高考数学一轮复习周周测训练第6章解三角形与平面向量

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阶段检测二三角函数、解三角形与平面向量（时间：120分钟总分:150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1。

已知sin=cos(π—α）,则α的取值范围是( ）A 。

B 。

C. D.2。

已知角α的顶点在原点,始边为x轴正半轴,终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m ，m），则sin 2α=（)A.±B.C.±D.3.已知向量与向量a=(1，—2)的夹角为π,｜｜=2,点A的坐标为（3，—4）,则点B的坐标为( )A。

(1,0）B。

（0,1）C.(5，-8) D。

(-8，5)4.已知tan（α—2β)=-,tan（2α—β）=-,则tan(α+β）=( ）A。

- B 。

C.D 。

5。

已知函数f（x）=sin(2x+φ）的图象关于直线x=对称,则φ可能是（）A 。

B 。

C 。

—D 。

6。

已知△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a,b,c,且a,b，c成等比数列，若sinB=，cos B=，则a+c的值为（)A。

13 B.3C。

37 D.137.已知函数f(x)=2sin（ωx+φ），其中ω〉0，—π<φ≤π.若f（x)的最小正周期为6π，且当x=时, f（x)取得最大值,则（）A.f(x)在区间[—2π，0］上单调递增B.f(x)在区间[—3π，—π］上单调递增C.f(x）在区间[3π，5π］上单调递减D。

一、选择题1．(2016·福建“四地六校”联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B 等于( )A ．(2,3]B ．(2,3)C ．(－3，－2)D ．[－3，－2)2．(2016·北京)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2016·福州质检)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则綈p 为( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<04．(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．25．设a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4log 2(－x )，x <0，|x 2＋ax |，x ≥0.若f [f (－2)]＝4，则f (a )等于( ) A ．8B ．4C ．2D ．16．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )7．(2017·福州质检)已知函数f (x )＝32,2,(1),2,x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(0,1]D ．(－1,0)8.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若DB →＝x ·DC →＋y ·DA →，x >0，y >0，则x ，y 的值分别为( )A.3，1B ．1＋3， 3C ．2， 3 D.3，1＋ 39．已知sin(x －2 017π)＝13，x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan 2x 等于( ) A.24 B ．－24C.427 D ．4 210．已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( ) A.32B ．－22C ．－24 D．－3411．(2015·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1 B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 12．已知O 是锐角△ABC 的外心，tan A ＝22，若cos B sin C AB →＋cos C sin B AC →＝2mAO →，则m 等于( ) A.33 B.32C ．3 D.53 二、填空题13．若f (x )＝x ＋2⎠⎛01f (t )d t ，则f (1)＝________. 14．若tan α＝3，则sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝________. 15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－14，则AD →·BC →＝________.16．关于函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ，有下列命题：①对任意x 1，x 2∈R ，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增； ③函数f (x )的图象关于点(π12，0)对称； ④将函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y ＝2sin 2x 的图象重合． 其中正确的命题是________．(注：把你认为正确的序号都填上)三、解答题17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，x <－2，x ＋3，－2≤x ≤12，5x ＋1，x >12. (1)求函数f (x)的最小值；。

第六节 解三角形与平面向量例题1.若∆ABC 满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是__________.例题2. 已知a b c，，分别为ABC △的三个内角A B C，，的对边，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC △面积的最大值为__________.例题3已知ABC △的内角A B C ，，，满足1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足1≤S ≤2，记a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）.A.()8bc b c +>B.()ab a b +>C.612abc ≤≤D.1224abc ≤≤练习.在ABC 中a b c ，，分别为内角A B C ，，的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，则角A 的大小为（ ）.A.6πB.3πC.23πD.56π7.向量和解三角形1.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=，其中θ是a 与b 的夹角.2.平面向量数量积的几何意义：（1）一个向量在另一个向量方向上的投影，设θ是a 与b 的夹角，则||cos b θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影；||cos a θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影.（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积3.向量数量积的性质：设两个非零向量与b ，则（1）设是单位向量，且e 与a 的夹角，则||cos e a a e a θ⋅=⋅=； （2）0a b a b ⊥⇔⋅=；（3）当与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地，22||a a a a ⋅==或||a =（4），当且仅当a 与b 共线，即a b ∥时等号成立；（5）cos ||||a ba b θ⋅=（θ为向量a 与b 的夹角）4.向量数量积的运算律a e a ||||||ab a b ⋅（1）交换律：a b b a ⋅=⋅；（2）数乘结合律()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅5.三角形面积公式（1）已知三角形一边及该边上的高：12S ah = （h 表示边a 上的高）； （2）已知三角形的两边及其夹角：111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===；（3）已知三角形三边：1()2S p a b c ⎫==++⎪⎭；（4）已知三角形的三边及内切圆半径：1()2S r a b c =++ （r 表示三角形内切圆半径）. 例题4在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DE ⋅=_________例题5如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是__________.例题6ABC △是边长为2的等边三角形，已知向量a b ，满足22AB a AC a b ==+，，则下列结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的序号）①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a b ⊥；④b BC ∥；⑤(4)a b BC +⊥ 例题7已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒ ，点E F ，分别在边BC DC ，上，BE BC DF DC λμ==，，若213AE AF CE CF ⋅=⋅=-，，，则λμ+=（ ）A.12B.23C.56D.712例题8在等腰梯形ABCD 中，已知2AB DC AB =，∥，160BC ABC =∠=︒，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且19BE BC DF DC λλ==，，则AE AF ⋅的最小值为__________.练习.知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒ ，点E F ，分别在边BC DC ，上，3BC BE DC DF λ==，，若1AE AF ⋅=，则λ= __________.例9是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A.—2B.32-C.43-D.—1例10ABCD 中，12AB AD ==， ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A.3B. C.D.2。

