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2013年中考数学专题讲座一：选择题解题方法一、中考专题诠释选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.三、中考典例剖析考点一：直接法从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础.例1 （2012•白银）方程的解是（）A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程的两边同乘（x+1），得x2﹣1=0，即（x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣1，x2=1．检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解；把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解．则原方程的解为：x=1．故选B．点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．对应训练1．（2012•南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ） A ．7队 B ．6队 C ．5队 D ．4队 考点二：特例法运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。
12013中考数学复习——方 案 设 计 问 题一.知 识 要 点这 类 问 题 常 常 给 出 问 题 情 景 与 解 决 问 题 的 要 求 , 让 学 生 设 计 解 决 问 题 的 方 案 , 或 给 出 多种 不 同 方 案 , 让 学 生 判 断 它 们 的 优 劣 . 解 这 类 问 题 的 关 键 是 寻 找 相 等 关 系 , 利 用 函 数 的 图 像和 性 质 解 决 问 题 , 或 列 出 相 关 不 等 式 ( 组 ) , 通 过 寻 求 不 等 关 系 找 到 问 题 的 答 案 , 或 利 用 图形 变 换 、 解 直 角 三 角 形 解 决 图 形 的 设 计 方 案 、 测 量 方 案 等 . 二.典型例题 题 型 一 利 用 方 程 ( 组 ) 进 行 方 案 设 计例 1 . 一 牛 奶 制 品 厂 现 有 鲜 奶 9 t , 若 将 这 批 鲜 奶 制 成 酸 奶 销 售 , 则 加 工 1 t 鲜 奶 可 获 利 1200元 . 若 制 成 奶 粉 销 售 , 则 加 工 1 t 鲜 奶 可 获 利 2000 元 , 该 厂 的 生 产 能 力 是 : 若 专 门 生 产 酸 奶 ,则 每 天 可 用 去 鲜 奶 3 t , 若 专 门 生 产 奶 粉 , 则 每 天 可 用 去 鲜 奶 1 t . 由 于 受 人 员 和 设 备 的 限 制 ,酸 奶 和 奶 粉 两 产 品 不 可 能 同 时 生 产 , 为 保 证 产 品 的 质 量, 这 批 鲜 奶 必 须 在 不 超 过 4 天 的 时 间内 全 部 加 工 完 毕 . 假 如 你 是 厂 长 , 你 将 如 何 设 计 生 产 方 案 , 才 能 使 工 厂 获 利 最 大 ? 最 大 利 润是 多 少 ?分 析 : 要 确 定 哪 种 方 案 获 利 最 多 , 首 先 应 求 出 每 种 方 案 各 获 得 的 利 润 , 再 比 较 即 可 . 题 型 二 利 用 不 等 式 进 行 方 案 设 计例 2 . 某 公 司 为 了 扩 大 经 营 , 决 定 购 进 6 台 机 器 用 于 生 产 某 种 活 塞 , 现 有 甲 、 乙 两 种 机 器供 选 择 ， 其 中 每 台 机 器 的 价 格 和 每 台 机 器 日 生 产 活 塞 的 数 量 如 下 表 所 示 . 经 过 预 算 , 本 次 购买 机 器 所 耗 资 金 不 能 超 过 3 4 万 元 .⑴ 按 该 公 司 要 求 可 以 有 几 种 购 买 方 案 ?⑵ 若 该 公 司 购 进 的 6 台 机 器 的 日 生 产 能 力 不 低 于 3 8 0 个, 那 么 为 了 节 约 资 金 应 选 择 哪购 买 方 案 ?分 析 : （1）可 设 购 买 甲 种 机 器 x 台 , 然 后 用 x 表 示 出 购 买 甲 、 乙 两 种 机 器 的 实 际 费 用 ，根 据 “ 本 次 购 买 机 器 所 耗 资 金 不 能 超 过 3 4 万 元 ” 列 不 等 式 求 解；（2）分 别 算 出（1）中 各 方每 天 的 生 产 量 ， 根 据 “ 日 生 产 能 力 不 低 于 3 8 0 个 ” 与 “ 节 约 资 金 ” 两 个 条 件 选 择 购 买 方 案 . 题 型 三 利 用 函 数 进 行 方 案 设 计例 3 . 已 知 某 种 水 果 的 批 发 单 价 与 批 发 量 的 函 数 关 系 如 图（1）所 示 . ⑴ 请 说 明 图 中 ① 、 ② 两 段 函 数 图 象 的 实 际 意 义 . ⑵ 写 出 批 发 该 种 水 果 的 资 金 金 额 w ( 元 ) 与 批 发 量 m ( k g ) 之 间 的 函 数 关 系 式 . 在图 （2）的 坐 标 系 中 画 出 该 函 数 图 象 , 指 出 金 额 在 什 么 范 围 内 , 以 同 样 的 资 金 可 以 批 发 到 较多 数 量 的 该 种 水 果 .⑶ 经 调 查 , 某 经 销 商 销 售 该 种 水 果 的 日 最 高 销 量 与 零 售 价 之 间 的 函 数 关 系 如 图 （3）所示 . 该 经 销 商 拟 每 日 售 出 6 0 k g 以 上 该 种 水 果 ，且 当 日 零 售 价 不 变 ，请 你 帮 助 该 经 销 商 设 计进 货 和 销 售 的 方 案，使 得 当 日 获 得 的 利 润 最 大 . 分 析 : （1）中 注 意 图 像 中 的 圆 圈 表 示 不 包 括 该 点 ； （2）中 金 额 w ( 元 ) 与 批 发 量 m ( k g )之 间 的 函 数 关 系 式 分 两 部 分 ， 实 际 是 两 个 函 数 图 像 . 当240< w ≤300 时 ， 批 发 量 m 有 两 个值 ， 可 比 较 这 两 者 的 大 小；当 w 取 其 他 值 时 ， m 只 有 一 个 值. （3）利 用 二 次 函 数 的 最 值 求获 得 最 大 利 润 的 进 货 和 销 售 方 案 .甲 乙 价 格 ( 万 元/台 ) 7 5 每 台 日 产 量(个) 100 60题型四利用解直角三角形进行方案设计例4 . 如图所示,小山上有一棵树 ,现有测角仪和皮尺两种测量工具,请你设计一种测量方案, 在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离A B .要求: 1 . 画出测量示意图.2 .写出测量步骤.(测量数据用字母表示)3 .根据2 中的数据计算A B .分析:本题是一道开放性问题，设计方案时要注意测角仪有高度，同时还要注意数据可用a 、b 、c 、d 以及角度α、β来表示，最后还要注意直角三角形的模型.题型五利用统计和概率进行方案设计例5 . 某学校举行演讲比赛, 选出了1 0 名同学担任评委, 并事先拟定从如下4 个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为1 0 分).方案1 : 所有评委所给分的平均数.方案2 : 在所有评委所给分中, 去掉一个最高分和一个最低分, 然后再计算其余给分的平均数, 方案3 : 所有评委所给分的中位数.方案4 : 所有评委所给分的众数.为了探究上述方案的合理性, 先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验. 如图所示是这个同学的得分统计图.⑴分别按上述4 个方案计算这个同学演讲的最后得分.