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密学校 班级姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题太原五中2017-2018学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学（理）出题人、校对人：刘晓瑜、郭舒平、董亚萍、刘锦屏、凌河、闫晓婷（2018.4.2）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知{}{}2ln(1),2,xP x y x Q y y x P ==-==∈,则=PQ （ ）.A (0,1) .B 1(,1)2 .C 1(0,)2.D (1,2)2、已知复数(2a iz i i+=-为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1(2,)2- .B 1(,2)2- .C (,2)-∞- .D 1(+)2∞， 3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC ∆一定是（ ）.A 锐角三角形 .B 等腰三角形 .C 直角三角形 .D 等腰或直角三角形4、在区间[1,5]随机地取一个数m ，则方程22241x m y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ）.A 15 .B 14 .C 35 .D 345、若2012(21)n n n x a a x a x a x +=++++的展开式中的二项式系数和为32，则12+n a a a ++=（ ）.A 241 .B 242 .C 243 .D 2446、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 的值为（ ）.A 218 .B 4516 .C 9332.D 189647、已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ）.A 若30a >，则20150a < .B 若40a >，则20140a < .C 若30a >，则20150S > .D 若40a >，则20140S >8、已知k R ∈，点(,)P ab 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab的最大值为（ ）.A 15 .B 9 .C 1 .D 53-9、若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使00+20x ay +≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a ≤- .B 1a <- .C 1a > .D 1a ≥10、平行四边形ABCD 中，1,1,2-=⋅==AD AB ，点M 在边CD 上，则⋅的最大值为（ ）.A 5 .B 2 .C 1 .D 111、已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若a AF 21=，3221π=∠AF F ，则=∆∆221A B F F AF S S （ ）.A 1 .B 21 .C 31 .D 32 12、不等式2ln (2)2x x x m x m ++-≤有且只有一个整数解，则m 的取值范围为（ ）.A [1,)-+∞ .B (,44l n 2][1,-∞---+∞ .C (,33ln3][1,)-∞---+∞ .D (44ln 2,33ln3][1,)-----+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、11sin 2)x dx -=⎰.14、已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈，当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，则b 的取值范围是 .15、如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为 .16、已知数列{}n a 满足22(2)(2)n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对n N *∀∈恒成立，则实数λ的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分） 已知23BAC P π∠=，为BAC ∠内部一点，过点P 的直线与BAC ∠的两边交于点,B C ，且,PA AC AP ⊥=（1）若3AB =，求PC ； （2）求11PB PC+的取值范围. 18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ,2,60PD PB AB PA BCD ====∠=.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）在棱CD 上是否存在点M ，使平面ABP 与平面MBP 所若存在，请指出M 点的位置；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分12分）在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布2(95,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？①若X ~2(,)N μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=侧视图俯视图2APBCD OPB密学校 班级姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题②22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++③20、（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C ，F 为左焦点，A 为上顶点，)0,2(B 为右顶点，若=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得OMN OP Q S S ∆∆=21？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.21、（本小题满分12分） 已知函数()(2)()x f x x e ax =--.（1）当0a >时，讨论)(x f 的极值情况；（2）若(1)[()]0x f x a e --+≥，求a 的值.请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2+2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为=(0)6πθρ>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程； （2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积. 23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】已知函数()||21f x x m x =++-. （1）当=1m 时，解不等式()3f x ≥； （2）若14m <，且当[,2]x m m ∈时，不等式1()12f x x ≤+恒成立，求实数m 的取值范围．情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
太原五中2017-2018学年度第二学期阶段性检测答案高三数学（文）（2018.4.2）一、选择题(每小题5分，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13.9714. e -15. 3 16. 0(，)1三、解答题(本大题6小题，共70分) 17.(本小题满分12分）解：（1cos 2sin A C B=cos cos A C A ，()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =. 又B 为三角形的内角，所以sin 0B ≠，于是cos A =， 又A 为三角形的内角，所以6A π=. （6分）（2）设{}n a 的公差为d ，因为1sin 1a A =，且2a ，4a ，8a 成等比数列，所以112sin a A==，且2428a a a =⋅， 所以()()()211137a d a d a d +=++，且0d ≠，解得2d =， 所以2n a n =，所以()141=+1n n a a n n += 111n n -+，所以1111223n S ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111341n n ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭1111n n n -=++. （12分） 18.(本小题满分12分）证明：（1）∵PB PD =，且O 为BD 中点，∴BD PO ⊥.在菱形ABCD 中，∵60=∠BCD ，2=AB ，∴3=OA ，1=OB .又2=PB ，∴3=PO . ∵6=PA ，∴222OA PO PA +=，OA PO ⊥.∵O AO BD =⋂，∴⊥PO 平面ABCD ； （5分）（2）①∵231=⨯=-PO S V ABCD ABCD P ， ∴21=-PADM V ，即2131=⨯∆PO S MAD ，∴1=DM ，M 为CD 的中点. （7分） ②作MN ∥OC 交BD 与点N ，连结PN .∵BD AC ⊥，PO AC ⊥，∴⊥AC 平面PBD ，∴⊥MN 平面PBD ，MPN ∠是MP 与平面PBD 所成的角. ∵2321==OC MN ，21322=+=ON PO PN ， ∴1339tan ==∠PN MN MPN . （12分） 19.(本小题满分12分）解:（1）∵我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有94%人，∴语文成绩特别优秀的概率为p 1=1﹣0.94=0.06， ∴语文特别优秀的同学有100×0.06=6人， ∵数学成绩特别优秀的概率为p 2=0.002×20=0.04，∴数学特别优秀的同学有100×0.04=4人． （4分） （2）语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有4人，记两科都优秀的3人分别为A 1、A 2、A 3，单科优秀的4人分别为B 1、B 2、B 3、B 4，从中随机抽取2人，共有：（A 1，A 2）、（A 1，A 3）、（A 2，A 3）、（A 1，B 1）、（A 1，B 2）、（A 1，B 3）、（A 1，B 4）、（A 2，B 1）、（A 2，B 2）、（A 2，B 3）、（A 2，B 4）、（A 3，B 1）、（A 3，B 2）、（A 3，B 3）、 （A 3，B 4）、（B 1，B 2）、（B 1，B 3）、（B 1，B 4）、（B 2，B 3）、（B 2，B 4）、（B 3，B 4）21种，其中这两人两科成绩都优秀的有：（A 1，A 2）、（A 1，A 3）、（A 2，A 3）3种， ∴这两人两科成绩都优秀的概率71213==P ． （8分） （3）2×2列联表：∴635.6173.35946964)31933(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K , ∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀． （12分）20．(本小题满分12分）解：（1）设圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为),(y x ，由于动圆P 与圆64)2(:22=++y x M 相切，且与圆4)2(:22=+-y x N 相内切，所以46)2()8(=>=-+-=+MN R R PN PM . 所以圆心P 的轨迹是以点M ，N 为焦点的椭圆，且3=a ，2=c ，则5222=-=c a b ，所以曲线C 的方程为15922=+y x . （5分） （2）由题意，设),(11y x A ，),(22y x B ，直线AB 的方程为2-=my x .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=159222y x m y x 可得02520)95(22=--+my y m ，则9520221+=+m m y y ，9525221+-=m y y ， 所以]95100)9520)[(1(]4))[(1(2222212212++++=-++=m m m m y y y y m AB 95)1(3022++=m m .因为AB ∥，所以TAB ∆的面积等于OAB ∆的面积. 又点O 到直线AB 的距离122+=m d ，所以TAB ∆的面积951301295)1(30212122222++=+⋅++⋅=⋅=m m m m m d AB S ， 因为TAB ∆面积为310，所以3109513022=++m m ，解得0=m ，故直线AB 方程为2-=x .