高中数学第六章平面向量及其应用必考考点训练单选题1、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为（ ） A ．2√73B ．83C ．2√193D ．2√133答案：D分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |最大，问题得以解决 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， ∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)，∴{x =2+λy =√3λ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−√32(x −3)，②，联立①②，解得{x =73y =√33， 此时|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |最大， ∴|AP|=√499+13=2√133， 故选：D ．小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题 2、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B3、在△ABC 中，已知a =2,b =3,B =30°，则此三角形（ ） A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．无法判断有几解 答案：A分析：根据给定条件，结合正弦定理计算判断作答. 在△ABC 中，a =2,b =3,B =30°，由正弦定理得sinA =asinB b=2sin30∘3=13，而a <b ，有A <B =30∘，即A 为锐角，所以此三角形有一解． 故选：A4、已知平面向量a ＝(1，2)，b ⃗ ＝(－2，m )，且a ∥b ⃗ ，则2a ＋3b⃗ ＝( ) 34A．(－4，－8)B．(－8，－16)C．(4，8)D．(8，16)答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.∵a∥b⃗，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4，∴b⃗＝(－2，－4)，∴2a＋3b⃗＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．故选：A.5、a ,b⃗为非零向量，且|a+b⃗|=|a|+|b⃗|，则（）A．a //b⃗，且a与b⃗方向相同B．a ,b⃗是共线向量且方向相反C．a=b⃗D．a ,b⃗无论什么关系均可答案：A分析：根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.当两个非零向量a ,b⃗不共线时，a+b⃗的方向与a ,b⃗的方向都不相同，且|a+b⃗|<|a|+|b⃗|；当两个非零向量a ,b⃗同向时，a+b⃗的方向与a ,b⃗的方向都相同，且|a+b⃗|=|a|+|b⃗|；当两个非零向量a ,b⃗反向时且|a|<|b⃗|，a+b⃗的方向与b⃗的方向相同，且|a+b⃗|=|b⃗|−|a|，所以对于非零向量a ,b⃗，且|a+b⃗|=|a|+|b⃗|，则a //b⃗，且a与b⃗方向相同.故选：A.6、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=π3，b=3，a=√3，则c=（）．A．√3B．2√3C．3−√3D．3答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3+c2−√3c=9，即c2−√3c−6=0，解得：c=−√3（舍），∴c=2√3.故选：B.7、在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若A=45°,B=60°,b=2√3，则c等于（）cA ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC=b sinB，所以c sin75°=2√3sin60°， 故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量a =(2，3)，b ⃗ =(3，2)，则|a –b ⃗ |= A ．√2B ．2 C ．5√2D ．50 答案：A分析：本题先计算a −b ⃗ ，再根据模的概念求出|a −b ⃗ |． 由已知，a −b ⃗ =(2,3)−(3,2)=(−1,1)， 所以|a −b ⃗ |=√(−1)2+12=√2， 故选A小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错． 多选题9、G 是△ABC 的重心，AB =2，AC =4，∠CAB =120°，P 是△ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）A ．GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0→B ．AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量等于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−43D ．AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为-1 答案：AC分析：根据向量的线性运算结合重心的性质判断A ，根据投影向量的定义判断B ，根据向量的数量积的运算律判断C ，D.A ：当点G 为△ABC 的重心时，如图所示：四边形BDCG 为平行四边形，根据重心性质可得AG⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ .则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0→，∴A 正确， B ：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=4×(−12)=−2， ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B 错误， C ：∵G 是△ABC 的重心，∴GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗ =19(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=19(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2) =19[8+2×4×(−12)−16]=−43，∴C 正确，D ：当P 与G 重合时，∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AG⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−19(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−43，与AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为−1矛盾 ∴D 错误， 故选：AC ．10、已知向量a ，b ⃗ ，c 满足|a |=2，|b ⃗ |=1，a ⋅b ⃗ =1，|c |2−2b ⃗ ⋅c +34=0，则下列说法正确的是（ ）A ．|c −b ⃗ |=1B ．若|c |=√32，则c ⊥(c −b⃗ ) C ．∀t ∈R ，有|b ⃗ +ta |≥√32D ．若c =λa +(1−λ)b ⃗ ，λ∈R ，则|a −c →|的值唯一 答案：BC分析：结合已知条件，利用平面向量数量积的运算性质逐个检验即可 对于A ：∵|b →|=1，|c →|2−2b →⋅c →+34=0∴|c →−b →|2=(c →−b →)2=c →2−2c →⋅b →+b →2=−34+1=14，故A 错误；对于B ：∵|c →|2−2b →⋅c →+34=0，∴|c →|2=2b →⋅c →−34， 当|c →|=√32，34=2b →⋅c →−34，得b →⋅c →=34∴c →⋅(c →−b →)=c →2−b →⋅c →=34−34=0， ∴c →⊥(c →−b →)，故B 正确；对于C ：∵|b →+ta →|2=(b →+ta →)2=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2=1+2t +4t 2 =4(t +14)2+34≥34，∴|b →+ta →|≥√32恒成立，故C 正确；对于D ：∵c →=λa →+(1−λ)b →，∴c →2=[λa →+(1−λ)b →]2=λ2a →2+2λ(1−λ)a →⋅b →+(1−λ)2b →2=4λ2+2λ(1−λ)+(1−λ)2=3λ2+1，b →⋅c →=b →⋅[λa →+(1−λ)b →]=λa →⋅b →+(1−λ)b →2=λ+(1−λ)=1， ∵|c →|2−2b →⋅c →+34=0，∴|c →|2−2b →⋅c →+34=3λ2+1−2+34=3λ2−14=0， ∴λ2=112，∴λ=±√36∵a →−c →=a →−(λa →+(1−λ)b →)=(1−λ)a →−(1−λ)b →，∴|a →−c →|2=[(1−λ)a →−(1−λ)b →]2=(1−λ)2a →2−2(1−λ)2a →⋅b →+(1−λ)2b →2=4(1−λ)2−2(1−λ)2+(1−λ)2=3(1−λ)2当λ=√36时，|a→−c→|2=3(1−λ)2=13−4√34=(2√3−1)24，|a→−c→|=2√3−12；当λ=−√36时，|a→−c→|2=3(1−λ)2=13−4√34=(2√3+1)24，|a→−c→|=2√3+12；故D错误；故选：BC11、甲，乙两楼相距20m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（）A．甲楼的高度为20√3m B．甲楼的高度为10√3mC．乙楼的高度为40√33m D．乙楼的高度为10√3m答案：AC分析：根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度.