第七章相关分析与回归分析

第七章相关与回归分析学习内容一、变量间的相关关系二、一元线性回归三、线性回归方程拟合优度的测定学习目标1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用2. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二3. 掌握回归方程的显著性检验4. 利用回归方程进行预测5. 了解可化为线性回归的曲线回归6. 用Excel 进行回归分析一、变量间的相关关系1. 变量间的关系（函数关系）1)是一一对应的确定关系。

2)设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x 取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y 是x的函数，记为y = f (x)，其中x 称为自变量，y 称为因变量。

3)各观测点落在一条线上。

4）函数关系的例子–某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)。

–圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = π R2。

–企业的原材料消耗额(y)与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3间的关系可表示为y =x1 x2 x3。

单选题下面的函数关系是（）A、销售人员测验成绩与销售额大小的关系B、圆周的长度决定于它的半径C、家庭的收入和消费的关系D、数学成绩与统计学成绩的关系2. 变量间的关系（相关关系）1)变量间关系不能用函数关系精确表达。

2)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。

3)当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个。

4)各观测点分布在直线周围。

5）相关关系的例子–商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系。

–商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系。

–粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度 (x3)之间的关系。

–收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系。

–父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系。

3. 相关图表1)相关表：将具有相关关系的原始数据，按某一顺序平行排列在一张表上，以观察它们之间的相互关系。

2)相关图：也称为分布图或散点图，它是在平面直角坐标中把相关关系的原始数据用点描绘出来，通常以直角坐标轴的横轴代表自变量x，纵轴代表因变量y。

第七章 相关与回归分析一、本章学习要点（一）相关分析就是研究两个或两个以上变量之间相关程度大小以及用一定函数来表达现象相互关系的方法。

现象之间的相互关系可以分为两种，一种是函数关系，一种是相关关系。

函数关系是一种完全确定性的依存关系，相关关系是一种不完全确定的依存关系。

相关关系是相关分析的研究对象，而函数关系则是相关分析的工具。

相关按其程度不同，可分为完全相关、不完全相关和不相关。

其中不完全相关关系是相关分析的主要对象；相关按方向不同，可分为正相关和负相关；相关按其形式不同，可分为线性相关和非线性相关；相关按影响因素多少不同，可分为单相关和复相关。

（二）判断现象之间是否存在相关关系及其程度，可以根据对客观现象的定性认识作出，也可以通过编制相关表、绘制相关图的方式来作出，而最精确的方式是计算相关系数。

相关系数是测定变量之间相关密切程度和相关方向的代表性指标。

相关系数用符号“γ”表示，其特点表现在：参与相关分析的两个变量是对等的，不分自变量和因变量，因此相关系数只有一个；相关系数有正负号反映相关系数的方向，正号反映正相关，负号反映负相关；计算相关系数的两个变量都是随机变量。

相关系数的取值区间是［－1，＋1］，不同取值有不同的含义。

当1||=γ时，x 与y 的变量为完全相关，即函数关系；当1||0<<γ时，表示x 与y 存在一定的线性相关，||γ的数值越大，越接近于1，表示相关程度越高；反之，越接近于0，相关程度越低，通常判别标准是：3.0||<γ称为微弱相关，5.0||3.0<<γ称为低度相关，8.0||5.0<<γ称为显著相关，1||8.0<<γ称为高度相关；当0||=γ时，表示y 的变化与x 无关，即不相关；当0>γ时，表示x 与y 为线性正相关，当0<γ时，表示x 与y 为线性负相关。

皮尔逊积距相关系数计算的基本公式是： ∑∑∑∑∑∑∑---==])(][)([22222y y n x x n y x xy n y x xy σσσγ 斯皮尔曼等级相关系数和肯特尔等级相关系数是测量两个等级变量（定序测度）之间相关密切程度的常用指标。

第七章相关分析与回归分析1.企业 编号 产量（千 件）生产费用 （千元）企业编 号 产量（千 件）生产费用 （千元） 1 40 130 7 84 165 2 42 140 8 100 170 3 49 155 9 110 167 4 49 150 10 114 183 550 154 11 125 175 65516012130189试根据上表材料： （1） 绘制散点图。

（2） 计算相关系数。

（3） 配合一条直线回归方程。

解: （ 1）(2) 企业编号产量（千件）x生产费用（千元）yxy x2 y2 1 40 130 **** **** 16900 2 42 140 5880 1764 19600 3 49 155 **** **** 24025 4 49 150 **** **** 22500 5 50 154 7700 2500 23716 6 55 160 8800 3025 25600 784 165 138607056272258 100170 17000 10000 28900 911016718370 12100 278896080040200 150 100产量与生产费用散点图512x159062 -948x1938.12 88368 -9482、12 316190 -19382(3)设回归方程为? = a bxb』甞7n Z x 一(送 x)12 159062-948 1938 12y -bx =1^ -0.4423948=126.558312 12所以回归方程为$ =126.5583 0.4423x2.某县城研究居民月家庭人均生活费支出和月家庭收入的相互关系，随机抽样 10利用上表材料：(1) 绘制散点图并观察两变量之间是否存在线性关系 (2) 计算相关系数，建立回归方程。

(3) 计算估计标准误差。

(4) 测算人均收入为200时，其人均生活费应为多少元 解: ( 1)12 88368-9482_ n 瓦xy-任x)任y) n' x 2 -r x)2. n' y 2 -(' y)2 71520 78838.84-0.907271520 161712二 0.4423(2) 家庭序号月人均收入（元）x月人均生活费（元）yxy x2y21 100 85 8500 10000 72252 110 88 968012100 77443 120 90 10800 14400 81004 130 94 12220 16900 88365 140 96 13440 19600 9216 6 150 100 15000 22500 100007 160 106 16960 25600 112368 170 118 20060 28900 13924 9180 120 21600 32400 14400 10 190 124 23560 36100 15376合计14501021151820 218500 106057n' xy-C x)(' y)10 151820 -1450 1021设回归方程为bxn £ xy-(£ x)(£ y) 10 汇 151820 —1450 乂 1021 n' x 2-C x)2 n' y 2-(' y)2 _ 10 218500 -14502a-bx=1021-0.45761450=35.74810 10所以回归方程为? =35.748 0.4576x (3)、10 218500 -14502 一 10 106057 -10212费活生均人月200-C x)2 .. n'y 2-c y)2 3775038673.54= 0.97613775082500 = 0.4576月人均生活费与人均收入散点图120140160月人均收入180oo oooooo 4 2 0 8 6 4 2' y2-a' y-b' xy _ 106057-35.748 1021-0.4576 151820 目二n-2 「10-2= 3.2684(4)当x=200 时，人均生活费为：y =35.748 0.4576 200 =127.2683. 已知x、y两变量的相关系数r = 0.8 , X =20, y = 50,二y为二x的两倍，求y 对x 的回归方程。