（12分） 21．(本小题满分12分） 解：0)(>'x f ，)(x f 单调递增；0)<，)(x f 单调递减；当0>m 时，01>+mx ，故0)(>'x f ，即)(x f 在),0(+∞上单调递增． 当0≥m 时，)(x f 的单调递增区间为),0(+∞． （6分）由已知012=++mx x 有两个互异实根1x ，2x ， 由根与系数的关系得m x x -=+21，121=x x ，因为1x ，2x )(21x x <是)(x h 的两个零点，故0ln 2)(12111=--=ax x x x h ① 0ln 2)(22222=--=ax x x x h ②12分） 22．(本小题满分10分）解：（1）曲线1C 的普通方程：22(2)4x y -+=，即0422=-+x y x .所以1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即=4cos ρθ. 曲线3C的直角坐标方程：(0)3y x x =>. （5分） （2）依题意，设点P 、Q 的极坐标分别为12(,),(,)66ππρρ. 将=6πθ代入=4cos ρθ，得1ρ 将=6πθ代入=2sin ρθ，得2=1ρ，所以121PQ ρρ=-=，依题意得，点1C 到曲线=6πθ的距离为1sin 16d OC π==. 所以213)132(21211-=-=⋅=∆d PQ S PQ C . （10分） 22．(本小题满分10分）解：（1）当=1m 时，()|1|21f x x x =++-，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(,3)211(,2)1(,3)(x x x x x x x f ，由()3f x ≥解得：1x ≤-或1x ≥，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞⋃--∞. （5分）（2）1()12f x x ≤+，即11+2-1122x m x x +≤+，又[,2]x m m ∈且14m <， 所以10,4m <<且0x > 所以11+121222m x x x ≤+--.即221m x x ≤+--. 令()221t x x x =+--，则⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<+=)21(,3)210(,13)(x x x x x t ， 所以[,2]x m m ∈时，min ()()=31t x t m m =+， 所以31m m ≤+，解得12m ≥-，所以实数m的取值范围是1(0,)4. （10分）情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
山西省太原市2020年高三4月模拟考试数学（理）试卷（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N =（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.32134．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数x x x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ） A.189 B.63 C.42 D.218．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A.π3B.π3C.23π D.π34 9．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+102306x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最小值为2，则b a 31+的最小值为（ ）A ．32+B ．625+C ．158+D ．3210．已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x C ：的右焦点为F ，过点F 作圆222b y x =+的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ） A.21 B.22 C.32 D.361l ．设10=AB ，若平面内点P 满足对任意的R ∈λ，都有82≥-AB ，则下列结论一定正确的是（ ） 5≥PA 10≥PB PA C.9-≥⋅ D.ο90≤∠APB 12．定义在R 上的连续奇函数f （x ）的导函数为)(x f '，已知f （1）≠0，且当x>0时有)()(ln x f x f x x -<'⋅成立，则使0)()4(2>-x f x 成立的x 的取值范围是（ ）A ．)2,0()0,2(Y -B ．),2()2,(+∞--∞YC ．),2()0,2(+∞-YD ．)2,0()2,(Y --∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，若其右顶点到这条渐近线的距离为3，则双曲线方程为 .14．已知函数)0)(6sin()(>-=ωπωx x f 在)34,0(π单调递增，在)234(ππ，单调递减，则=ω . 15．在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是 .16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用a （i ，j ）表示第i 行从左数第j 个数，如a （5，2）=11，则a （41，18）= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（本小题满分12分）已知△ABC外接圆的半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若2R（sin2B-sin2A）=（a +c）sinC．（I）求角B；（Ⅱ）若b=7，c=2，求sinA的值．18．（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE=1．（I）求证：平面ABCD⊥平面ABE；（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使二而角A-BF-E等于45°？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P =． （I ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆E 的焦点为F 1（-1，0）和F 2（1，0），过F 2的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线x=3于点C ．设22AF F B λ=u u u u r u u u u u r ，已知当2λ=时，|AB |=|BF 1|．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．2L ．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()x g x x=． （1）判断函数f （x ）在区间（0．一）上零点的个数；（Ⅱ）设函数g （x ）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n ．证明：（1）g （x 1）+g （x 2）<0；（2）对一切n ∈N *，g （x 1）+g （x 2）+g （x 3）+…+g （x n ）<0成立．·7·（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （θ为参数），已知点Q （6，0），点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足MQ PM 2=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求点M 的轨迹2C 2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线kx y l =:与曲线2C 交于A ，B 两点，若AB 4=，求k 的值23．（本小题满分10分）[选修4-5:不等式选讲] 已知函数1)(,2)(-=-=x x g a x x f .（I ）若)(2)(x g x f +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）<1的解集包含]1,21[，求实数a 的取值范围.·8··9··10·。
2020届山西省太原五中高三第一次模拟（4月)数学（文)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{|0}A x x =>，{}|||2x B y y ==，则A B =ð( ) A ．{|0}x x < B ．{|01}x x << C ．{|12}x x 剟 D ．{|01}x x 剟2．若43i z =+，则z z=（ ） A ．1 B ．1- C ．4355i + D ．4355i - 3．已知非零向量a b r r ，满足4b a r r ＝，且2)+(a a b ⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为( ) A ．B ．C ．D ．4．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．6425 B ．4825 C ．1 D ．16255．已知双曲线22:12x C y -=的左右焦点为1F ，2F ，点M 为双曲线C 上任意一点，则12MF MF ⋅的最小值为( )A ．1BC ．2D ．36．以下四个命题中，真命题的个数是（ ）① 若2a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于1；②是的充要条件；③[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥；④ 函数(1)y f x =+是奇函数，则()y f x =的图像关于(1,0)对称.A ．0B ．1C ．2D ．3 7．执行如图所示的程序框图.则输出的所有点(),x y （ ）A ．都在函数1y x =+的图象上B ．都在函数2y x =的图象上C ．都在函数2x y =的图象上D ．都在函数12x y -=的图象上8．已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x R ≥∈．（ ）A ．若()f a b ≤，则a b ≤B ．若()2b f a ≤，则a b ≤C ．若()f a b ≥，则a b ≥D ．若()2b f a ≥，则a b ≥ 9．函数()log a x xf x x =（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则3948tan 1b b a a +-⋅的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．11．抛物线2:2C x y =的焦点为F ，点M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为( )A ．4πB ．2πC ．916πD ．34π 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．14 B．10+C．212+D+ 13．若样本数据1x 、2x 、L 、10x 的平均数为10，则数据143x -、243x -、L 、1043x -，的平均数为_____.14．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =___15．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是_____.16．已知()xf x x e =⋅，()()()()2g x f x tf x t R =+∈若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为_____.17．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .18．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，CA =，120BCD ∠=︒.（1）若AC BD O =I ，求证：1B O //平面11AC D ；（2）若2CD =，且三棱锥1A CDC -的体积为1C D .19．2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于[]20,45岁的人中随机地抽取x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.