理，得x2﹣15x+50=0，解得:x=5或x=10，∴为了使顾客得到实惠，所以x=5．(2)设涨价x元时总利润为y，由题意，得y=10+x)(500﹣2020y=﹣2020+300x+5 000y=﹣2020﹣7.5)2+6125∴当x=7.5时，y取得最大值，最大值为6125元．答:(1)要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多为6125元．【点评】考查了二次函数的应用，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．。

《第21章 一元二次方程》一、选择题1．有下列关于x 的方程：①ax 2+bx+c=0，②3x（x ﹣4）=0，③x 2+y ﹣3=0，④ +x=2，⑤x 3﹣3x+8=0，⑥ x 2﹣5x+7=0，⑦（x ﹣2）（x+5）=x 2﹣1．其中是一元二次方程的有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．方程3x 2﹣x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ）A ．3B ．﹣C ．D ．﹣93．用配方法解方程x 2﹣2x ﹣5=0时，原方程应变形为（ ）A ．（x+1）2=6B ．（x+2）2=9C ．（x ﹣1）2=6D ．（x ﹣2）2=94．下列关于x 的方程有实数根的是（ ）A ．x 2﹣x+1=0B ．x 2+x+1=0C ．（x ﹣1）（x+2）=0D ．（x ﹣1）2+1=05．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．289（1﹣x ）2=256B ．256（1﹣x ）2=289C ．289（1﹣2x ）2=256D ．256（1﹣2x ）2=2896．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＞B ．k ＞且k ≠0C ．k ＜D ．k ≥且k ≠07．方程3x （x ﹣1）=5（x ﹣1）的根为（ ）A ．x=B ．x=1C ．x 1=1 x 2=D ．x 1=1 x 2=8．把方程（x ﹣）（x+）+（2x ﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（ ）A ．5x 2﹣4x ﹣4=0B ．x 2﹣5=0C ．5x 2﹣2x+1=0D ．5x 2﹣4x+6=09．若x=2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+8=0的一个解．则m 的值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．﹣610．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）A ．x （x ﹣1）=10B ．=10 C ．x （x+1）=10 D ． =10二、填空题11．当方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为．12．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是．13．已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为．14．若2是关于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是．15．若+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是．16．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元．则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是．17．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为．18．如果关于x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m= ．19．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，那么m的值为．20．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为．三、解答题21．用指定的方法解方程（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）（2）x2+4x﹣5=0（配方法）（3）4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0（因式分解法）（4）2x2+8x﹣1=0（公式法）22．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=6，求x的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．24．某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人．（1）求第一轮后患病的人数；（用含x的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．25．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？《第21章一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④ +x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥ x2﹣5x+7=0，⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：一元二次方程有②⑥，共2个，故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．方程3x2﹣x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（）A．3 B．﹣C．D．﹣9【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】首先确定二次项系数与一次项系数及常数项，然后再求积即可．