中考复习练习之——胡不归问题说课讲解

初中几何模型胡不归最值模型几何模型：胡不归最值模型在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA +kP ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆． 【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？V 12V 1驿道砂石地ABC【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小． V 2V 1MNCBA【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC=，CH =kAC ．M将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．M【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．典题探究 启迪思维 探究重点例题 1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +的最小值是_______． ABCDEHEDCBAABCDEH【分析】本题关键在于处理“5BD ”，考虑tan A =2，△ABE 三边之比为1:2:5，5sin ABE∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则5DH BD =．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此时45CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsin α=55HEDC BAEDCB变式练习>>>1．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则3PB PD +的最小值等于________．ABCDPMHPDCBAABCDP HM【分析】考虑如何构造“3PD ”，已知∠A =60°，且sin60°=3，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，即可得3PH PD =，将问题转化为：求PB +PH 最小值．当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．例题2. 如图，AC 是圆O 的直径，AC ＝4，弧BA ＝120°，点D 是弦AB 上的一个动点，那么OD +BD 的最小值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，故选：B．变式练习>>>2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝﹣．【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．故答案为﹣．例题3. 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC 到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为（0，）．【解答】解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），在Rt△AMG中，GM＝AG，∴电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝所以点G的坐标为（0，﹣）．故答案为：（0，﹣）．变式练习>>>3．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH ∽△ACO ，所以＝＝3，所以＝DH ，因为△ABC 是等腰三角形，所以BD ＝CD ，所以要+CD 最小，就是要DH +BD 最小，就要B 、D 、H 三点共线就行了．因为△AOC ∽△BOD ，所以＝，即＝，所以OD ＝，所以点D 的坐标应为（0，）．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在平面直角坐标系中，点()3,3A ，点P 为x 轴上的一个动点，当OP AP 21+最小时，点P 的坐标为___________.[答案]：()0,2P2. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M 为对角线BD （不含点B ）上的一动点，则BM AM 21+的最小值为___________. [答案]：323. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，点D 、F 分别是边AB ，BC 上的动点，连接CD ，过点A 作AE ⊥CD 交BC 于点E ，垂足为G ，连接GF ，则GF +FB 的最小值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC 中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于点G，∴∠AGC＝90°∵O为AC中点，∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝∴OQ＝OP＝，∴GH最小值为故选：C．。

胡不归整理基本解法：构造直角三角形胡不归问题解法通法：第一步：在速度快的线段与起点相异的一侧，过终点作一射线，使之与该线段构成的角满足：1 sinVα=；第二步：过起点作该射线的垂线；第三步：该垂线与线段的交点即为所求．例题解析：例1、（2016•宜兴市一模）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解答】解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s 速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AQ的长，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，∴OC=4，则C （0，4），设直线BE 的解析式为y=kx +b ，把B （3，0），C （0，4）代入得，解得，∴直线BE 的解析式为y=﹣x +4， 解方程组得或，则E 点坐标为（﹣，），∴AQ=，∴蚂蚁从A 爬到G 点的时间==（s ），即蚂蚁从A 到E 的最短时间为s ． 故答案为．例2、（2014成都）如图，已知抛物线)4)(2(8-+=x x k y （k 为常数，且0>k ）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=33与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。