（1）求x 、y 、z 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这x 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在[]25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在[]30,35中的概率.20．已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B . （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21．已知函数()ln f x x x =+，()()240g x x mx m =+<，函数()f x 在点1x =处的切线与函数()y g x =相切.（1）求函数()g x 的值域；（2）求证：()()f x g x <.22．已知曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ－8cos θ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点P (2，0)．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设点Q 与点G 的极坐标分别为32,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2，π)，若直线l 经过点Q 32,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与曲线C 相交于A ，B 两点，求△GAB 的面积．23．（1）若a 、b 均为正数，且1a b +=.证明：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）若不等式32x x a +--≥的解集为{}1x x ≥，求实数a 的值.参考答案1．B【解析】【分析】首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为{}|||2{|1}x B y y y y ===…，{|0}A x x =>，所以{|01}A B x x =<<ð， 故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．D【解析】【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-， 据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.3．C【解析】【分析】利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得a r 与b r的夹角θ的值．【详解】 220a b a ∴⋅+r r r ＝2()()20++2+20a a a b a a b a b ⊥∴⋅∴⋅r r r r r r r r Q r ，＝，＝， 即220cos a a a b b +r r r r r 〈，〉＝.224240b a a a cos a b ∴r r r r r r Q ＝，＋〈，〉＝，12cos ,,,23a b a b π∴〈〉=-∴〈〉=r r r r . 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．4．A【解析】 试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．5．A【解析】【分析】根据双曲线的定义，设点M 在双曲线C 右支上，则12||2MF MF a -==2||(MF x x =，再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：由题意知，1(F ，2F ，不妨设点M 在双曲线C 右支上，则12||2MF MF a -==2||(MF x x =，所以(212(2MF MF x x x ⋅=+=+-，所以当x =时，12MF MF ⋅的值最小，最小为1，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，二次函数的性质，考查转化思想，属于基础题.6．D【解析】试题分析：对于①如果1,1a b <<，则2a b +<，此与2a b +≥矛盾，所以①正确；对于②因为0a =r r 时0a b ⋅=r r ，但此时a b r P r，故不充分，所以②不正确；对于③因为30,0x x ∀≥≥，所以30x x +≥，故③正确；对于④因为函数(1)y f x =+是奇函数，所以函数(1)y f x =+的图象关于原点对称，从而()y f x =的图像关于(1,0)对称，故④正确，综上故选D.考点：1、命题；2、全称命题；3、向量的垂直；4、充要条件；5、函数的奇偶性. 7．C【解析】【分析】列出循环的每一步，根据输出的点(),x y 的坐标可判断出点(),x y 符合哪一个函数的解析式.【详解】开始：1x =，2y =，进行循环：输出()1,2，2x =，4y =，输出()2,4，3x =，8y =，输出()3,8，4x =，16y =，输出()4,16，5x =，32y =，因为54x =>，退出循环，则输出的所有点()1,2、()2,4、()3,8、()4,16都在函数2x y =的图象上.故选：C.【点睛】本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模.8．B【解析】试题分析：可设2(0)(){2(0)x x x f x x -≥=<，则f （x ）满足题意. 易知(1)25=5,f =≤-但1＞−5,排除A.(2)4|3|=3f ，=≥但2＜3,排除C.(2)42=221,f -=≥-<，但排除D.故选B.【考点】函数的奇偶性.【思路点睛】先由已知条件可得()f x 的解析式，再由()f x 的解析式判断()f x 的奇偶性，进而对选项逐个进行排除．9．C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键． 10．D【解析】【分析】由等差数列和等比数列的性质求出39b b +，481a a -的值，代入3948tan1b b a a +-⋅得答案. 【详解】 在等差数列{}n b 中，由16117b b b π++=，得637b π=，673b π=，3961423b b b π∴+==， 在等比数列{}n a中，由1611a a a =-36a =-，6a =(224861112a a a ∴-=-=-=-，则39481473tan tan tan tan 1233b b a a πππ+⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪-⋅-⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题. 11．C 【解析】 【分析】依题意可得MOF ∆的外接圆的圆心P 一定在抛物线上，且圆心P 在OF 的垂直平分线上，所以||2pOF =，从而求出外接圆的半径以及圆的面积； 【详解】解：因为MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，所以MOF △的外接圆的圆心P 到准线的距离等于圆的半径||PF ，则MOF ∆的外接圆的圆心P 一定在抛物线上.又因为圆心P在OF 的垂直平分线上，||2pOF =，3||424p p p MF =+=，则此外接圆的半径3344p r ==，故此外接圆的面积2916S r ππ==，故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，属于中档题. 12．D 【解析】还原三视图如下：其表面积为1111222222*********⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭故选D 13．37【分析】利用平均数公式可求得结果. 【详解】因为样本数据1x 、2x 、L 、10x 的平均数为10，则12101010x x x +++=L ，所以数据143x -、243x -、L 、1043x -的平均数为()1210121043043434341003037101010x x x x x x +++--+-++-⨯-===L L ，故答案为：37. 【点睛】本题考查平均数的计算，考查计算能力，属于基础题. 14．2 【解析】作为不等式组所对应的可行域，如上图阴影部分AOB ∆，则(20),(11)A B ，，，若z ax y =+过A 时求得最大值为4，则24,2a a ==，此时目标函数为2z x y =+，变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，当经过A 点时，纵截距最大，此时z 有最大值为4，满足题意；若z ax y =+过B 时求得最大值为4，则14,3a a +==，此时目标函数为3z x y =+，变形为3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，当经过A 点时，纵截距最大，此时z 有最大值为6，不满足题意，故2a =．点睛：本题主要考查了线性规划的应用，属于中档题．结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决此类问题的15．3 【解析】 【分析】求出图象变换后的函数解析式，结合所得函数图象关于x 轴对称，可得出关于ω的等式，即可求得ω的最小正值. 【详解】Q 函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与原函数的图象关于x 轴对称， 则平移后函数的解析式为sin sin 333y x x ωπππωω⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213k ωππ∴-=+，k Z ∈，当1k =-时，ω取得最小正值，此时3ωππ=，因此，ω的最小正值为3.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及函数图象的对称性，考查推理能力，属于中等题.16．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】满足()1g x =-的x 有4个，等价于方程()()210fx tf x ++=有4个根，设()x h x xe =，利用导数得到函数()y h x =的单调性和极值，画出函数()y h x =的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数()y f x =的大致图象，要使方程()()210fx tf x ++=有4个根，则方程210m tm ++=应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设()21m m tm ϕ=++，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出t 的取值范围.【详解】Q 满足()1g x =-的x 有4个，∴方程()()210f x tf x ++=有4个根，设()xh x xe =，则()()1xh x x e '=+，令()0h x '=，得1x =-.当(),1x ∈-∞-时，()0h x '<，函数()y h x =单调递减；当()1,x ∈-+∞时，()0h x '>，函数()y h x =单调递增，()()min 11h x h e∴=-=-， 画出函数()xh x xe =的大致图象，如图所示：()()x f x xe h x ==Q ，∴保留函数()y h x =的x 轴上方的图象，把x 轴下方的图象关于x 轴翻折到x 轴上方，即可得到函数()xf x xe =的图象如下图所示：令()m f x =，则210m tm ++=， 所以要使方程()()210fx tf x ++=有4个根，则方程210m tm ++=应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，一个根在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，设()21m m tm ϕ=++，因为()010ϕ=>，则只需21110t e e eϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：21e t e+<-， 因此，实数t 的取值范围是21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题.17．（1）2nn a =；（2）()16232n n T n +=+-.【解析】 【分析】（1）等比数列{}n a 中，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项，由等比数列的公比表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果； （2）把（1）中求得的结果代入22log 1n n b a =-，求出n b ，利用错位相减法求出n T . 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =.因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+.即()224244q q +=+，化简得220q q -=.因为公比0q ≠，所以2q =. 所以()222422n n n n a a qn N --*==⨯=∈；（2）因为2nn a =，所以22log 121n n b a n =-=-，所以()212n n n a b n =-.则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-L ，①，()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+-L ，②，①-②得，()2312222222212nn n T n +-=+⨯+⨯++⨯--L ()()()11141222212623212n n n n n -++-=+⨯--=----，所以()16232n n T n +=+-.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查了等差、等比中项的概念的应用，以及错位相减法，考查运算能力，属中档题.18．（1）见解析；（2）1C D 【解析】 【分析】（1）连接11B D 交11A C 于点1O ，连接1DO ，根据四边形ABCD 为平行四边形，可得1B O //1DO ，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）利用正弦定理，可得1sin 2CAD ∠=，进一步可得AC CD ⊥，然后根据1A CDC V -，可得1CC ，最后利用勾股定理，可得结果. 【详解】（1）连接11B D 交11A C 于点1O ，连接1DO . 如图由四棱柱的性质可知11B D //BD ， 且11B D BD =，则11B O //DO . ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴12DO BD =. 同理111112B O B D =，∴11DO B O =， ∴四边形11DOB O 为平行四边形，∴1B O //1DO . 又1DO ⊂平面11AC D ，1B O ⊂/平面11AC D ， ∴1B O //平面11AC D .（2）∵120BCD ∠=︒，∴60ADC ∠=︒.又CA =，∴CA =由正弦定理可得sin sin CA CDADC CAD =∠∠，解得1sin 2CAD ∠=， ∵0120CAD ︒︒<∠<，∴30︒∠=CAD ， ∴90ACD ︒=∠，即AC CD ⊥.又1AA ⊥平面ABCD ，即1CC ⊥平面ABCD ， ∴1CC ，CD ，CA 两两垂直.∴1111132A CDC V CD CC CA -=⨯⋅⋅==，∴1CC =，∴1C D ==【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面垂直的判定，还考查了锥体体积公式，掌握线线、线面、面面之间的位置关系，考验分析能力，属中档题.19．（1）2000.6256x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（2）30.75；（3）1318.【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表能求出x 、y 、z ； （2）根据频率分布直方图，能估计这x 人年龄的平均值；（3）从年龄段在[]25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，[)25,30中选5人，分别记为A 、B 、C 、D 、E ，[]30,35中选4人，分别记为a 、b 、c 、d ，在这9人中选取2人作为记录员，利用列举法列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）由题意得：450.752000.065250.6252000.0452000.0350.26x y z ⎧⎪==⎪⨯⎪⎪==⎨⨯⨯⎪=⨯⨯⨯=⎪⎪⎪⎩； （2）根据频率分布直方图，估计这x 人年龄的平均值为：22.50.327.50.232.50.237.50.1542.50.1530.75x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）从年龄段在[]25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，从[)25,30中选：25952520⨯=+人，分别记为A 、B 、C 、D 、E ，从[]30,35中选：20942520⨯=+人，分别记为a 、b 、c 、d ，在这9人中选取2人作为记录员，所有的基本事件有：(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),A E 、(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、(),B C 、(),B D 、(),B E 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),C D 、(),C E 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),D E 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),E a 、(),E b 、(),E c 、(),E d 、(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d ，共36种，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[]30,35包含的基本事件有：(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),E a 、(),E b 、(),E c 、(),E d 、(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d ，共26种，因此，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[]30,35中的概率26133618P ==. 【点睛】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频数分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题.20．（1）()3,0；（2）223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，其中533x <≤；（3）存在，且k 的取值范围为33,44⎡⎧⎫⋃-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y tx =，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L 与圆1C 的方程，利用根的判别式0∆=及轨迹C 的端点与点()4,0确定的直线斜率，即得结论. 【详解】（1）Q 圆221:650C x y x +-+=，整理得其标准方程为：()2234x y -+=，∴圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设当直线l 的方程为y tx =，()11,A x y 、()22,B x y ，联立方程组()2234x y y tx⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，消去y 可得：()221650t x x +-+=，由()223645116200tt∆=-⨯⨯+=->，可得245t <. 由韦达定理，可得12261x x t +=+， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为223131x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，其中t <， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，其中533x <≤； （3）结论：当33,7744k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U 时，直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点. 理由如下：联立方程组()2239244x y y k x ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-⎩， 消去y ，可得：()()2222183160k x k x k +-++=，令()()22228341610k k k ∆=+-⨯⨯+=，解得34k =±.又Q 轨迹C 的端点5,3⎛ ⎝⎭与点()4,0确定的直线斜率为， ∴当直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围为33,44⎡⎧⎫⋃-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题. 21．（1）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用导数求出曲线()y f x =在点1x =处的切线方程，与函数()y g x =的解析式联立，由0∆=可求得m 的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数()y g x =的值域； （2）要证明()()f x g x <，即证242ln x x x x ->+，即证244ln x x x x ->-，求出函数()244x x x ϕ=-的最小值，并利用导数求出函数()ln h x x x =-的最大值，由此可得出结论.【详解】（1）切点()1,1P ，()ln f x x x =+Q ，则()11f x x'=+，()12f '=. 所以，函数()y f x =在点1x =处的切线方程为()121y x -=-，即21y x =-.Q 函数()y f x =在点1x =处的切线与函数()y g x =相切.联立2421y x mx y x ⎧=+⎨=-⎩，化为()24210x m x +-+=， ()()()2216620m m m ∆=--=-+=，0m <Q ，解得2m =-.()22111424444g x x x x ⎛⎫∴=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =的值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； （2）要证()()f x g x <，即证242ln x x x x ->+，即证244ln x x x x ->-.设()244x x x ϕ=-，()ln h x x x =-，则函数()y h x =的定义域为()0,+∞. ()min 112x ϕϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()111x h x x x -=-='. 当01x <<时，()0h x '>，此时，函数()y h x =单调递增；当1x >时，()0h x '<，此时，函数()y h x =单调递减.所以，函数()y h x =的最大值为()()max 11h x h ==-.所以，()()min max x h x ϕ=，但是函数()y x ϕ=的最小值和函数()y h x =的最大值不在同一处取得，因此，()()f x g x <.【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程，二次函数值域的求解，同时也考查了函数不等式的证明，考查推理能力与计算能力，属于难题.22．(1) y 2＝8x ， 2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2) 【解析】【分析】（1）曲线C 可化为ρ2sin 2θ－8ρcos θ＝0，即得其直角坐标方程，根据已知写出直线l 的参数方程；（2）先求出直线l的参数方程为2,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得到t 2－－32＝0，利用韦达定理和直线参数方程t 的几何意义求出|AB|=16, 再求点G 到直线l 的距离，即得△GAB 的面积．【详解】(1)曲线C 可化为ρ2sin 2θ－8ρcos θ＝0，其直角坐标方程为y2＝8x，直线l的参数方程为2cos,sinx ty tαα=+⎧⎨=⎩(t为参数)．(2)将点32,2Qπ⎛⎫⎪⎝⎭的极坐标化为直角坐标得(0，－2)，易知直线l的倾斜角α＝π4，所以直线l的参数方程为2,xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)．