【解答】解：方程3x2﹣x+=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣，常数项是，3××（﹣）=﹣9，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】方程思想．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x 2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x 2﹣2x+1=6∴（x ﹣1）2=6．故选：C ．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．下列关于x 的方程有实数根的是（ ）A ．x 2﹣x+1=0B ．x 2+x+1=0C ．（x ﹣1）（x+2）=0D ．（x ﹣1）2+1=0【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】分别计算A 、B 中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C 进行判断；根据非负数的性质对D 进行判断．【解答】解：A 、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B 、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C 、x ﹣1=0或x+2=0，则x 1=1，x 2=﹣2，所以C 选项正确；D 、（x ﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误． 故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．289（1﹣x ）2=256B ．256（1﹣x ）2=289C ．289（1﹣2x ）2=256D ．256（1﹣2x ）2=289【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x ，可以用x 表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x ）2，∴方程为289（1﹣x ）2=256．故选答：A ．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a （1+x ）2=c ，其中a 是变化前的原始量，c 是两次变化后的量，x 表示平均每次的增长率．本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答案错看成B ．6．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＞B ．k ＞且k ≠0C ．k ＜D ．k ≥且k ≠0【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b 2﹣4ac ＞0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意知，k ≠0，方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，△=b 2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k 2=4k+1＞0．又∵方程是一元二次方程，∴k ≠0，∴k ＞且k ≠0．故选B ．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．注意方程若为一元二次方程，则k ≠0．7．方程3x （x ﹣1）=5（x ﹣1）的根为（ ）A ．x=B ．x=1C ．x 1=1 x 2=D ．x 1=1 x 2=【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先移项，再提公因式，解一元一次方程即可．【解答】解：3x （x ﹣1）﹣5（x ﹣1）=0，（x ﹣1）（3x ﹣5）=0，x ﹣1=0或3x ﹣5=0，x 1=1，x 2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．8．把方程（x ﹣）（x+）+（2x ﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（ ）A ．5x 2﹣4x ﹣4=0B ．x 2﹣5=0C ．5x 2﹣2x+1=0D ．5x 2﹣4x+6=0【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】先把（x ﹣）（x+）转化为x 2﹣2=x 2﹣5；然后再把（2x ﹣1）2利用完全平方公式展开得到4x 2﹣4x+1．再合并同类项即可得到一元二次方程的一般形式．【解答】解：（x ﹣）（x+）+（2x ﹣1）2=0即x 2﹣2+4x 2﹣4x+1=0移项合并同类项得：5x 2﹣4x ﹣4=0故选：A ．【点评】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式化简成为一元二次方程的一般形式．9．若x=2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+8=0的一个解．则m 的值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．﹣6【考点】一元二次方程的解．【分析】先把x 的值代入方程即可得到一个关于m 的方程，解一元一方程即可．【解答】解：把x=2代入方程得：4﹣2m+8=0，解得m=6．故选A ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．10．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）=10 B． =10 C．x（x+1）=10 D． =10【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】其他问题；压轴题．【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；依题意，可列方程为： =10；故选B．【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．二、填空题11．当方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为﹣1 ．