【新授内容】胡不归问题：解决PA+nPB(n≠1)最小问题，其中0< n < 1，若n>1，则提取n 的值.1. 知识储备：在Rt△PAB 中，△B=α，设sinB=n ，用含n 的式子表示线段PA.由sinB=PB PA 得，PA=sin α⋅PB=nPB （即sin α⋅PB 表示直角三角形中α的对边）2. 解决胡不归问题如图，在△ABC 中，P 是AC 上一动点，sin α=n ，在图中画出当点P 在什么位置时PA+nPB 的值最小．分析：将nPB 转化成系数为1的线段，由sin α=n 可得nPB=sin α⋅PB由知识储备可知，sin α⋅PB 表示以PB 为斜边的直角三角形中的直角α的对边∴在图中要画出以PB 为斜边，夹角为α的直角三角形【4步法解决胡不归问题】解析：①由分析得，令n=sin α，则nPB=sin α⋅PB②过n 过后定点B 作线段BM 与PB 夹角为α③以PB 为斜边作α所对直角边，即过点PD ⊥BM 于点D则nPB=sin α⋅PB=PD④PA+nPB=PA+PD 最小，当P 、A 、D 共线的时候最小，即A 到BM 最小为垂线段AE ，AE 与BC 交点即为所求点P （如图）B P AC A BP DE C A B P P Mα【经典例题】1. 如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝4，△A ＝30°，D 是AC 上一动点，（△）AC 的长＝ 43 ； （△）BD +21DC 的最小值是 ．2. 如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB +23PD 的最小值等于 ．①21=sin α，即21DC=sin α⋅DC ②过定点C 作α ③过点D 作DE ⊥CM 于点E 21DC=sin α⋅DC=DE ④BD+21DC=BD+DE 最小 即为垂线段BF ，与AC 交于点D 解：∵21=sin α ∴α =30° 则∠BCE=60° ∵BC=4 ∴BD+21DC=BD+DE=BF=23 F A B C D E D α①23=sin α，即23PD=sin α⋅PD ②过定点D 作α③过点P 作PE ⊥DE 于点E23PD=sin α⋅PD=PE ④PB+23PD =PB+PE 最小，即最小值为垂线段BF ，与CD 交于点P 解：∵∠A=60°，AB=6 ∴PB+23PD =PB+PE=BE=33 PE3. 已知抛物线223212++-=x x y ，与x 轴交于两点A ，B （点A 在点B 的左侧）， 与y 轴交于点C. （1）求点A ， B 和点C 的坐标；（2）已知P 是线段BC 上的一个动点.△若PQ ⊥x 轴，交抛物线于点Q ，当BP+PQ 取最大值时，求点P 的坐标；△求2AP+PB 的最小值.解析：（Ⅰ）令 y=0 ，则0223212=++-x x ，解得4121=-=x x ，． ∴ A 点坐标为（-1，0），B 点坐标为（4，0）令 x=0 ，则 y=2 .∴C 点坐标为（0，2）（Ⅱ）①设l BC : y=mx+n ，将 B （4，0），C （0，2）分别代入得，⎩⎨⎧=+=n n m 240，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=221n m ，故221:+-=x y l BC 可设P （t ，221+-t ），0 ≤ t ≤ 4 ，则Q （t ，223212++-t t ），且Q 在 P 上方． ∴PQ=223212++-t t -(221+-t )=t t 2212+- 又)4(25)221()4(22t t t BP -=+-+-= 故BP+PQ =)4(25t -+(t t 2212+-) =52)252(212+-+-t t 当252-=t 时取得最大值，此时P （252-，451+） ②如图，延长 AC 至点 D ，使得CD=CB ，连接BD ，作DE ⊥y 轴于点E ，过点P 作PH ⊥BD 于点 H ．由AC 2=12+22=5，BC 2=22+ 42=20 ，AB 2 =(-1- 4) 2=25 ，所以AC 2=BC 2+AB 2，∠ACB=90°．则△BDC 是等腰直角三角形，∠CBD=45°2AP+PB=2(AP + PB sin 45°) =2(AP+PH ) ，由垂线段最短可知，当 A ，P ， H 共线时(AP +PH ) 取得最小值．∵ ∠BCD=∠DEC=∠COB=90°，∵ ∠DCE+∠BCO =∠BCO +CBO=90°，∴ ∠DCE=∠CBO ．∴ △CDE ≌△BCO ．∴ DE=CO=2 ，CE=BO =4 ．可得点 D 的坐标为（2，6）∴ BD 102)06()42(22=-+-=S △ABD = 21AB . y D =21BD . AH ，代入可得AH ⋅⨯=⨯⨯102216521， 解得AH=2103，故有2AP+PB =2(AP+ PH ) ≥ 2AH=53 所以2AP+PB 的最小值为53.【课后练习】1. 已知抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）经过点A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当b ＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D （b ，y D ）在抛物线上，当AM ＝AD ，m ＝5时，求b 的值；（Ⅲ）点Q （b +21，y Q ）在抛物线上，当2AM +2QM 的最小值为4233时，求b 的值．。