如图示，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=20m，∴AD=BDtan60°=20√3m,在△ABC中，设AC=BC=x，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2−2AC BC cos∠ACB，即1600=x2+x2+x2解得：x=40√33则乙楼的高度分别为40√33m.故选：AC小提示：数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键． 12、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cosBcosC =b2a−c ， S △ABC =3√34，且b =3，则A ．cosB =12B ．C ．a +c =√3D ．a +c =3√2答案：AD分析：利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解. ∵cosBcosC =b2a−c =sinB2sinA−sinC .整理可得: sinBcosC =2sinAcosB −sinCcosB可得 sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)=sinA =2sinAcosB ∵A 为三角形内角, cosB =12, 故A 正确，B 错误.B ∈(0,π)∴B =π3S △ABC =3√34,b =3 ∴3√34=12acsinB =12×a ×c ×√32=√34ac 解得 ac =3,由余弦定理得 9=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =(a +c)2−9 解得a +c =3√2, 故C 错误，D 正确. 故选: AD.小提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”. 13、某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为12√6nmile ；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离cos 2B =sin 0A ≠8√3nmile ．货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°，则下列说法正确的是（ ） A ．A 处与D 处之间的距离是24nmile ；B ．灯塔C 与D 处之间的距离是16nmile ； C ．灯塔C 在D 处的西偏南60°；D ．D 在灯塔B 的北偏西30°． 答案：AC分析：根据题意作出图形，然后在△ABD 中，结合正弦定理得求出AD ，在△ACD 中，由余弦定理得CD ，然后求出相关角度，进而逐项分析即可.由题意可知∠ADB =60∘,∠BAD =75∘,∠CAD =30∘，所以∠B =180∘−60∘−75∘=45∘，AB =12√6,AC =8√3,在△ABD 中，由正弦定理得ADsin∠B=AB sin∠ADB，所以AD =12√6×√22√32=24(nmile )，故A 正确；在△ACD 中，由余弦定理得CD =√AC 2+AD 2−2AC ⋅ADcos∠CAD ， 即CD =(8√3)2+242−2×8√3×24×√32=8√3(nmile )，故B 错误；因为CD =AC ，所以∠CDA =∠CAD =30∘，所以灯塔C 在D 处的西偏南60∘，故C 正确； 由∠ADB =60∘，D 在灯塔B 的北偏西60∘处，故D 错误. 故选：AC 填空题14、△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于A 1，B 1，C 1.则AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cosC 2sinA+sinB+sinC的值为_____________.答案：4分析：连BA1，由正弦定理得AA1=2Rsin(B+A2)，利用三角形内角和性质得AA1=4cos(B−C2)，进而利用积化和差公式、诱导公式得AA1cos A2=2(sinC+sinB)，同理求BB1cos B2、CC1cos C2，即可求值.连BA1，则AA1=2Rsin(B+A2)=4sin(A+B+C2+B2−C2)=4cos(B−C2)，∴AA1cos A2=4cos(B−C2)cos A2=2(cos A+B−C2+cos A+C−B2)=2(sinC+sinB)，同理可得：BB1cos B2=2(sinA+sinC)，CC1cos C2=2(sinA+sinB).∴AA1cos A2+BB1cos B2+CC1cos C2=4(sinA+sinB+sinC)，即AA1cosA2+BB1cos B2+CC1cos C2sinA+sinB+sinC=4.所以答案是：4小提示：关键点点睛：应用正弦定理、三角形内角和性质求得AA1=2Rsin(B+A2)=2Rcos(B−C2)，再由积化和差公式、诱导公式求AA1cos A2，同理求出BB1cos B2、CC1cos C2.15、三条直线l1、l2、l3两两平行，l1到l2的距离为1，l2到l3的距离为2，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为_______.答案：73√3或√3分析：分两种情况讨论：（1）l1、l3在l2的异侧；（2）l2、l3在l1的异侧.在两种情况下，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，设等边三角形ABC的边长为a，设AB与直线l2的夹角为θ，根据已知条件建立关于a、θ的等式组，求出a的值，由此可求得等边三角形ABC的面积.分以下两种情况讨论：（1）若l1、l3在l2的异侧，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，如下图所示：过点B作直线l2的垂线分别交直线l1、l3于点E、F，则BE=1，BF=2，设等边三角形ABC的边长为a，设AB与直线l2的夹角为θ，则π3−θ也为锐角，由{0<θ<π20<π3−θ<π2，解得0<θ<π3，由题意可得{BE=asinθ=1BF=asin(π3−θ)=20<θ<π3，解得{sinθ=√2114a=2√213，此时，该三角形的面积为S=12a2sinπ3=√34×283=7√33；（2）若l2、l3在l1的异侧，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，如下图所示：过点A 作直线l 1的垂线分别交直线l 2、l 3于点E 、F ，则AE =AF =1， 设等边三角形ABC 的边长为a ，设AB 与直线l 2的夹角为θ，则π3−θ也为锐角，由{0<θ<π20<π3−θ<π2，解得0<θ<π3， 由题意可得{AE =asinθ=1AF =asin (π3−θ)=10<θ<π3，解得{sinθ=12a =2， 此时，该三角形的面积为S =12a 2sin π3=√34×4=√3.综上所述，该等边三角形的面积为7√33或√3. 所以答案是：7√33或√3. 小提示：关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，解题的关键就是选择合适的角θ，将问题中的边与相应的角用θ来边角，根据已知条件产生相等关系，结合三角函数相关知识求解.16、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c .若b =6,a =2c,B =π3，则△ABC 的面积为__________. 答案：6√3分析：本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用a,c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．由余弦定理得，所以(2c)2+c 2−2×2c ×c ×12=62，即c 2=12解得c =2√3,c =−2√3（舍去） 所以a =2c =4√3，S ΔABC =12acsinB =12×4√3×2√3×√32=6√3.小提示：本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算． 解答题2222cos b a c ac B =+-17、如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使DB =13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ，b ⃗ 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC⃗⃗⃗⃗⃗ .答案：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −53b⃗ . 分析：利用向量的加、减运算即可求解. ∵AC =BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b⃗ . ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ −23b ⃗ =2a −53b ⃗ . 18、记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1,S 2,S 3，已知S 1−S 2+S 3=√32,sinB =13．(1)求△ABC 的面积； (2)若sinAsinC =√23，求b ．答案：(1)√28 (2)12分析：（1）先表示出S 1,S 2,S 3，再由S 1−S 2+S 3=√32求得a 2+c 2−b 2=2，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得b 2sin 2B =acsinAsinC ，即可求解. （1）由题意得S 1=12⋅a 2⋅√32=√34a 2,S 2=√34b 2,S 3=√34c 2，则S 1−S 2+S 3=√34a 2−√34b 2+√34c 2=√32， 即a 2+c 2−b 2=2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得accosB =1，则cosB >0，又sinB =13，则cosB =√1−(13)2=2√23，ac =1cosB=3√24，则S △ABC =12acsinB =√28； （2）由正弦定理得：bsinB=a sinA=c sinC，则b 2sin 2B=a sinA⋅c sinC=acsinAsinC=3√24√23=94，则bsinB=32，b =32sinB =12.。