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．【解答】解：因为原式是关于x的一元二次方程，所以m2+1=2，解得m=±1．又因为m﹣1≠0，所以m≠1，于是m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是m﹣1≠0．12．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是±6 ．【考点】完全平方式．【专题】计算题．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【解答】解：∵x2+mx+9是一个完全平方式，∴m=±6，故答案为：±6．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为30 ．【考点】代数式求值．【专题】推理填空题．【分析】把x2+3x+5=11代入代数式3x2+9x+12，求出算式的值是多少即可．【解答】解：∵x2+3x+5的值为11，∴3x2+9x+12=3（x2+3x+5）﹣3=3×11﹣3=33﹣3=30故答案为：30．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，注意代入法的应用．14．若2是关于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是12 ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】将2代入方程求得k的值，题中没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而求得其周长．【解答】解：把2代入方程x2﹣（3+k）x+12=0得，k=5（1）当2为腰时，不符合三角形中三边的关系，则舍去；（2）当5是腰时，符合三角形三边关系，则其周长为2+5+5=12；所以这个等腰三角形的周长是12．【点评】本题考查了根与系数的关系，三角形三边关系及等腰三角形的性质的综合运用．15．若+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0 ．【考点】根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．【解答】解：∵ +|b﹣1|=0，∴a=4，b=1，则原方程为kx2+4x+1=0，∵该一元二次方程有实数根，∴△=16﹣4k≥0，解得，k≤4．∵方程kx2+ax+b=0是一元二次方程，∴k≠0，故答案为k≤4且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于m的不等式是解题的关键．16．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元．则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是20% ．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题；压轴题．【分析】设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，根据最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解．【解答】解：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，240（1+x）2=345.6，1+x=±1.2，x=20%或x=﹣220%（舍去）．故答案为：20%．【点评】本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解．17．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为12 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0，得x1=5，x2=7，∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．18．如果关于x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m= 1 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．【解答】解：∵x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1•m=04﹣4m=0m=1故答案为：1【点评】本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键．19．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，那么m的值为﹣3 ．【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，由方程的解的定义，把x=0代入已知方程，列出关于m 的新方程，通过解新方程来求m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，∴m2+2m﹣3=0，且m﹣1≠0，∴（m﹣1）（m+3）=0，且m﹣1≠0，解得，m=﹣3，故答案是：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意二次项系数不等于零．20．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为x2+40x﹣75=0 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】如果设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），根据总面积即可列出方程．【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），根据题意可得出方程为：（50+2x）（30+2x）=1800，∴x2+40x﹣75=0．【点评】一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．三、解答题21．