将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得282⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得t2－t－32＝0，Δ＝)2＋4×32＝255＞0，设t1，t2为方程为t2－t－32＝0的两个根，则t1＋t2＝，t1·t2＝－32，所以12||16 AB t t=-===.由极坐标与直角坐标互化公式得点G的直角坐标为(－2，0)，易求点G到直线l的距离||sin454d PG=⋅︒==111222GABS d AB∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的写法，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.23．（1）证明见解析；（2）3a=.【解析】【分析】（1）将1a b+=代入可得11111111b aa b a b⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由三元均值不等式，即可得证；（2）先由方程32x x a+--=的根为1x=求出a的值，然后代入不等式，解不等式验证即可，进而可得出实数a的值.【详解】（1）aQ、b均为正数，且1a b+=，1111111111339a b b a b a a b a b a b ⎛⎛++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++≥⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝， 当且仅当12a b ==时，等号成立， 因此，11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意可知方程32x x a +--=的根为1x =，则412a --=，解得1a =-或3. ①当1a =-时，原不等式为312x x +-+≥.当3x ≤-时，由()()313122x x x x +-+=-+++=-<，此时x ∈∅；当31x -<<-时，由()()3131242x x x x x +-+=+++=+≥，得1x ≥-，此时x ∈∅； 当1x ≥-时，由()()31312x x x x +-+=+-+=，此时1x ≥-. 所以，不等式312x x +-+≥的解集为{}1x x ≥-，不合乎题意；②当3a =时，原不等式为332x x +--≥.当3x ≤-时，由()()333362x x x x +--=-++-=-<，此时x ∈∅；当33x -<<时，由()()333322x x x x x +--=++-=≥，解得1x ≥，此时13x ≤<； 当3x ≥时，由()()333362x x x x +--=+--=≥，此时3x ≥. 所以，不等式332x x +--≥的解集为{}1x x ≥，合乎题意.综上所述，3a =.【点睛】本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查推理能力与运算求解能力，属于中档题.。
2020年山西省太原五中高考数学模拟试卷(一)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x ≤5,x ∈N }，B ={x|1<x <6,x ∈N }，则∁A B =( )A. {0,1}B. {1}C. {x|0≤x ≤1}D. {x|0<x ≤1}2. 若z =4+3i ，则z −|z|=( )A. 1B. −1C. 45+35iD. 45−35i3. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ −b ⃗ |=√3|a ⃗ +b ⃗ |=√3|a ⃗ |，则a⃗ 与b ⃗ 的夹角为( ) A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64. 若tanα=2，则sin2α+cos 2α=( )A. 1B. −1C. 2D. −25. 已知F 1，F 2分别为双曲线x 23−y 2=1的左右焦点，点P(3,1)，点A 在双曲线上，则|AP|+|AF 2|的最小值为( )A. √26−2√3B. √26−4C. √26+4D. √26+2√36. 若“∀x ∈(0,+∞)，x +4x ≥a ”与“∃x ∈R ，x 2+2x +a =0”都是真命题，则a 的取值范围是( )A. a ≤4B. a ≤1C. 1≤a ≤4D. ⌀7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[−2,2]，则输出的S 属于( )A. [−6,−2]B. [−5,−1]C. [−4,5]D. [−3,6]8. 已知函数f(x)=|x +3|−|x −1|，若f(x)≤a 2−3a(x ∈R)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−1]∪[4,+∞)B. (−∞,−2]∪[5,+∞)C. [1,2]D. (−∞,1]∪[2,+∞)9.函数y=x28−ln|x|的图象大致为()A. B.C. D.10.已知{a n}是等差数列，{b n}等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6·b9=2，则)A. 1B. −1C. √33D. √311.已知抛物线y2=4x的焦点为F，以F为圆心的圆与抛物线交于M、N两点，与抛物线的准线交于P、Q两点，若四边形MNPQ为矩形，则矩形MNPQ的面积是()A. 16√3B. 12√3C. 4√3D. 312.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为()A. 43B. 2C. 4D. 23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知样本1，2，4，x，y的平均数是3，标准差是2，则xy=______．14.若x，y满足约束条件{x+y−5≤02x−y−1≥0x−2y+1≤0，则2x+y的最大值为________．15.将函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线x=π对称，则ω的最小值为____．16.已知函数f(x)=x2+3，g(x)=e x+a，当x∈(−5,0]时，f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，数列{b n}满足b1=1，数列{(b n+1−b n)a n}的前n项和为2n2+n．(1)求q的值；(2)求数列{b n}的通项公式．18.如图，已知AB⊥BC，BE//CD，∠DCB=90°，平面BCDE⊥平面ABC，CD=4，AB=BC=BE=2，F为AD中点．(1)证明：EF//平面ABC；(2)求三棱锥D−BCF的体积．19.某电视台为宣传本省的旅游景区，随机从本省内15∼65岁的人群中抽取了n人，按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示．现让这n人回答问题“本省内的AAAAA旅游景区有哪些？”，统计结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率1[15,25)a0.52[25,35)18x3[35,45)b0.94[45,55)90.365[55,65]3y(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求从第2，3，4组各抽取多少人？20.在直角坐标系中，以原点O为圆心，r为半径的圆与直线√3x−y+4=0相切．(1)求圆O的方程(2)圆O与x轴相交于A、B两点(其中点B在x轴正半轴上)动点P满足|PA|+|PB|=4r，求动点P的轨迹方程(3)过点B有一条直线l，l与直线√3x−y+4=0平行且l与动点P的轨迹相交于C、D两点，求ΔOCD的面积．21.已知函数f(x)=ln(x+m+1)，m∈R．(I)若直线y=x+1与函数y=f(x)的图象相切，求m的值；(Ⅱ)当m≤1时，求证f(x)<e x．22.在平面直角坐标系中，直线l过点P(2,√3)且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于A，B 两点；(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)若|AB|=√13，求直线l的倾斜角α的值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x−m|(m>1)，若f(x)>4的解集是{x|x<0或x>4}．(1)求m的值；(2)若正实数a,b,c满足1a +12b+13c=m3，求证：a+2b+3c≥9．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查集合补集的运算，首先化简集合A和B，然后根据补集的定义即可求出结果，属于基础题．解：因为集合A={0,1，2，3，4，5 }，B={2,3，4，5 }，所以∁A B={0,1}．故选A．2.答案：D解析：本题考查共轭复数，复数的模，属于基础题．利用共轭复数的概念求出z=4−3i，再结合复数的模化简即可得到答案．解：由z=4+3i得z=4−3i，则z|z|=4−3i|4+3i|=4−3i5=45−35i.故选D．3.答案：C解析：本题考查了向量的数量积和向量的夹角，根据条件得到a⃗⋅b⃗ =−b⃗22，|a⃗|=|b⃗ |，进而求出cos<a⃗，b⃗ >的值，从而得出a⃗，b⃗ 的夹角．解：由|a⃗−b⃗ |=√3|a⃗+b⃗ |得：(a⃗−b⃗ )2=3(a⃗+b⃗ )2;∴a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=3(a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2)，(1)∵√3|a⃗+b⃗ |=√3|a⃗|,∴a⃗2+2a⃗·b⃗ +b⃗ 2=a⃗2解得a⃗⋅b⃗ =−b⃗22，代入(1)式，得|a⃗|=|b⃗ |;;∴cos<a⃗，b⃗ >=−12∴a⃗，b⃗ 夹角为2π．3所以C选项是正确的．故选C4.答案：A解析：本题考查三角函数的化简求值和证明，涉及同角三角函数的基本关系，二倍角公式及其应用，属于基础题，先由sin2α+cos2α化简得，再代值计算即可．解：，tanα=2，．故选A．5.答案：A解析：本题考查双曲线的定义、方程和性质，属于中档题．求出双曲线的a，c，得到焦点，由题意可得A在右支上，利用双曲线的定义|AF2|=|AF1|−2a即可求得|PA|+|AF2|的最小值．−y2=1得实半轴长a=√3，半焦距c=2，解：由双曲线方程x23∴右焦点F2(2,0)，左焦点F1(−2,0)；又P(3,1)，A是双曲线上一点，∴当点A在双曲线的右支上时，|AP|+|AF2|取得最小值，∴|AF2|=|AF1|−2a=|AF1|−2√3，∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|−2√3≥|PF1|−2√3=√(3+2)2+(1−0)2−2√3=√26−2√3．当且仅当P，A，F1共线时，等号成立．故选：A．6.答案：B解析：分别求得“∀x∈(0,+∞)，x+4x≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题时a的取值范围，再取交集即可．本题考查命题的真假判断与应用，考查全称命题与特称命题之间的关系，考查基本不等式与判别式法，考查等价转化思想与函数方程思想的应用，属于中档题．解：“∀x∈(0,+∞)，x+4x ≥a”⇔“∀x∈(0,+∞)，a≤(x+4x)min，∵当x>0时，x+4x ≥2√x⋅4x=4(当且仅当x=2时取“=”)，即(x+4x)min=4，∴a≤4；又“∃x∈R，x2+2x+a=0”是真命题，∴方程x2+2x+a=0有实数根，∴△=4−4a≥0，解得：a≤1；∵“∀x∈(0,+∞)，x+4x≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题，∴a≤1，故选：B．7.答案：D解析：本题考查程序框图，理解程序表示的算法功能是解题的关键．解：由题意，当t∈[−2,0)时，循环得t∈(1,9]，∴S=3−t，t∈[0,9]，所以S∈[−3,6]，故选D.8.答案：A解析：解：函数f(x)=|x+3|−|x−1|≤|(x+3)−(x−1)|=4，当且仅当x≥1时，f(x)取得最大值4．若f(x)≤a2−3a(x∈R)恒成立，则a2−3a≥4，解得a≥4或a≤−1．则实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[4,+∞)．故选：A．运用绝对值不等式的性质可得f(x)=|x+3|−|x−1|≤|(x+3)−(x−1)|=4，当且仅当x≥1时，f(x)取得最大值4.再由不等式恒成立思想可得a2−3a≥4，再由二次不等式的解法即可求得．本题考查不等式恒成立问题，主要考查绝对值不等式的性质求最值，注意不等式恒成立或有解问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．9.答案：A解析：本题主要考查函数的性质，属于中档题．解：因为，所以函数为偶函数，故排除B;又x≠0，故排除C，D;故选A．10.