2015高考数学（文）一轮复习质量检测 三角函数、解三角形、平面向量(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2014·龙岩质检）已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c－a )∥b ，则c ＝( )A. (2,1)B. (1,0)C. (32，12)D. (0，－1)解析：设c ＝(x ，y )，则c ＋b ＝(x ＋1，y ＋2)，c －a ＝(x －1，y ＋1)．由(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y －2＝0y ＋1＝x －，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，因此c ＝(2,1)．答案：A2．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF →＝ A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD →解析：在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →，因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的中点，所以CF →＝12CB →.所以EF →＝12DC →＋12CB →＝12AB →＋12DA →＝12AB →－12AD →.故选D.答案：D3．已知|a |＝2，b 是单位向量，且a 与b 的夹角为60°，则a ·(a ·b )等于( ) A ．1 B ．2－ 3 C ．3D ．4－ 3解析：依题意得a ·(a －b )＝a 2－ab ＝22－2×1×cos 60°＝3，故选C. 答案：C4．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：cos A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A >sin B ，π2－A ，B 都是锐角，则π2－A >B ，A ＋B <π2，C >π2. 答案：C5．计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1，选D.答案：D6．(2013年唐山月考)将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π9 B ．x ＝π8 C ．x ＝π2D ．x ＝π解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，则其对称轴为x 2－π4＝kπ，x ＝2kπ＋π2(x ∈Z )．∴x ＝π2是其中一条对称轴．答案：C7．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6D ．与P 的位置有关解析：设BP →＝λBC →，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBC →.∴AP →·(AB →＋AC →)＝(AB →＋λBC →)(AB →＋AC →)＝AB →2＋λBC →·AB →＋AB →·AC →＋λBC →·AC →＝22＋λ×2×2×cos 120°＋2×2×cos 60°＋λ×2×2×cos 60°＝4－2λ＋2＋2λ＝6.答案：C8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)的图象如图所示，其中A >0，ω>0，|φ|<π2.则下列关于函数f (x )的说法中，正确的是( )A ．对称轴方程是x ＝π3＋2kπ(k ∈Z ) B ．φ＝－π6 C ．最小正周期是πD ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－5π6上单调递减解析：由图象可得A ＝1，因为T 2＝πω＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，0代入得56π＋φ＝2kπ＋π，所以φ＝2kπ＋π6.又|φ|<π2，所以φ＝π6，故B ，C 错；由解析式可得对称轴方程为x ＝π3＋kπ(k ∈Z )，故A 错；又函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ＋π3，2kπ＋4π3， 当k ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－5π6⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3，－2π3，答案选D.答案：D9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且ab ＝3，则角B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．120°解析：b 2＋c 2－bc ＝a 2，则cos A ＝12，A ＝60°，a b ＝3，sin A sin B ＝3，则sin B＝12，又可知b <a ，故B 为锐角，B ＝30°.答案：A10．(2013年冀州中学期中)已知钝角三角形ABC 的最长边的长为2，其余两边长为a ，b ，则集合P ＝{(x ，y )|x ＝a ，y ＝b }所表示的平面图形的面积是( )A ．2B ．4C ．π－2D ．4π－2解析：根据三角形两边之和大于第三边，有a ＋b >2，由余弦定理可知cos C <0，这样可知a 2＋b 2<4，作出图象可知其面积为π－2，选C.答案：C11．若函数f (x )＝－2cos (ωx －φ)(0<φ<π)的图象关于原点对称，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，f (x )单调递减且最小值是－1，那么ω＝( )A ．－23 B.23 C.43D.103解析：由函数f (x )＝－2cos (ωx －φ)(0<φ<π)的图象关于原点对称，得函数f (x )是奇函数，所以φ＝kπ＋π2(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π2，所以f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝－2sin ωx .因为当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，f (x )单调递减且最小值是－1，所以ω>0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－2sin π4ω＝－1，π4≤T 4＝π2ω，解得ω≤2，且ω＝8k ＋23或ω＝8k ＋103(k∈Z )，故ω＝23.答案：B12．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝7，∴a ·b ＝0，则a ⊥b . 从而|a ＋b |＝2，设a 与a ＋b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝12，则θ＝π3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，π3<α<π，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝______.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13>0，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，7π6，∴π2<α＋π6<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－223，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝22×⎝⎛⎭⎪⎫－223－22×13＝－(4＋2)6.答案：－4＋2614．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m ＝________.解析：因为AN →＝13NC →，AP →＝mAB →＋811AN →，可得m ＋811＝1，所以实数m 的值为311.答案：31115．（2014·南通学情调研）“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内如图的一块三角形空地上种植草皮(单位：m)，已知这种草皮的价格是120元/m 2，则购买这种草皮需要______元．解析：三角形空地的面积S ＝12×123×25×sin120°＝225，故共需225×120＝27000元．答案：2700016．在△ABC 中，A ＝30°，BC ＝25，D 是边AB 上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长为________．解析：过点C 作CE ⊥AB ，垂足为点E .因为S △DCB ＝12CD ·BC ·sin ∠DCB ＝4，所以sin ∠DCB ＝845＝255.当∠DCB 为锐角时，cos ∠DCB ＝55，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠DCB ＝16，解得BD ＝4.又S △DCB ＝12BD ·CE ＝4，所以CE ＝2.又CE ⊥AE ，∠CAE ＝30°，所以AC ＝2CE ＝4；当∠DCB 为钝角时，cos ∠DCB ＝－55，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠DCB ＝32，解得BD ＝4 2.又S △DCB ＝12BD ·CE ＝4，所以CE ＝ 2.又CE ⊥AE ，∠CAE ＝30°，所以AC ＝2CE ＝2 2. 答案：22或4三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tan π4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sinα＝2cos α.①因为sin 2α＋cos 2α＝1②由①②联立，解得cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.18．已知函数f (x )＝sin 2x cos 2x －3sin 22x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2x cos 2x －3sin 22x ＝12sin 4x －3·1－cos 4x 2 ＝12sin 4x ＋32cos 4x －32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32，所以函数f (x )的最小正周期为π2. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32.因为0≤x ≤π4， 所以π3≤4x ＋π3≤43π. 所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3≤1.所以－3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32≤1－32.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，1－32.19．在△ABC 中，AB →·AC →＝0，|AB →|＝8，|AC →|＝6，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，(1)求AD →·CB →的值．(2)判断AE →·CB →的值是否为一个常数，并说明理由． 解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，由题意可知A (0,0)，B (8,0)，C (0,6)．(1)∵D 为BC 中点，∴D 点坐标为(4,3)， ∵AD →＝(4,3)，CB →＝(8，－6)， ∴AD →·CB →＝4×8＋3×(－6)＝14. (2)设E 点坐标为(x ，y )，其中x ≠4. 由DE ⊥BC ，得DE →·BC →＝0， ∴(x －4，y －3)·(－8,6)＝0， ∴4x －3y －7＝0.∴AE →·CB →＝(x ，y )·(8，－6) ＝8x －6y ＝2(4x －3y )＝14， 故AE →·CB →的值为常数14.20．(2012年东北四校质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C2－cos 2C＝72，所以4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72.整理得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12. 因为0°<C <180°，所以C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－2ab ×12，所以7＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，解得ab ＝6.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2cos C2，－sin C )，n ＝(cos C2，2sin C )，且m ⊥n .(1)求角C 的大小；(2)若a 2＝2b 2＋c 2，求tan A 的值．解：(1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝0.则2cos 2C2－2sin 2C ＝0.因为C ∈(0，π)，所以cos C 2>0，sin C >0，所以cos C 2＝sin C ，则sin C 2＝12.又C 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C 2＝π6.则C ＝π3.(2)因为C ＝π3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－ab . 又因为a 2＝2b 2＋c 2，所以a 2＝2b 2＋a 2＋b 2－ab ， 解得a ＝3b .由正弦定理，得sin A ＝3sin B . 因为C ＝π3，所以sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A .即sin A ＝－33cos A .因为cos A ＝0上式不成立，即cos A ≠0， 所以tan A ＝－3 3.22．(2012年浙江六校联考)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2－a 2－c 2ac＝cos (A ＋C )sin A cos A .第 11 页 共 11 页 (1)求角A ；(2)若a ＝2，求bc 的取值范围．解：(1)∵b 2－a 2－c 2ac ＝cos (A ＋C )sin A cos A ，∴－2ac cos B ac ＝－cos Bsin A cos A ，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos B ≠0，∴2sin A cos A ＝1，即sin 2A ＝1， ∴2A ＝π2，A ＝π4.(2)根据正弦定理可得：a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴bc ＝4sin B sin C ，又C ＝3π4－B ，∴bc ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝4sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos B ＋22sinB ＝2sin 2B ＋2(1－cos 2B )⇒bc ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π4＋ 2.又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<B <π2，0<3π4－B <π2，得到B 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴2B －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，则bc 的范围为(22，2＋2]．。