（2019秋•大石桥市月考）用指定的方法解方程（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）（2）x2+4x﹣5=0（配方法）（3）4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0（因式分解法）（4）2x2+8x﹣1=0（公式法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）把﹣25移到等号的右边，然后利用直接开平方法求解；（2）把﹣5移到等号的右边，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解；（3）直接利用平方差公式把方程左边分解因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可；（4）首先找出方程中a、b和c的值，求出△，进而代入求根公式求出方程的解．【解答】解：（1）∵（x+2）2﹣25=0，∴（x+2）2=25，∴x+2=±5，∴x 1=3，x 2=﹣7；（2）∵x 2+4x ﹣5=0，∴x 2+4x+4=9，∴（x+2）2=9，∴x+2=±3，∴x 1=﹣5，x 2=1；（3）∵4（x+3）2﹣（x ﹣2）2=0，∴[2（x+3）+（x ﹣2）][2（x+3）﹣（x ﹣2）]=0，∴（3x+4）（x+8）=0，∴3x+4=0或x+8=0，∴x 1=﹣，x 2=﹣8；（4）∵a=2，b=8，c=﹣1，∴△=b 2﹣4ac=64+8=72，∴x==，∴x 1=，x 2=．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．22．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定=ad ﹣bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若=6，求x 的值． 【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】新定义．【分析】根据题意得出方程（x+1）（x+1）﹣（1﹣x ）（x ﹣1）=6，整理后用直接开平方法求出即可．【解答】解：根据题意得：（x+1）（x+1）﹣（1﹣x ）（x ﹣1）=6，整理得：2x 2+2=6，x 2=2，x=±．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．23．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k 取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC 的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC 的周长．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】（1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；（2）分△ABC 的底边长为2、△ABC 的一腰长为2两种情况解答．【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k ﹣3）2≥0，故不论k 取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△ABC 的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k ﹣3）2=0，解得k=3，方程为x 2﹣6x+9=0，解得x 1=x 2=3，故△ABC 的周长为：2+3+3=8；当△ABC 的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x 2﹣5x+6=0，解得，x 1=2，x 2=3，故△ABC 的周长为：2+2+3=7．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．24．某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x 人．（1）求第一轮后患病的人数；（用含x 的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【专题】应用题．【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有x﹣1+x（x﹣1）人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．【解答】解：（1）（1+x）人，（2）设在每轮传染中一人将平均传给x人根据题意得：x﹣1+x（x﹣1）=21整理得：x2﹣1=21解得：，∵x1，x2都不是正整数，∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．25．（2012•天津校级模拟）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每件衬衫应降价x元，根据均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，要降价，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，可列方程求解．【解答】解：设每件衬衫应降价x元，据题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x=10或x=20．因题意要尽快减少库存，所以x取20．答：每件衬衫至少应降价20元．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是看出降价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解．。