答案：D解析：由等差数列的性质得出a1+a2015=a1003+a1013=π，由等比数列的性质得出b7⋅b8=b6⋅b9=2，然后代入求解即可．本题考查等差数列以及等比数列性质的应用，三角函数值的求法，考查计算能力．解：数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6⋅b9=2，所以a1+a2015=a1003+a1013=π，b7⋅b8=b6⋅b9=2，所以tan a1+a20151+b7b8=tanπ3=√3．故选：D．11.答案：A解析：本题考查抛物线的简单性质与抛物线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．首先根据题目信息作出图形，如图所示，可得圆的圆心坐标为F(1,0)，且点F为该矩形MNPQ的两条对角线的交点，再利用点F到直线PQ的距离与点F到MN的距离相等可求得直线MN的方程，从而可求出M点的坐标；然后求解矩形的面积．解：根据题意画出示意图：依题意，抛物线抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，∴圆的圆心坐标为F(1,0)．∵四边形MNPQ是矩形，∴PM为直径，QN为直径，∴点F为该矩形的两条对角线的交点，∴点F到直线PQ的距离与点F到MN的距离相等．∵点F到直线MN的距离d=2，∴直线MN的方程为：x=3，∴M(3,2√3)，∴则矩形MNPQ的面积是：4×4√3=16√3．故选：A．12.答案：A解析：解：三视图表示的几何体为三棱锥D−ABC，是正方体的一部分，则此几何体的体积为：13×12×2×2×2=43．故选：A．首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键．13.答案：10解析：解：样本1，2，4，x，y的平均数是3，∴(1+2+4+x+y)=3×5，即x+y=8，…①又标准差是2，∴15[(1−3)2+(2−3)2+(4−3)2+(x−3)2+(y−3)2]=22，即(x−3)2+(y−3)2=14，…②由①②联立，消去x得y2−8y+10=0，∴y1y2=10；由x、y的对称性知，xy=10．故答案为：10．根据平均数与标准差的定义，列方程组求得y1y2的值，再由x、y的对称性求得xy的值．本题考查了平均数与标准差的定义和应用问题，是基础题．14.答案：8解析：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=2x+y得y=−2x+z，平移直线y=−2x+z由图象可知当直线y=−2x+z经过点B(2,3)时，直线y=−2x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=2x+y，得z=8．故答案为8．15.答案：12解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得新的解析式，再利用三角函数的图象的对称性求得ω的最小值．解：将函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，可得函数y=sin(ωx+πω3−π6)的图象；再根据所得图象关于直线x=π对称，可得ωπ+πω3−π6=kπ+π2，k∈Z，∴当k=0时，ω取得最小值为12，故答案为12．16.答案：(−∞,2]解析：f(x)≥g(x)，即x2−e x+3≥a在x∈(−5,0]恒成立，函数y=x2−e x+3在x∈(−5,0]时递减，所以a≤y min=2．17.答案：解：(Ⅰ)等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28−a4，解得a4=8，由8q+8+8q=28，可得q=2(q=12舍去)，则q的值为2；(Ⅱ)设c n=(b n+1−b n)a n=(b n+1−b n)2n−1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n−2(n−1)2−(n−1)=4n−1，上式对n=1也成立，则(b n+1−b n)a n=4n−1，即有b n+1−b n=(4n−1)⋅(12)n−1，可得b n=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(b n−b n−1)=1+3⋅(12)0+7⋅(12)1+⋯+(4n−5)⋅(12)n−2，1 2b n=12+3⋅(12)+7⋅(12)2+⋯+(4n−5)⋅(12)n−1，相减可得12b n=72+4[(12)+(12)2+⋯+(12)n−2]−(4n−5)⋅(12)n−1=72+4⋅12(1−12n−2)1−12−(4n−5)⋅(12)n−1，化简可得b n=15−(4n+3)⋅(12)n−2．解析：本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查数列的恒等式和错位相减法的运用，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q；(Ⅱ)设c n=(b n+1−b n)a n=(b n+1−b n)2n−1，运用数列的递推式可得c n=4n−1，再由数列的恒等式求得b n=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(b n−b n−1)，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．18.答案：证明：(1)设AC中点为G，连FG，BG，∵F为AD中点，∴FG//DC，FG=12DC，又由题意BE//CD，BE=12CD，∴EB//FG，且EB=FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EB//FG，又BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)∵平面BCDE所在平面垂直平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，∴AB⊥平面BCDE，∵F为AD中点，∴V D−BCF=V F−BCD=12V A−BCD=16(12BC⋅DC)AB=43，所以，三棱锥D−BCF的体积是43．解析：(1)设AC中点为G，连FG，BG，推导出四边形BEFG为平行四边形，从而EB//FG，由此能证明EF//平面ABC．(2)V D−BCF=V F−BCD=12V A−BCD，由此能求出三棱锥D−BCF的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为9÷0.36=25，再结合频率分布直方图可知n=25÷(0.025×10)=100，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，x=18÷(100×0.02×10)= 0.9,y=3÷(100×0.015×10)=0.2．(2)第2，3，4组回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组13×6=2(人)，第3组12×6=3(人)，第4组16×6=1(人)．解析：本题主要考查频率分布直方图和频率分布表的相关计算问题．(1)利用第4小组的数据，先求出样本容量，然后分别求出a，b，x，y的值．(2)利用分层抽样的定义，进行抽取．20.答案：解：(1)∵以原点O为圆心，r为半径的圆与直线√3x−y+4=0相切．∴r=√(√3)2+1=2，∴要求的圆的方程为：x2+y2=4．(2)对于x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，可得A(−2,0)，B(2,0)．∵|PA|+|PB|=4r=8>|AB|=4，∴动点P的轨迹是椭圆：A，B为焦点，2a=8，a=4，b2=a2−c2=12．∴动点P的轨迹方程为：x216+y212=1．(3)∵l与直线√3x−y+4=0平行，可设l的方程为：√3x−y+m=0，把点B(2,0)代入可得m=−2√3．∴直线l的方程为：√3x−y−2√3=0．设C(x1,y1)，D(x2,y2)，联立{√3x −y −2√3=0x 216+y 212=1，化为5x 2−16x =0， 解得{x =0y =−2√3，{x =165y =6√35， ∴|CD|=(5)√5=325．原点O 到直线l 的距离d =2√32=√3．∴△OCD 的面积S =12d|CD|=12×√3×325=16√35．解析：(1)由于以原点O 为圆心，r 为半径的圆与直线√3x −y +4=0相切．可得r =√(√3)2+1=2，即可得出；(2)对于x 2+y 2=4，令y =0，可得A(−2,0)，B(2,0).|PA|+|PB|=4r =8>|AB|=4，可得动点P 的轨迹是椭圆．(3)l 与直线√3x −y +4=0平行，可设l 的方程为：√3x −y +m =0，把点B(2,0)代入可得直线l 的方程为：√3x −y −2√3=0.与椭圆的方程联立可得C ，D ，即可得出|CD|.利用点到直线的距离公式可得原点O 到直线l 的距离d.利用△OCD 的面积S =12d|CD|即可得出．本题考查了直线与圆相切的性质、椭圆的定义及其标准方程、平行直线的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：函数f(x)=ln(x +m +1)的导数f′(x)=1x+m+1，(1)设直线y =x +1与函数f(x)的图象切于点(x 0,y 0)， 则y 0=x 0+1，y 0=ln(x 0+m +1)，1x 0+m+1=1，解得x 0=−1，y 0=0，m =1；(2)证明：由m ≤1，可得ln(x +m +1)≤ln(x +2)， 要证f(x)<e x ，只需证ln(x +2)<e x ， 令ℎ(x)=e x −ln(x +2)，则ℎ′(x)=e x −1x+2， 由ℎ′(−1)=1e −1<0，ℎ′(0)=12>0，即有∃x0∈(−1,0)，使ℎ′(x0)=0，即e x0=12+x，ln(x0+2)=−x0，则ℎ(x)在(−2,x0)上递减，在(x0,+∞)上递增，即有ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0−ln(x0+2)，则ℎ(x)≥ℎ(x)min=e x0−ln(x0+2)=12+x0+x0=(x0+1)22+x0>0，则有f(x)<e x．解析：(1)求出函数的导数，设出切点，求得切线的斜率，由点满足曲线和切线方程，解方程，可得m=1：(2)由m≤1，可得ln(x+m+1)≤ln(x+2)，要证f(x)<e x，只需证ln(x+2)<e x，令ℎ(x)=e x−ln(x+2)，求出导数，运用零点存在定理，可得∃x0∈(−1,0)，使ℎ′(x0)=0，求得ℎ(x)的最小值，证明它大于0，即可得证．本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)∵ρ=4cos(θ−π3)，∴ρ=4(cosθcosπ3+sinθsinπ3)=2(cosθ+√3sinθ)，∴ρ2=2(ρcosθ+√3ρsinθ)，∴x2+y2=2x+2√3y，∴曲线C的直角坐标方程为(x−1)2+(y−√3)2=4，(Ⅱ)当时，直线l：x=2，∴|AB|=2√3≠√13，舍，当时，设tanα=k，则l：y−√3=k(x−2),即kx−y−2k+√3=0，∴圆心C(1,√3)到直线kx−y−2k+√3=0的距离d=√3−2k+√3|2=2由d2+(|AB|2)2=4得：k2k2+1+134=4,解得：k=±√3，∴tanα=±√3，∵α∈(0,π)，∴α=π3或2π3．解析：本题考查曲线的直角坐标的求法，考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意极坐标方程、直角坐标方程互化公式的合理运用．(Ⅰ)由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，能求出曲线C 的直角坐标方程．(Ⅱ)设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由已知求出直线的斜率，由此能求出直线l 的倾斜角α的值．23.答案：解：(1)∵m >1，∴f(x)={−2x +m +1,x <1m −1,1≤x ≤m 2x −m −1,x >m ，作出函数f(x)的图象，如图所示：由f(x)>4的解集为{x|x <0或x >4}及函数图象， 可得{−2×0+m +1=42×4−m −1=4，得m =3．证明：(2)由(1)知m =3，从而1a +12b +13c =1， ∴(a +2b +3c)(1a +12b +13c)=3+(a 2b+2b a)+(a 3c+3c a)+(2b 3c+3c 2b)≥9，当且仅当a =3，b =32，c =1时取等号， 故a +2b +3c ≥9．解析：本题考查学生对绝对值不等式和基本不等式的理解与运用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题(1)作出f(x)的图象，结合题意可得可得{−2×0+m +1=42×4−m −1=4，由此求得m 的值．(2)利用基本不等式即可证明；。