第六章 平面向量及其应用 复习参考题——高一数学人教A 版（2019）必修第二册洞悉课后习题【教材课后习题】1.判断下列命题是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）. （1）AB BA +=0.( ) （2）AB BC AC +=.( ) （3）AB AC BC -=.( ) （4）00AB =.( )2.选择题（1）如果a ，b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ). A.=a bB.1⋅=a bC.22≠a bD.22||||=a b（2）对于任意两个向量a 和b ，下列命题中正确的是( ). A.若a ，b 满足||||>a b ，且a 与b 同向，则>a b B.||||||+≤+a b a b C.||||||⋅≥a b a b D.||||||-≤-a b a b（3）在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则( ). A.四边形ABCD 是矩形 B.四边形ABCD 是菱形 C.四边形ABCD 是正方形D.四边形ABCD 是平行四边形（4）设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ). A.a 与λ-a 的方向相反 B.||||λ-≥a a C.a 与2λa 的方向相同D.||||λλ-=a a（5）设M 是ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA OB OC OD +++=( )A.OMB.2OMC.3OMD.4OM（6）在下列各组向量中，可以作为基底的是( ). A.1(0,0)=e ，2(1,2)=-e B.1(1,2)=-e ，2(5,7)=eC.1(3,5)=e ，2(6,10)=eD.1(2,3)=-e ，213,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭e3.已知六边形ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，BD =b ，分别用a ，b 表示DE ，AD ，BC ，EF ，FA ，AB ，CE .4.已知平面直角坐标系中，点O 为原点，(3,4)A --，(5,12)B -. （1）求AB 的坐标及||AB 的值；（2）若OC OA OB =+，OD OA OB =-，求OC 与OD 的坐标； （3）求OA OB ⋅的值.5.已知点(1,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C .若AB CD =，则点D 的坐标是什么?6.已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，(1,0)=-c ，求满足λμ=+c a b 的λ和μ的值.7.已知ABC △的顶点坐标分别为(1,1)A ，(4,1)B ，(4,5)C ，求cos A ，cos B ，cos C 的值.8.已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b .当λ为何值时，λ+a b 与a 垂直?9.已知向量a 与b 的夹角为30°，||=a ，||2=b ，求||+a b ，||-a b 的值. 10.如图，支座A 受1F ，2F 两个力的作用，已知1F 与水平线成θ角，140N =F ，2F 沿水平方向，270N =F ，1F 与2F 的合力F 的大小为100N ，求cos θ以及F 与2F 的夹角β的余弦值.11.在ABC △中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1′，边长精确到0.01cm ）：（1）12cm a =，5cm b =，120A =︒； （2）6cm a =，8cm b =，30A =︒； （3）7cm a =，23cm b =，130C =︒； （4）2cm a =，3cm b =，4cm c =.12.海中有一座小岛，周围3nmile 内有暗礁.一艘海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东75°；海轮航行8nmile 以后，望见该岛在北偏东55°.如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险? 13.选择题（1）已知a ，b 是不共线的向量，且5AB =+a b ，28BC =-+a b ，3()CD =-a b ，则( ).A.A ，B ，D 三点共线B.A ，B ，C 三点共线C.B ，C ，D 三点共线D.A ，C ，D 三点共线（2）已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ，则||++=a b c ( ).A.0B.3D.（3）已知OA =a ，OB =b ，OC =c ，OD =d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( ).A.0+++=a b c dB.0-+-=a b c dC.0+--=a b c dD.0--+=a b c d（4）若1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则122a =+e e 与1232=-+b e e 的夹角为( ). A.30°B.60°C.120°D.150°（5）已知等边三角形ABC 的边长为1，BC =a ，CA =b ，AB =c ，那么⋅+⋅+⋅=a b b c c a ( ).A.3B.-3C.32 D.32-（6）若平面向量a ，b ，c 两两的夹角相等，且||1=a ，||1=b ，||3=c ，则||++=a b c ( ).A.2B.5C.2或514.已知a ，b ，c ，d 为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义. （1）||||⊥⇔+=-a b a b a b ；（2）若+=a b c ，-=a b d ，则||||=⇔⊥a b c d .15.已知123PP P △，向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123OP OP OP ==.求证：123PP P △是等边三角形.16.如图，已知OA =a ，OB =b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，用a ，b 表示向量MN .（本题可以运用信息技术发现规律）17.一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了9km 到达B 地，然后由B 地行了16km 到达D 地，求这个人由A 地到D 地的位移（角度精确到1°）.【定点变式训练】18.在ABC △中，设,,AB AC D ==a b 为AC 边的中点，则BD =( ) A.12+a bB.12+a bC.12-a bD.12-b a19.已知向量,a b 不共线，若向量λ+a b 与λ+b a 的方向相反，则λ的值为( ) A.1B.0C.-1D.1±20.如图所示，在四边形ABCD 中，1,3DC AB E =为BC 的中点，且AE xAB y AD =+，则32x y -=( )A.12B.32C.1D.221.已知作用在点A 的三个力1(3,4)=f ，2(2,5)=-f ，3(3,1)=f ，且(1,1)A ，则合力123=++f f f f 的终点坐标为( )A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)22.P 是 ABC 所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，则ABC 的形状是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形23.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若60A =︒，1b =，其面积sin sin sin a b cA B C++=++( )A. 24.在ABC △中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =( )B. C. D.25.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓.荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将A 到D 修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A ，B ，C ，D 在同一水平面内)，则A ，D 间的距离为( )kmkm26.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，则ABC △是( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰（非等边）三角形D.等腰直角三角形27.已知向量(3,4),(2,4)m =-=a b .若向量23-a b 与b 共线，则实数m =________. 28.平面向量(1,2),(4,2),()m m ===+∈R a b c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =________.29.已知在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=，且c a =，则cos B =____________.30.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100m BC =，则山高MN =__________m.31.设,a b 是不共线的两个非零向量.(1)若2,3,3OA OB OC =-=+=-a b a b a b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若8k +a b 与2k +a b 共线，求实数k 的值；(3)若,23,2AB BC CD k =+=-=-a b a b a b ，且A ，C ，D 三点共线，求实数k 的值.32.已知||=a ||=b 5⋅=-a b ，(1)x x =+-c a b . （1）当⊥b c 时，求实数x 的值；（2）当||c 取最小值时，求向量a 与c 的夹角的余弦值. 33.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B .(2)若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围.34.如图，在海岸A 处，发现南偏东45°方向距A 为2)海里的B 处有一艘走私船，在A 处正北方向，距A 为C 处的缉私船立即奉命以海里/时的速度追截走私船.(1)刚发现走私船时，求两船的距离.(2)若走私船正以/时的速度从B 处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：2.5≈≈)35.