《一元二次方程》单元检测题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1. 把方程23402x x ++=左边配成一个完全平方式后，所得方程是（ ）. （A ）2355()416x += （B ）2315()24x +=- （C ）2315()24x += （D ）2355()416x +=- 2.已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式, 那么262x x q -+=可以配方成下列的 ( )(A) 2()5x p -= (B) 2()9x p -=(C) 2(2)9x p -+= (D) 2(2)5x p -+=3.一元二次方程2230x x --=的两个根分别为( )．(A)X l =1， x 2=3 (B)X l =1， x 2=-3(C)X 1=-1，X 2=3 (D)X I =-1， X 2=-34. 若2222()(1)60m n m n +--+=，则22m n +的值为（ ）.（A ）3 （B ）－2 （C ）3或－2 （D ）－3或25. 方程(3)x x x +=的根是（ ）.（A ）－2 （B ）0 （C ）无实根 （D ）0或－2 6. 已知x 满足方程2310x x -+=，则1x x+的值为（ ）. （A ）3 （B ）－3 （C ）32 （D ）以上都不对 7. 要使分式2544x x x -+-的值为0，x 等于（ ）. （A ）1 （B ）4或1 （C ）4 （D ）－4或－18. 关于x 的方程22(2)0a a x ax b --++=是一元二次方程的条件是（ ）.（A ）2a ≠-且1a = （B ）2a ≠ （C ）2a ≠-且1a =- （D ）1a =-二、填空题 9. 222(_____)[(____)]3y y y -+=+.10. x =__________.11. 若代数式2713x x -+的值为31，则x =_________________.12.用公式法解方程2815x x =--，其中24b ac -=__________，1x =__________，2x =_______________.13. 一元二次方程x 2-2x-1=0的根是__________．14. 若方程x 2-m=0的根为整数，则m 的值可以是________（只填符合条件的一个即可）15. 若（2x+3y ）2+3（2x+3y ）-4=0，则2x+3y 的值为_________．16. 请写出一个根为x= 1, 另一根满足-1< x< 1 的一元二次方程_______.三、计算题17.用配方法解下列方程：（1）210257x x -+=； （2）261x x +=；（3）23830x x +-=；（4）2310x x -+=.18.用公式法解下列方程：（1）27180x x --=；（2）22980x x -+=；（3）29610x x ++=；（4）21683x x +=.19.用因式分解法解下列方程：（1）(41)(57)0x x -+=； （2）3(1)22x x x -=-；（3）2(23)4(23)x x +=+； （4）222(3)9x x -=-.20. 阅读材料，解答问题:材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0我们可以将x 2-1视为一个整体，然后设x 2-1=y ，•则（x 2-1）2=y 2，原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=x 1，x 2，x 3x 4解答问题：（1）填空，在解原方程得到①的过程中利用_________法达到了降次的目的，体现了_______•数学思想;（2）利用上述方法解方程x 4-x 2-6=0．21. 若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b=4ab ，例如2※6=4•×2•×6=48（1）求3※5的值；（2）求x ※x+2※x-2※4=0中x 的值；（3）若无论x 是什么数，总有a ※x=x ，求a 的值．参考答案：一、选择题1.D ；2.B ；3.C ；4.A ；5.D ；6.A ；7.A ；8.C ；二、填空题 9. 19，13-； 10. －5或3；11．9或－2；12.4，－3，－5；13. x 1；x 2；14.如4 ， 提示：m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．15. -•4或1；16.略；三计算题17.（1）15x =25x =（2）13x =-23x =-（3）113x =，23x =-；（4）132x +=，2x =； 18.（1）19x =，22x =-；（2）194x +=，294x =； （3）1213x x ==-； （4）114x =，234x =-； 19.（1）175x =-，214x =；（2）12 3x=-，21x=；（3）13 2x=-，21 2x=；（4）13x=，29x=.20. （1）换元，转化；（2）x=21. （1）3※5=4×3×5=60，（2）由x※x+2※x-2※4=0得4x2+8x-32=0，即x2+2x-8=0，∴x1=2，x2=-4，（3）由a*x=x得4ax=a，无论x为何值总有4ax=x，∴a=14．。

第22章 一元二次方程单元测试卷A 卷一、选择题:1．方程x 2-3x+1=0的根的情况是（ ）．A ．有两个不相等的实数根;B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根;D ．只有一个实数根2．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k ≤1 B ．k ≥1 C ．k<1 D ．k>13．已知α2+α-1=0，β2+β-1=0，且α≠β，则αβ+α+β的值为（ ）． A ．2 B ．-2 C ．-1 D ．04．关于x 的方程k 2x 2+（2k-1）x+1=0有实数根，则下列结论正确的是（ ）．A ．当k=12时方程两根互为相反数; B ．当k=0时方程的根是x=-1 C ．当k=±1时方程两根互为倒数; D ．当≤14时方程有实数根5．设x 1，x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1，x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0•的两根，则p ，q 的值分别等于（ ）．A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，36．已知α,β，满足α+β=5且αβ=6，以α,β为两根的一元二次方程是（ ）． A ．x 2+5x+6=0 B ．x 2-5x+6=0; C ．x 2-5x-6=0 D ．x 2+5x-6=0 7．甲、乙两同学解方程x 2+px+q=0，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和-10，则原方程为（ ）．A ．x 2-9x+14=0B ．x 2+9x-14=0;C ．x 2-9x+10=0D ．x 2+9x+14=08．若关于x 的方程3x +331a x ++=2有增根x=-1，则a 的值是（ ）． A ．0或-1 B ．0 C ．3 D ．以上答案都不对9．