中考复习之——胡不归问题-胡不归原理胡不归问题是中考复习中常见的一个难点，许多考生在面对这个问题时感到困惑。

本文将探讨胡不归问题的本质及其解决方法，帮助考生更好地应对中考复习中的挑战。

一、胡不归问题的本质胡不归问题，又称作胡教育问题，是指在课堂学习中，学生对所学知识的了解不够深入，无法准确地掌握归纳总结的规律，从而无法运用知识解决问题或应对考试。

这种问题常见于记忆型的知识学科，如语文、数学、历史等。

主要表现为对于复杂题目的理解不透彻，解题思路混乱，答案无法准确推导等。

胡不归问题的本质源于学习方法的问题。

许多学生在学习过程中注重记忆和机械式的应用，而忽视了对知识的理解和归纳总结。

当遇到稍微复杂一点的问题时，由于缺乏深入理解，学生往往无法抓住关键点，从而产生迷惑和困惑。

二、胡不归原理及应对方法为了解决胡不归问题，我们需要明确胡不归原理。

胡不归原理主要包括以下几个方面：1. 学习方法的优化：解决胡不归问题的首要任务是改善学习方法。

学生应该注重理解知识的内涵和外延，强调归纳和总结的能力。

在学习过程中，可以采用思维导图、提问法等有效的学习方法，帮助加深对知识的理解和掌握。

2. 多练习、多思考：胡不归问题的产生往往和练习不足、思考不深有关。

学生应该加强对知识的练习，通过大量的例题和习题的解答，逐渐熟悉知识点的应用和运用规律。

同时，要注重思考，通过分析解题方法和思路，总结解题的一般规律，提高解题的能力。

3. 请教和交流：在面对胡不归问题时，学生可以主动请教老师或同学，寻求帮助和解答。

与他人的交流可以促进思维的碰撞和触发，帮助学生开阔思路，减少对问题的迷惑。

4. 坚持和耐心：解决胡不归问题需要时间和耐心。

学生应保持良好的学习习惯，坚持每天定时复习，逐步提高自己的学习效率和能力。

同时，要有耐心，不要因一时困难而放弃，相信坚持下去一定能够取得好的成绩。

三、结语胡不归问题在中考复习中是一个常见的难点，但通过合理的学习方法和坚持不懈的努力，我们完全可以克服这个问题。

“胡不归”最值型问题（3）——2019年天津市中考数学压轴
题讲解
【考查知识点】菱形、等腰直角三角形、勾股定理、垂线段最短、“胡不归”型最值。

【适用年级】九年级
【专题归类】“胡不归”最值型问题
【题外话】今天的题目与前两天稍有不同，不同的关键点在于两个系数。

“胡不归”的基本模型里，两个系数一个等于1，一个小于1,但是今天的题目中，两个系数中，出现了大于1的情形，这就与2019年天津中考压轴题非常的接近了。

我们数学学习的一个重要任务就是要学会转化的数学思想，我们要掌握一些转化的方法使陌生的问题朝着熟悉的问题靠拢，我们要相信世间万物都是相互联系的，是可以相互转化的，这样，在遇到困难的时候，我们可以始终坚信心中的梦想，转化一切困难，跨过重重阻挡，向着胜利，勇敢前进。