已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin sin A B C A B +-=.(1)求角C 大小.(2)若2c =b +的取值范围.答案以及解析1.答案：（1）√ （2）√ （3）× （4）×解析：（1）AB 与BA 是相反向量，它们的和为零向量.故正确.（2）当第一个向量的终点是第二个向量的起点时，这两个向量的和等于第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量.故正确.（3）当两个向量有共同的起点时，那么这两个向量的差等于减向量的终点指向被减向量的终点的向量.故不正确.（4）实数0与任意向量的数乘结果是零向量，而不是实数0.故不正确. 2.答案：（1）D （2）B （3）D （4）C （5）D （6）B解析：（1）因为a ，b 是两个单位向量，所以||||=a b ，因此22||||=a b ，也即22=a b ，故C 项错误，D 项正确；两个单位向量尽管长度相等，但方向不一定相同，故A 项错误；||||cos θ⋅=⋅a b a b ，只有a ，b 的夹角θ为0时，才有1⋅=a b ，故B 项错误.（2）A 项错误，向量不能比较大小；B 项正确；C 项错误，||||||⋅≤a b a b ；D 项错误，||||||-≤-a b a b .故选B.（3）AC AB AD =+是向量加法的平行四边形法则.（4）当0λ>时，a 与λ-a 的方向相反，当0λ<时，a 与λ-a 的方向相同，故A 项错误；||||||λλ-=a a ，只有当||1λ≥时，才有||||λ-≥a a ，故B 项错误；因为20λ>，所以a 与2λa 同向，故C 项正确；D 项错误.故选C.（5）因为2,2OA OC OM OB OD OM +=+=， 所以4OA OB OC OD OM +++=.（6）两个不共线的向量可以作为基底.A 项中12//e e ，故不能作为基底；B 项中1e ，2e 不共线，可以作为基底；C 项中1212=e e ，所以12//e e ，不能作为基底；D 项中124=e e ，不能作为基底，故选B.3.答案：2133DE =-+a b ，2233AD =+a b ，1133BC =+b a ，1133EF =--a b ，1233FA =-a b ，1233CD =-+a b ，CE =-+a b解析：如图，设ACBD M =.因为六边形ABCDEF 为正六边形， 所以120ABC BCD ∠=∠=︒， 且ABC DCB ≌△△. 又ABC △是等腰三角形， 所以30BAC BCA ∠=∠=︒， 从而可有90ACD DBA ∠=∠=︒，则1sin 302CM BM AM AM ==︒=， 则1sin 302CM BM AM AM ==︒=，所以13MC =a ，23AM =a ，同理有13BM =b ，23MD =b .所以2133DE BA MA MB ==-=-+a b ，2233AD AM MD =+=+a b ，1133BC BM MC =+=+b a .1133EF BC =-=--a b ，1233FA DC DM MC ==+=-a b ，1233CD FA =-=-+a b ，2133AB DE =-=-a b ，CE CD DE =+=-+a b .4.答案：（1）(8,8)AB =-，||82AB = （2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =- （3）33解析：（1）(5,12)(3,4)(8,8)AB =----=-，2||8AB ==. （2）(3,4)(5,12)(2,16)OC OA OB =+=--+-=-，(3,4)(5,12)(8,8)OD OA OB =-=----=-.（3）(3,4)(5,12)154833OA OB ⋅=--⋅-=-+=. 5.答案：(2,0)-解析：设(,)D x y ，由(1,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C 知(2,1)AB =--，(,1)CD x y =-，要使AB CD =，则有2,11,x y =-⎧⎨-=-⎩解得2,0.x y =-⎧⎨=⎩所以点D 的坐标为(2,0)-.6.答案：10λμ=-⎧⎨=⎩解析：由λμ=+c a b ，得(1,0)(1,0)(1,1)(,)λμλμμ-=+=+.即1,0,λμμ+=-⎧⎨=⎩解得1,0.λμ=-⎧⎨=⎩7.答案：3cos 5A =，cos 0B =，4cos 5C = 解析：由(1,1)A ，(4,1)B ，(4,5)C 可知(3,0)AB =，(0,4)BC =，所以0AB BC ⋅=，即AB BC ⊥，所以90B ∠=︒，||3AB =，||4BC =，所以||5AC =，故3cos 5A =，cos 0B =，4cos 5C =. 8.答案：1λ=-解析：(1,0)=a ，(1,1)=b ，(1,)λλλ∴+=+a b . 又λ+a b 与a 垂直，()0λ∴+⋅=a b a ，(1,)(1,0)0λλ∴+⋅=，即10λ+=，1λ∴=-.9.答案：||+=a b ，||1-=a b解析：||||cos3023⋅=︒==a b a b ，||∴+====a b||1-====a b . 10.答案：5cos 8θ=，19cos 20β=解析：12+=F F F ，()2212∴+=F F F ，即22212122++⋅=F F F F F .222407024070cos 100θ∴++⨯⨯⨯=，解得5cos 8θ=.又21-=F F F ，()2221∴-=F F F ，即2222212-⋅+=F F F F F ， 222100210070cos 7040β∴-⨯⨯⨯+=，解得19cos 20β=. 11.答案：见解析解析：（1）在ABC △中，根据正弦定理，得219B '=︒，602193851C ''=︒-︒=︒，8.69cm c ≈（2）在ABC △中，根据正弦定理，得2sin 3B =，因为b a >，所以4149B '≈︒或13811B '≈︒；当4149B '=︒时，10811C '=︒，11.40cm c ≈； 当13811B '=︒时，1149C '=︒， 2.46cm c ≈.（3）在ABC △中，根据余弦定理，得28.02cm c ≈，根据正弦定理，得112A '≈︒，501123858B ''≈︒-︒=︒.（4）在ABC △中，根据余弦定理的推论，得cos 0.875A ≈，即2857A '≈︒，同理可得4634B '≈︒，10429C '≈︒. 12.答案：没有解析：设海轮在B 处望见小岛A 在北偏东75°，在C 处望见小岛A 在北偏东55°，从小岛A 向海轮的航线BC 作垂线，垂足为D .设垂线段AD 的长度为x nmile ，CD 为y nmile （如图），则tan 35,tan15,8x y x y ⎧=︒⎪⎪⎨⎪=︒⎪+⎩即，,tan 358,tan15xy x y ⎧=⎪⎪︒⎨⎪=+⎪︒⎩则8tan 35tan15x x =-︒︒，解得8tan15tan 35 3.473tan 35tan15x ︒︒=≈>︒-︒.所以这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险.13.答案：（1）A （2）D （3）B （4）C （5）D （6）C解析：（1）283()5BD BC CD AB =+=-++-=+=a b a b a b ，∴A ，B ，D 三点共线.（2）因为AB BC AC +=，所以|||2|++=a b c c .因为||=c，所以||++=a b c 故选D.（3）易知OB OA AB -=，OC OD DC -=，而在平行四边形ABCD中，AB DC =，所以OB OA OC OD -=-，即-=-b a c d ，也即-+-=0a b c d =0，故选B.（4）12121cos602⋅=⋅︒=e e e e ， ()()221212112217232626222a b ∴⋅=+⋅-+=-+⋅+=-++=-e e e e e e e e ， ()222221211221||24444172==+=+⋅+=+⨯+=e a a e e e e e ，()222221211221||329124912472==-+=-⋅+=-⨯+=b b e e e e e e .设向量a 与向量b 的夹角为θ，则71cos ||2θ-⋅===-‖a b a b .又0180θ︒≤≤︒，所以120θ=︒，故选C.（5）311cos12011cos12011cos1202⋅+⋅+⋅=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=-a b b c c a .（6）由向量a ，b ，c 两两所成的角相等，故向量a ，b ，c 两两所成的角都等于0或2π3.当a ，b ，c 两两所成的角为2π3时，2π111cos 32⋅=⨯⨯=-a b ，2π313cos 32⋅=⨯⨯=-b c ，2π331cos 32⋅=⨯⨯=-c a .则22222||()222c ++=++=+++⋅+⋅+⋅a b c a b a b c a b b c c a1331192224222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，||2∴++=a b c .当a ，b ，c 唡两所成的角为0时，||||||||5++=++=a b c a b c .故选C. 14.答案：（1）见解析 （2）见解析解析：（1）先证||||⊥⇒+=-a b a b a b .||+==a b||-==a b .因为⊥a b ，所以，于是||||+=-a b a b . 再证||||+=-⇒⊥a b a b a b .由||||+=-a b a b ，两边平方得2222||2||||2||+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ， 所以0⋅=a b ，于是⊥a b .几何意义是矩形的两条对角线相等. （2）先证||||=⇒⊥a b c d .22()()||||⋅=+⋅-=-c d a b a b a b .又||||=a b ，所以0⋅=c d ， 所以⊥c d .再证||||⊥⇒=c d a b ， 由⊥c d 得0⋅=c d ，即22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ， 所以||||=a b ，几何意义是菱形的对角线互相垂直，如图所示.15.答案：见解析解析：由已知，可得123OP OP OP +=-， 两边平方得222121232OP OP OP OP OP +⋅+=，令2311OP OP OP ===，2112OP OP ∴⋅=-， ()222212121121211232PP OP OP OP OP OP OP ⎛⎫∴=-=+-⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭，123PP ∴=. 同理233112OP OP OP OP ⋅=⋅=-，1223313PP P P P P ∴=== 故123PP P △是等边三角形.16.答案：22MN =-b a解析：连接AB （图略），由对称性可知，AB 是SMN △的中位线，22()2()22MN AB OB OA ==-=-=-b a b a .17.答案：这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了 解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图.