⑵根据(1) 中的结果, 请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分.分析:对于题目中的四种方案我们可以分别计算出结果,只要注意平均数、中位数、众数的概念及三种统计量的意义即可.题型六实际应用图形方案设计例 6 . 在一次数学探究性学习活动中, 某学习小组要制作一个圆锥体模型 , 操作规则是 :在一块边长为1 6 c m 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆, 使得扇形围成圆锥的侧面时,圆恰好是该圆锥的底面 . 他们首先设计了如图所示的方案一, 发现这种方案不可行 , 于是他们调整了扇形和圆的半径, 设计了如图所示的方案二. (两个方案的图中, 圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切)⑴请说明方案一不可行的理由.⑵判断方案二是否可行 , 若可行 , 请确定圆锥的母线长及其底面圆的半径 , 若不可行 ,请说明理由.分析:判断方案是否可行, 可用反证法. 假设方案可行, 确定正方形的大小, 与所给正方形进行比较得出结论.23三.基础巩固1．某中学要召开运动会，决定从初三年级全部150名女生中选30人组成一个彩旗方队（要求参加方队学 生的身高尽可能接近）。
2013年中考数学专题复习第十讲：一元一次不等式（组）【基础知识回顾】一、不等式的基本概念：1、不等式：用连接起来的式子叫做不等式2、不等式的解：使不等式成立的值，叫做不等式的解3、不等式的解集：一个含有未知数的不等的解的叫做不等式的解集【名师提醒：1、常用的不等号有等2、不等式的解与解集是不同的两个概念，不等式的解事单独的未知数的值，而解集是一个包围的未知数的值组成的机合，一般由无数个解组成3、不等式的解集一般可以在数轴上表示出来。
注意“>”“<”在数轴上表示为，而“≥”“≤”在数轴上表示为】二、不等式的基本性质：基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个或同一个不等号的方向，即：若a<b,则a+c b+c(或a－c b－c)基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个不等号的方向，即：若a<b，c>0则a c b c（或ac—bc）基本性质3、不等式两边都乘以（或除以）同一个不等号的方向，即：若a<b，c <0则a c b c（或ac—bc）【名师提醒：运用不等式的基本性质解题时要主要与等式基本性质的区别与联系，特别强调：在不等式两边都乘以或除以一个负数时，不等号的方向要】三、一元一次不等式及其解法：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是且系数的不等式叫一元一次不等式，其一般形式为或2、一元一次不等式的解法步骤和一元一次方程的解法相同，即包含等五个步骤【名师提醒：在最后一步系数化为1时，切记不等号的方向是否要改变】一、 一元一次不等式组及其解法：1、定义：把几个含有相同未知数的 合起来，就组成了一个一元一次不等式组2、解集：几个不等式解集的 叫做由它们所组成的不等式组的解集3、解法步骤：先求出不等式组中多个不等式的 再求出他们的 部分，就得到不等式组的解集4、一元一次不等式组解集的四种情况（a <b ） 1【名师提醒：1、求不等式的解集，一般要体现在数轴上，这样不2、一元一次不等式组求解过程中往常出现求特殊解的问题，比如：整数解、非负数解等，这时要注意不要漏了解，特别当出现“≥”或“≤”时要注意两头的数值是否在取值的范围内】五、一元一次不等式（组）的应用： 基本步骤同一元一次方程的应用可分为： 、 、 、 、 、 、 等七个步骤 【名师提醒：列不等式（组）解应用题，涉及的题型常与方案设计型问题相联系如：最大利润，最优方案等】【重点考点例析】 考点一：不等式的基本性质x >b x >a解集 口诀：大大取小X <a X <b 解集 口诀：X >bX >a解集 口诀：X <a X >b解集 口诀：例1 （2012•绵阳）已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是（）A．ac＞bc B．C．c﹣a＞c﹣b D．c+a＞c+b考点：不等式的性质。
专题复习（三）——方案设计问题题型概述方案设计型问题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案，有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优。
它包括测量方案设计、作图方案设计和经济类方案设计等。
题型例析类型1：利用方程、不等式（组）进行方案设计这类问题往往列方程组或不等式（组）解应用题，但是列方程的关键又是找出题目中存在的的等量关系或不等式关系；对于设计方案题一般要根据题意列出不等式或不等式组，求不等式组的整数解（或者符合要求的解）。
【例题】一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：A种水果/箱B种水果/箱甲店11元17元乙店9元13元（1）如果甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能盈利多少元？（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？考点：一元一次不等式的应用．分析：（1）经销商能盈利=水果箱数×每箱水果的盈利；（2）设甲店配A种水果x箱，分别表示出配给乙店的A水果，B水果的箱数，根据盈利不小于110元，列不等式求解，进一步利用经销商盈利=A种水果甲店盈利×x+B种水果甲店盈利×（10﹣x）+A种水果乙店盈利×（10﹣x）+B种水果甲店盈利×x；列出函数解析式利用函数性质求得答案即可．解答：（1）经销商能盈利=5×11+5×17+5×9+5×13=5×50=250；（2）设甲店配A种水果x箱，则甲店配B种水果（10﹣x）箱，乙店配A种水果（10﹣x）箱，乙店配B种水果10﹣（10﹣x）=x箱．∵9×（10﹣x）+13x≥100，∴x≥2，经销商盈利为w=11x+17•（10﹣x）+9•（10﹣x）+13x=﹣2x+260．∵﹣2＜0，∴w随x增大而减小，∴当x=3时，w值最大．甲店配A种水果3箱，B种水果7箱．乙店配A种水果7箱，B种水果3箱．最大盈利：﹣2×3+260=254（元）．点评：此题考查一元一次不等式的运用，一次函数的实际运用，找出题目蕴含的不等关系与等量关系解决问题．【变式练习】某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵。
2013年中考数学复习专题讲座六：数学思想方法（二）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1 （2012•广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用。
810360专题：增长率问题。
分析：（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得5000（1+x）2 =7200．解得x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．点评：方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。