已知等腰三角形三边的长为a ，b ，c ，且a=c ，若关于x 的一元二次方程ax 2）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 10．已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的系数满足（2b ）2=ac ，则方程两根之比为（ ）． A ．0：1 B ．1：1 C ．1：2 D ．2：3 二、填空题:1．请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3的一元二次方程_________．2．已知x 1，x 2是关于x 的方程（a-1）x 2+x+a 2-1=0•的两个实数根，且x 1+x 2=13，则x 1·•x 2=_______．3．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-5x-6=0的两个根，则x 12+x 22=_________．4．已知关于x 的一元二次方程8x 2+（m+1）x+m-7=0有两个负数根，那么实数m 的取值范围是__________． 5．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程a 2x 2-（2a-3）x+1=0的两个实数根，如果11x +21x =-2，那么a 的值是_________．6．关于x 的一元二次方程x 2-x+a （1-a ）=0有两个不相等的正根，则a 可取值为____（只有填写一个可能的数值即可）．7．若9（x-2）2-6（x-2）+1=0，则x-2=________．8．某超市1月份的营业额为200万元，1月、2月、3月的营业额共1000万元，•如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为_________．9．某商品的进货价为每件x 元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，•商店按零售价的九折降低后再让利40元销售，仍可获利10%（相对于进价），则x=_______元． 三、解答题．1．用至少两种不同的方法解方程2x 2-3=5x ．2．已知方程x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．3．已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0．（1）当m取什么值时，原方程没有实数根．（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．4．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若银行存款的利息不变，到期后得本金和利息共计1320元，求这种存款方式的年利率．B卷1．（现实生活应用题）某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，•订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过550个．（1）设销售商一次订购量为x个，旅行包的实际出厂单价为y元，•写出当一次订购量超过100个时，y与x的函数关系式．（2）求当销售商一次订购多少个旅行包时，可使该厂获得利润6000元（•售出一个旅行包的利润=实际出厂单价-成本）？2．（探究题）已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2-2m-3=0，①的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程x2-（k-m）x-k-m2+5m-2=0，•②的两个实数根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．3．（探究题）已知关于x的方程x2-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根为α,β，且α≤β．（1）试用含有α,β的代数式表示p和q．（2）求证：α≤1≤β．（3）若以α,β为坐标的点M（α,β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC•顶点的坐标分别为A（1，2），B（12，1），C（1，1），问是否存在点M，使p+q=54，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．（分析题）已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2-abx+（a+b）=0与x2-abx+（a+b）=•0有没有公共根，请说明理由．5．（阅读理解题）阅读材料：已知p 2-p-1=0，1-q-q 2=0，且pq ≠1，求1pq q+的值． 解：由p 2-p-1=0，及1-q-q 2=0可知p ≠0，q ≠0， 又∵pq ≠1，∴p=1q. ∴1-q-q 2=0可变形为（1q ）2-（1q）-1=0． 根据p 2-p-1=0和（1q ）2-（1q）-1=0的特征， ∴p 与1q是方程x 2-x-1=0的两个不相等的实数根． 则∴p+1q =1，∴=1pq q+1． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答: 已知2m 2-5m-1=0，21n +5n -2=0，且m ≠n ．求1m +1n的值．6．（学科内综合题）已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x-24m-=0．（1）求证：无论m取何实数值，这个方程总有两相异实根．（2）若这个方程的两个实数根为x1，x2且满足│x2│=│x1│+2，求m•的值及相应的x．7．（探究题）关于x的方程5x2-（10cosα）x-7cosα+6=0有两个相等的实根，求边长为10cm且两边夹角为α的菱形面积．8．（探究题）已知∠α是△ABC的一个内角，且sinα和cosα是方程2x2-2x+p=0的两根．（1）求p的值．（2）判断△ABC的形状．9．（创新题）如图22-9，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B沿开始BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，使△PBQ的面积为8cm2？（2）若P，Q分别从A，B同时出发，并且P到点B又继续在BC边上前进，Q到点C•后又继续在CA边上前进，经过几秒后，使△PCQ的面积等于12.6cm2．