由题意可得(0,0)A ，(9,0)B ，(12,C -，D .AD AB BC CD ∴=++=，||20AD ==tan 204DOx ∠==， 23DOx ∴∠≈︒，902367DOy ∠≈-=︒︒︒.∴这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了.18.答案：D解析：因为,,AB AC D ==a b 为AC 边的中点，所以12AD AC =.由向量减法的三角形法则可得，1122BD AD AB AC AB =-=-=-b a ，故选D. 19.答案：C解析：向量λ+a b 与λ+b a 的方向相反，()//()λλ∴++a b b a .由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m ，使得()m λλ+=+a b b a ， 即(1)()m m λλ-=-a b .a 与b 不共线，10m m λλ∴-=-=，可得2.10,1m λλλ=∴-==±.当1λ=时，向量+a b 与+b a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去.1λ∴=-.20.答案：C解析：由题意，得11()22AE AB BE AB BC AB AB AD DC =+=+=+-++11212332AB AB AD AB AB AD ⎛⎫=+-++=+ ⎪⎝⎭.21,32AE xAB yAD xAB yAD AB AD =+∴+=+. AB 与AD 不共线，∴由平面向量基本定理得2,31.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 213232132x y ∴-=⨯-⨯=.故选C.21.答案：A解析：123(3,4)(2,5)(3,1)(8,0)=++=+-+=f f f f ，设合力f 的终点为(,)P x y ，O 为坐标原点，则(1,1)(8,0)(9,1)OP OA =+=+=f .故选A. 22.答案：B解析：P 是ABC 所在平面上一点，且||2|0,|||()()0PB PC PB PC PA CB PB PA PC PA --+-=∴--+-=∣∣，即||||,||||CB AB AC AB AC AB AC =+∴-=+，两边平方并化简得0,,90AC AB AC AB A ︒⋅=∴⊥∴=，即ABC 是直角三角形.故选B. 23.答案：C解析：设ABC △的面积为S ，由题意知1sin 2S bc A =1sin602c =⋅︒，解得4c =.由余弦定理得22212cos 1168132a b c bc A =+-=+-⨯=，即a =由正弦定理可得sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++.故选C.24.答案：C解析：方法一：在ABC △中，由余弦定理可得22222cos 16924393AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以3AB =，则2221cos 29AB BC AC B AB BC +-==⋅.又因为(0,π)B ∈，所以sin B，所以sin tan cos BB B==.故选C.方法二：过点B 作BD AC ⊥交AC 于点D ，则1cos 22DC BC C AC ===，可得ABC △为等腰三角形，且AB BC =.在Rt BCD △中，BD ==，所以tan 2B DC BD ===，所以22tan2tan 1tan 2BB B ==-故选C. 25.答案：A解析：本题考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用.连接AC ，设ACB α∠=，ACD β∠=，则在ACB △中，4AB =，5BC =，90ABC ∠=︒，所以AC =sin α=cos α=，所以()1cos cos 1202βα=︒-=-+=2222cos 4192365AD AC CD AC CD β=+-⋅⋅=+-=-AD =故选A.26.答案：B解析：()()3a b c b c a bc +++-=，22()3b c a bc ∴+-=，222b bc c a -+=.根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222222cos b bc c a b c bc A -+==+-，即2cos bc bc A =，1cos 2A ∴=.0180A <<︒︒，60A ∴=︒.又sin 2sin cos A B C =，sin 2cos sin A C B∴=，即22222a a b c b ab+-=⋅，化简可得22b c =，即b c =，ABC ∴△是等边三角形.故选B.27.答案：32-解析：因为23(66,4)m -=---a b ，所以(66)42(4)m m --⨯=⨯-，故32m =-. 28.答案：2解析：由(1,2),(4,2)==a b ，得(4,22),|||m m m =+=++==c a b a b ，58,820m m ⋅=+⋅=+a c b c .c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，||||||||⋅⋅∴=c a c bc a c b ，即=，解得2m =.29.答案：78解析：根据正弦定理得2222sin sin sin 6sin 60A A B B a ab b +-=+-=，即(3)(2)0,2a b a b a b +-=∴=，则2c b =，根据余弦定理得2222222447cos 288a c b b b b B ac b +-+-===.30.答案：150解析：在ABC △中，45BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，100BC =，100sin 45AC ∴==︒在AMC △中，75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，45AMC ∴∠=︒，由正弦定理可得sin sin AM ACACM AMC=∠∠，即sin 60sin 45AM =︒︒，解得AM =在Rt AMN △中，sin MN AM MAN =⋅∠sin 60=︒150(m)=. 故答案为150. 31.答案：(1)见解析 (2)值为4± (3)43k =解析：(1)2,2AB OB OA AC OC OA =-=+=-=--a b a b ， 所以AC AB =-.又因为A 为公共点，所以A ，B ，C 三点共线.(2)设8(2),k k λλ+=+∈a b a b R ，则8,2, k k λλ=⎧⎨=⎩解得4,2k λ=⎧⎨=⎩或4,2,k λ=-⎧⎨=-⎩所以实数k 的值为4±.(3)()(23)32AC AB BC =+=++-=-a b a b a b . 因为A ，C ，D 三点共线，所以AC 与CD 共线. 从而存在实数μ使AC CD μ=，即32(2)k μ-=-a b a b ，得32,2,k μμ=⎧⎨-=-⎩解得3,24.3k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以43k =.32.答案：（1）12x = （2解析：（1）⊥b c ，2[(1)](1)55(1)0x x x x x x ∴⋅=⋅+-=⋅+-=-+-=b c b a b b a b ，解得12x =.（2）222222||[(1)]2(1)(1)x x x x x x =+-=+-⋅+-=c a b a a b b 222221010(1)5(1)252052515x x x x x x x ⎛⎫--+-=-+=-+ ⎪⎝⎭.当25x =时，2||c 有最小值1，即||c 有最小值1.此时，2355=+c a b .223232310(5)1555555⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭a c a a b a a b ，设向量a ，c 的夹角为θ，则cos ||||θ⋅===a c a c . 33.答案：(1)60B =︒(2)⎝⎭解析：(1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=. 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=. 由180A BC ++=︒，可得sin cos 22A C B+=， 故cos2sin cos 222B B B =. 因为cos 02B≠，故1sin22B =，因此60B =︒.(2)由题设及(1)知ABC △的面积ABC S =△.由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+. 由于ABC △为锐角三角形，故090,090A C ︒<<︒︒<<︒， 由(1)知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<，ABC S <<△.因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭. 34.答案：(1)4海里.(2)南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.解析：(1)在ABC △中，因为2)AB =海里，AC =海里，135BAC ∠=︒，由余弦定理，得4BC =(海里). (2)根据正弦定理，可得sin1351sin 2AC ABC BC ︒∠==. 所以30ABC ∠=︒，易知15ACB ∠=︒，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，如图所示.则有CD =(海里)，BD =(海里).而120CBD ∠=︒，在BCD △中，根据正弦定理，可得sin sin BD CBD BCD CD ∠∠===所以45,15BCD BDC ∠∠=︒=︒，所以60ACD ∠=︒.在CBD △中根据正弦定理，得sin sin CB CD BDC CBD =∠∠，解得0.78t ≈小时≈47分钟. 故缉私船沿南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.35.答案：(1)5π6C =. (2)取值范围是(2,.解析：(1)因为222sin sin sin sin A B C A B +-=，所以由正弦定理得222a b c +-=，所以222cos 2a b c C ab +-=== 因为(0,π)C ∈，所以5π6C =. (2)由正弦定理得24sin c R C==，2sin )b R A B +=+π4sin 6A A ⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦14cos 2A A A ⎫=+⎪⎪⎭π4sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,6A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以πππ,663A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，b +的取值范围是(2,.。