中考冲刺：方案设计与决策型问题—知识讲解（基础）【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：1．根据实际问题拼接或分割图形；2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【典型例题】类型一、利用方程（组）进行方案设计1．（2016•凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？【思路点拨】（1）根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题．【答案与解析】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y 吨，解得，即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，则解得，12.5≤x≤15，第一种方案：当x=13时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；第二种方案：当x=14时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；第三种方案；当x=15时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．【总结升华】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．举一反三：【变式】某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6∶5.(1)求出该班男生与女生的人数；(2)学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？【答案】解：(1)设男生有6x人，则女生有5x人．依题意得：6x＋5x＝55，∴x＝5，∴6x＝30,5x＝25.答：该班男生有30人，女生有25人．(2)设选出男生y人，则选出的女生为(20－y)人．由题意得：2027y yy--⎧⎨⎩＞≥，解得：7≤y<9，∴y的整数解为：7、8.当y＝7时，20－y＝13，当y＝8时，20－y＝12.答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人．类型二、利用不等式（组）进行方案设计2．温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球．某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地．(1)当n＝200时，①根据信息填表：A地B地C地合计产品件数(件)x 2x 200运费(元)30x②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？(2)若总运费为5800元，求n的最小值．【思路点拨】(1)①运往B地的产品件数＝总件数n－运往A地的产品件数－运往C地的产品件数：运费＝相应件数×一件产品的运费；②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可；(2)总运费＝A产品的运费＋B产品的运费＋C产品的运费，进而根据函数的增减性及(1)中②得到的x的取值求得n的最小值即可．【答案与解析】(1)①根据信息填表：A地B地C地合计产品件数(件)200－3x运费(元) 1 600－24x 50x 56x＋1 600②由题意得20032 1600564000x xx-≤⎧⎨+≤⎩解得40≤x≤4267.∵x为正整数，∴x＝40或41或42，∴有3种方案，分别为：(ⅰ)A地40件，B地80件，C地80件；(ⅱ)A地41件，B地77件，C地82件；(ⅲ)A地42件，B地74件，C地84件．(2)由题意得30x＋8(n－3x)＋50x＝5800，整理得n＝725－7x.∵n－3x≥0，∴x≤72.5.又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为正整数．∵n随x的增大而减小，∴当x＝72时，n有最小值为221.【总结升华】考查一次函数的应用，得到总运费的关系式是解决本题的关键，注意结合自变量的取值n的最小值.举一反三：【变式】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，要求本次购买资金不超过．．．84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于．．．1300吨污水.（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）【答案】解：（1）设一台甲型设备的价格为x万元，由题意3x+2×0.75x=54，解得x＝12，∵12×75%＝9，∴一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元(2)设二期工程中,购买甲型设备a台,由题意有12a+9(8-a)≤84①；200a+160(8-a)≥1300②，解得：12≤a≤4，由题意a为正整数,∴a＝1,2,3,4 ∴所有购买方案有四种,分别为方案一:甲型1台,乙型7台；方案二:甲型2台,乙型6台方案三:甲型3台,乙型5台；方案四:甲型4台,乙型4台(3)设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元，W=12a+9（8-a）+1×10a+1.5×10（8-a），化简得:W=－2a＋192,∵W随a的增大而减少∴当a＝4时,W最小（逐一验算也可）∴按方案四甲型购买4台,乙型购买4台的总费用最少.类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计3．在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B两类学校的校舍进行改造．根据预测，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．(1)改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？(2)该县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所．【思路点拨】（1）等量关系为：改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元；（2）关系式为：地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770．【答案与解析】解：(1)设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍需资金y万元，则34803400x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得90130xy=⎧⎨=⎩.答：改造一所A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍需资金130万元．(2)设A类学校应该有a所，则B类学校有(8－a)所．则2030(8)(90-20)(13030)(8)a aa a+-⎧⎨+--⎩≥210≤770，解得aa⎧⎨⎩≤3≥1，∴1≤a≤3，即a＝1,2,3.答：有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A 类学校有2所，B 类学校有6所； 方案三：A 类学校有3所，B 类学校有5所． 【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．理解“国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元”这句话中包含的不等关系是解决本题的关键． 举一反三：【变式】为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品．已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元．(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？