2020年山西省太原五中高考数学模拟试卷（文科）（一）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.若，则A. 1B.C.D.3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为A. B. C. D.4.若，则A. B. C. 1 D.5.已知双曲线的左右焦点为、，点M为双曲线C上任一点，则的最小值为A. 1B.C. 2D. 36.以下四个命题中，真命题的个数是若，则a，b中至少有一个不小于1；是的充要条件；，；函数是奇函数，则的图象关于对称．A. 0B. 1C. 2D. 37.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点A. 都在函数的图象上B. 都在函数的图象上C. 都在函数的图象上D. 都在函数的图象上8.已知函数满足：且，A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则9.函数图象的大致形状是A. B.C. D.10.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是A. 1B.C.D.11.已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为A. B. C. D.12.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A. 14B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若样本数据，，，的平均数为10，则数据，，，，的平均数为______．14.已知x，y满足约束条件，若的最大值为4，则______．15.函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则的最小正值是______．16.已知，若满足的x有四个，则t的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是等比数列，，是和的等差中项．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．18.如图，四棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，，．若，求证：平面；若，且三棱锥的体积为，求D.19.2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取x人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．求x，y，z的值；根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数；从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在中的概率．组数分组“环保族”人数占本组频率第一组45第二组25y第三组20第四组z第五组320.已知过原点的动直线l与圆：相交于不同的两点A，B．求圆的圆心坐标；求线段AB的中点M的轨迹C的方程；是否存在实数k，使得直线L：与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21.已知函数，，函数在点处的切线与函数相切．求函数的值域；求证：．22.已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系在直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点．写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；设点Q和点G的极坐标分别为，，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B 两点，求的面积．23.Ⅰ若a，b，均为正数，且证明：；Ⅱ若不等式的解集为，求实数a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，集合，，故选：B．先指数函数的性质求出集合，再利用补集的定义即可算出结果．本题主要考查了指数函数的性质，以及补集的定义，是基础题．2.答案：D解析：【分析】本题考查共轭复数，复数的模，属于基础题．利用共轭复数，复数的模化简即可得到答案．【解答】解：由得，则故选D．3.答案：C解析：解：由已知非零向量，满足，且，可得设与的夹角为，则有，即，又因为，所以，故选：C．由题意可得可得，设与的夹角为，求得，结合的范围，求得的值．本题主要考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化．本体属于基础题，注意运算的准确性．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：，．故选A．5.答案：A解析：解：根据题意可得，，设，其中，则，则，因为，所以，则当时，取最小值，最小值，故选：A．根据条件设，其中，表示出，则可得当时取得最小值．本题考查双曲线的相关性质，考查函数最值得求法，属于中档题．6.答案：D解析：解：对于，逆否命题为：a，b都小于1，则是真命题所以原命题是真命题对于，，反之不成立，取，不能说，所以是假命题；对于，，；显然是真命题；对于，函数是奇函数，函数的对称中心为，则的图象是的图象向右平移1个单位得到的，所以关于对称．是真命题；故选：D．利用逆否命题的真假判断的正误；由可得，反之不成立，取即可判断；利用全称命题直接判断的正误即可．利用函数的奇偶性以及对称性说明的正误；本题考查命题的真假的判断与应用，考查向量的数量积与垂直的关系，函数的对称性，充要条件，是基础题．7.答案：C解析：解：开始：，，进行循环：输出，，，输出，，，输出，，，输出，，，因为，退出循环，则输出的所有点，，，都在函数的图象上．故选：C．开始，，输出，继续循环，，就循环，当时，循环结束．最后看碟输出值适合哪一个函数的解析式即可．本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．8.答案：B解析：解：若，则由条件得，即，则不一定成立，故A错误，B.若，则由条件知，即，则，则，故B正确，C.若，则由条件得，则不一定成立，故C错误，D.若，则由条件，得，则不一定成立，即不一定成立，故D错误，故选：B根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.答案：C解析：【分析】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键，是基础题．确定函数是奇函数，图象关于原点对称，时，是单调减函数，即可得出结论．【解答】解：由题意，，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；时，是单调减函数，排除A．故选C．10.答案：D解析：【分析】本题考查等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题．由等差数列和等比数列的性质求出，的值，代入得答案．解析：解：在等差数列中，由，得，，，在等比数列中，由，得，，，则．故选：D．11.答案：C解析：解：如图，抛物线的焦点为，的外接圆的圆心在OF的垂直平分线上，则圆心纵坐标为，又的外接圆与抛物线的准线相切，外接圆半径为．则该圆的面积为．故选：C．由题意画出图形，可知的外接圆的圆心在OF的垂直平分线上，则圆心纵坐标为，结合的外接圆与抛物线的准线相切，得外接圆半径为，代入圆的面积公式得答案．本题是抛物线与圆的综合题，考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.答案：D解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱柱切去一个三棱锥体．如图所示：所以该几何体的表面积为：．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：37解析：解：因为样本数据，，，的平均数为10，则，所以数据，，，，的平均数为，故答案为：37．根据平均数定义可求．本题考查平均数，属于基础题．14.答案：2解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，中档题作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定a的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．则，，若过A时取得最大值为4，则，解得，此时，目标函数为，即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时z最大值为4，满足条件，若过B时取得最大值为4，则，解得，此时，目标函数为，即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时z最大值为6，不满足条件，故；故答案为：2．15.答案：3解析：解：函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则平移后函数的解析式为，，，则取得最小正值时，，，故答案为：3．根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．16.答案：解析：解：的x有四个，方程有4个根，设，则，令，得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，，画出函数的大致图象，如图所示：，，保留函数的x轴上方的图象，把x轴下方的图象关于x轴翻折到x轴上方，即可得到函数的图象，如图所示：，令，则，所以要使方程有4个根，则方程应有两个不等的实根，且一个根在内，一个根在内，设，因为，则只需，即，解得：，故答案为：的x有四个，等价于方程有4个根，设，利用导数得到函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数的大致图象，要使方程有4个根，则方程应有两个不等的实根，且一个根在内，一个根在内，设，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出t的取值范围．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题．17.答案：解：Ⅰ设数列的公比为q，因为，所以，，因为是和的等差中项，所以．即，化简得．因为公比，所以．所以Ⅱ因为，所以．所以．则，，，，得，．，所以．解析：Ⅰ由等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；Ⅱ把Ⅰ中求得的结果代入，求出，利用错位相减法求出．本题考查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念及错位相减法求数列的前项和，等差数列和等比数列之间的相互转化，考查运算能力，属中档题．18.答案：解：证明：连结，交，连结DE，，四边形是平行四边形，，面，面，平面D.解：，，，，解得，，，平面ABCD，，，平面，三棱锥的体积为，，解得，．解析：连结，交，连结DE，，四边形是平行四边形，，由此能证明平面D.推导出，，从而平面，，求出，由此能求出D.本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由题意得：．根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值为：．从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，中选：人，中选：人，在这9人中选取2人作为记录员，基本事件总数，选取的2名记录员中至少有一人年龄在包含的基本事件个数：，选取的2名记录员中至少有一人年龄在中的概率．解析：由频率分布直方图和频数分布表能求出x，y，z．根据频率分布直方图，能估计这x人年龄的平均值．从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，中选5人，中选4人，在这9人中选取2人作为记录员，基本事件总数，选取的2名记录员中至少有一人年龄在包含的基本事件个数，由此能求出选取的2名记录员中至少有一人年龄在中的概率．本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频数分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题．20.答案：解：圆：，整理，得其标准方程为：，圆的圆心坐标为；设当直线l的方程为、、，联立方程组，消去y可得：，由，可得由韦达定理，可得，线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中，线段AB的中点M的轨迹C的方程为：，其中；结论：当，时，直线L：与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：，令，解得，又轨迹C的端点与点决定的直线斜率为，当直线L：与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为，解析：通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；设当直线l的方程为，通过联立直线l与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；通过联立直线L与圆的方程，利用根的判别式及轨迹C的端点与点决定的直线斜率，即得结论．