2014届高三理科数学第一轮复习单元过关（6）考查：解三角形和平面向量 时间：90分钟练习时间：2013年10月20日星期天上午 出题人：盛驰志 审题人：刘仕宏一、选择题1．在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）A．B．CD2．在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形.D ．不能确定.3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 4．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP |:|PB |＝2，如图所示，则OP →＝( )A.13e 1－23e 2B.23e 1＋13e 2C.13e 1＋23e 2D.23e 1－13e 25．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与b 垂直，则λ等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A．2 B．2 C ．12 D ．12- 7．在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．24258．在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（ ）ABCD二、填空题9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，则a ·b ＝______，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝______. 10．在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π则b=______ 11．△ABC 中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为12．设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且1cos 4a b C ==1，=2，,则sin B =____13．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.14．已知ABC ∆,则其最大角的余弦值为_________.班别： 姓名： 学号： 成绩：二、填空题9． __________________ 10．__________________ 11．__________________12．__________________ 13．__________________ 14．__________________三、解答题15．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，求实数m 的取值范围．16．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知,2.B C b == （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）cos(2)4A π+的值．17．要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．18．已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量．(1)求A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．2014届高三理科数学第一轮复习单元过关（6）参考答案1．B.解析:由正弦定理,可得sin 45sin60AC BC=︒︒,所以2AC ==2．A.解析:由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得02cos 222<-+=abcb a C ,所以C 是钝角.3．A.解析:由已知得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ，故AD →＝2BC →，由共线向量知AD ∥BC ，且|AD |＝2|BC |，故四边形ABCD 为梯形，所以选A.4．C.解析: AP →＝2PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝3PB →，OP →＝OB →＋BP →＝OB →－13AB →＝OB →－13(OB →－OA →)＝13e 1＋23e 2.5．C.解析:λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴ λ＝－2.6．C.解析:由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”,选C. 7．A.解析:∵8=5b c ,由正弦定理得8sin =5sin B C ,又∵=2C B ,∴8sin =5sin 2B B ,所以8sin =10sin cos B B B ,易知sin 0B ≠,∴4cos =5B ,2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.8．B.解析:设AB c =,在△ABC 中,由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅,即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯,2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式h BC B BC AB S ABC ⋅=⋅⋅=∆21sin 21，知 1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯ ,解得h =. 9．解析:a·b ＝1×(－3)＋2×2＝1，∵ ka ＋b 与b 平行，ka ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，∴ (k －3)×2－(－3)×(2k ＋2)＝0，∴ k ＝0. 10．解析:由余弦定理得,2222cos 4b a c ac B =+-=,所以2b =.11．由余弦定理得o 120cos 2222⋅⋅-+=BC AC BC AC AB ，解得BC=3．故由面积公式得4315sin 21=⋅⋅=B BC AB S 12．解析:11,2,cos 4a b C ===,由余弦定理得22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=,则2c =,即B C =,故sin 4B ==. 13．解析:由222()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=⇒+-=-，根据余弦定理可得22212cos 223a b c C C ab π+-==-⇒=14．解析:设最小边为a ,,2a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为222cos 4α==-15．解：(1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))．∴AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴3(1－m )＝2－m ，∴m ＝12.(2)由题设知BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ) ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0⇒m >－34又由(1)可知，当m ＝12时，∠ABC ＝0°故m ∈⎝⎛⎭⎫－34，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 16．（Ⅰ）解：由,2,B C b c b ====可得所以222222331cos .23a a a b c a A bc +-+-===（Ⅱ）解：因为1cos ,(0,)3A A π=∈，所以sin A ==27cos 22cos 1.sin 22sin cos 99A A A A A =--=-==故所以78cos 2cos 2cos sin 2sin 444929218A A A πππ+⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17．解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝ 5 (km)，∴A 、B 之间的距离为 5 km.18．解 (1)∵p ∥q ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝0，∴sin 2A ＝34，又π<<A 0，故sin A ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝60°.(2)y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫180°－B －A －3B 2 ＝2sin 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos 2B cos 60°＋sin 2B sin 60°＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋sin(2B －30°)，当2B －30°＝90°，即B ＝60°时，函数取最大值2.。