6cm8cmBQCA P答案:A卷一、1．A 解析：∵△=（-3）2-4×1×1=9-4=5>0，∴方程有两个不相等的实数根．2．A 解析：由题意得△=22-4×1×k=4-4k≥0，∴k≤1．提示：一元二次方程有实数根⇔△≥0，不要漏掉“＝”号．3．B 解析：∵α2+α-1=0，β2+β-1=0且α≠β∴α, β是方程x2+x-1=0的两个不相等的实数根，∴α+β=-1, αβ=-1.∴αβ+α+β=-1-1=-2．4．D 解析：当k=12时，原方程可变为14x2+1=0，此方程无解，故A错误；当k=0时，原方程可变为x-1=0，∴x=1，故B错误；当k=1时，原方程可变为x2+x+1=0，∵△=1-4×1=-3<0，∴方程无解，故C错误；要使方程有实数根：当k=0时，方程有实数根x=1．当k≠0时，△=（2k-1）2-4k2≥0，∴k≤14．∴当k≤14时，方程有实数根．5．C 解析：∵x1，x2是方程x2+px+q=0的两根，∴x1+x2=-p，x1x2=q．又∵x1+1，x2+1是方程x2+qx+p=0的两根，∴（x1+1）+（x2+1）=-q，∴x1+x2+2=-q，∴-q+2=-q．即p-q=2，①（x1+1）（x2+1）=p，∴x1x2+（x1+x2）+1=p，∴q-p+1=p．即2p-q=1，②由①②得1,3. pq=-⎧⎨=-⎩.6．B提示：∵α+β=-ba，注意符号的变化．7．D 解析：由题意得q=2×7=14，-p=1+（-10），∴p=9．∴原方程为x2+9x+14=0．提示：甲看错了一次项，说明常数项没错，故两根之积为q=2×7．乙看错了常数错，说明一次项没错，故两根之和为-p=1+（-10）．8．D 解析：原方程可化为2x 2-（4+3a ）x-3=0，∵原方程有增根x=-1，代入方程得a=-1． 9．B 解析：设方程两根为x 1，x 2（x 1>x 2）， 则x 1+x 2=a，x 1x 2=c a =1．∵x 1-x 2x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=（ab ）2-4×1=2． 整理得，∵cosC= 12b a=12·b a ·12C=30°．10．B 解析：∵（2b）2=ac ，∴b 2=4ac ，∴b 2-4ac=0．即△=0，∴方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个相等的实数根，∴两根比为1：1． 二、1．解析：设满足条件的方程为x 2-3x+c=0．∵方程有两个实数根，∴△=（-3）2-4c=9-4c ≥0，∴c ≤94． ∴满足条件的方程可以为x 2-3x+2=0． 答案：x 2-3x+2=0提示：此题答案不唯一，但需要满足x 2-3x+c=0的形式且c ≤94． 2．解析：由题意得1210,0,11,13a x x a ⎧⎪-≠⎪∆≥⎨⎪⎪+=-=-⎩∴a=-2．∴x 1x 2=211a a --=a+1=-2+1=-1．答案：-13．解析：由韦达定理得x 1+x 2=5，x 1x 2=-6．∴x 12+x 22=（x 1+x 2）-2x 1x 2=52-2×（-6）=25+12=37． 答案：374．解析：由题意得21212(1)48(7)0,10,870,8m m m x x m x x ⎧⎪∆=+-⨯-≥⎪+⎪+=-<⎨⎪-⎪=>⎪⎩∴2(15)0,1,7.m m m ⎧-≥⎪>-⎨⎪>⎩ ∴m>7．答案：m>75．解析：由韦达定理得x 1+x 2=223a a -，x 1x 2=21a ， ∵11x +21x =-2，∴1212x x x x +=22231a a a -=2a-3=-2，∴a=12 答案：12 6．解析：由题意得21212(1)41(1)0,10,(1)0,a a x x x x a a ⎧∆=--⨯⨯->⎪+=>⎨⎪=->⎩ ∴2(21)0,0 1.a a ⎧->⎨<<⎩即1,20 1.a a ⎧≠⎪⎨⎪<<⎩ ∴0<a<1且a ≠12． 故a 可取值为13． 答案：13提示：答案不唯一，只要满足0<a<1且a ≠12即可． 7．解析：方程左边分解因式得[3（x-2）-1]2=0，∴3（x-2）-1=0，x-2=13． 答案：13提示：本题应把（x-2）看作一个整体．8．答案：200+200（1+x ）+200（1+x ）2=1000提示：本题应注意审题，1000万是1月、2月、3月的营业额之和．9．解析：由题意得99004010x x ⨯--=10%． 解得x=700．答案：700提示：利润率=利润进价；利润=实际售价-进价． 三、1．解析：解法一：公式法：原方程可化为2x 2-5x-3=0．∴a=2，b=-5，c=-3，△=b 2-4ac=25-4×2×（-3）=49．∴=574±，∴x 1=3，x 2=-12． 解法二：因式分解法：原方程可化为2x 2-5x-3=0．方程左边分解因式得（x-3）（2x+1）=0．∴x 1=3，x 2=-12． 提示：本题也可利用配方法解方程．2．解析：设方程的另一个根是x 1，由题意得112,2 6.x k x +=-⎧⎨=-⎩ 解得13,1.x k =-⎧⎨=⎩∴方程的另一个根是-3，k 的值是1．3．解析：（1）△=[-2（m+1）]2-4m 2=4（m 2+2m+1）-4m 2=8m+4<0．∴m<-12． ∴当m<-12时，原方程没有实数根． （2）取m=1时，原方程为x 2-4x+1=0，设此方程的两实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2=4，x 1x 2=1．∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=42-2×1=16-2=14．提示：（2）中答案与m的取值有关，只要取m>-12的非零整数，都求得一个相应的值，• 故（2）答案不唯一．4．解析：设这种存款方式的年利率为x，由题意得[2000（1+x）-1000]（1+x）=1320．整理得50x2+75x-8=0解得x1=0.1=10%，x2=-1.6（不合题意，舍去）．答：这种存款方式的年利率为10%．B卷1．解析：（1）y=60-（x-100）×0.02．即y=62-0.02x．（2）当x=100时，获利（60-40）×100=2000元．∵该厂获利6000元，∴x>100．由题意得[60-（x-100）×0.02]x-40x=6000，解得x1=600，x2=500．∵订购量不超过550个，∴只取x=500．答：销售商一次订购了500个旅行包．2．解析：∵方程①有两个不相等的实数根，∴△=[-2（m+1）]2-4（m2-2m-3）=16m+16>0，解得m>-1．