本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21.答案：解：切点，，．可得过点P的的切线为，化为：．函数在点处的切线与函数相切．联立，，化为：，令，，解得．．函数的值域为．证明：证明，即证明．即证明．令．假设直线与曲线相切于点则，可得．令在上单调递增．可得，．可得切线方程为：，令，可得，下面证明：即可，化为：，令，，．在上单调递增，而，满足．结论得证．解析：切点，，可得过点P的的切线为，化为：根据函数在点处的切线与函数相切．联立，，化为：，令，，即可即得出利用二次函数的单调性可得函数的值域．要证明，即证明即证明令假设直线与曲线相切于点，可得令在上单调递增．可得可得切线方程为：，令，可得，下面证明：即可，本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：，化为，直角坐标方程为：．直线l的参数方程为：为参数．点Q和点G的极坐标分别为，，分别化为：，，，倾斜角为，直角坐标方程为：可得直线l的参数方程：为参数将参数方程代入曲线C的方程可得：，，设与为此方程的两个实数根，可得：，点G到直线l的距离．解析：，化为，令，即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为：为参数．点Q和点G的极坐标分别为，，分别化为：，，倾斜角为，可得直线l的参数方程：为参数将参数方程代入曲线C的方程可得：，设与为此方程的两个实数根，可得点G到直线l的距离即可得出．本题考查极坐标方程化为直角标准方程、直线的参数方程及参数几何意义的应用、三角形面积计算公式，考查逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题．23.答案：Ⅰ证明：，b，c，d均为正数，且，，；Ⅱ解：由题意，不等式可化为，，，．解析：Ⅰ将代入，可得由三元均值不等式，即可得证；Ⅱ由题意，不等式可化为，利用不等式的解集为，即可求实数a的值．本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查推理能力，属于中档题．。
2020届山西省太原市第五中学高三下学期4月模拟数学（文）试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则( )A．B．C．D．(★★★) 2. 若，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知非零向量满足，且，则的夹角为A．B．C．D．(★★★) 4. 若，则（）A．B．C．1D．(★★) 5. 已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为( )A．1B．C．2D．3(★★) 6. 以下四个命题中，真命题的个数是（）① 若，则，中至少有一个不小于；② 是的充要条件；③ ；④ 函数是奇函数，则的图像关于对称.A．0B．1C．2D．3(★★) 7. 执行如图所示的程序框图.则输出的所有点（）A．都在函数的图象上B．都在函数的图象上C．都在函数的图象上D．都在函数的图象上(★★★) 8. 已知函数满足：且．（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★★★) 9. 函数（）的图象大致形状是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（）A．B．C．D．(★★★) 11. 抛物线的焦点为，点是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为( )A．B．C．D．(★★★) 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．14B．C．D．二、填空题(★) 13. 若样本数据、、、的平均数为，则数据、、、，的平均数为_____.(★★★) 14. 已知，满足约束条件，若的最大值为，则__________．(★★★) 15. 函数的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于轴对称，则的最小正值是_____.(★★★) 16. 已知，若满足的有四个，则的取值范围为_____.三、解答题(★★★) 17. 已知数列是等比数列， ， 是 和 的等差中项.（1）求数列 的通项公式；（2）设，求数列的前 项和 . (★★) 18. 如图，四棱柱中，平面 ABCD ，四边形 ABCD 为平行四边形，，.（1）若 ，求证： //平面 ； （2）若，且三棱锥的体积为，求.(★★★) 19. 2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善生存环境质量.某部门在某小区年龄处于区间 内的人中随机抽取 人进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到图各年龄段人数的频率分布直方图和表中统计数据.（1）求 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这 人年龄的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果保留整数）； （3）从年龄段在 的“环保族”中采用分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在区间中的概率.组数分组“环保族”人数占本组频率第一组450.75第二组25第三组0.5第四组30.2第五组30.1(★★★) 20. 已知过原点的动直线 与圆相交于不同的两点， ．（1）求圆 的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹 的方程；（3）是否存在实数 ，使得直线与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．(★★★★) 21. 已知函数， ，函数 在点 处的切线与函数 相切. （1）求函数 的值域；（2）求证：.(★★★) 22. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρsin 2 θ－8cos θ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy.在直角坐标系中，倾斜角为 α的直线 l 过点 P(2，0)．(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (2)设点 Q 与点 G 的极坐标分别为 ，(2，π)，若直线 l 经过点 Q，且与曲线 C 相交于 A ， B 两点，求△ GAB 的面积．(★★★) 23. （1）若 、 均为正数，且.证明： ；（2）若不等式的解集为，求实数 的值.。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)1．设集合}052|{<-=x x x A ，集合(){}2lg 2B x y x x ==--，则集合A ∪B （ ）A ．(-∞,-1)∪(2,+∞)B ．),2(+∞C ．(-1,0)D ．()(),10,-∞-+∞U 2.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A.23,p p B. 12,p p C. ,p p 24 D. ,p p 34 3.下列函数中，与函数y ＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－||1x B ．x x y --=33 C ．||log 5.0x y = D ．||sin x y = 4.若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，27log 9c =，则( ) A ．b a c << B ．b c a << C ．c a b << D ．c b a <<5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“18-=a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.若(1－2x )n x 的展开式中x 3的系数为80，其中n 为正整数，则(1－2x )nx的展开式中各项系数的绝对值之和为( )A ．32B ．81C ．243D ．2567.若7)4tan(=+πα，则=+αα2sin 2cos 2( )A ．6425B ．4825C ．1D ．16258.已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ． f (x )＝222x x -B ． f (x )＝2cos x xC ． f (x )＝－2cos x xD ． f (x )＝cos xx9．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C. 12 D ．－12 10.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1 11.已知点G FE 、、分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱111DD CC AA 、、的中点，点P Q N M 、、、分别在线段11B C BE AG DF 、、、上. 以P Q N M 、、、为顶点的三棱锥P MNQ -的俯视图不可能是（ ）12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ） （1）2x =是()f x 的极大值点（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立（4）对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>A. (1)(2)(3)(4)B. (2)(4)C. (2)(3)D. (3)(4)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为______ _14. 曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与圆()()22311x y -+-=相切，则此双曲线的离心率为_____ _15.利用随机模拟方法可估计某无理数m 的值，为此设计如图所示的程序框图，其中rand （）表示产生区间（0，1）上的随机数，P 为s 与n 之比值，执行此程序框图，输出结果P 是m 的估计值，则m 是_____ _16.设锐角ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，)3cos cos 2sin a B b A c C +=，1b =，则c 的取值范围为______ ．三、解答题(本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分）已知数列{}n a 满足2312232222n n a a a a n n ++++=+L (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若数列n n a b 2log =，求数列}{n b 的前n 项和n S18. （12分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率.(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X 表示乙车间的零件个数，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2， ∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12， MP ⊥AP .(1)求PO 的长；(2)求二面角A －PM －C 的余弦值．20. （12分）已知椭圆()2210x y a b +=>>的左、右焦点分别为F 、F ，焦距为4，直线:b l y x =与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E (0,b)．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围．21. （12分）已知函数()()2e ,x f x a x bx a b =+-∈R ，其导函数为()'y f x =．（1）当2b =时，若函数()'y f x =在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；(2)当1=a 时，若0)3()(/≥+-x m x f ，)(R m ∈，求b mb +的最大值。