(2)时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x 个文具盒需要y 1元，买x 支钢笔需要y 2元，求y 1、y 2关于x 的函数关系式；(3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱． 【答案】解：(1)设每个文具盒x 元，每支钢笔y 元，由题意得5210047161x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1415x y =⎧⎨=⎩. 答：每个文具盒14元，每支钢笔15元．(2)由题意知，y 1关于x 的函数关系式为y 1＝14×90%x ，即y 1＝12.6x .由题意知，买钢笔10支以下(含10支)没有优惠，故此时的函数关系式为y 2＝15x .当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时的函数关系式为y 2＝15×10＋15×80%(x －10)， 即y 2＝12x ＋30.(3)当y 1<y 2，即12.6x <12x ＋30时，解得x <50； 当y 1＝y 2，即12.6x ＝12x ＋30时，解得x ＝50； 当y 1>y 2，即12.6x >12x ＋30时，解得x >50.综上所述，当购买奖品等于10件但少于50件时，买文具盒省钱； 当购买奖品等于50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等； 当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱．类型四、利用函数知识进行方案设计4．（2015•深圳模拟）将220吨物资从A 地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为15（吨/辆）和10（吨/辆），运往甲、乙两地的运费如表1：（1）求这两种货车各需多少辆？（2）如果安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，填写表2，写出 运费w （元）与a 的函数关系式．若运往甲地的物资不少于110吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费． 表1 甲地（元/辆） 乙地（元/辆）货车700 800 小货车 400 600 表2．甲地乙地大货车a辆辆小货车辆辆【思路点拨】（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，根据两种货车的运货总量为220吨建立方程求出其解即可（2）由安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，由总运费=两地费用之和就可以表示会出W 与a的关系式，由运往甲地的物资不少于110吨建立不等式求出a的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．【答案与解析】解：（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，由题意，得15x+10（18﹣x）=220，解得：x=8，需要小货车18﹣8=10辆．答：需要大货车8辆，则需要小货车10辆；（2）设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，表格2答案为：大货车去乙地（8﹣a）辆，小货车去甲、乙两地各（8﹣a）辆，（2+a）辆．由题意，得W=700a+800（8﹣a）+400（8﹣a）+600（2+a），W=100a+10800．15a+10（8﹣a）≥110，a≥6．∵k=100＞0，∴W随a的增大而增大，∴a=6时，W最小=11400，∴运往甲地的大货车6辆，小火车2辆，运往乙地的大货车2辆，小火车8辆．最小运费为11400辆．【总结升华】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根据题意用x表示出运往各地的台数是解决问题的关键．类型五、利用几何知识进行方案设计【高清课堂：方案设计与决策型问题例1】5．某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB=y米,BC=x米.(注：取π=3.14)(1)试用含x的代数式表示y；(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元；①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由.③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由.【思路点拨】（1）把组合图形进行分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可；（2）①利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答；②利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论；③建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题．【答案与解析】 解：（1）由题意得， πy+πx=628，∵3.14y+3.14x=628， ∴y+x=200则y=200﹣x ；（2）①W=428xy+400π2()2y+400π2()2x ，=428x （200﹣x ）+400×3.14×2(200)4x +400×3.14×24x ，=200x 2﹣40000x+12560000；②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务．理由如下，由①知W=200（x ﹣100）2+1.056×107＞107， 所以不能； ③由题意可知：x≤23y 即x≤23（200﹣x ）解之得x≤80， ∴0≤x≤80，又题意得：W=200（x ﹣100）2+1.056×107=107+6.482×105，整理得（x ﹣100）2=441，解得x 1=79，x 2=121（不合题意舍去）， ∴只能取x=79，则y=200﹣79=121；所以设计方案是：AB 长为121米，BC 长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆． 【总结升华】此题利用基本数量关系和组合图形的面积列出二次函数，运用配方法求得最值，进一步结合不等式与一元二次方程解决实际问题．。
精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .2021年（中|考）数学专题讲座二：新概念型问题一、（中|考）专题诠释所谓"新概念〞型问题,主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型. "新概念〞型问题成为近年来（中|考）数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲"新概念型专题〞关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移．考点二：运算题型中的新概念概念a bc d=ad -bc ,上述记号就叫做2阶行列式．假设1111x xx x+--+=8 ,那么x= ．思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程,整理后即可求出方程的解,即为x的值．解：根据题意化简1111x xx x+--+=8 ,得：(x +1 )2 - (1 -x )2 =8 ,整理得：x2 +2x +1 - (1 -2x +x2 ) -8 =0 ,即4x =8 ,解得：x =2．