那今天的题目是如何向着昨天和前天的情形转化的呢？相信大家看了视频讲解后，都会有一个共识：其实很简单！。

胡不归-阿氏圆问题已知定点A 、B，要求找一点P ，使aPA+PB 值最小(a 为大于0且不为1的常数)； 点P 在直线上运动型称为“胡不归”问题，点P 在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题. 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.垂线段最短；构造出新的线段，使其等于aPA ；构造方法：1.作∠α，使sin α=a ；一般a=、和时，作相应30°、45°和60°角，构造出特殊直角三角形；2.构造三角形与已知三角形相似，借助相似比将aPA 转化；注意：一般系数a 满足0＜a ＜1时直接构造；a ＞1时需要先提取系数，如PA+2PB=2（PA+PB ），PA+PB=（PA+PB ）.一．胡不归问题1.构造含特殊角的直角三角形，将“aPA ”转化已知：如图，A 为直线l 上一点，B 为直线外一点；要求：在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 最小.【分析】利用sin30°=构造出PH=PA ，当B 、P 和H 共线时，PH+PB 取得最小值BH ，又当BH ⊥AH 时，BH取得最小值【解答】过点A 作射线AM ，使∠A=30°（B 、M 位于l 异侧），过点B 作BH ⊥AM 于H ，交直线l 于点P ，则点P 即为所求，此时PA+PB 最小，最小值即为线段BH 的长.【小结】1.构造方法可总结为：一作角，二作垂线；2.系数a 为、时，作45°和60°角.典型例题1-1（1）如图1，直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上一动点，连接PB，当P 点坐标为_________时，PA+PB取得最小值，最小值为__________；（2）如图2，直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为y轴上一动点，连接PA，当P点坐标为________时，2PA+√2PB取得最小值，最小值为_________.图1 图2【分析】（1）根据模型构造出PA找出P点，借助含30°角的直角三角形解出OP长和BH长，从而求出P点坐标和PA+PB的最小值；（2）2PA+√2PB=2（PA+PB），与（1）类似的方法求解.【解答】（1）如图，过点A作射线AC，与y轴正半轴交于点C，使∠OAC=30°，过点B作BH⊥AC于H，交xPA+PB取得最小轴于P，则PH=PA，此时12值，即为BH长；已知∠OBP=30°，∴OP==,则P（，0）又OC==，∴BC=3+，∴BH=BC=，PA+PB的最小值为；即12（2）如图，过点B作射线BC，与x轴的正半轴交于点C，使∠OBC=45°，过点A作AH⊥BC于H，交y轴于点P，此时2PA+√2PB取得最小值，∵∠BCO=45°，∴AH=√2AC=2√2，2∴2PA+√2PB=2AH=4√2，又OP=OA=1，∴P（0，1）；即当P点坐标（0，1）时，2PA+√2PB取得最小值4.【小结】 1.作角时，以定点、定边向“异侧”作射线；2.（2）中提取系数2之后，答案的最小值不要忘记乘2.典型例题1-2如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，AB＝2，则AP＋BP＋CP的最小值为（）A．＋ B．＋ C．4 D．3【分析】由于AP=CP，AP＋BP＋CP=2AP+BP=2（PA+PB），从而转化为胡不归模型，结合特殊直角三角形和等面积法可解出该最小值.【解答】∵正方形ABCD为轴对称图形，∴AP=PC，∴AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+PB），∴即求PA+PB的最小值，连接AE，作∠DBE=30°，交AC于E，过A作AF⊥BE，垂足为F，在Rt△PBF中，∵∠PBF=30°，∴PF=PB，∴PA+PB的最小值即为AF长，易得∠PAO=30°，∴OP==，AP=2OP=，BP=OB-OP=-，∴PF=BP=-，∴AP+PF=，AP+BP+CP的最小值为＋，故选B.【小结】1.求解AF也可放到△ABE中，用等面积法计算；2.点P为△ABC的“费马点”，感兴趣的读者可查阅相关资料.变式训练1-1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经小时可到达居民点B.(消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)变式训练1-2如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP＋BP＋PD的最小值为___________2.构造相似三角形，借助相似比将“aPA”转化典型例题2-1如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，）， C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P 从A出发，运动路径为线段AD、DC，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______【分析】设CD上速度为v，AD上速度为3v，则全程时间t==，当AD+CD最小时，总时间最少；分析条件知CO=AC，过点D作DH⊥AC于H，构造△ADH和△ACO相似，则DH=AD，又CD=BD，则需DH+BD最小，此时B、D、H共线且BH⊥AC，借助相似易得点D坐标.【解答】如图，作DH⊥AC于点H，交AO于D，此时整个运动时间最少，易证△BOD∽△AOC，则=，∴OD=OC=，∴D（0，）【小结】1.首先表示出时间和各段路程的关系；2.找出图中含有两边之比等于系数a的三角形；3.构造相似三角形求解.变式训练2-1如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求直线BD的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，当△DQB面积最大时，在x轴上找一点E，使QE+EB的值最小，求E的坐标和最小值．二．阿氏圆问题一般构造“子母”型相似三角形，借助相似比将“aPA”转化典型例题3-1如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D为直角边AC上一点，且CD=2，将CD绕着点C顺时针旋转α（0＜α＜90°），D'为点D的对应点，连接AD'和BD'，则AD'+BD'的最小值是________.【分析】D'在以C为圆心，半径为2的圆弧上运动，△CD'B中，CD'=BC，据此在CB上截取CF=CD'=1，构造△CFD'∽△CD'B，将BD'转化为D'F，即求AD'+D'F的最小值，A、D'、F共线时其值最小，由勾股定理易求该值.【解答】在线段CB上截取CF=CD'=1，∴，又∵∠FCD'=∠D'CB，∴△CFD'∽△CD'B，∴,即D'F=BD'，要使AD'+BD'最小，则需AD'+D'F最小，此时A、D'、F三点共线，AD'+D'F的最小值即为AF长，在Rt△ACF中，AF===，即AD'+BD'的最小值是.变式训练3-1如图1，抛物线y=ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2=36：25，求m的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，求出Q点坐标．②求BE′+AE′的最小值.变式训练3-2在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），C（0，4），D（3，2），P是△AOC外部的第一象限内一动点，且∠CPA﹦135°，则2PD﹢PB的最小值是．1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠A=30°，点D是弦AC上的一点，动点P从点C沿CA以2cm/s的速度向点D运动，再沿DO以1cm/s的速度向点O运动，设点P在整个运动过程中的时间为t，则t的最小值是s．2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-）、C（2，0），其对称轴与x轴交于点D。