又∵方程①有一个根为0，∴m2-2m-3=0，即（m-3）（m+1）=0，解得m1=-1，m2=3．又∵m>-1，∴m=3．当m=3时，方程②变形为x2-（k-3）x-k+4=0．∵x1，x2是方程②的两个实数根，∴x1+x2=k-3，x1x2=-k+4．若│x1-x2│=1，则有（x1+x2）2-4x1x2=1，∴（k-3）2-4（-k+4）=1．即k2-2k-8=0，（k-4）（k+2）=0，∴k1=-2，k2=4．∵当k=-2时，△=[-（k-3）]2-4（-k+4）=k2-2k-7=（-2）2-2×（-2）-7=1>1．此时，方程②为x2+5x+6=0，即x1=-3，x2=-2，满足条件．当k=4时，△=k2-2k-7=42-2×4-7=1>0．此时，方程②为x2-x=0，x1=0，x2=1也满足条件．∴k=-2或4．∴存在实数k=-2或4，使得方程②的两个实数根之差的绝对值为1．3．解析：（1）∵α,β是方程x2-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根，∴△=（p+q+1）2-4p≥0，且α+β=p+q+1，αβ=1，于是，p=αβ，q=α+β-p-1=α+β-αβ-1.（2）证明：∵（1-α）（1-β）=1-(α+β)+ αβ=-q≤0（q≥0），又α≤β，∴α≤1≤β．（3）若使p+q=54成立，只需α+β=p+q+1=94．①当点M（α,β）在BC边上运动时，由B（12，1），C（1，1），得12≤α≤1，β=1．而α=94-β=94-1=54>1，故在BC边上不存在满足条件的点．②当点M（α,β）在AC边上运动时，由A（1，2）；C（1，1），得α=1，1≤β≤2，此时β=94-α=94-1=54，又∵1<54<2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，54）．③当点M（α,β）在AB边上运动时，由A（1，2），B（12，1），得12≤α≤1，1≤β≤2，•由平面几何知识，得1212112aβ--=--,于是，β=2α，由2,9,4βααβ=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得α=34，β=32．又∵12<34<1，1<32<2，故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（34，32）．综上所述，当点M（α,β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1，54）和点（34，3 2），使p+q=54成立．4．解析：不妨设关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有公共根，设为x0，•则有：200200()0,()0,x a b x ab x abx a b ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩ 整理可得（x 0+1）（a+b-ab ）=0．∵a>2，b>2，∴a+b ≠ab ，∴x 0=-1．把x 0=-1代入①得1+a+b+ab=0，这是不可能的．∴关于x 的两个方程没有公共根．5．解析：解法一：由2m 2-5m-1=0知m ≠0，∵m ≠n ，∴1m ≠1n ． 得21m +5m-2=0． 根据21m +5m -2=0与21n +5n-2=0的特征， ∴1m 与1n与是方程x 2+5x-2=0的两个不相等的实数根． ∴1m +1n=-5． 解法二：由21n +5n-2=0得2n 2-5n-1=0． 根据2m 2-5m-1=0与2n 2-5n-1=0的特征，且m ≠n ，∴m 与n 是方程2x 2-5x-1=0的两个不相等的实数根．∴m+n=52，mn=-12． ∴1m +1n =m n mn +=5212-=-5． 6．解析：（1）△=[-（m-2）]2-4·（-24m ）=2m 2-4m+4=2（m-1）2+2>0． ∴无论m 取何值，方程总有两相异实根．（2）∵x 1x 2=-24m ≤0， ∴x 1≤0，x 2≥0或x 1≥0，x 2≤0．①若x 1≤0，x 2≥0，则x 2=-x 1+2，∴x 1+x 2=2=m-2，∴m=4，此时原方程为x 2-2x-4=0，x=22±=1x 1x 2②若x 1≥0，x 2≤0，则-x 2=x 1+2，∴x 1+x 2=-2=m-2，∴m=0，此时原方程为x 2+2x=0，∴x 1=0，x 2=-2．提示：•解决本题的关键在于利用一元二次方程根与系数的关系确定出两根的符号．7．解析：∵5x 2-（10cos α）x-7cos α+6=0有两个相等的实数，∴△=100co s 2α-4×5×（-7cos α+6）=0，5cos 2α+7cos α-6=0，（5cos α-3）（cos α+2）=0，∴cos α=35或cos α=-2（舍去）． ∴sin α=45． ∴S 菱形=10×10×sin α=100×45=80（cm 2）． 8．解析：（1）由根与系数的关系得 ？sin cos 1,sin cos ,2p αααα+=⎧⎪⎨=⎪⎩ 又∵si n 2α+co s 2α=1，∴（sin α+cos α）2-2sin αcos α=1，③将①，②代入③，得1-2×2p =1，∴p=0． （2）又∵sin αcos α=2p =0， ∴sin α=0或cos α=0，∴α=0°或90°．∵α是三角形一内角，∴α不可能是0°．∴α=90°，故△ABC 是直角三角形．9．解析：（1）设经过xs ，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，且使△PBQ 的面积为8cm 2，由题意，•知BP=（6-x ）cm ，BQ=2xcm ．∴S △PBQ =12（6-x ）·2x=8， 即x 2-6x+8=0，∴x 1=2，x 2=4．当x 1=2时，PA=2cm ，BQ=4cm ，当x 2=4时，PA=4cm ，BQ=8cm ．当x=2，x=4时都符合题意，故经过2s 或4s ，△BPQ 的面积为8cm 2．（2）如答图22-1，设ys 后点P 移动到BC 上，CP=（14-y ）cm ，点Q 移动到CA 上，CQ=（•2y-8）cm ，过Q 作QD ⊥BC 于D ，则△CQD ∽△CAB ，∴QDAB =CQAC ，∵AB=6，BC=8，∴．∴6QD =2810y -，∴QD=6(4)5y -．∴S=12（14-y ）·6(4)5y -=12.6．解得y 1=7，y 2=11．当y 1=7时，CP=7cm ，CQ=6cm ，当y 2=11时，CP=3cm ，CQ=14cm>CA ，∴舍去，∴y=7．∴经过7s 时，△PCQ 的面积等于12.6cm 2．。