故答案为：2点评：此题考查了整式的混合运算,属于新概念的题型,涉及的知识有：完全平方公式,去括号、合并同类项法那么,根据题意将所求的方程化为普通方程是解此题的关键．对应训练2．(2021•株洲)假设(x1 ,y1 )• (x2 ,y2 ) =x1x2 +y1y2 ,那么(4 ,5 )• (6 ,8 ) =．考点三：探索题型中的新概念例3 (2021•南京)如图,A、B是⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合)、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．(1 )∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角,①假设AB是⊙O的直径,那么∠APB =°；②假设⊙O的半径是1 ,AB =,求∠APB的度数；(2 )O2是⊙O1外一点,以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点,∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交⊙O2于M、N (点M与点A、点N与点B均不重合) ,连接AN ,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．思路分析：(1 )①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB =90° ,再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；(2 )根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．解：(1 )①假设AB是⊙O的直径,那么∠APB =90．②如图,连接AB、OA、OB．在△AOB中,∵OA =OB =1．AB =,∴OA2 +OB2 =AB2．∴∠AOB =90°．当点P在优弧上时,∠AP1B =∠AOB =45°；当点P在劣弧上时,∠AP2B =(360°﹣∠AOB ) =135°…6分(2 )根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．第|一种情况：点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点B在点P与点N之间,如图①∵∠MAN =∠APB +∠ANB ,∴∠APB =∠MAN﹣∠ANB；第二种情况：点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点N在点P与点B之间,如图②．∵∠MAN =∠APB +∠ANP =∠APB + (180°﹣∠ANB ) ,∴∠APB =∠MAN +∠ANB﹣180°；第三种情况：点P在⊙O2外,且点M在点P与点A之间,点B在点P与点N之间,如图③．∵∠APB +∠ANB +∠MAN =180° ,∴∠APB =180°﹣∠MAN﹣∠ANB ,第四种情况：点P在⊙O2内,如图④ ,∠APB =∠MAN +∠ANB．点评：综合考查了圆周角定理,勾股定理的逆定理,点与圆的位置关系,此题难度较大,注意分类思想的运用．对应训练3．(2021•陕西)如果一条抛物线y =ax2 +bx +c (a≠0 )与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的"抛物线三角形〞．(1 ) "抛物线三角形〞一定是三角形；(2 )假设抛物线y = -x2 +bx (b＞0 )的"抛物线三角形〞是等腰直角三角形,求b的值；(3 )如图,△OAB是抛物线y = -x2+b′x (b′＞0 )的"抛物线三角形〞,是否存在以原点O为对称中|心的矩形ABCD ?假设存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；假设不存在,说明理由．考点四：开放题型中的新概念例4 (2021•北京)在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1 (x1 ,y1 )与P2 (x2 ,y2 )的"非常距离〞,给出如下概念：假设|x1 -x2|≥|y1 -y2| ,那么点P1与点P2的"非常距离〞为|x1 -x2|；假设|x1 -x2|＜|y1 -y2| ,那么点P1与点P2的"非常距离〞为|y1 -y2|．例如：点P1 (1 ,2 ) ,点P2 (3 ,5 ) ,因为|1 -3|＜|2 -5| ,所以点P1与点P2的"非常距离〞为|2 -5| =3 ,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点)．(1 )点A ( -12,0 ) ,B为y轴上的一个动点,①假设点A与点B的"非常距离〞为2 ,写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的"非常距离〞的最|小值；(2 )C是直线y =34x +3上的一个动点,①如图2 ,点D的坐标是(0 ,1 ) ,求点C与点D的"非常距离〞的最|小值及相应的点C的坐标；②如图3 ,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的"非常距离〞的最|小值及相应的点E与点C的坐标．思路分析：(1 )①根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为(0 ,y )．由"非常距离〞的概念可以确定|0 -y| =2 ,据此可以求得y的值；②设点B的坐标为(0 ,y )．因为| - 12-0|≥|0 -y| ,所以点A与点B的"非常距离〞最|小值为| - 12-0| =12；(2 )①设点C的坐标为(x0 ,34x0 +3 )．根据材料"假设|x1 -x2|≥|y1 -y2| ,那么点P1与点P2的"非常距离〞为|x1 -x2|〞知,C、D两点的"非常距离〞的最|小值为-x0 = 34x0 +2 ,据此可以求得点C的坐标；②当点E在过原点且与直线y = 34x +3垂直的直线上时,点C与点E的"非常距离〞最|小,即E ( - 35,45)．解答思路同上．解：(1 )①∵B为y轴上的一个动点, ∴设点B的坐标为(0 ,y )．∵| -12-0| =12≠2 ,∴|0 -y| =2 ,解得,y =2或y = -2；∴点B的坐标是(0 ,2 )或(0 , -2 )；②点A与点B的"非常距离〞的最|小值为12；(2 )①∵C是直线y =34x +3上的一个动点,∴设点C的坐标为(x0 ,34x0 +3 ) ,∴ -x0 =34x0 +2 ,此时,x0 = -87,∴点C与点D的"非常距离〞的最|小值为：87,此时C ( -87,157)；②E ( -35,45)．-35-x0 =34x0 +3 -45,解得,x0 = -85,那么点C的坐标为( -85,95) ,最|小值为1．点评：此题考查了一次函数综合题．对于信息给予题,一定要弄清楚题干中的条件．此题中的"非常距离〞的概念是正确解题的关键．对应训练4．(2021•台州)请你规定一种适合任意非零实数a ,b的新运算"a⊕b〞,使得以下算式成立：1⊕2 =2⊕1 =3 , ( -3 )⊕ ( -4 ) = ( -4 )⊕ ( -3 ) = - 76, ( -3 )⊕5 =5⊕ ( -3 ) = -415,…你规定的新运算a⊕b = (用a ,b的一个代数式表示)．考点五：阅读材料题型中的新概念例5 (2021•常州)平面上有两条直线AB、CD相交于点O ,且∠BOD =150° (如图) ,现按如下要求规定此平面上点的"距离坐标〞：(1 )点O的"距离坐标〞为(0 ,0 )；(2 )在直线CD上,且到直线AB的距离为p (p＞0 )的点的"距离坐标〞为(p ,0 )；在直线AB上,且到直线CD的距离为q (q＞0 )的点的"距离坐标〞为(0 ,q )；(3 )到直线AB、CD的距离分别为p ,q (p＞0 ,q＞0 )的点的"距离坐标〞为(p ,q )．