中考数学最值——胡不归问题（点在直线上运动）（PA+k·PB型最值）【历史典故】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。

邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。

这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。

②两点之间线段最短。

③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为射线AC上一动点。

②问题：P在何处时，BP+nm AP最短（nm＜1）。

③方法：第一步在AC的一侧，PB的异侧构造∠CAE=α，使得sinα=nm 第二步做BH⊥AE，交AC于P，点P就是所求位置，BH就是其最小值。

【模型分析】【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D 选在何处时，所用时间最短?个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标。

【巩固训练】练习1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上BM的最小值为_____。

任意一点，则AM＋12练习2：如图，等腰ΔABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为A0，点D为射线A0上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当 AD= 时，运动时间最短为秒。

中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)在数学中，经典几何模型是考试中经常出现的题型之一。

其中，胡不归最值模型是一种常见的最值问题。

这类问题通常涉及到形如“PA+kP”的式子，可以分为两类问题：胡不归问题和阿氏圆问题。

胡不归问题的故事源于一个少年外出求学，得知父亲病危后，他立即赶回家。

虽然他所在的位置到家的路上有一片砂石地，但他仍然义无反顾地走了这条路。

当他到家时，父亲已经去世了，他深感悔恨并痛哭流涕。

邻居告诉他，父亲在临终前一直念叨着“胡不归？胡不归？……”（“胡”同“何”）。

这个故事启发我们思考如何求解“PA+kP”型问题中的最值。

以胡不归问题为例，我们需要求解一个动点P在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使得AC+BC的值最小，即求BC+kAC的最小值。

为了解决这个问题，我们可以构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CH=kAC。

这样，我们可以将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小。

在解决“PA+kP”型问题时，关键是构造与kP相等的线段，将“PA+kP”型问题转化为“PA+PC”型。

而这里的P必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kP的等线段。

举个例子，如图所示，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值为5.这个问题的关键在于处理“CD+BD”的式子，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，sin ABE⊥AB交AB于H点，则DH=BD/5.通过构造HD，我们可以将问题转化为求CD+CH的最小值，其中CH=kAC，k=sin∠DAN=BD/5.过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即CD+BD的最小值为5.综上所述，胡不归最值模型是一类常见的最值问题。