2019-2020学年高中数学 1.3.2单调性与最大(小)值导学案 新人教A版必修1.doc

§3．2．1 单调性与最大（小）值（第二课时）导学目标：1．掌握函数的单调性，会判断一些简单函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．（预习教材P 76~ P 81，回答下列问题） 函数单调性的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：（1）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间D 上单调递增．相应的，区间D 则称为函数的单调增区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 ． （2）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间D 上单调递减．相应的，区间D 则称为函数的单调减区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 ．【自我检测】下列已知条件，能判断函数()f x 在[],a b 上单调递增的有① 设[]b a x x ,,21∈，且()()12120f x f x x x ->-② 设[]b a x x ,,21∈，且()()12120f x f x x x -<-第三章 函数的概念与性质- 2 -③ 设[]b a x x ,,21∈，且()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦ 【知识点】判断函数单调性的方法()1利用函数单调性的定义；()2利用已知函数的图像；形如一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数1y x x=+、含绝对值函数1y x =-等 ()3利用单调函数的四则运算；在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

若()y f x =在区间D 上是增（减）函数，则()y f x =-在区间D 上是减（增）函数；则()1y f x =(()0f x ≠)在连续区间上是减（增）函数。

()4复合函数))((x g f y =的单调性判断法“同增异减”)(u f y =增 ↗ 减 ↘)(x g u =增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘))((x g f y =增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗题型一 利用函数单调性的定义判断函数单调性【例1-1】利用定义判断函数4()f x x x=+在区间(2,)+∞上的单调性．题型二 利用函数图像判断函数单调性【例2】下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．()3f x x =-B ．2()3f x x x =-第三章 函数的概念与性质- 4 -C ．1()f x x=- D ．()f x x =-题型三 利用单调函数的四则运算判断函数单调性【例3-2】证明：若()y f x =在区间D 上是增函数，则()y f x =-在区间D 上是减函数．【例3-2】判断下列函数的单调性 （1）()1f x x x=-（2）()[)221,f x x x x =-∈+∞ （3）()21x f x x +=- （4）()12f x x =-题型四 复合函数单调性判断方法（内外侧函数同增异减．．．．） 【例4】求下列函数的单调区间 （1）函数()23f x x =-的单调递增区间（2）函数2()43f x x x =+-的单调递增区间1．函数()|2|f x x =-的单调递增区间是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞2．已知函数()111f x x =-+-，则()f x （ ） A ．在()1,-+∞上是增函数B ．在()1,+∞上是增函数第三章 函数的概念与性质- 6 -C ．在()1,-+∞上是减函数D ．在()1,+∞上是减函数3．函数()f x =）A ．()2,-+∞B ．()0,2--C ．(),3-∞-D ．()1,-+∞4．设函数()11x f x x +=-． （1）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性； （2）求函数()f x 在区间[2,6]得最大值和最小值．5．用定义法证明函数()3f x x =在定义域内的单调性；§3．2．1 单调性与最大（小）值（第二课时）参考答案导学目标：1．掌握函数的单调性，会判断一些简单函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．（预习教材P 76~ P 81，回答下列问题） 函数单调性的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：（1）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间D 上单调递增．相应的，区间D 则称为函数的单调增区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 ． （2）如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数在区间D 上单调递减．相应的，区间D 则称为函数的单调减区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 ．【自我检测】下列已知条件，能判断函数()f x 在[],a b 上单调递增的有 （1）① 设[]b a x x ,,21∈，且()()12120f x f x x x ->-第三章 函数的概念与性质- 8 -② 设[]b a x x ,,21∈，且()()12120f x f x x x -<-③ 设[]b a x x ,,21∈，且()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：（1）如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就称函数在区间D 上单调递增．相应的，区间D 则称为函数的单调增区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．（2）如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就称函数在区间D 上单调递减． 相应的，区间D 则称为函数的单调减区间．特别的，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 【知识点】判断函数单调性的方法()1利用函数单调性的定义；()2利用已知函数的图像；形如一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数1y x x=+、含绝对值函数1y x =-等 ()3利用单调函数的四则运算；在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。

提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

通过练习。

教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 教学过程： 一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x二、新课教学（一）函数最大（小）值定义1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动）注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； （二）典型例题例1．（教材P 36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料， 如果矩形一边长为x ，面积为y 试将y 表示成x 的函数，并画出 函数的大致图象，并判断怎样锯 才能使得截面面积最大？ 例2．（新题讲解）旅 馆 定 价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x，于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x． 由于)%102055(⋅+x≤1，可知0≤x ≤90． 因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．25将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．（教材P 37例4）求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式． 巩固练习：（教材P 38练习4） 三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 四、作业布置提高作业：快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h 和15 km/h ，已知AC=150km ，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？ABC。

1.3.1《单调性与最大（小）值》（2）导学案【使用说明】1、认真阅读课本，提前预习，明确基本概念，完成课前导学与自测部分，要求：人人参与并独立完成；2、课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分；3、针对学生在预习环节可能解决不了的问题，课堂上教师进行点拨指导。

【学习目标】1、理解函数的最大（小）值及其几何意义；2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.【课前导学与自测】预习教材第30-32页，找出疑惑之处，完成新知学习1、思考：先完成下表，上述表格体现了函数值的什么特征？问题：最高点的函数值与其它函数值有什么关系？最低点呢？2、归纳定义：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于 x ∈I ，都有 ；存在 ，使得 . 那么，称M 是函数y =f (x )的最大值（Maximum Value ）.试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义．1. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 22．函数f （x ）=2x 2+4x+5,x ∈[-3,-2]的最小值是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．5 3．函数f （x ）=3│x │+2的最小值是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．函数f （x ）=x 2+2x+b 的最小值为5，则b= 。

【合作探究】首先独立思考探究，然后合作交流展示对于函数94)(2++-=x x x f ，求在下列区间上的最值：;)1(R x ∈ [];0,3)2(-∈x ](;6,3)3(∈x [];6,3)4(-∈x由此归纳：求二次函数的最值的方法是应该注意什么 。

我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。

【精讲点拨】例1．求32y x =-在区间[3，6]上的最大值和最小值.变式：求3,[3,6]2xy x x +=∈-的最大值和最小值.反思：你现在有什么方法可以求最大（小）值？ 探究：32y x =-的图象与3y x=的关系？例2．求二次函数[]4,222)(2在+-=ax x x f 的最小值。