设M为此平面上的点,其"距离坐标〞为(m ,n ) ,根据上述对点的"距离坐标〞的规定,解决以下问题：(1 )画出图形(保存画图痕迹)：①满足m =1 ,且n =0的点M的集合；②满足m =n的点M的集合；(2 )假设点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上,求m与n所满足的关系式．(说明：图中OI长为一个单位长)思路分析：(1 )①以O为圆心,以2为半径作圆,交CD于两点,那么此两点为所求；②分别作∠BOC和∠BOD的角平分线并且反向延长,即可求出答案；(2 )过M作MN⊥AB于N ,根据得出OM =n ,MN =m ,求出∠NOM =60° ,根据锐角三角函数得出sin60° =MNOM=mn,求出即可．解：(1 )①如下图：点M1和M2为所求；②如下图：直线MN和直线EF (O除外)为所求；(2 )如图：过M作MN⊥AB于N ,∵M的"距离坐标〞为(m ,n ) ,∴OM =n ,MN =m ,∵∠BOD =150° ,直线l⊥CD ,∴∠MON =150° -90° =60° ,在Rt△MON中,sin60° =MNOM=mn,即m与n所满足的关系式是：m =32n．点评：此题考查了锐角三角函数值,角平分线性质,含30度角的直角三角形的应用,主要考查学生的动手操作能力和计算能力,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．对应训练5．(2021•钦州)在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点(x ,y ) ,假设规定以下两种变换： ①f (x ,y ) = (y ,x )．如f (2 ,3 ) = (3 ,2 )；②g (x ,y ) = ( -x , -y ) ,如g (2 ,3 ) = ( -2 , -3 )．按照以上变换有：f (g (2 ,3 ) ) =f ( -2 , -3 ) = ( -3 , -2 ) ,那么g (f ( -6 ,7 ) )等于 ( )A ． (7 ,6 )B ． (7 , -6 )C ． ( -7 ,6 )D ． ( -7 , -6 )四、（中|考）真题演练一、选择题1． (2021•六盘水 )概念：f (a ,b ) = (b ,a ) ,g (m ,n ) = ( -m , -n )．例如f (2 ,3 ) = (3 ,2 ) ,g ( -1 , -4 ) = (1 ,4 )．那么g[f ( -5 ,6 )]等于 ( )A ． ( -6 ,5 )B ． ( -5 , -6 )C ． (6 , -5 )D ． ( -5 ,6 )2． (2021•湘潭 )文文设计了一个关于实数运算的程序 ,按此程序 ,输入一个数后 ,输出的数比输入的数的平方小1 ,假设输入 7 ,那么输出的结果为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8点评：此题考查的是实数的运算 ,根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．3． (2021•丽水 )小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形 ,其棵数3 ,6 ,9 ,12 ,…称为三角形数．类似地 ,图2中的4 ,8 ,12 ,16 ,…称为正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )A ．2021B ．2021C ．2021D ．2021二、填空题 4． (2021•常德 )规定用符号[m]表示一个实数m 的整数局部 ,例如：[] =0 ,[3.14] =3．按此规定[]的值为 ．5． (2021•随州 )概念：平面内的直线1l 与2l 相交于点O ,对于该平面内任意一点M ,点M 到直线1l 、2l 的距离分别为a 、b ,那么称有序非实数对 (a ,b )是点M 的 "距离坐标〞 ,根据上述概念 ,距离坐标为 (2 ,3 )的点的个数是 ( )A ．2B ．1C ．4D ．36． (2021•荆门 )新概念：[a ,b]为一次函数y =ax +b (a≠0 ,a ,b 为实数 )的 "关联数〞．假设 "关联数〞[1 ,m -2]的一次函数是正比例函数 ,那么关于x 的方程 11x +1m =1的解为 ．7． (2021•自贡 )如图 ,△ABC 是正三角形 ,曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线 ,其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次是A 、B 、C ,如果AB =1 ,那么曲线CDEF 的长是 ．8．(2021•泉州)在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A、B ) ,过点P的直线截△ABC ,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线,简记为P (l x ) (x为自然数)．(1 )如图① ,∠A =90° ,∠B =∠C ,当BP =2PA时,P (l1 )、P (l2 )都是过点P的△ABC的相似线(其中l1⊥BC ,l2∥AC ) ,此外,还有条；(2 )如图② ,∠C =90° ,∠B =30° ,当BPBA= 时,P (l x )截得的三角形面积为△ABC面积的14．三、解答题9．(2021•铜仁地区)如图,概念：在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作ctanα,即ctanα =αα角的邻边角的对边=ACBC,根据上述角的余切概念,解以下问题：(1 )ctan30° = ；(2 )如图,tanA =34,其中∠A为锐角,试求ctanA的值．10．(2021•无锡)对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,我们把|x1-x2| +|y1 -y2|叫做P1、P2两点间的直角距离,记作d (P1 ,P2 )．(1 )O为坐标原点,动点P (x ,y )满足d (O ,P ) =1 ,请写出x与y之间满足的关系式,并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；(2 )设P0 (x0 ,y0 )是一定点,Q (x ,y )是直线y =ax +b上的动点,我们把d (P0 ,Q )的最|小值叫做P0到直线y =ax +b的直角距离．试求点M (2 ,1 )到直线y =x +2的直角距离．11．(2021•厦门)如图,在平面直角坐标系中,点A (2 ,3 )、B (6 ,3 ) ,连接AB．如果点P在直线y =x -1上,且点P到直线AB的距离小于1 ,那么称点P是线段AB的"临近点〞．(1 )判断点C (75,22)是否是线段AB的"临近点〞,并说明理由；(2 )假设点Q (m ,n )是线段AB的"临近点〞,求m的取值范围．12．(2021•兰州)如图,概念：假设双曲线y =kx(k＞0 )与它的其中一条对称轴y =x相交于A、B两点,那么线段AB的长度为双曲线y =kx(k＞0 )的对径．(1 )求双曲线y = 1x的对径．(2 )假设双曲线y =kx(k＞0 )的对径是102,求k的值．(3 )仿照上述概念,概念双曲线y = kx(k＜0 )的对径．13．(2021•绍兴)联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念．概念：到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心．举例：如图1 ,假设PA =PB ,那么点P为△ABC的准外心．应用：如图2 ,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD =12AB ,求∠APB的度数．探究：△ABC为直角三角形,斜边BC =5 ,AB =3 ,准外心P在AC边上,试探究PA的长．14．(2021•嘉兴)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′C′ ,即如图① ,我们将这种变换记为[θ ,n]．(1 )如图① ,对△ABC作变换[60° ,3]得△AB′C′ ,那么S△AB′C′：S△ABC = ；直线BC 与直线B′C′所夹的锐角为度；(2 )如图② ,△ABC中,∠BAC =30° ,∠ACB =90° ,对△ABC 作变换[θ ,n]得△AB'C' ,使点B、C、C′在同一直线上,且四边形ABB'C'为矩形,求θ和n的值；(3 )如图③ ,△ABC中,AB =AC ,∠BAC =36° ,BC =l ,对△ABC作变换[θ ,n]得△AB′C′ ,使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB'C'为平行四边形,求θ和n的值．15．(2021•台州)概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最|小值叫做线段a与线段b的距离．O (0 ,0 ) ,A (4 ,0 ) ,B (m ,n ) ,C (m +4 ,n )是平面直角坐标系中四点．(1 )根据上述概念,当m =2 ,n =2时,如图1 ,线段BC与线段OA的距离是；当m =5 ,n =2时,如图2 ,线段BC与线段OA的距离(即线段AB长)为；(2 )如图3 ,假设点B落在圆心为A ,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d ,求d关于m的函数解析式．(3 )当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2 ,线段BC的中点为M ,①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为(0 ,2 ) ,m≥0 ,n≥0 ,作MN⊥x轴,垂足为H ,是否存在m的值使以A、M、H 为顶点的三角形与△AOD相似?假设存在,求出m的值；假设不存在,请说明理由．专题讲座二：新概念型问题参考答案三、（中|考）典例剖析对应训练1．3 4解：∵x1 = -13,∴x2 =111()3--=34,x3 =131()4-=4 ,x4 =11143=-,∴差倒数为3个循环的数, ∵2021 =670×3 +2 ,∴x2021 =x2 =34,故答案为：34．2．64解：∵ (x1 ,y1 )• (x2 ,y2 ) =x1x2 +y1y2 ,∴ (4 ,5 )• (6 ,8 ) =4×6 +5×8 =64 ,故答案为64．3．解：(1 )如图；根据抛物线的对称性,抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上,所以OA =AB ,即："抛物线三角形〞必为等腰三角形．故填：等腰．(2 )∵抛物线y = -x2 +bx (b＞0 )的"抛物线三角形〞是等腰直角三角形,∴该抛物线的顶点(2,24b b)满足224b b=(b＞0 )．∴b =2．(3 )存在．如图,作△OCD与△OAB关于原点O中|心对称,那么四边形ABCD为平行四边形．当OA =OB时,平行四边形ABCD是矩形,又∵AO =AB ,∴△OAB为等边三角形．作AE⊥OB ,垂足为E ,∴AE =3OE．∴24b=3•2b'(b′＞0 )．∴b′ =23．∴A (3,3 ) ,B (23,0 )．∴C ( -3, -3 ) ,D ( -23,0 )．设过点O、C、D的抛物线为y =mx2 +nx ,那么12230333m nm n⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩,解得123mn=⎧⎪⎨=⎪⎩．故所求抛物线的表达式为y =x2 +23x．4．解：根据题意可得：1⊕2 =2⊕1 =3 =22 12 +,( -3 )⊕ ( -4 ) = ( -4 )⊕ ( -3 ) = -76=2234+--,( -3 )⊕5 =5⊕ ( -3 ) = -415=2235+-,那么a⊕b =22a b+=22a bab+．故答案为：22a b ab+．5．C解：∵f ( -6 ,7 ) = (7 , -6 ) ,∴g (f ( -6 ,7 ) ) =g (7 , -6 ) = ( -7 ,6 )．应选C．四、（中|考）真题演练一、选择题1．A2．B．3．D解：∵3 ,6 ,9 ,12 ,…称为三角形数,∴三角数都是3的倍数,∵4 ,8 ,12 ,16 ,…称为正方形数,∴正方形数都是4的倍数,∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数, ∵2021÷12 =167…6 ,2021÷12 =167…8 ,2021÷12 =167…10 ,2021÷12 =168 ,∴2021既是三角形数又是正方形数．应选D．二、填空题4．4解：∵3＜＜4 ,∴3 +1＜+1＜4 +1 ,∴4＜+1＜5 ,∴[+1] =4 ,故答案为：4．5．C解：如下图,所求的点有4个,应选C．6．x =3解：根据题意可得：y =x +m -2 ,∵ "关联数〞[1 ,m -2]的一次函数是正比例函数, ∴m -2 =0 ,解得：m =2 ,那么关于x的方程11x-+1m=1变为11x-+12=1 ,解得：x =3 ,检验：把x =3代入最|简公分母2 (x -1 ) =4≠0 , 故x =3是原分式方程的解,故答案为：x =3．7．4π解：弧CD的长是1201180π⨯=23π,弧DE的长是：1202180π⨯=43π,弧EF的长是：1203180π⨯=2π ,那么曲线CDEF的长是：23π+43π+2π =4π．故答案是：4π．8．(1 )1；(2 )12或34或34解：(1 )存在另外1 条相似线．如图1所示,过点P作l3∥BC交AC于Q ,那么△APQ∽△ABC；故答案为：1；(2 )设P (l x )截得的三角形面积为S ,S =14S △ABC ,那么相似比为1：2． 如图2所示 ,共有4条相似线：①第1条l 1 ,此时P 为斜边AB 中点 ,l 1∥AC ,∴BP BA =12； ②第2条l 2 ,此时P 为斜边AB 中点 ,l 2∥AC ,∴BP BA =12； ③第3条l 3 ,此时BP 与BC 为对应边 ,且BP BC =12 ,∴BP BA =cos30BP BC =34； ④第4条l 4 ,此时AP 与AC 为对应边 ,且AP AC =12 ,∴1sin 304AP AP AB AC == , ∴BP BA =34． 故答案为：12或34或34． 三、解答题9．解： (1 )∵Rt △ABC 中 ,α =30° ,∴BC =12AB , ∴AC =22AB BC - =2214AB AB -=32AB , ∴ctan30° =AC BC =3． 故答案为：3；(2 )∵tanA =34,∴设BC =3 ,AC =4 ,那么AB =5 ,∴ctanA =ACBC=43．10．解：(1 )由题意,得|x| +|y| =1 ,所有符合条件的点P组成的图形如下图.(2 )∵d (M ,Q ) =|x -2| +|y -1| =|x -2| +|x +2 -1| =|x -2| +|x +1| ,又∵x可取一切实数,|x -2| +|x +1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和,其最|小值为3．∴点M (2 ,1 )到直线y =x +2的直角距离为3 .11．解：(1 )点C (75,22)是线段AB的"临近点〞．理由是：∵点P到直线AB的距离小于1 ,A、B的纵坐标都是3 , ∴AB∥x轴,3 -1 =2 ,3 +1 =4 ,∴当纵坐标y在2＜y＜4范围内时,点是线段AB的"临近点〞,点C的坐标是(75,22) ,∴y =52＞2 ,且小于4 ,∵C (75,22)在直线y =x -1上,∴点C (75,22)是线段AB的"临近点〞．(2 )由(1 )知：线段AB的"临近点〞的纵坐标的范围是2＜y＜4 , 把y =2代入y =x -1得：x =3 ,把y =4代入y =x -1得：x =5 ,∴3＜x＜5 ,∵点Q (m ,n )是线段AB的"临近点〞,∴m的取值范围是3＜m＜5．12．解：过A点作AC⊥x轴于C ,如图,(1 )解方程组1yxy x⎧=⎪⎨⎪=⎩,得1111xy=⎧⎨=⎩,2211xy=-⎧⎨=-⎩,∴A点坐标为(1 ,1 ) ,B点坐标为( -1 , -1 ) ,∴OC =AC =1 ,∴OA =2OC =2,∴AB =2OA =22,∴双曲线y =1x的对径是22；(2 )∵双曲线的对径为102,即AB =102,OA =52,∴OA =2OC =2AC ,∴OC =AC =5 ,∴点A坐标为(5 ,5 ) ,把A (5 ,5 )代入双曲线y =kx(k＞0 )得k =5×5 =25 ,即k的值为25；(3 )假设双曲线y =kx(k＜0 )与它的其中一条对称轴y = -x相交于A、B两点, 那么线段AB的长称为双曲线y =kx(k＜0 )的对径．13．解：①假设PB =PC ,连接PB ,那么∠PCB =∠PBC ,∵CD为等边三角形的高,∴AD =BD ,∠PCB =30° ,∴∠PBD =∠PBC =30° ,∴PD =33DB =36AB ,与PD =12AB 矛盾 ,∴PB≠PC ,②假设PA =PC ,连接PA ,同理可得PA≠PC ,③假设PA =PB ,由PD =12AB ,得PD =BD ,∴∠APD =45° ,故∠APB =90°；探究：解：∵BC =5 ,AB =3 ,∴AC =22BC AB - =2253- =4 ,①假设PB =PC ,设PA =x ,那么x 2 +32 = (4 -x )2 ,∴x =78 ,即PA =78 ,②假设PA =PC ,那么PA =2 ,③假设PA =PB ,由图知 ,在Rt △PAB 中 ,不可能．故PA =2或78．14．解： (1 )根据题意得：△ABC ∽△AB′C′ ,∴S △AB′C′：S △ABC = (A B AB '')2 = (3 )2 =3 ,∠B =∠B′ ,∵∠ANB =∠B′NM ,∴∠BMB′ =∠BAB′ =60°；故答案为：3 ,60；(2 )∵四边形 ABB′C′是矩形 ,∴∠BAC′ =90°．∴θ =∠CAC′ =∠BAC′ -∠BAC =90° -30° =60°．在 Rt △ABC 中 ,∠ABB' =90° ,∠BAB′ =60° ,∴∠AB′B =30° ,∴n =AB AB' =2；(3 )∵四边形ABB′C′是平行四边形 ,∴AC′∥BB′ ,又∵∠BAC =36° ,∴θ =∠CAC′ =∠ACB =72°．∴∠BB′A =∠BAC =36° ,而∠B =∠B ,∴△ABC ∽△B′BA ,∴AB ：BB′ =CB ：AB ,∴AB 2 =CB•BB′ =CB (BC +CB′ ) ,而 CB′ =AC =AB =B′C′ ,BC =1 ,∴AB 2 =1 (1 +AB ) ,∴AB =512±, ∵AB ＞0 ,∴n =B C BC'' =512+． 15．解： (1 )当m =2 ,n =2时 ,如题图1 ,线段BC 与线段OA 的距离等于平行线之间的距离 ,即为2； 当m =5 ,n =2时 ,B 点坐标为 (5 ,2 ) ,线段BC 与线段OA 的距离 ,即为线段AB 的长 , 如答图1 ,过点B 作BN ⊥x 轴于点N ,那么AN =1 ,BN =2 ,在Rt △ABN 中 ,由勾股定理得：AB =222212AN BN +=+ =5．(2 )如答图2所示 ,当点B 落在⊙A 上时 ,m 的取值范围为2≤m≤6： 当4≤m≤6 ,显然线段BC 与线段OA 的距离等于⊙A 半径 ,即d =2；当2≤m ＜4时 ,作BN ⊥x 轴于点N ,线段BC 与线段OA 的距离等于BN 长 , ON =m ,AN =OA -ON =4 -m ,在Rt △ABN 中 ,由勾股定理得：∴d =222(4)m -- =4168m m -+- =2812m m -+-．(3 )①依题意画出图形,点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见,封闭图形由上下两段长度为8的线段,以及左右两侧半径为2的半圆所组成, 其周长为：2×8 +2×π×2 =16 +4π ,∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16 +4π．②结论：存在．∵m≥0 ,n≥0 ,∴点M位于第|一象限．∵A (4 ,0 ) ,D (0 ,2 ) ,∴OA =2OD．如图4所示,相似三角形有三种情形：(I )△AM1H1 ,此时点M纵坐标为2 ,点H在A点左侧．如图,OH1 =m +2 ,M1H1 =2 ,AH1 =OA -OH1 =2 -m ,由相似关系可知,M1H1 =2AH1 ,即2 =2 (2 -m ) ,∴m =1；(II )△AM2H2 ,此时点M纵坐标为2 ,点H在A点右侧．如图,OH2 =m +2 ,M2H2 =2 ,AH2 =OH2 -OA =m -2 ,教学反思1 、要主动学习、虚心请教,不得偷懒. 老老实实做"徒弟〞,认认真真学经验,扎扎实实搞教研.2 、要勤于记录,善于总结、扬长避短. 记录的过程是个学习积累的过程, 总结的过程就是一个自我提高的过程.通过总结, 要经常反思自己的优点与缺点,从而取长补短,不断进步、不断完善.3 、要突破创新、富有个性,倾心投入. 要多听课、多思考、多改良,要正确处理好模仿与开展的关系,对指导教师的工作不能照搬照抄,要学会扬弃,在原有的根底上,根据自身条件创造性实施教育教学,逐步形成自己的教学思路、教学特色和教学风格, 弘扬工匠精神, 努力追求自身教学的高品位.。
方案设计型问题一、考法分析方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法，来按题目所呈现的要求进行计算，论证，选择，判断，设计的一种数学试题。
纵观近年来各地的中考试题，涉及方案设计与应用的试题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜，新颖别致．本文从历年中考试题中，筛选出与之有关的部分题目，对其方案设计类型进行归类探究，以供参考．二、例题分析（一）、利用方程（组）进行方案设计例１“利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．（１）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买．（２）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量．解：（１）设甲种型号手机要购买ｘ部，乙种型号手机购买ｙ部，丙种型号手机购买ｚ部，根据题意，得：①ｘ＋ｙ＝401800 ｘ＋600ｙ＝60000，解得ｘ＝30ｙ＝10②ｘ＋ｚ＝401800 ｘ＋1200ｚ＝60000，解得ｘ＝20ｚ＝20③ｙ＋ｚ＝40600 ｙ＋1200ｚ＝60000，解得ｙ＝－20 ｚ＝60（不合题意舍去）答：有两种购买方案：甲种手机购买30部，乙种手机购买10部；甲种手机购买20部，乙种手机购买20部．（２）根据题意，得：ｘ＋ｙ＋ｚ＝401800 ｘ＋600ｙ＋1200 ｚ＝60000 6≤ｙ≤8解得ｘ＝26 ｙ＝6 ｚ＝8或ｘ＝27 ｙ＝7 ｚ＝6或ｘ＝28 ｙ＝8 ｚ＝4答：若甲种型号手机购买26部手机，则乙种型号手机购买6部，丙种型号手机购买８部；若甲方型号手机购买27部，则乙种型号手机购买7部，丙种型号手机购买6部；若甲方型号手机购买28部，则乙种型号手机购买8部，丙种型号手机购买4部．例2某校组织360名师生去参观三峡工程建设，如果租用甲种客车若干辆，则刚好坐满；若租用乙种客车可少租1辆，且余40个空座位。
